人教A版 选修12 综合法和分析法 学案.docx

综合法和分析法核心必知1预习教材，问题导入根据以下提纲，预习教材p36p41的内容，回答下列问题(1)阅读教材p36“已知a，b0，求证a(b2c2)b(c2a2)4abc”的证明过程，思考下列问题：该题的条件和结论各是什么？提示：条件：a，b0；结论：a(b2c2)b(c2a2)4abc.本题的证明过程是从“已知条件”出发，还是从“要证明的结论”出发？即证明该题的顺序是什么？提示：本题是从已知条件a，b0出发，借助基本不等式证明待证结论的(2)阅读教材中证明基本不等式“(a0，b0)”的过程，回答下列问题：该证明过程是从“条件”还是从“结论”开始证明的？提示：从结论开始证明的该证明过程是综合法吗？提示：不是该证明过程的实质是寻找使结论成立的什么条件？提示：充分条件2归纳总结，核心必记(1)综合法综合法的定义利用已知条件和某些数学定义、定理、公理等，经过一系列的推理论证，最后推导出所要证明的结论成立，这种证明方法叫做综合法综合法的框图表示(p表示已知条件、已有的定义、定理、公理等，q表示所要证明的结论)(2)分析法分析法的定义从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的条件(已知条件、定理、定义、公理等)，这种证明的方法叫做分析法分析法的框图表示问题思考 (1)综合法与分析法的推理过程是合情推理还是演绎推理？提示：综合法与分析法的推理过程是演绎推理，它们的每一步推理都是严密的逻辑推理，从而得到的每一个结论都是正确的，不同于合情推理中的“猜想”(2)综合法与分析法有什么区别？提示：综合法是从已知条件出发，逐步寻找的是必要条件，即由因导果；分析法是从待求结论出发，逐步寻找的是充分条件，即执果索因(3)已知a，b，c为正实数，且abc1，求证：8.证明过程如下：a，b，c为正实数，且abc1.10，10，10，8，当且仅当abc时取等号，不等式成立这种证明方法是综合法还是分析法？提示：综合法课前反思(1)综合法的定义是什么？如何用框图表示综合法？ ；(2)分析法的定义是什么？如何用框图表示分析法？ . 讲一讲1设a，b，c均为正数，且abc1.证明：(1)abbcac；(2)1.尝试解答 (1)由a2b22ab，b2c2 2bc，c2a22ca，得a2b2c2abbcca.由题设得(abc)21，即a2b2c22ab2bc2ca1.所以3(abbcca)1，即abbcca.(2)因为b2a，c2b，a2c，故(abc)2(abc)，即abc.所以1. 利用综合法证明问题的步骤(1)分析条件选择方向：仔细分析题目的已知条件(包括隐含条件)，分析已知与结论之间的联系与区别，选择相关的公理、定理、公式、结论，确定恰当的解题方法(2)转化条件组织过程：把题目的已知条件，转化成解题所需要的语言，主要是文字、符号、图形三种语言之间的相互转化，组织过程时要有严密的逻辑，简洁的语言，清晰的思路(3)适当调整回顾反思：解题后回顾解题过程，可对部分步骤进行调整，并对一些语言进行适当的修饰，反思总结解题方法的选取 练一练1已知xyzm.求证：x2y2z2.证明：xyzm，(xyz)2x2y2z22(xyyzzx)m2.又x2y22xy，y2z22yz，z2x22xz，2(x2y2z2)2(xyyzzx)，即x2y2z2xyyzzx，m2x2y2z22(xyyzzx)3(x2y2z2)x2y2z2. 思考1 分析法的证明过程是什么？名师指津：从“未知”看“需知”，逐步靠拢“已知”，其逐步推理的过程，实际上是寻找使结论成立的充分条件思考2 分析法的书写格式是什么？名师指津：分析法的书写格式是：“要证，只需证，只需证，由于显然成立(已知，已证)，所以原结论成立”其中的关联词语不能省略讲一讲2已知a0，求证： a2.尝试解答 要证 a2.只需证 2a.因为a0，故只需证22，即a244a2222，从而只需证2，只需证42，即a22，而上述不等式显然成立，故原不等式成立 (1)当问题的证明用综合法不易寻找思路时，可从待证的结论或需求问题出发，一步一步地探索下去，最后得到一个明显成立的条件，从而得原问题成立(2)含有根号、绝对值的等式或不等式的证明，若从正面不易推导时，可以考虑用分析法(3)书写形式：要证，只需证，即证，然后得到一个明显成立的条件，所以结论成立 练一练2当a2时，求证：.证明：要证，只需证，只需证()2()2，只需证a1a22aa12，只需证，只需证(a1)(a2)a(a1)，即证20，而20显然成立，所以成立 讲一讲3已知a，b，c表示abc的三边长，m0，求证：.先用分析法将要证明的不等式进行转化，然后利用综合法证明尝试解答 要证明.只需证明0即可而.因为a0，b0，c0，m0，所以(am)(bm)(cm)0.因为a(bm)(cm)b(am)(cm)c(am)(bm)abcabmacmam2abcabmbcmbm2abcbcmacmcm22abmam2abcbm2cm22abmabc(abc)m2.因为abc中任意两边之和大于第三边，所以abc0，所以(abc)m20，所以2abmabc(abc)m20，所以. 对于比较复杂的证明题，常用分析综合法，即先从结论进行分析，寻求结论与条件之间的关系，找到解决问题的思路，再运用综合法证明，或在证明过程中将两种方法交叉使用 练一练3已知a、b、c是不全相等的正数，且0x1.求证：logxlogxlogxlogxalogxblogxc.证明：要证logxlogxlogxlogxalogxblogxc，只需要证明logxlogx(abc)，由0xabc.由基本不等式得0，0，0，又a，b，c是不全相等的正数，abc.即abc成立logxlogxlogxlogxalogxblogxc成立课堂归纳感悟提升 1本节课的重点是综合法和分析法的应用，难点是分析综合法的应用2本节课要重点掌握的规律方法(1)利用综合法解决问题，见讲1；(2)利用分析法解决问题，见讲2；(3)利用分析综合法解决问题，见讲3.3在利用分析法证明问题时，一定要恰当使用好“要证”、“只需证”、“即证”等词语，这也是本节课的易错点 课下能力提升(五)学业水平达标练 题组1 综合法的应用1在abc中，若sin asin bcos acos b，则abc一定是( ) a直角三角形 b锐角三角形c钝角三角形 d等边三角形解析：选c 由sin asin bcos acos b得cos acos bsin asin b0，即cos(ab)0，cos c0，cos c0，从而角c必为钝角，abc一定为钝角三角形2使不等式1成立的正整数a的最大值是( )a13 b12 c11 d10解析：选b 由1得a(1)2.而(1)23812221242412.68.因此使不等式成立的正整数a的最大值为12.3在锐角abc中，已知3b2asin b，且cos bcos c，求证：abc是等边三角形证明：abc为锐角三角形，a，b，c，由正弦定理及条件，可得3sin b2sin asin b.b，sin b0.32sin asin a.a，a.又cos bcos c，且b，c.bc.又bc，abc.从而abc是等边三角形题组2 分析法的应用4. 0 bab0且abcab0且ab dab(ba)0解析：选d ，()3()3，ab33ab， ，ab2a2b，ab(ba)0.5将下面用分析法证明ab的步骤补充完整：要证ab，只需证a2b22ab，也就是证_，即证_，由于_显然成立，因此原不等式成立解析：用分析法证明ab的步骤为：要证ab成立，只需证a2b22ab，也就是证a2b22ab0，即证(ab)20.由于(ab)20显然成立，所以原不等式成立答案：a2b22ab0 (ab)20 (ab)206已知a，b，ab1，求证：2.证明：要证2，只需证2(ab)228.因为ab1，即证2.因为a，b，所以2a10,2b10，所以2.即2成立，因此原不等式成立题组3 综合法与分析法的综合应用7设a，b(0，)，且ab，求证：a3b3a2bab2.证明：法一：要证a3b3a2bab2成立，只需证(ab)(a2abb2)ab(ab)成立又因为ab0，所以只需证a2abb2ab成立即需证a22abb20成立，即需证(ab)20成立而依题设ab，则(ab)20显然成立由此命题得证法二：abab0(ab)20a22abb20a2abb2ab.因为a0，b0，所以ab0，(ab)(a2abb2)ab(ab)所以a3b3a2bab2.8已知abc的三个内角a，b，c为等差数列，且a，b，c分别为角a，b，c的对边，求证：(ab)1(bc)13(abc)1.证明：法一：(分析法)要证(ab)1(bc)13(abc)1，即证，只需证3，化简，得1，即c(bc)(ab)a(ab)(bc)，所以只需证c2a2b2ac.因为abc的三个内角a，b，c成等差数列，所以b60，所以cos b，即a2c2b2ac成立所以(ab)1(bc)13(abc)1成立法二：(综合法)因为abc的三内角a，b，c成等差数列，所以b60.由余弦定理，有b2c2a22accos 60.所以c2a2acb2，两边加abbc，得c(bc)a(ab)(ab)(bc)，两边同时除以(ab)(bc)，得1，所以3，即，所以(ab)1(bc)13(abc)1. 能力提升综合练 1下列函数f(x)中，满足“对任意x1，x2(0，)，当x1x2时，都有f(x1)f(x2)”的是( )af(x) bf(x)(x1)2cf(x)ex df(x)ln(x1)解析：选a 本题就是找哪一个函数在(0，)上是减函数，a项中，f(x)0，f(x)在(0，)上为减函数2已知a0，b0，mlg，nlg，则m与n的大小关系为( )amn bmncmn d不能确定解析：选a 由a0，b0，得0，所以ab2ab，所以()2()2，所以，所以lglg，即mn，故选a.3设函数f(x)是定义在r上的以3为周期的奇函数，若f(1)1，f(2)，则a的取值范围是( )aa ba，且a1ca或a1 d1a解析：选d f(x)以3为周期，f(2)f(1)又f(x)是r上的奇函数，f(1)f(1)，则f(2)f(1)f(1)再由f(1)1，可得f(2)1，即1，解得1a.4已知a，b，c，d为正实数，且，则( )a. b.c. d以上均可能解析：选a 先取特殊值检验，可取a1，b3，c1，d2，则，满足.要证，a，b，c，d为正实数，只需证a(bd)b(ac)，即证adbc.只需证.而成立，.同理可证.故a正确5若lg xlg y2lg(x2y)，则log_.解析：由条件知lg xylg(x2y)2，所以xy(x2y)2，即x25xy4y20，即2540，所以4或1.又x2y，故4，所以loglog44.答案：46已知sin cos 且，则cos 2_.解析：因为sin cos ，所以1sin 2，所以sin 2.因为，所以2.所以cos 2.答案：7设数列an的前n项和为sn，已知a11，an1n2n，nn*.(1)求a2的值；(2)证明数列是等差数列；(3)若tn是数列的前n项和，求证：tn.解：(1)当n1时，2a1a212，解得a24.(2)证明：2snnan1n3n2n.当n2时，2sn1(n1)an(n1)3(n1)2(n1)，