人教A版选修11 2.3.2.1抛物线的简单几何性质(一) 作业.docx

2.3.2抛物线的简单几何性质(一)课时过关能力提升基础巩固1.抛物线2y=3x2的准线方程为()a.y=-16b.y=-14c.y=-12d.y=-1答案:a2.已知圆x2+y2-6x-7=0与抛物线y2=2px(p0)的准线相切,则p=()a.1b.2c.3d.4解析:抛物线y2=2px的准线为x=-p2,圆的标准方程为(x-3)2+y2=42,故圆心为(3,0),半径为4,则3+p2=4.故p=2.答案:b3.如图,已知点q(22,0)及抛物线y=x24上的动点p(x,y),则y+|pq|的最小值是()a.2b.3c.4d.22解析:如图,过p作pm垂直抛物线的准线于点m,则由抛物线的定义,可知y+|pq|=|pm|-1+|pq|=|pf|+|pq|-1,当且仅当p,f,q三点共线时,|pf|+|pq|最小,由f(0,1),q(22,0),得最小值为|qf|=(22-0)2+(0-1)2=3.故y+|pq|的最小值为3-1=2.答案:a4.设过抛物线y2=2px(p0)的焦点的弦为ab,则|ab|的最小值为()a.p2b.pc.2pd.无法确定解析:当abx轴时,|ab|取最小值,最小值为2p.答案:c5.若抛物线y2=x上一点p到准线的距离等于它到顶点的距离,则点p的坐标为()a.14,24b.18,24c.14,24d.18,24解析:由题意知,点p到焦点f的距离等于它到顶点o的距离,因此点p在线段of的垂直平分线上,而f14,0,所以点p的横坐标为18,代入抛物线方程得y=24,故点p的坐标为18,24,故选b.答案:b6.设抛物线y2=2x与过焦点的直线交于a,b两点,则oaob的值是()a.34b.-34c.3d.-3答案:b7.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于a,b两点,设a(x1,y1),b(x2,y2).若x1+x2=6,则|ab|=,解析:直线ab过焦点,|ab|=x1+x2+p=6+2=8.答案:88.已知抛物线y2=2px(p0),直线l经过其焦点且与x轴垂直,并交抛物线于a,b两点,若|ab|=10,p为抛物线的准线上一点,则abp的面积为.解析:由题意,xa=xb=p2,10=xa+xb+p=2p=10,p=5.又点p到ab的距离为焦点到准线的距离,sabp=12|ab|p=12105=25.答案:259.过抛物线y2=4x的焦点作直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)两点,若|ab|=7,则ab的中点m到抛物线准线的距离为.解析:抛物线的焦点为(1,0),准线方程为x=-1,p=2.由抛物线的定义知|ab|=|af|+|bf|=x1+p2+x2+p2=x1+x2+p,即x1+x2+p=7,所以x1+x2=5.于是弦ab的中点m的横坐标为52,因此m到抛物线准线的距离为52+1=72.答案:7210.若长为3的线段ab的两个端点在抛物线y2=2x上移动,m为ab的中点,求点m到y轴的最短距离.解:设抛物线的焦点为f,连接af,bf,如图,抛物线y2=2x的准线为l:x=-12,过点a,b,m分别作aa,bb,mm垂直于l,垂足分别为点a,b,m.由抛物线定义,知|aa|=|fa|,|bb|=|fb|.又m为ab的中点,由梯形中位线定理,得|mm|=12(|aa|+|bb|)=12(|fa|+|fb|)12|ab|=123=32,则x32-12=1(x为点m的横坐标,当且仅当ab过抛物线的焦点时取得等号),所以xmin=1,即点m到y轴的最短距离为1.能力提升1.如图,f为抛物线y2=4x的焦点,a,b,c在抛物线上,若fa+fb+fc=0,则|fa|+|fb|+|fc|等于()a.6b.4c.3d.2解析:设点a(x1,y1),b(x2,y2),c(x3,y3),又f(1,0),且fa+fb+fc=0,x1-1+x2-1+x3-1=0,x1+x2+x3=3.|fa|+|fb|+|fc|=x1+p2+x2+p2+x3+p2=6.答案:a2.已知抛物线c:y2=8x的焦点为f,准线与x轴的交点为k,点a在c上且|ak|=2|af|,则afk的面积为()a.4b.8c.16d.32解析:抛物线c:y2=8x的焦点为f(2,0),准线为x=-2,k(-2,0).设a(x0,y0),如图,过点a向准线作垂线,垂足为b,则b(-2,y0).|ak|=2|af|,又|af|=|ab|=x0-(-2)=x0+2,由|bk|2=|ak|2-|ab|2,得y02=(x0+2)2,即8x0=(x0+2)2,解得x0=2,y0=4.afk的面积为12|kf|y0|=1244=8.答案:b3.设m(x0,y0)为抛物线c:x2=8y上一点,点f为抛物线c的焦点,以f为圆心、|fm|为半径的圆和抛物线c的准线相交,则y0的取值范围是()a.(0,2)b.0,2c.(2,+)d.2,+)答案:c4.抛物线x2=2py(p0)的焦点为f,其准线与双曲线x23-y23=1相交于a,b两点,若abf为等边三角形,则p=.解析:抛物线的准线方程为y=-p2,设a,b的横坐标分别为xa,xb,则|xa|2=|xb|2=3+p42,所以|ab|=|2xa|.又焦点到准线的距离为p,由等边三角形的特点得p=32|ab|,即p2=3443+p42,解得p=6.答案:65.过抛物线y2=2px(p0)的焦点f的直线与抛物线交于a,b两点,若a,b在准线上的射影为a1,b1,则a1fb1=.解析:如图,由抛物线定义知|aa1|=|af|,|bb1|=|bf|,aa1f=afa1,又aa1f=a1fo,afa1=a1fo,同理bfb1=b1fo,于是afa1+bfb1=a1fo+b1fo=a1fb1.故a1fb1=90.答案:906.已知抛物线x2=4y的焦点为f,经过点f的直线与抛物线相交于a,b两点,则以ab为直径的圆在x轴上所截得的弦长的最小值是.解析:直线ab过焦点,以ab为直径的圆与准线y=-1相切,当圆的半径最小时,在x轴上截得弦长最小.又aby轴时最小,最小值为2p=4,圆半径r=2,圆心即焦点到x轴的距离为1,圆截x轴所得弦长为2r2-1=23.答案:237.如图,过抛物线y2=2px(p0)的焦点f的直线l交抛物线于点a,b,交其准线于点c,若|bc|=2|bf|,且|af|=3,求此抛物线的方程.解:过点a,b分别作准线的垂线aa,bd,垂足分别为点a,d,则|bf|=|bd|.又2|bf|=|bc|,在rtbcd中,bcd=30.又|af|=3,|aa|=3,|ac|=6,|fc|=3.点f到准线的距离p=12|fc|=32.y2=3x.8.已知过抛物线y2=2px(p0)的焦点,斜率为22的直线交抛物线于a(x1,y1),b(x2,y2)(x1x2)两点,且|ab|=9.(1)求该抛物线的方程;(2)o为坐标原点,c为抛物线上一点,若oc=oa+ob,求的值.解:(1)直线ab的方程是y=22x-p2,与y2=2px联立,从而有4x2-5px+p2=0,所以x1+x2=5p4.由抛物线定义得|ab|=x1+x2+p=9,所以p=4,从而抛物线方程是y2=8x.(2)由p=4