人教B版必修2 2.1.2 平面直角坐标系中的基本公式 学案.docx

2.1.2平面直角坐标系中的基本公式学习目标1.理解两点间的距离的概念，掌握两点间的距离公式，并会求两点间的距离.2.理解坐标法的意义，并会用坐标法研究问题知识点一两点的距离公式已知平面上两点a(x1，y1)，b(x2，y2)思考1当x1x2，y1y2时，d(a，b)？答案d(a，b)|x2x1|.思考2当x1x2，y1y2时，d(a，b)？答案d(a，b)|y2y1|.思考3当x1x2，y1y2时，d(a，b)？请简单说明理由答案如图，在rtabc中，|ab|2|ac|2|bc|2，所以|ab|.即两点a(x1，y1)，b(x2，y2)的距离为|ab|.梳理两点间的距离公式a(x1，y1)，b(x2，y2)两点之间的距离公式d(a，b)|ab|；当ab垂直于y轴时，d(a，b)|x2x1|；当ab垂直于x轴时，d(a，b)|y2y1|；当b为原点时，d(a，b).知识点二中点坐标公式已知平面直角坐标系中的两点a(x1，y1)，b(x2，y2)，点m(x，y)是线段ab的中点，则x，y.1点p1(0，a)，点p2(b，0)之间的距离为ab.()2点p(x1，y1)关于点m(x0，y0)的对称点是p(2x0x1，2y0y1)()类型一两点间的距离公式例1(1)已知abc三个顶点的坐标分别为a(4,1)，b(3,2)，c(0,5)，则abc的周长为()a4 b8c12 d16(2)若a(5,6)，b(a，2)两点的距离为10，则a_.答案(1)c(2)1或11解析(1)a(4,1)，b(3,2)，c(0,5)，|ab|5，|bc|3，|ac|4.abc的周长为|ab|bc|ac|53412.(2)|ab|10，a1或11.反思与感悟两点间的距离公式应用的两种形式(1)在求到某点的距离满足某些条件的点p(x，y)的坐标时，需要根据已知条件列出关于x，y的方程或方程组，解之即可(2)利用两点间的距离公式可以判断三角形的形状，从三边长入手，根据边长相等判断是等腰或等边三角形，根据勾股定理判断是直角三角形还可以根据两个距离之和等于第三个距离判断三点共线跟踪训练1已知点a(3,4)，点b(2，)，试在x轴上找一点p，使得d(p，a)d(p，b)，并求出d(p，a)解设p(x,0)，由题意得d(p，a)，d(p，b).由d(p，a)d(p，b)，即，化简得x，故点p的坐标为，d(p，a) .类型二中点公式及应用例2已知平行四边形abcd的两个顶点坐标分别为a(4,2)，b(5,7)，对角线交点为e(3,4)，求另外两顶点c，d的坐标解设c点坐标为(x1，y1)，则由e为ac的中点，得得设d点坐标为(x2，y2)，则由e为bd的中点，得得故c点坐标为(10,6)，d点坐标为(11,1)反思与感悟中点公式应用的步骤(1)认真审题，提炼题设中的条件(2)将条件转化为与中点有关的问题(3)利用中点公式求解(4)转化为题目要求的结果特别提醒：利用中点坐标公式可求得以a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)为顶点的abc的重心坐标为.跟踪训练2(1)已知三点a(x,5)，b(2，y)，c(1,1)，且点c是线段ab的中点，求x，y的值；(2)求点m(4,3)关于点n(5，3)的对称点解(1)由题意知，解得(2)设所求点的坐标为(x，y)，则解得故所求对称点的坐标为(6，9)类型三坐标法的应用例3证明：平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和证明如图所示，以顶点a为坐标原点，ab边所在直线为x轴，建立直角坐标系，有a(0,0)设b(a,0)，d(b，c)，由平行四边形的性质，得点c的坐标为(ab，c)因为|ab|2a2，|cd|2a2，|ad|2b2c2，|bc|2b2c2，|ac|2(ab)2c2，|bd|2(ba)2c2，所以|ab|2|cd|2|ad|2|bc|22(a2b2c2)，|ac|2|bd|22(a2b2c2)，所以|ab|2|cd|2|ad|2|bc|2|ac|2|bd|2.因此，平行四边形四条边的平方和等于两条对角线的平方和反思与感悟用坐标法解决平面几何问题的“三步曲”第一步：建立适当的平面直角坐标系，用坐标和方程表示问题中的几何无素，将平面几何问题转化为代数问题；第二步：通过代数运算，解决代数问题；第三步：把代数运算的结果翻译成几何结论跟踪训练3证明：直角三角形斜边中点到三个顶点的距离相等证明如图所示，以直角三角形的直角顶点c为坐标原点，一直角边ca所在直线为x轴，建立直角坐标系，则c(0,0)设a(a,0)，b(0，b)，则斜边中点m的坐标为.因为|om| ，|bm| ，|ma| ，所以|om|bm|ma|.即直角三角形斜边的中点到三个顶点的距离相等1已知a(3,5)，b(2,15)，则d(a，b)等于()a5 b5c5 d5答案d解析d(a，b)5.2已知两点a(a，b)，b(c，d)，且0，则()a原点一定是线段ab的中点ba，b一定都与原点重合c原点一定在线段ab上但不是中点d以上结论都不正确答案d解析由0，得，即d(o，a)d(o，b)所以点a、b到原点o的距离相等，故选项a、b、c错误，故选d.3以a(1,5)，b(5,1)，c(9，9)为顶点的三角形是()a等边三角形 b等腰三角形c直角三角形 d无法确定答案b4已知a(a,6)，b(2，b)，点p(2,3)平分线段ab，则ab_.答案6解析由中点公式得2，3，a6，b0.ab6.5已知平面内平行四边形的三个顶点a(2,1)，b(1,3)，c(3，4)，求第四个顶点d的坐标解分以下三种情况(如图所示)(1)以ac为对角线构成abcd1.设d1(x1，y1)，ac的中点坐标为，其也为bd1的中点坐标，x12，y12，即d1(2,2)(2)以bc为对角线构成acd2b，同理得d2(4,6)(3)以ab为对角线构成acbd3，同理得d3(6,0)由以上可知，第四个顶点d的坐标为(2,2)或(4,6)或(6,0)1坐标平面内两点间的距离公式，是解析几何中的最基本最重要的公式之一，利用它可以求平面上任意两个已知点间的距离反过来，已知两点间的距离也可以根据条件求其中一个点的坐标2平面几何中与线段长有关的定理和重要结论，可以用坐标法来证明用坐标法解题时，由于平面图形的几何性质是不依赖于平面直角坐标系的建立而改变的，但不同的平面直角坐标系会使计算有繁简之分，因此在建立直角坐标系时必须“避繁就简”一、选择题1已知点a(3,4)和b(0，b)，且|ab|5，则b等于()a0或8 b0或8c0或6 d0或6答案a解析由5，解得b0或8.2点a(2，3)关于坐标原点对称的点的坐标为()a(3，2) b(2，3)c(2,3) d(3,2)答案c解析设所求点的坐标为b(x，y)，则由题意知，坐标原点是线段ab的中点，则解得x2，y3.故选c.3若点p(x，y)到两点m(2,3)，n(4,5)的距离相等，则xy的值为()a5 b6c7 d不确定答案c解析由两点间距离公式，得，两边平方，得xy7，故选c.4已知abc的两个顶点a(3,7)，b(2,5)，若ac，bc的中点都在坐标轴上，则点c的坐标是()a(3，7) b(3，7)或(2，5)c(3，5) d(2，7)或(3，5)答案d解析设c(x，y)，显然ac，bc的中点不在同一条坐标轴上若ac的中点在x轴上，bc的中点在y轴上，则有y70，2x0，即c(2，7)；若ac的中点在y轴上，bc的中点在x轴上，则有3x0,5y0，即c(3，5)5设点a在x轴上，点b在y轴上，ab的中点是p(2，1)，则|ab|等于()a5 b4c2 d2答案c解析设a(a,0)，b(0，b)，则2，1，解得a4，b2，|ab|2.6若x轴的正半轴上的点m到原点与点(5，3)到原点的距离相等，则点m的坐标为()a(2,0) b(1,0)c. d(，0)答案d解析设m(x,0)(x0)，则由已知得x2523234.又x0，x，m(，0)7光线从点a(3,5)射到x轴上，经反射之后经过点b(2,10)，则光线从点a到点b的距离为()a5 b2c10 d5答案d解析点b(2,10)关于x轴的对称点为b(2，10)，由光线的对称性可知，从点a到点b的光线距离就是线段ab的长度|ab|5.8已知点a(5,2a1)，b(a1，a4)，当|ab|取最小值时，实数a的值是()a bc. d.答案c解析|ab| ，当a时，|ab|最小二、填空题9已知点a(x,5)关于点c(1，y)的对称点是b(2，3)，则点p(x，y)到原点的距离是_答案解析由题意知，解得d.10已知平行四边形abcd的三个顶点a(x1，y1)，b(x2，y2)，c(x3，y3)，则顶点d的坐标为_答案(x1x3x2，y1y3y2)解析先求出ac的中点坐标，然后再由中点坐标公式求d点坐标11等腰abc的顶点是a(3,0)，底边长bc4，bc边的中点是d(5,4)，则此三角形的腰长为_答案2解析|bd|bc|2，|ad|2.在rtadb中，由勾股定理，得腰长ab2.三、解答题12已知四边形abcd的顶点a(4,3)，b(2,5)，c(6,3)，d(3，0)，e，f分别为边ab，bc的中点，求ce，de，af，df的长度解设线段ab的中点为e(x，y)，则x1，y4，则d(e，c)5，d(e，d)2.即ce，de的长度分别为5，2.设线段bc的中点为f(m，n)，则m4，n4，则d(f，a)，d(f，d).即af，df的长度都为.13已知abc三个顶点的坐标分别为a(1，1)，b(1,3)，c(3,0)(1)判断abc的形状；(2)求abc的面积解(1)由已知，d(a，b)2，d(a，c)，d(b，c)5.|ab|2|ac|2|bc|2，abc是以顶点a为直角顶点的直角三角形(2)由角a为直角，得sabc|ab|ac|25.四、探究与拓展14已知点a(1,3)，b(3,1)，点c在坐标轴上，acb90，则满足条件的点c的个数是()a1 b2 c3 d4答案c解析若点c在x轴上，设c(x,0)，由acb90，得|ab|2|ac|2|bc|2，(13)2(31)2(x1)232(x3)212，解得x0或x2.若点c在y轴上，设c(0，y)，由|ab|2|ac|2|bc