苏教版选修21 3.2.3空间的角的计算.docx

3.2.3空间的角的计算教学目标1知识与技能掌握利用空间向量求空间角(两条异面直线所成的角，直线和平面所成的角及二面角)的方法，并能熟练准确地求解及完整合理地表达2过程与方法 经历向量法求空间三种角的过程，体会空间向量夹角公式的应用，培养学生观察分析、类比转化的能力；体验从“定性”推理到“定量”计算的转化，提高分析问题、解决问题的能力使学生更好的掌握化归和转化的思想3情感、态度与价值观激发学生的学习热情和求知欲，体现学生的主体地位；使学生感受和体会数学的魅力，激发“学数学用数学”的热情教学重点：用直线的方向向量、平面的法向量、向量夹角公式求空间三种角教学难点：(1)两条异面直线的夹角、直线和平面所成的角及二面角的平面角与两个空间向量的夹角求法之间的区别两条异面直线所成角的向量求法问题导思异面直线所成的角与其方向向量夹角是否一定相等，有何关系？【答案】设异面直线所成的角为，方向向量为a，b，则a，b不一定成立(1)当a，b(0，时，a，b，(2)当a，b(，时，a，b若异面直线l1、l2的方向向量分别为a、b，l1、l2所成的角为，则cos |cosa，b|.直线和平面所成的角问题导思直线与平面所成的角，该直线的方向向量a与平面法向量n的夹角为a，n，a，n，对吗？【答案】a，n不正确如图(1)时，a，n，如图(2)时，a，n. (1)(2)设直线l的方向向量为a，平面的法向量为n，a与n的夹角为1，l与所成的角为2，则sin 2|cos_1|.二面角的向量求法问题导思利用平面法向量求二面角时，怎样由法向量的夹角得二面角的大小？【答案】二面角l与n1，n2相等或互补，在求出n1，n2后，应根据图形，凭直线判断二面角l是锐二面角、直二面角，还是钝二面角，若n1，n2与二面角l范围相同，则二者相等；若范围不同，则互补设二面角l的大小为，的法向量分别为n1，n2，则|cos |cosn1，n2|，取锐角或钝角由图形确定例题解析例1 在正方体中,e1，f1分别在a1b1,c1d1上，且e1b1=a1b1，d1f1=d1c1，求be1与df1所成的角的大小.解1：(几何法)作平行线构造两条异面直线所成的角解2：（向量法）设，则且解3：（坐标法）设正方体棱长为4，以为正交基底，建立如图所示空间坐标系,，15例2. 在正方体中, f是bc的中点，点e1在d1c1上,且d1c1,试求直线e1f与平面d1ac所成角的大小解：设正方体棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示坐标系d-xyz为d1ac平面的法向量，所以直线e1f与平面d1ac所成角的正弦值为例3. 在正方体中，求二面角的大小.解：如图所示，取bd的中点o，连接a1o，c1o，则a1obd，c1obd，a1oc1为二面角a1bdc1的平面角设正方体的棱长为1，则a1c1=，a1o=c1o=，cosa1oc1=所求二面角的平面角与这个夹角相等或互补，根据图形可知，二面角的大小约为70.53.例4. 已知，分别是在正方体的棱和的中点，求：（1）与所成角的大小；（2）与平面所成角的大小；（3）二面角的大小.解：不妨设正方体的棱长为1，以为单位正交基底，建立如图所示的空间直角坐标系dxyz，则各点的坐标为a（1，0，0），b（1，1，0），c（0，1，0），a1（1，0，1），c1（0，1，1），e（，1，0），f（0，0）（1）因为，所以可知向量与的夹角为60因此a1d与ef所成角的大小为60（2）在正方体abcda1b1c1d1中，因为ab平面b1c1cb，所以是平面b1eb的法向量因为所以，由，所以可得向量之间的夹角约为：19.47（3）因为ac1平面b1d1c，所以是平面b1d1c的法向量，因为所以，所以可得两向量的夹角为35.26根据二面角夹角相等或互补可知，二面角约为：35.26.课堂检测1已知a(0，1,1)和b(1,2，1)分别是直线l1和l2的方向向量，则l1和l2所成的角等于_【解析】cosa，b，a，b，.【答案】2若直线l的方向向量为a(2,3,1)，平面的一个法向量为n(1,0,1)，则直线l与平面所成角的正弦值等于_【解析】cosa，n，直线l与平面所成角的正弦值sin |cosa，n|.【答案】3在正方体abcda1b1c1d1中，二面角a1bdc1所成平面角的余弦值为_【答案】4在正三棱柱abca1b1c1中，侧棱长为，底面三角形的边长为1，求bc1与侧面acc1a1所成的角.解取ac，a1c1的中点o，o1，由正三棱柱性质易知bo平面acc1a1，以o为坐标原点，直线oc，ob，oo1分别为x轴、y轴、z轴建立空间直角坐标系，则b(0，0)，c(，0,0)，c1(，0，)，则(，)，(0，0)为平面acc1a1的一个法向量，则sin cos，.5如图，在四棱锥pabcd中，底面为直角梯形，adbc，bad90，pa底面abcd，且paadab2bc，m、n分别为pc、pb的中点(1)求证：pbdm；(2)求cd与平面admn所成角的正弦值解如图，以a为坐标原点建立空间直角坐标系axyz，设bc1，则a(0,0,0)，p(0,0,2)，b(2,0,0)，c(2,1,0)，m(1，1)，d(0,2,0)(1)证明：(2,0，2)(1，1)0，pbdm.(2)(2,0，2)(0,2,0)0，pbad.又pbdm，pb平面admn.，的余角即是cd与平面admn所成的角cos，.cd与平面admn所成角的正弦值为.6如图，在三棱柱abca1b1c1中，aa1c1c是边长为4的正方形平面abc平面aa1c1c，ab3，bc5.(1)求证：aa1平面abc；(2)求二面角a1bc1b1的余弦值解(1)证明：因为aa1c1c为正方形，所以aa1ac.因为平面abc平面aa1c1c，且aa1垂直于这两个平面的交线ac，所以aa1平面abc.(2)由(1)知aa1ac，aa1ab.由题知ab3，bc5，ac4，所以abac.如图，以a为原点建立空间直角坐标系axyz，则b(0,3,0)，a1(0,0,4)，b1(0,3,4)，c1(4,0,4)设平面a1bc1的法向量为n(x，y，z)则即令z3，则x0，y4，所以n(0,4,3)同理可得，平面b1bc1的法向量为m(3,4,0)所以cosn，m.由题知二面角a1bc1b1为锐角，所以二面角a1bc1b1的余弦值为.课堂小结1向量法求异面直线所成的角，按公式cos |cosa，b|进行，应注意的范围是0，因此a，b或