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集合与函数综合复习目 录专题一 集合及其基本运算专题二 函数的概念与表示法专题三函数的定义域与解析式专题四 函数的值域和最值专题五 函数的单调性专题六 函数的奇偶性与周期性专题七 函数的图象与变换专题八 反函数与二次函数专题九 指数式、对数式专题十 指数函数与对数式专题十一 幂函数专题十二 函数与方程专题复习 集合与函数总复习 专题一 集合及其基本运算(培优版）【知识要点】1. 集合的概念：一定范围内某些确定的、不同的对象的全体构成一个集合。集合中的每一个对象称为该集合的元素，简称元。2. 集合的特性：(1)确定性；(2)无序性；(3)唯一性(元素不重复性)3. 集合的表示法：(1)列举法 (2)描述法(3)图示法4. 特殊集：自然数集记作；整数集记作；正整数集记作或；有理数集记作；实数集记作；空集(没有元素的集合)记作；5. 集合的基本运算并集:一般地，由所有属于集合A或属于集合B的元素所组成的集合，称为集合A与B的并集. 记作：交集; 一般地，由属于集合A且属于集合B的元素所组成的集合，叫做集合A与B的交集.记作：补集：如果给定的集合A是全集U中的一个子集，由全集U中的不属于A的其他的所有元素组成的集合，叫做A在U中的补集。新定义运算：在考试中会遇到一些关于集合的临时定义的新运算，如。【典例精析】题型一、集合的基本概念和表示方法例1. （1）.求使为整数的非负整数的值的集合. （2).用集合表示不等式组的解集。题型二、集合的基本性质例2. 设集合若,求的值.例3. 已知集合 (1)若是空集,求的取值范围;(2) 若是单元素集,求的取值;(3) 若至多有一个元素,求的取值范围.题型三、集合的基本运算例4. （1）已知，则 （2）已知，,则（ ） A. B. C. D. 例5. 设，且，求的值例6. 设集合， ， ，求实数的取值范围例7. 集合，（1）若，求的值；（2）若，求的值例8. 已知集合，设集合，且满足，求，的值。题型四、用韦恩图解题例9. 某班有学生35人，有15人报名参加了物理竞赛，18人报名参加了数学竞赛，在他们当中，同时参加这两科竞赛的有7人，那么，有多少同学既没有参有加物理竞赛， 又没有参有加数学竞赛?【优化训练】一、选择题1. 设集合，则集合（ ） A B C D 2. 若全集且，则集合A的真子集共有（ ）个。 A、3 B、5 C、7 D、83. 设集合，则（ ） A B C D 4. 已知集合，且，则的值为（ ）A1B1 C1或1 D1或1或05. 设集合，若，则k的取值范围（ ） （A） （B） （C） (D) 6. 如图，U是全集，M、P、S是U的3个子集，则阴影部分所表示的集合是 （ ） A、 B、 C、 D、 7. 定义集合运算：，设集合，则集合的所有元素之和为（ ） （A）0 （B）6 （C）12 （D）188. 设，若，则（ ）（A） （B） （C） (D)二、选择题9. 设集合，,则= .10. 已知集合，则集合 . 11. 设，若，则 。12. 已知集合那么集合= 。13. 设集合,且，则实数的取值范围是 14. 下列5个命题：，,其中正确的序号是 。15. 某班有学生55人,其中音乐爱好者34人,体育爱好者43人,还有4人既不爱好体育也不爱好音乐,则班级中即爱好体育又爱好音乐的有 人.16. 全集且，则 。三、解答题17. 已知全集，若，求实数的值18. 已知集合，全集为实数集R.(1) 求，；(2) 如果，求的取值范围。19. 设是两个非空实数集合,定义.,则的元素个数是多少?20. 已知集合,.若，求实数的取值范围.21. ()已知两正整数集合,满足,若， 中所有元素之和为124，求的值。专题二 函数的概念与表示法（培优版）【知识要点】1 函数的概念：已知A，B是两个非空集合，如果按照某种对应法则f，对于A中每一个元素，在B中都有唯一的元素与之对应，则这个对应f叫做集合A到集合B的一个函数.通常记为注：特征:集合A中元素的任意性;集合B中元素的唯一性.函数的三要素:定义域、值域、对应法则.符号的含义是：时函数的值.2 函数的表示法:1 列表法:用表格的形式表示两个变量之间的函数关系的方法;2 图象法:用图象把两个变量间的函数关系表示出来的方法;3 解析法:用解析式把两个变量间的函数关系表示出来的方法.3 分段函数:在定义域的不同部分有不同的对应法则的函数,称为分段函数.4 复合函数:如果y是u的函数,即u是x的函数,即那么y关于x的函数叫做和的复合函数,其中为中间变量.【典例精析】题型一、函数的概念(1).抓住函数是特殊的映射例1. 给出下列四个命题:.其中是函数的有( ) (A) (B) (C) (D)例2. 已知集合是从定义域A到值域B的一个函数,求【类型（1）规律方法总结】：抓住函数的两个特征:集合A中元素的任意性;集合B中元素的唯一性.(2).抓住函数的三要素（定义域、值域、对应法则）例3. 下列各题中的两个函数是否表示同一函数。 (1); (2) （3） （4） (5) （6）【类型（2）规律方法总结】：抓住函数三要素判断函数异同，其中定义域与解析式是函数两核心要素，这两个要素共同决定第三要素值域。因此要判断两函数是否为同一函数，只需判断其定义域与值域是否均相同即可。题型二、分段函数相关问题(1)求函数值问题例4. 已知，则的值是 。变式：，若，则 。(2)方程问题例5. 设若则关于的方程的解的个数是( ) (A)1 (B)2 (C) 3 (D)4(3)不等式问题例6. 已知则不等式的解集是 .【题型二规律方法总结】：由于分段函数在不同的区间上具有不同的函数表达式，故对分段函数的函数值、方程、不等式等问题在求解时均要分区间讨论。题型三、复合函数（1）转化法例7. 设函数，求的值.变式：，则 ， 。【类型（1）规律方法总结】：复合函数求值时，需要进行变量转化，逐步推进，由里至外，使变量的范围其在已知函数表达式所在区间上，然后进行求值计算。（2）找规律法例8. 设记（表示的个数）,则是( )（）（）（）（）【规律方法总结】：复合函数求值或求表达式时，遇到多层复合形式，我们的基本解题思路是：首先确定式子是存在规律性的；然后验证并得到规律；最后利用规律求值或求表达式。例9. 已知函数求下列式子的值。 【规律方法总结】：求多个函数值之和的时候，必须利用规律解题。观察各个式子的关系，猜想一个恒等关系式，然后证明这个恒等式成立，最后利用恒等式求值。题型四、实际问题例10. 等腰梯形的两底分别为，作直线交于交折线于，设试将梯形位于直线左侧的面积表示为的函数，并写出函数的定义域.【优化训练】1. 给出下列四个命题:函数是定义域值域的对应;是函数;若,则的值也等于5;函数的图象是一条直线.其中,正确的有( ) (A)1个 (B)2个 (C) 3个 (D)4个2. 下列函数与表示同一函数的是（ ） A. B. C. D.3. 下列的四种说法与是同一个函数;与不可能是同一个函数;与是同一个函数;定义域和值域都相等的函数是同一个函数.其中正确的个数是( ) (A)1 (B)2 (C)3 (D)44. 已知当时,下列四式中与相等的是( ) (A) (B) (C) (D) 5. 已知则( ) (A) (B) (C) (D) 6. 已知,则( ) (A) (B) (C) (D) 7. 函数 ，则不等式的解集是（ ） A. B. C. D.8. 已知,则 . . 已知则 . .9. 已知函数为常数,且满足有唯一解,求 的解析式和的值.10. 在边长为4的正方形的边上有一动点从点开始沿折线向移动,设点移动的距离为,的面积为.求(1)函数的解析式、定义域、值域;(2)作出函数的图象，并根据图象求的最大值；（3）求的值。专题三 函数的定义域与解析式（培优版）【知识要点】1. 函数定义域:函数的自变量的取值范围称为函数的定义域.2. 求函数定义域的基本思想：解不等式.常用的原则有（1）具体函数的几大原则： 实数存在原则:偶次方根的被开方式大于或等于零. 分母不为零原则:有理式函数的分母不等于零; 真数大于零原则：对数函数应有; 正切有意义原则：正切函数应满足 底数不为零原则：如在函数表达式中出现，则必有(无意义）（2）抽象函数的几大原则： 同时存在的原则:有限个初等函数四则运算合成的函数的定义域是各个初等函数定义域的交集;复合函数的定义域是“内层函数”的定义域与满足“外层函数”的定义域的集合的交集. 一致原则;若已知的定义域是,求的定义域的方法是解不等式；若已知的定义域是求的定义域的方法是求时的值域.注意：求抽象函数与具体函数定义域的基本原则相辅相成，有时候求定义域需要同时应用。 实际问题原则：对实际问题,除应考虑解析式本身的定义域以外,还应使实际问题有意义.3.函数解析式的求法.待定系数法(已知函数的类型)换元法(复合函数型)配凑法(复合函数型)构造方程组法(函数方程型)利用函数的性质求解析式（分段函数）【典例精析】题型一、求函数定义域（1）求具体函数定义域的五大原则例1. 求下列函数的定义域(1) (2)(3) (4)（2）抽象函数定义域两大原则例2. (1) 已知函数的定义域是,求的定义域. （2）已知函数的定义域是,求的定义域.（3）定义域为“R”的类型例3. 若函数的定义域为,求实数的取值范围.题型二、求函数解析式（1）待定系数法（已知函数类型情况下）例4. 已知函数是一次函数,且求.（2）换元法（复合函数型）例5. 已知函数则的解析式是( ) (A) (B) (C) (D) （3）配凑法（复合函数型）例6. 已知函数则= .（4）构造方程组法例7. 已知满足求.（5）利用函数性质法（分段函数）例8. 已知函数的定义域是,且对任意的都有成立,当时,求在上的表达式.题型三、综合问题例9. 对于任意实数，规定取三个值的最小值.（1）求与的函数关系,并画出函数图象;(2)为何值时,取最大值，并说出最大值是多少?例10. 从边长为2a的正方形铁片的四个角各截一个边长为x的正方形，然后折成一个无盖的长方体盒子，要求长方体的高度x与底面正方形边长的比不超过正常数t，试把铁盒的容积V表示为x的函数，并求其定义域.【优化训练】1. 函数的定义域为( )(A) (B)（）（）2. 已知,则的定义域为( )(A) (B) (C)且 (D)且 3. 函数的定义域为0,1,则函数的定义域是( )(A) (B) (C) (D)4. 已知函数的定义域为求 的定义域.5. 求下列函数的定义域: (1) (2) (3); (4)6. 已知函数的定义域是全体实数,求的取值范围.7. 若的定义域为且,求的定义域.8. 已知函数是二次函数，且，且，求的解析式。9. 已知函数，求的表达式。10. 已知对于任意的具有，求的解析式。11. 已知对于任意的x都有，。且当时，求当时函数解析式。12. 在高为h,底面半径为R的圆柱形容器内,以单位时间内体积为a的速度充水,试求出水面高y与所用时间t的函数关系式,并求其定义域.专题四 函数的值域与最值（培优版）【知识要点】1. 函数的值域：是指函数值的集合.其最大值或最小值称为最值.2. 求函数值域的常用方法有:分析观察法;配方法;判别式法;分离常数法;换元法;单调性法;数形结合法;反函数法(不等式法;导数法)等等.3. 对于不同形式的函数,求值域的方法不同,因题而异,但也常常一题多法.【典例精析】题型一、函数值域基本求法（1）观察分析法例1. 求的函数值域.变式：求函数的值域。（2）配方法例2. 求函数的值域。 变式：求函数的值域。(3)判别式法.例3. 求函数的值域.（4）分离常数法例4. 求函数的值域.(5)换元法例5. 求函数的值域.（6）单调性法例6. 求函数()的值域.（7)数形结合法例7. 求函数的值域。例8. 求函数的值域。 变式：求的值域。例9. ()求的值域。(8)不等式法例10. (1)求函数的值域 (2)求对勾函数的值域。题型二.综合运用例11. （选讲）已知函数的值域是，求的值。例12. ()（1）已知不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是？ （2）已知不等式对于任意的恒成立，则的取值范围是？【优化训练】1. 函数的值域是( )(A) (B) (C) -20,5 (D)4,52. 函数的值域是( )(A) (B) (C)R (D) 3. 函数的值域是( )(A) (B) ) (C) (D) 4. 若函数的定义域为,值域为,则的取值范围是( )(A)(0,4) (B) (C) (D)5. 函数的值域是 6. 若函数的值域是2,4,则的值域是 ;的值域是 .7. 求下列函数的值域:(1) (2) (3) (4) (5) （6）8. 求函数的值域.9. （）已知函数的最大值是3，则的值是？10. 设函数的定义域和值域都是,试求的值.专题五 函数单调性（培优版）【知识要点】1. 单调性定义:对于属于定义域内某个区域上的任意两个自变量,当时,都有,则称在这个区间上是增（减）函数,该区间称为单调增（减）区间。2. 特征:(1)定性表示:增(减)函数的函数值随自变量的增大而增大(减小);(2)图象特征:从左往右看增(减)函数的图象是上升(下降)的.3. 判定方法: (1)根据定义. (2)根据图象. (3)根据性质: 在关于原点对称的区间上,奇函数具有相同的单调性,偶函数具有相反的单调性;互为反函数的两个函数具有相同的单调性;两个增(减)函数的和仍为增(减)函数,一个增(减)函数和一个减(增)函数的差是增(减)函数如果函数在D上增(减)函数,那么在D的子区间上也是增(减)函数;如果和的单调性相同,那么是增函数; 如果和的单调性相反,那么是减函数.【典例精析】题型一、利用定义法证单调性例. 已知函数，证明在区间上单调递增。题型二、利用定义法求单调性例. 已知函数定义域为，求的单调性。题型三、利用图像法求单调性例. 判断函数的单调性,并求其单调区间.变式：求函数的单调性。题型四、利用性质求单调性例. 已知函数，求其在定义域内的单调性。例. 求函数的单调区间，并求函数在其定义域内的最值。题型五、单调性的应用(1)利用单调性求参数的取值范围例. 已知函数在区间上是增函数，试求的取值范围(2) 利用单调性求解不等式例. 设函数是定义在内的增函数，且，若，且，求的取值范围。(3) 利用单调性求函数最值例. 已知函数 （1）当时，求函数的最小值。 （2）若对于任意的有恒成立，试求实数的取值范围。 题型六、综合应用例. 函数对任意都有并且当时,（1）求证:上的增函数;（2）若,解不等式【优化训练】一、选择题1. 设都是函数的单调增区间，且 则的大小关系是（ ）（A） （B） （C） （D）不能确定2. 若一次函数在上是减函数,则点(k,b)在直角坐标平面的( )(A)上半平面 (B) 下半平面 (C) 左半平面 (D) 右半平面3. 已知在区间上是减函数,且则下列各式中正确的是( ) (A) (B) (C) (D) 4. 若与在区间上都是减函数，则的取值范围是（ ） （A） （B） （C） （D）二、填空题5. 若函数在区间上是单调减函数，则的取值范围是 .6. 函数的单调递增区间是 .7. 函数的值域是 .8. 函数是增函数的区间是 .三、解答题9. 证明:当时，在上是恒具有单调性.10. 已知函数在上单调递增，求实数的取值范围11. 已知函数,求函数的单调区间及最值.12. 求下列函数的单调区间（1） （2）13. 设是定义在上上的函数，并且对任意的，总成立。 （1）求证：，在单调递增 （2）如果，解不等式。14. 设函数问是否存在实数，使在区间上是减函数，在区间上是增函数？专题六 函数奇偶性（培优版）【知识要点】1. 函数奇偶性的定义:如果对函数定义域内任意的一个,都有恒成立,那么叫做偶(奇)函数。注:定义域关于原点对称(必要条件)；偶函数的图像关于轴对称, 奇函数的图象关于原点对称；2. 判定函数奇偶性的方法. 定义法：根据函数奇偶性的定义判断奇偶性。 利用定义的等价形式: 利用图象法：（关于轴对称偶函数；关于原点对称奇函数） 利用函数奇偶性的性质(1)已知函数是偶(奇)函数,若的奇偶性相同,则 是偶函数; 若的奇偶性相反,则是奇函数. （2) 已知函数是偶(奇)函数,若中有一个是偶函数,则是偶函数; 若都是奇函数,则才是奇函数.【典例精析】题型一、函数奇偶性判定（1）简单函数的奇偶性判定例1. 判定下列函数的奇偶性(1) (2)(3) (4)方法点拨：对于表达式相对简单的函数求奇偶性时，需先确定函数定义域是否关于原点对称，然后再求与间是否存在相反数或相等关系。（2）复杂函数奇偶性判定例2. 判断下列函数的奇偶性(1) (2)方法点拨：对于表达式相对复杂的函数求奇偶性时，需先对函数表达式进行化简，然后再求奇偶性。（3）分段函数奇偶性判断例3. 判断下列分段函数的奇偶性方法点拨：对于分段函数的奇偶性在求解时需要分段讨论。（4）抽象函数奇偶性判定例4. 对于任意的实数均有，且当时， （1）求证是奇函数。（2）求证是上的增函数。 （3）已知，解不等式。方法点拨：对于抽象函数的奇偶性求解时必须通过赋值法巧妙地构造出，然后再求与间是否存在相反数或相等关系。（5）奇偶函数项判定法例5. 已知函数的图像关于y轴对称，且值域是，则 。若是偶函数，则必有 。例6. 已知对于任意的均成立， 则 。 。 。题型二、函数性质的综合应用（1）奇偶性与周期性例7. 设是定义域为上的奇函数,对于任意的,都有当时,求，的值.例8. 设是定义域为上的偶函数,且满足条件,若函数在区间上的解析式为求当时的解析式.（2）奇偶性与单调性例9. 已知函数是定义在上的奇函数,且在上是增函数,若不等式求的取值范围.例10. 对于任意的实数均有，且当时，成立。 （1）求证是偶函数。 （2）求证在上单调递增。 （3）若，则使得成立的的取值范围。【优化训练】1. 下列函数中,是奇函数的是( ) (A) (B) （C） （D）2. 已知且那么等于（ ） （A）-26 （B）-18 （C）-10 （D）103. 已知定义在上的函数满足则是( ) (A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数,又是偶函数 (D) 既不是奇函数,又不是偶函数4. 是偶函数，是奇函数，它们有相同的定义域，且，则的值域是（ ） （A） （B） （C） （D）5. 已知函数是定义在上的偶函数，且它在区间上是减函数，那么，下列是子、式子正确的是（ ） （A） （B） （C） （D）6. 是偶函数，且不恒等于零，则（ ） (A)奇函数 (B)偶函数 (C)既是奇函数,又是偶函数 (D) 既不是奇函数,又不是偶函数7. 已知是定义在R上的奇函数,当时，则时， .8. 已知是定义在R上的奇函数,给出下列命题: （1） （2）若在上为增函数,则在上为减函数 （3）在上有最小值-1,则在上有最大值1; （4）若时,则时,.其中正确命题的序号是 .9. ，则是 函数，是 函数，是 函数。（填“奇”“偶”“非奇非偶”）10. 已知函数是定义在上的偶函数，且,若当时,则 .11. 设是定义在R上的奇函数,且当时,求时, 的解析式，求在上的单调性。12. 讨论下列函数的奇偶性. (1); (2); (3); (4).13. 已知函数的定义域为,且满足试判断的奇偶性.14. 已知是定义在上的偶函数，且在区间上是单调递增的，求不等式的解集。专题七 函数的图象与变换（培优版）【知识要点】1. 函数的图象是函数关系的一种表示,它从“形”的方面刻画函数的变换规律,通过函数的图象,可以形象地反映函数的性质,利用函数的图象记忆各类初等函数的性质,利用数形结合去解决问题.要培养识图和用图能力.掌握基本初等函数的图象,在化简、变形的基础上,借助于图象的变换画出函数的图象,直观地描述函数的性质以便利用数形结合的方法解决问题2. 函数图象的作法程序: 确定函数的性质;化简函数的解析式;讨论函数的性质;作出函数的图象.作法:(1)描点法. (2)变换法:3. 变换法主要有以下几种形式 平移变换 (a) 水平平移:向左平移得的图象; (b) 竖直平移:向上平移得的图象. 对称变换 (a) 的图象关于轴对称得的图象; (b) 的图象关于轴对称得的图象; (c) 的图象关于原点对称得的图象; (d) 的图象关于直线对称得的图象; (e) 的图象关于直线对称得的图象; 翻折变换 (a) 去掉的图象轴左边的部分,保留轴右边的部分,并作其关于轴对称的图象锝的图象; (b) 保留的图象轴上方部分,将轴下方翻折上去锝的图象; 伸缩变换 (a)纵向伸缩:将的图象的纵坐标变为原来的倍,保持横坐标不变,得到的图象; (b)横向伸缩:将的图象的横坐标变为原来的,保持纵坐标不变,得到的图象【典例精析】题型一、函数图象的作法例1. 作下列函数的图象. （1） （2）题型二、平移变换作图例2. 通过平移变换做下列函数的图像 （1） （2）题型三、对称变换作图例3. 已知函数作下列函数图象。 （1） （2） （3） （4）题型四、翻折变换作图例4. 通过翻折变换作下列函数的图象 (1) （2） 例5. 已知函数作函数和的图象题型四、伸缩变换作图例6. 已知正弦函数的图象如下图所示，根据该图象分别作函数及其的图象。 题型五、图形变换的应用例7. 通过作图说明方程的根的个数例8. 已知函数.(1)求函数的单调区间,并指出增减性;(2)求方程的根的情况。【优化训练】1. 作下列函数图象 (1) (2) （3） （4）2. 作下列函数的图象 （1） （2） (3) （4） 3. 已知试作出下列函数的图象 （1） （2） （3） （4） （5） （6） 4. 通过画图求方程的根的情况。5. 已知 （1）求的单调性。 （2）方程有四个根，则的取值范围。 （3）方程的根的情况。专题八 反函数与二次函数（培优版）【知识要点】1. 反函数的概念:设函数中,值域为C.根据函数中x,y的关系用y 表示x,得到如果对于y在C中的任何一个值,通过,x在A中都有唯一的值和它对应,那么就表示y是自变量,x是自变量的函数.这样的函数叫做函数的反函数,记作.习惯上,写成.2. 求反函数的步骤(1)反解:由原函数解出;(2)交换:将字母互换得;(3)求定义域:由原函数的值域指出反函数的定义域.3. 互为反函数的两个函数的关系反函数的定义域与值域分别是原函数的值域与定义域；互为反函数的两个函数的图象关于直线对称；互为反函数的两个函数在相应的就区间内单调性相同。4. 关于二次函数.(1)掌握二次函数的对称性、增减性、最值公式及图象与性质的关系;理解并掌握二次函数、二次方程、二次不等式的内在联系;能利用“判别式”、“韦达定理”并利用“数形结合”讨论二次方程根的情况. (2)熟练掌握二次函数在区间上的最大值和最小值的求法:若,则当是最小(大)值,与中最大(小)者为最大(小)值;若,则与中最大(小)者为最大(小)值.【典例精析】题型一、关于反函数存在性的判定、性质、图象、和解析式的求法（1）反函数存在条件例1. 给出下列几个函数,;其中不存在反函数的函数的是 .(填序号)（2）反函数图象与性质例2. 已知函数则的值是 .（3）反函数基本求解步骤例3. 求函数的反函数.题型二、二次函数最值、二次方程根的分布、含参二次不等式恒成立问题(1)二次函数最值问题例4. （1）.求二次函数在区间上的最大值,并求此时的值. 变式：求二次函数在区间上的最小值,并求此时的值. （2）.已知函数（）的最小值是,求的表达式.（2）二次方程根的分布例5. (1).已知,求使在上有实根的实数的取值范围 (2).已知方程（为实数）有两个实根且,求的取值范围. 变式：如将上题中方程两根的分布改为求的取值范围？(3)含参二次不等式恒成立问题例6. 已知函数 (1)当时,求函数的最小值; (2)若对任意,恒成立,试求实数的取值范围.例7. 已知函数，若对于任意的有恒成立，试求实数的取值范围。【优化训练】一、填空题1. 已知函数，与互为反函数，则，则 。2. 已知点既在函数图象上，又在其反函数图象上，则 ， 。3. 已知二次函数满足，的最大值是8，则二次函数表达式是 。4. 已知函数在区间上的最大值是2，则 。5. 若函数在区间上是增函数，则的取值范围是 。6. 函数在区间上的最大值和最小值之和 。二、解答题7. 求在区间的最大值8. 求在区间上的最值。 9. 已知实系数方程的两个实根分别为.（1）若，则的范围是？（2）若，则的范围是？10. 已知关于的二次函数。 （1）求证：对于任意的，方程必有实数根。 （2）若，求证：方程在区间及上各有一个实数根。11. 已知函数。 （1）若函数的最小值是，且，求的值。 （2）若，且在区间上恒成立，试求的取值范围。（写出思路即可）专题九 指数式、对数式（培优版）【知识要点】1. 有理指数幂：（1）整数指数幂正整数指数幂：；零指数幂：1；负整数幂：（2）分数指数幂n次方根:若那么叫的次方根,其中, 当是奇数时,正数的次方根是一个正数,负数的次方根是一个负数, 零的次方根是一个零.此时, 的次方根表示为. 当是偶数时,正数的次方根有两个,这两个数互为相反数,表示为，负数的次方根不存在, 零的次方根是零.正分数指数幂：负分数指数幂：2. 有理指数幂的运算法则.(1) (2) (3) 3. 对数的定义及性质:(1)对数定义:设且,对于任意若能找到实数,使得则称为以为底的的对数,记作,其中, 称为为底数, 称为真数。(2) 对数性质:1的对数恒为零,即;底的对数恒为1,即;负数与零无对数;对数恒等式:;(3)对数的运算法则.如果，那么 (4)换底公式、自然对数与常用对数:设都是不为1的正数,且则推论:(以()为底的对数为自然对数,记为,简记为;以10为底的对数为常用对数,记为,简记为.【典例精析】题型一、指数式基本运算例1. 化简与求值(1) (2)(3) (4)例2. 已知求下列各式的值(1) (2) （3） (4) 例3. 已知求的值题型二、对数式基本运算例4. 计算下列式子的值 题型三、指对数互化例5. 已知均不等于1,且求的值.例6. （1）.已知求的值; （2）.已知求的值; （3）.已知求的值.例7. 已知试用表示.题型四、指对数证明与大小比较例8. 在RtABC中,两直角边长分别为a、b,斜边长为c,求证: 例9. 已知且 (1)求证: (2)比较的大小.【优化训练】1. 对于任意实数,下列等式正确的是( ) (A) (B) (C) (D)2. 设计算的结果是( ) (A) (B) (C) (D)3. 以下六个等式(其中 ; ; .其中正确命题的个数是( )(A)1个 (B)2个 (C)3个 (D)4个4. 下列各式中,不正确的是( ) (A) (B) (C) (D)5. 化简的结果等于( ) (A) (B) (C) (D) 6. 已知函数,则的值为( )(A) (B) (C) (D)7. 若,则( )(A)9 (B) (C)25 (D)8. 化简的结果是 .9. 已知则= ;= ; .10. 若求的值.11. 化简12. 若求的值.13. 已知试用表示14. 已知求证:专题十 指数函数、对数函数（培优版）【知识要点】一.指数函数1. 概念:函数叫做指数函数2. 性质:(1)定义域:; (2)值域;(3)单调性:时为增函数; 时为减函数;(4)其图象恒过点(0,1).二.对数函数1. 概念:函数叫做对数函数2. 性质:(1) 定义域: (2)值域;(3)单调性:时为增函数; 时为减函数;(4)其图象恒过点(1,0).【典例精析】题型一、对数函数定义域例1. 求下列函数的定义域(1)求下列函数的定义域.(2)已知 求的定义域.（3)已知函数的定义域为,求的定义域.题型二、指对数函数性质例2. 求下列函数的单调性及值域(1)求函数的单调区间及值域;(2)求函数的单调区间及值域;(3)求函数的单调区间及值域.题型三、指对数函数图像例3. 利用指对数函数图像求解下列问题(1)对于任意实数任意正实数且函数的图象恒过定点,求点的坐标。(2)求关于的方程的实数解的个数;(3)已知是方程的解, 是方程的解,求的值。题型四、指对数值的大小比较例4. 比较下列各个数的大小（1）若则（ ）（A） （B） （C） （D）（2）若则（ ）（A） （B） （C） （D）（3）已知，则（ ）（A） （B） （C） （D）题型五、指对数方程与不等式例5. 解下列指对数方程(1) (2)例6. 解下列指对数不等式(1) (4)题型六、指对数函数综合问题例7. （1）若函数在区间内恒有求的单调区间；（2）设函数若的定义域为R，且在上单调递增，求实数a的取值范围；若的值域为R，求实数a的取值范围.(3)设函数.若的定义域为R, 值域为0,2,求实数的值.【优化训练】1. 下列各命题中,结论正确的是( )(A) 对于任意 都有 (B) 是增函数(C)对于一定有 (D)是偶函数2. 已知,在下列不等式中,成立的一个是( )(A) (B) (C) (D) 3. 函数的定义域、值域分别是（ ） (A)R，R (B) R， (C) R， (D)4. 已知在上是减函数，则的取值范围是（ ）(A)（0，1） (B)（1，2） (C) （0，2） (D)2，5. 若，则函数是（ ）(A) 奇函数、减函数 (B) 奇函数、增函数 (C) 非奇非偶函数、增函数 (D) 非奇非偶函数、减函数6. 若直线与函数的图象有两个公共点,则的取值范围是 .7. 已知则的取值范围是 .8