2020版九年级数学下册 第三章 圆 3.3 垂径定理课件 （新版）北师大版.ppt

3垂径定理 知识再现 1 圆是轴对称图形 对称轴是 2 轴对称的性质 轴对称图形中对应点的连线 过圆心的任意一条直线 被对称轴垂直平分 新知预习 问题一 动手操作 在白纸上画一个圆 沿着圆的任意一条直径所在的直线对折几次 你发现了什么 结论 圆是 图形 它的对称轴有 条 任何一条 所在的直线都是它的对称轴 轴对称 无数 直径 问题二 再动手操作 利用自己手中的圆 任意画出 o的一条弦ab 作直径cd 使cd ab 垂足为m 请沿着cd折叠 o 仔细观察 你能发现图中有哪些相等的线段和弧 相等的线段 半径相等除外 相等的弧 半圆除外 结论 垂径定理 1 文字描述 垂直于弦的直径 弦 并且 弦所对的弧 am bm 平分 平分 2 几何语言 cd是 o的直径 cd ab am 问题四 1 若任意画出 o的一条弦ab 取ab的中点m 作过m的直径cd 沿着cd折叠 o cd与ab的位置关系是 问题三中相等的弧还成立吗 bm 垂直 成立 2 当ab是 o的直径时 你发现的结论一定成立吗 结论 垂径定理的推论 平分弦 不是直径 的直径 于弦 并且 弦所对的弧 不一定 垂直 平分 基础小练 请自我检测一下预习的效果吧 1 下列说法正确的是 a 平分弦的直径垂直于弦b 垂直于弦的直线必过圆心c 垂直于弦的直径平分弦d 平分弦的直径平分弦所对的弧 c 2 如图 在圆o中 直径mn ab 垂足为c 则下列结论中错误的是 a ac bcb c d oc cn d 3 如图 ab为 o的弦 半径oc ab于点d 且ab 6 od 4 则dc的长为 a 1b 2c 2 5d 5 a 4 o的半径是4 ab是 o的弦 aob 120 则ab的长是 知识点一垂径定理的应用 p74 定理 拓展 典例1 2019 杨浦区三模 如图 已知ab是圆o的直径 弦cd ab 垂足h在半径ob上 ah 5 cd 4 点e在上 射线ae与cd的延长线交于点f 1 求圆o的半径 2 如果ae 6 求ef的长 规范解答 1 连接od 直径ab 弦cd cd 4 dh ch cd 2 垂径定理在rt odh中 ah 5 设圆o的半径为r od2 ah oa 2 dh2 即r2 5 r 2 20 解得 r 4 5 勾股定理则圆的半径为4 5 2 过o作og ae于g ag ae 6 3 a a ago ahf ago ahf 两角相等的两三角形相似 相似的性质 af ef af ae 6 计算 学霸提醒 垂径定理常作的两条辅助线及解题思想1 两条辅助线 一是过圆心作弦的垂线 二是连接圆心和弦的一端 即半径 这样把半径 圆心到弦的距离 弦的一半构建在一个直角三角形中 运用勾股定理求解 2 方程的思想 在直接运用垂径定理求线段的长度时 常常将未知的一条线段设为x 利用勾股定理构造关于x的方程解决问题 这是一种用代数方法解决几何问题的解题思路 题组训练 1 如图 ab是 o的直径 弦cd ab于点e oc 5cm cd 8cm 则ae 世纪金榜导学号a 8cmb 5cmc 3cmd 2cm a 2 如图 ab是 o的直径 弦cd交ab于点p ap 2 bp 6 apc 30 则cd的长为 世纪金榜导学号a b 2c 2d 8 c 3 如图 已知 o的半径为5 弦ab cd所对的圆心角分别是 aob cod 若 aob与 cod互补 弦cd 6 则弦ab的长为 a 6b 8c 5d 5 b 4 2019 德州中考 如图 cd为 o的直径 弦ab cd 垂足为e ce 1 ab 6 则弦af的长度为 世纪金榜导学号 5 如图 在 oab中 oa ob o交ab于点c d 求证 ac bd 证明 过点o作oe ab于点e 在 o中 oe cd ce de oa ob oe ab ae be ae ce be de ac bd 知识点二垂径定理在实际问题中的应用 p75 例 补充 典例2 2019 朝阳区期末 一些不便于直接测量的圆形孔道的直径可以用如下方法测量 如图 把一个直径为10mm的小钢球紧贴在孔道边缘 测得钢球顶端离孔道外端的距离为8mm 求这个孔道的直径ab 尝试解答 连接oa 过点o作od ab于点d 则ab 2ad 垂径定理 钢球的直径是10mm 钢球的半径是5mm 钢球顶端离零件表面的距离为8mm od 3mm 在rt aod中 ad 4 mm 勾股定理 ab 2ad 2 4 8 mm 学霸提醒 垂径定理基本图形的四变量 两关系1 四变量 如图 弦长a 圆心到弦的距离d 半径r 弧的中点到弦的距离 弓形高 h 这四个变量知任意两个可求其他两个 2 两关系 1 d2 r2 2 h d r 题组训练 1 2019 婺城区期末 一条排水管的截面如图所示 已知排水管的截面圆的半径ob 10dm 水面宽ab是16dm 则截面水深cd是 a 3dmb 4dmc 5dmd 6dm b 2 2019 长兴县期末 乌镇是著名的水乡 如图 圆拱桥的拱顶到水面的距离cd为8m 水面宽ab为8m 则桥拱半径oc为 b a 4mb 5mc 6md 8m 3 2019 衢州中考 一块圆形宣传标志牌如图所示 点a b c在 o上 cd垂直平分ab于点d 现测得ab 8dm dc 2dm 则圆形标志牌的半径为 b a 6dmb 5dmc 4dmd 3dm 4 2019 宁都县期末 如图是一个圆环形黄花梨木摆件的残片 为求其外圆半径 小林在外圆上任取一点a 然后过点a作ab与残片的内圆相切于点d 作cd ab交外圆于点c 测得cd 15cm ab 60cm 则这个摆件的外圆半径是 cm 世纪金榜导学号 37 5 5 如图 隧道的截面由半圆和长方形构成 长方形的长bc为8m 宽ab为1m 该隧道内设双向行驶的车道 共有2条车道 若现有一辆货运卡车高4m 宽2 3m 则这辆货运卡车能否通过该隧道 说明理由 世纪金榜导学号 解 这辆货运卡车可以通过该隧道 理由如下 根据题意可知 如图 在ad上取g 使og 2 3m 过g作eg bc于f 反向延长交半圆于点e 则gf ab 1m 圆的半径oe ad 8 4 m 在rt oeg中 由勾股定理 得eg 所以点e到bc的距离为ef 1 3 1 4 故货运卡车可以通过该隧道 火眼金睛 有一个半径为5m的排水管 水面宽度为8m 求此时水的深度 正解 情形1 当ab在圆心o下方时 连接oa 过点o作oe ab 交ab于点m 半径为5m ab 8m oa oe 5m am 4m om 3m me oe om 5 3 2 m 情形2 当ab在圆心o上方时 同法可得em 5 3 8 m 综上所述 水的深度为2m或8m 一题多变 如图 已知ab是 o的直径 cd是 o的弦 ab cd 垂足为点e be cd 16 试求 o的半径 解 连接od 设ob od r 则oe 16 r 直径ab cd cd 16 oed 90 de cd 8 由勾股定理得 od2 oe2 de2则r2 16 r 2 82解得 r 10 o的半径为10 母题变式 变式一 变换条件 如图 ab是 o的直径 弦cd ab于p cd 10cm ap pb 1 5 求