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全国通用2020版高考数学二轮复习第二层提升篇专题六函数与导数第4讲函数与导数的综合问题讲义202001080636.docx
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第1讲函数的图象与性质全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019指数幂及对数值的大小比较t3利用奇函数的性质求函数解析式t6函数的奇偶性及单调性t12函数图象的识别t52018分段函数及函数的单调性、解不等式t12函数图象的识辨t3函数图象的识辨t9抽象函数的奇偶性及周期性t12函数的奇偶性及对数式运算t162017函数图象的识辨t8复合函数的定义域及单调性t8函数图象的识辨t7复合函数的单调性、对称性t9函数的奇偶性、函数值的求解t14分段函数、解不等式t16(1)高考对此部分内容的命题多集中于函数的概念、函数的性质及分段函数等方面，多以选择、填空题形式考查，一般出现在第510或第1315题的位置上，难度一般.主要考查函数的定义域、分段函数、函数图象的判断及函数的奇偶性、周期性等.(2)此部分内容有时也出现在选择、填空中的压轴题的位置，多与导数、不等式、创新性问题结合命题，难度较大.函数的概念及其表示例1(1)已知f(x)(0a1)，且f(2)5，f(1)3，则f(f(3)()a.2b.2c.3d.3(2)已知函数f(x)的值域为r，则实数a的取值范围是_.解析(1)由题意得，f(2)a2b5，f(1)a1b3，联立，结合0a1，得a，b1，所以f(x)则f(3)19，f(f(3)f(9)log392，故选b.(2)当x1时，f(x)2x11，函数f(x)的值域为r，当x1时，y(12a)x3a必须取遍(，1内的所有实数，则解得0a.答案(1)b(2)解题方略1.函数定义域的求法求函数的定义域，其实质就是以函数解析式所含运算有意义为准则，列出不等式或不等式组，然后求出它们的解集即可.2.分段函数问题的5种常见类型及解题策略求函数值弄清自变量所在区间，然后代入对应的解析式，求“层层套”的函数值，要从最内层逐层往外计算求函数最值分别求出每个区间上的最值，然后比较大小解不等式根据分段函数中自变量取值范围的界定，代入相应的解析式求解，但要注意取值范围的大前提求参数“分段处理”，采用代入法列出各区间上的方程利用函数性质求值依据条件找到函数满足的性质，利用该性质求解跟踪训练1.已知函数f(x)的定义域为0，2，则函数g(x)f的定义域为()a.0，3b.0，2c.1，2 d.1，3解析：选a由题意，函数f(x)的定义域为0，2，即x0，2，因为函数g(x)f，所以得0x3，即函数g(x)的定义域为0，3，故选a.2.函数f(x)2(2x2)的值域为()a.(2.4) b.2，4)c.2，4 d.(2，4解析：选b法一：因为f(x)2(2x2)，所以f(x)函数f(x)的图象如图所示，由图象得，函数f(x)的值域为2，4).法二：因为f(x)2(2x2)，当2x0时，f(x)2x，所以2f(x)4；当0x2时，f(x)2.综上，函数f(x)的值域为2，4).3.已知具有性质：ff(x)的函数，我们称为满足“倒负”变换的函数，下列函数：f(x)x；f(x)x；f(x)其中满足“倒负”变换的函数是()a.b.c.d.解析：选b对于，f(x)x，fxf(x)，满足；对于，fxf(x)，不满足；对于，f即f故ff(x)，满足.综上可知，满足“倒负”变换的函数是.函数的图象及应用题型一函数图象的识别例2(1)(2019开封市定位考试)函数f(x)的大致图象如图所示，则函数f(x)的解析式可以是()a.f(x)x2sin|x|b.f(x)cos 2xc.f(x)cosd.f(x)(2)(2019福建五校第二次联考)函数f(x)x2ln(ex)ln(ex)的图象大致为()解析(1)由题中图象可知，在原点处没有图象，故函数的定义域为，故排除选项a、c；又函数图象与x轴只有两个交点，f(x)cos2x中cos2x0有无数个根，故排除选项b，正确选项是d.(2)因为f(x)(x)2ln(ex)ln(ex)x2ln(ex)ln(ex)f(x)，所以函数f(x)是偶函数，据此可排除选项c.当xe时，f(x)，据此可排除选项b、d.故选a.答案(1)d(2)a解题方略寻找函数图象与解析式之间的对应关系的方法知式选图从函数的定义域，判断图象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置从函数的单调性，判断图象的变化趋势从函数的奇偶性，判断图象的对称性从函数的周期性，判断图象的循环往复知图选式从图象的左右、上下分布，观察函数的定义域、值域从图象的变化趋势，观察函数的单调性从图象的对称性方面，观察函数的奇偶性从图象的循环往复，观察函数的周期性题型二函数图象的应用例3(1)函数f(x)是r上的单调递减函数，则实数a的取值范围是()a.a0b.ac.1ad.a1(2)(2018全国卷)设函数f(x)则满足f(x1)f(2x)的x的取值范围是()a.(，1 b.(0，)c.(1，0) d.(，0)解析(1)因为f(x)是r上的单调递减函数，所以其图象如图所示，则解得a1，故选d.(2)f(x)函数f(x)的图象如图所示.结合图象知，要使f(x1)f(2x)，则需或x0，则实数a的取值范围是()a.(1，) b.(，1)c.d.解析：选bf(x)的定义域为r，f(x)f(x)，f(x)为奇函数，又f(x)3x22cosx0，f(x)在(，)上单调递增，由f(a)f(12a)0，得f(a)f(2a1)，a2a1，解得a1，故选b.3.函数f(x)是定义在r上的奇函数，对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，记af(2)，bf(1)，cf(3)，则a，b，c之间的大小关系为()a.abcb.bacc.cbad.acb解析：选b因为对任意两个正数x1，x2(x1x1f(x2)，所以，得函数g(x)在(0，)上是减函数，又cf(3)f(3)，所以g(1)g(2)g(3)，即bac，故选b.数学抽象抽象函数与函数的三大性质典例定义在r上的奇函数f(x)满足ff(x)，当x时，f(x)log(1x)，则f(x)在区间上是()a.减函数且f(x)0b.减函数且f(x)0d.增函数且f(x)0，又函数f(x)为奇函数，所以在区间上函数f(x)也单调递增，且f(x)0.由ff(x)知，函数f(x)的周期为，所以在区间上，函数f(x)单调递增且f(x)0，所以该函数在其定义域内单调递增，满足题目中的条件，故选d.4.(2019江西九江两校3月联考)已知函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，且满足f(x)f(1x)，则函数f(x)在1，3上的值域为()a.0，12 b.c.d.解析：选b因为函数f(x)x2axb的图象过坐标原点，所以f(0)0，则b0.由f(x)f(1x)，可知函数的图象的对称轴为直线x，即，所以a1，则f(x)x2x，所以当x时，f(x)取得最小值，且最小值为.又f(1)0，f(3)12，所以f(x)在1，3上的值域为.故选b.5.函数f(x)的图象大致为()解析：选c函数f(x)是非奇非偶函数，排除a、b；函数f(x)的零点是xe1，当xe时，f(e)，排除选项d.6.已知定义在r上的奇函数f(x)满足f(x4)f(x)，且在区间0，2上是增函数，则()a.f(25)f(11)f(80)b.f(80)f(11)f(25)c.f(11)f(80)f(25)d.f(25)f(80)f(11)解析：选d因为f(x)满足f(x4)f(x)，所以f(x8)f(x)，所以函数f(x)是以8为周期的周期函数，则f(25)f(1)，f(80)f(0)，f(11)f(3).由f(x)是定义在r上的奇函数，且满足f(x4)f(x)，得f(11)f(3)f(1)f(1).因为f(x)在区间0，2上是增函数，f(x)在r上是奇函数，所以f(x)在区间2，2上是增函数，所以f(1)f(0)f(1)，即f(25)f(80)f(11).7.设f(x)是定义在r上的周期为3的周期函数，如图表示该函数在区间上的图象，则f(2019)f(2020)()a.2b.1c.1d.0解析：选b因为函数f(x)是定义在r上的周期为3的周期函数，所以f(2019)f(20196733)f(0)，f(2020)f(20206733)f(1)，由题中图象知f(0)0，f(1)1，所以f(2019)f(2020)f(0)f(1)011，故选b.8.(2019湖北武汉3月联考)设函数f(x)g(x)x2f(x1)，则函数g(x)的单调递减区间是()a.(，0 b.0，1)c.1，) d.1，0解析：选b由题意知g(x)x2f(x1)画出函数g(x)的图象(图略)，由图可得函数g(x)的单调递减区间为0，1).故选b.9.(2019湖北省部分重点中学4月联考)已知函数f(x)g(x)f(x)，则函数g(x)的图象大致是()解析：选d先画出函数f(x)的图象，如图(1)所示，再根据函数f(x)与f(x)的图象关于坐标原点对称，即可画出函数f(x)的图象，即g(x)的图象，如图(2)所示，故选d.10.(2019湖北武汉部分重点中学3月联考)已知偶函数f(x)在0，)上单调递减，f(1)1，若f(2x1)1，则x的取值范围为()a.(，1 b.1，)c.0，1 d.(，01，)解析：选c由题意，得f(x)在(，0上单调递增，且f(1)1，所以f(2x1)f(1)，则|2x1|1，解得0x1.故选c.11.已知函数f(x)对于任意的x1x2，都有(x1x2)f(x2)f(x1)0成立，则实数a的取值范围是()a.(，3 b.(，3)c.(3，) d.1，3)解析：选d由(x1x2)f(x2)f(x1)0，得函数f(x)为r上的单调递减函数，则解得1a3.故选d.12.已知f(x)2x1，g(x)1x2，规定：当|f(x)|g(x)时，h(x)|f(x)|；当|f(x)|g(x)时，h(x)g(x)，则h(x)()a.有最小值1，最大值1b.有最大值1，无最小值c.有最小值1，无最大值d.有最大值1，无最小值解析：选c作出函数g(x)1x2和函数|f(x)|2x1|的图象如图所示，得到函数h(x)的图象如图所示，由图象得函数h(x)有最小值1，无最大值.二、填空题13.(2019山东济宁期末改编)已知函数f(x)若f(e)3f(0)，则b_，函数f(x)的值域为_.解析：由f(e)3f(0)得1b3(1)，即b2，即函数f(x)当x1时，ylnx22；当x1时，yex2(2，e2.故函数f(x)的值域为(2，e2(2，).答案：2(2，e2(2，)14.(2019全国卷)已知f(x)是奇函数，且当x0，则x0.当x0，且a1)，则当1f(1)1时，a的取值范围为_.解析：因为f(x)是定义在r上的偶函数，所以f(1)f(1)loga2.因为1f(1)1，所以1loga21，所以logaloga21时，原不等式等价于解得a2；当0a1时，原不等式等价于解得0a3成立，则实数m的取值范围是()a.(1，)b.(，1)c.d.解析：选d由0，得2x3成立等价于不等式ff(1)成立，所以解得m1.故选d.5.在平面直角坐标系中，横坐标、纵坐标均为整数的点称为整点，若函数f(x)的图象恰好经过n(nn*)个整点，则称函数f(x)为n阶整点函数，给出下列函数：f(x)sin2x；g(x)x3；h(x)；(x)lnx.其中是一阶整点函数的是()a.b.c.d.解析：选c对于函数f(x)sin2x，它的图象(图略)只经过一个整点(0，0)，所以它是一阶整点函数，排除d；对于函数g(x)x3，它的图象(图略)经过整点(0，0)，(1，1)，所以它不是一阶整点函数，排除a；对于函数h(x)，它的图象(图略)经过整点(0，1)，(1，3)，所以它不是一阶整点函数，排除b.6.已知函数f(x)的图象关于点(3，2)对称，则函数h(x)f(x1)3的图象的对称中心为_.解析：函数h(x)f(x1)3的图象是由函数f(x)的图象向左平移1个单位，再向下平移3个单位得到的，又f(x)的图象关于点(3，2)对称，所以函数h(x)的图象的对称中心为(4，1).答案：(4，1)7.设函数f(x)则满足f(x)f(x1)2的x的取值范围是_.解析：当x0时，f(x)f(x)x(x1)x(x1)，若x0，则x11，由f(x)f(x1)2得x(x1)(x1)x2，即2x21，此时恒成立，此时x0.若x1，则x10，由f(x)f(x1)2得x(x1)(x1)(x2)2，即x22x0，即0x2，此时1x2.若0x1，则x10，则由f(x)f(x1)2得x(x1)(x1)x2，即02，此时不等式恒成立，此时0x1，综上x2，即不等式的解集为(，2).答案：(，2)8.若函数yf(x)满足：对于yf(x)图象上任意一点p(x1，f(x1)，总存在点p(x2，f(x2)也在yf(x)图象上，使得x1x2f(x1)f(x2)0成立，称函数yf(x)是“特殊对点函数”.给出下列五个函数：yx1；yex2；ylnx；y(其中e为自然对数底数).其中是“特殊对点函数”的序号是_.(写出所有正确的序号)解析：由p(x1，f(x1)，p(x2，f(x2)满足x1x2f(x1)f(x2)0，知0，即.yx1.当p(1，1)时，由图象知满足的点p(x2，f(x2)不在yx1上，故yx1不是“特殊对点函数”；yex2.作出函数yex2的图象，由图象知，满足的点p(x2，f(x2)都在yf(x)图象上，则是“特殊对点函数”；ylnx.当p(1，0)时，满足的点不在ylnx上，故ylnx不是“特殊对点函数”；y.作出函数y的图象，由图象知，满足的点p(x2，f(x2)都在yf(x)图象上，则是“特殊对点函数”.答案：19第2讲基本初等函数、函数与方程全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019指数式与对数式的大小比较t3函数的零点与三角恒等变换t52018由对数值求参数问题t13对数函数图象对称问题t72017对数函数的单调性与对称性t9(1)基本初等函数作为高考的命题热点，多考查指数式与对数式的运算，利用函数的性质比较大小，一般出现在第711题的位置，有时难度较大.(2)函数的应用问题多体现在函数零点与方程根的综合问题上，题目可能较难，应引起重视.基本初等函数的图象与性质例1(1)若当xr时，函数f(x)a|x|(a0，且a1)满足f(x)1，则函数yloga(x1)的图象大致为()(2)已知函数f(x)是定义在r上的偶函数，且当x0，)时，函数f(x)是单调递减函数，则f(log25)，f，f(log53)的大小关系是()a.ff(log53)f(log25)b.ff(log25)f(log53)c.f(log53)ff(log25)d.f(log25)ff(log53)解析(1)由a|x|1(xr)，知0alog351log530.又因为f(x)在0，)上为单调递减函数，所以f(log53)f(log35)f(log25)，即f(log53)ff(log25).答案(1)c(2)d解题方略基本初等函数的图象与性质的应用技巧(1)对数函数与指数函数的单调性都取决于其底数的取值，若底数a的值不确定，要注意分a1和0a1时，两函数在定义域内都为增函数；当0a0和0，且a1)的值域为y|y1，则函数yloga|x|的图象大致是()解析：选bya|x|的值域为y|y1，a1，则ylogax在(0，)上是增函数，又函数yloga|x|的图象关于y轴对称.因此yloga|x|的图象应大致为选项b.2.(2019天津高考)已知alog27，blog38，c0.30.2，则a，b，c的大小关系为()a.cbab.abcc.bcad.calog242，blog381，c0.30.20.301，cba.故选a.3.已知函数f(x)logax(a0，且a1)满足ff，则f0的解集为()a.(0，1) b.(，1)c.(1，) d.(0，)解析：选c因为函数f(x)logax(a0且a1)在(0，)为单调函数，而且ff，所以f(x)logax在(0，)上单调递减，结合对数函数的图象与性质可由f0，得011，所以x1，故选c.函数与方程题型一确定函数零点个数或所在区间例2(1)(2019新疆乌鲁木齐地区三检)在下列区间中，函数f(x)ex3x4的零点所在的区间为()a.b.c.d.(2)(2019全国卷)函数f(x)2sinxsin2x在0，2的零点个数为()a.2b.3c.4d.5解析(1)因为f(x)ex30，所以函数f(x)在r上单调递增.易知fe4e，因为e，所以e，所以f0，但f(1)e34e10，所以结合选项可知，函数f(x)的零点所在区间为，故选c.(2)令f(x)0，得2sinxsin2x0，即2sinx2sinxcosx0，2sinx(1cosx)0，sinx0或cosx1.又x0，2，由sinx0得x0，或2，由cosx1得x0或2.故函数f(x)的零点为0，2，共3个.故选b.答案(1)c(2)b解题方略1.判断函数在某个区间上是否存在零点的方法(1)解方程：当函数对应的方程易求解时，可通过解方程判断方程是否有根落在给定区间上；(2)利用零点存在性定理进行判断；(3)画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断.2.判断函数零点个数的3种方法题型二根据函数的零点求参数的范围例3(2019江西八所重点中学联考)已知f(x)若关于x的方程af(x)恰有两个不同的实根，则实数a的取值范围是()a.b.c.(1，2) d.解析关于x的方程af(x)恰有两个不同的实根，即函数f(x)的图象与直线ya恰有两个不同的交点，作出函数f(x)的图象如图所示，由图象可得实数a的取值范围是，故选b.答案b解题方略利用函数零点的情况求参数的范围的3种方法跟踪训练1.若函数f(x)则函数g(x)f(x)1的所有零点之和等于()a.4b.2c.1d.0解析：选b令g(x)0，则f(x)1，得或解得x0或x2，所以函数g(x)f(x)1的所有零点之和等于2.故选b.2.对于实数a，b，定义运算“”：ab设f(x)(2x3)(x3)，且关于x的方程f(x)k(kr)恰有三个互不相同的实根，则k的取值范围为()a.(0，2) b.(0，3)c.d.解析：选b因为ab所以f(x)(2x3)(x3)其图象如图所示：由图可得，要使关于x的方程f(x)k(kr)恰有三个互不相同的实根，则k(0，3).函数模型及其应用例4(1)(2019北京高考)在天文学中，天体的明暗程度可以用星等或亮度来描述.两颗星的星等与亮度满足m2m1lg，其中星等为mk的星的亮度为ek(k1，2).已知太阳的星等是26.7，天狼星的星等是1.45，则太阳与天狼星的亮度的比值为()a.1010.1b.10.1c.lg10.1d.1010.1(2)某养殖场需定期购买饲料，已知该场每天需要饲料200千克，每千克饲料的价格为1.8元，饲料的保管费与其他费用平均每千克每天0.03元，购买饲料每次支付运费300元.则该场_天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.解析(1)设太阳的星等为m1，天狼星的星等为m2，则太阳与天狼星的亮度分别为e1，e2，由条件m126.7，m21.45，m2m1lg，得lg1.4526.725.25.lg25.2510.1，1010.1，即太阳与天狼星的亮度的比值为1010.1.(2)设该场x(xn*)天购买一次饲料可使平均每天支付的总费用最少，平均每天支付的总费用为y元.因为饲料的保管费与其他费用每天比前一天少2000.036(元)，所以x天饲料的保管费与其他费用共是6(x1)6(x2)6(3x23x)(元).从而有y(3x23x300)2001.83x357417，当且仅当3x，即x10时，y有最小值.故该场10天购买一次饲料才能使平均每天支付的总费用最少.答案(1)a(2)10解题方略1.应用函数模型解决实际问题常见类型(1)应用所给函数模型解决实际问题.(2)构建函数模型解决实际问题.2.求解函数应用问题的一般程序及关键(1)一般程序：.(2)解题关键：解答这类问题的关键是准确地建立相关函数解析式，然后应用函数、方程、不等式和导数的有关知识加以综合解答.跟踪训练1.某市家庭煤气的使用量x(m3)和煤气费f(x)(元)满足关系f(x)已知某家庭2019年前三个月的煤气费如表：月份用气量煤气费一月份4m34元二月份25m314元三月份35m319元若四月份该家庭使用了20m3的煤气，则其煤气费为()a.11.5元b.11元c.10.5元d.10元解析：选a根据题意可知f(4)c4，f(25)cb(25a)14，f(35)cb(35a)19，解得a5，b，c4，所以f(x)所以f(20)4(205)11.5.2.(2019唐山模拟)某人计划购买一辆a型轿车，售价为14.4万元，购买后轿车每年的保险费、汽油费、车检费、停车费等约需2.4万元，同时汽车年折旧率约为10%(即这辆车每年减少它的价值的10%)，则大约使用_年后，用在该车上的费用(含折旧费)达到14.4万元.解析：设使用x年后花费在该车上的费用达到14.4万元，依题意可得，14.4(10.9x)2.4x14.4.化简得x60.9x0.令f(x)x60.9x，易得f(x)为单调递增函数，又f(3)1.3740，f(4)0.06340，所以函数f(x)在(3，4)上有一个零点.故大约使用4年后，用在该车上的费用达到14.4万元.答案：4直观想象数形结合法在函数零点问题中的应用典例已知函数f(x)则函数yf(x)x4的零点个数为()a.1b.2c.3d.4解析函数yf(x)x4的零点个数，即函数yx4与yf(x)的图象的交点的个数.如图所示，函数yx4与yf(x)的图象有两个交点，故函数yf(x)x4的零点有2个.故选b.答案b素养通路直观想象是指借助几何直观和空间想象感知事物的形态与变化，利用空间形式特别是图形，理解和解决数学问题的素养.主要包括：借助空间形式认识事物的位置关系、形态变化与运动规律；利用图形描述、分析数学问题，建立形与数的联系，构建数学问题的直观模型，探索解决问题的思路.本题是函数零点个数问题，基本思路是数形结合，即把函数拆分为两个基本初等函数，这两个函数图象的交点个数即为函数的零点个数，对于不易直接求解的方程的根的个数的讨论，也是通过根据方程构建两个函数，利用两函数图象交点个数得出对应方程根的个数.考查了直观想象这一核心素养.专题过关检测a组“124”满分练一、选择题1.幂函数的图象经过点，则它的单调递增区间是()a.(0，)b.c.(，) d.(，0)解析：选d设f(x)xa，则2a，所以a2，所以f(x)x2，它是偶函数，单调递增区间是(，0).故选d.2.(2019全国卷)已知alog20.2，b20.2，c0.20.3，则()a.abcb.acbc.cabd.bca解析：选b由对数函数的单调性可得alog20.2201，0c0.20.30.201，所以ac0，且a1)的定义域和值域都是0，1，则logaloga()a.1b.2c.3d.4解析：选c当a1时，函数y在0，1上单调递减，1且0，解得a2；当0a0且b1)解析：选c观察数据可知，当x增大时，q(x)的值先增大后减小，且大约是关于q(3)对称，故月销售量q(x)(台)与时间x(月份)变化关系的模拟函数的图象是关于x3对称的，显然只有选项c满足题意，故选c.8.已知函数f(x)lg是奇函数，且在x0处有意义，则该函数为()a.(，)上的减函数b.(，)上的增函数c.(1，1)上的减函数d.(1，1)上的增函数解析：选d由题意知，f(0)lg(2a)0，a1，f(x)lglg，令0，则1x0，且a1)过定点(2，0)，且f(x)在定义域r上是减函数，则g(x)loga(xk)的图象是()解析：选a由题意可知a2k10，解得k2，所以f(x)ax21，又f(x)在定义域r上是减函数，所以0a1.此时g(x)loga(x2)在定义域上单调递减，且恒过点(1，0)，故选a.10.(2018全国卷)已知函数f(x)g(x)f(x)xa.若g(x)存在2个零点，则a的取值范围是()a.1，0) b.0，)c.1，) d.1，)解析：选c令h(x)xa，则g(x)f(x)h(x).在同一坐标系中画出yf(x)，yh(x)的示意图，如图所示.若g(x)存在2个零点，则yf(x)的图象与yh(x)的图象有2个交点，平移yh(x)的图象，可知当直线yxa过点(0，1)时，有2个交点，此时10a，a1.当yxa在yx1上方，即a1时，有2个交点，符合题意.综上，a的取值范围为1，).故选c.11.(2019贵阳市第一学期监测)已知函数f(x)是定义在r上的偶函数，且在(，0)上单调递减，若af，bf(log24.1)，cf(20.5)，则a，b，c的大小关系是()a.abcb.bacc.cabd.cba解析：选d由题意，函数f(x)在(0，)上单调递增，因为函数yf(x)是定义在r上的偶函数，所以ff(log25)f(log25)，因为log25log24.1220.50，所以f(log25)f(log24.1)f(20.5)，即cba，故选d.12.(2019福州市质量检测)已知函数f(x)当xm，m1时，不等式f(2mx)f(xm)恒成立，则实数m的取值范围是()a.(，4) b.(，2)c.(2，2) d.(，0)解析：选b易知函数f(x)在xr上单调递减，又f(2mx)f(xm)在xm，m1上恒成立，所以2mxxm，即2xm在xm，m1上恒成立，所以2(m1)m，解得m2，故选b.二、填空题13.(2019广州市综合检测(一)已知函数f(x)x3alog3x，若f(2)6，则f_.解析：由f(2)8alog326，解得a，所以falog3alog32log32.答案：14.(2019河北模拟调研改编)已知函数f(x)loga(x1)(a0，且a1)在2，0上的值域是1，0，则实数a_；若函数g(x)axm3的图象不经过第一象限，则实数m的取值范围为_.解析：函数f(x)loga(x1)(a0且a1)在2，0上的值域是1，0.当a1时，f(x)loga(x1)在2，0上单调递减，无解；当0a1时，f(x)loga(x1)在2，0上单调递增，解得a.g(x)3的图象不经过第一象限，g(0)30，解得m1，即实数m的取值范围是1，).答案：1，)15.已知某房地产公司计划出租70套相同的公寓房.当每套房月租金定为3000元时，这70套公寓房能全部租出去；当月租金每增加50元时(设月租金均为50元的整数倍)，就会多一套房子不能出租.设已出租的每套房子每月需要公司花费100元的日常维修等费用(设没有出租的房子不需要花这些费用)，则要使公司获得最大利润，每套房月租金应定为_元.解析：设利润为y元，租金定为300050x(0x70，xn)元.则y(300050x)(70x)100(70x)(290050x)(70x)50(58x)(70x)50204800，当且仅当58x70x，即x6时，等号成立，故每月租金定为30003003300(元)时，公司获得最大利润.答案：330016.已知函数f(x)在区间1，m上的最大值是2，则m的取值范围是_.解析：f(x)作出函数的图象，如图所示，因为函数f(x)在1，m上的最大值为2，又f(1)f(4)2，所以10，且a1)，当x时，恒有f(x)0，则f(x)的单调递增区间是()a.b.(0，)c.d.解析：选a当x时，2x2x(0，1)，因为当x时，恒有f(x)0，所以0a0得x0或x.又2x2x2，由复合函数的单调性可知，函数f(x)的单调递增区间为.3.如图，四棱锥pabcd的底面是边长为2的正方形，pa平面abcd，且pa4，m是pb上(p，b点除外)的一个动点，过点m作平面平面pad，截棱锥所得截面面积为y，若平面与平面pad之间的距离为x，则函数yf(x)的大致图象是()解析：选d法一：如图，过点m作mtpa交ab于点t，过点m作mnbc交pc于点n，过点n作nspd交cd于点s，连接ts，则平面mtsn平面pad，所以ys四边形mtsn.由pa平面abcd，可得mt平面abcd，所以平面与平面pad之间的距离xat，且四边形mtsn为直角梯形.由mtpa，mnbc，得，所以mt42(2x)，mn2x，所以ys四边形mtsn(mnst)(2x)(x2)4x2(0x2).故选d.法二：设m，n，s，t分别为棱pb，pc，cd，ab的中点，连接mn，ns，st，mt，则易知四边形mtsn为直角梯形.易证cd平面pad，平面mtsn平面pad，所以此时x1，y(mnst)mt(12)23，即函数yf(x)的图象过点(1，3)，排除a、c；又当x0时，yspad244，所以排除b.故选d.4.(2019河北省九校第二次联考)若函数f(x)kx|xex|有两个正实数零点，则k的取值范围是()a.(0，) b.c.(0，1) d.(0，e)解析：选c令f(x)kx|xex|0，得kx|xex|，当x0时，k，令g(x)1，x0，则g(x)0，所以g(x)在(0，)上单调递增，因为g10，g(1)10，所以在上存在一个a，使得g(a)0，所以y|g(x)|的图象如图所示.由题意知，直线yk与y|g(x)|的图象有两个交点，所以0k1，故选c.5.已知函数f(x)若a，b，c互不相等，且f(a)f(b)f(c)，则abc的取值范围是()a.(1，2019) b.(1，2020)c.2，2020 d.(2，2020)解析：选d法一：由于函数ysinx的周期为2，0x1，故它的图象关于直线x对称.不妨设0abc，则ab1，c1，故有abc2，再由正弦函数的定义域和值域可得f(a)f(b)f(c)0，1，故有0log2019c1，解得c2019.综上可得，2abc2020，故选d.法二：作出函数f(x)的图象与直线ym，如图所示，不妨设abc，当0x1时，函数f(x)的图象与直线ym的交点分别为a，b，由正弦曲线的对称性，可得a(a，m)与b(b，m)关于直线x对称，因此ab1，当直线ym1时，由log2019x1，解得x2019.若满足f(a)f(b)f(c)，且a，b，c互不相等，由abc可得1c2019，因此可得2abc2020，即abc(2，2020).故选d.6.已知在(0，)上函数f(x)则不等式log2xlog(4x)1f(log3x1)5的解集为_.解析：原不等式等价于或解得1x4或x1，所以原不等式的解集为.答案：7.某工厂常年生产红木家具，根据预测可知，该产品近10年的产量平稳增长.记2016年为第1年，且前4年中，第x年与年产量f(x)(单位：万件)之间的关系如下表所示：x1234f(x)4.005.617.008.87若f(x)近似符合以下三种函数模型之一：f(x)axb，f(x)2xa，f(x)logxa.则你认为最适合的函数模型的序号为_.解析：若模型为f(x)2xa，则由f(1)21a4，得a2，即f(x)2x2，此时f(2)6，f(3)10，f(4)18，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)logxa，则f(x)是减函数，与表格数据相差太大，不符合；若模型为f(x)axb，由已知得解得所以f(x)x，xn，所以最适合的函数模型的序号为.答案：8.(2019吉林长春四校5月联考)已知g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，且满足g(x)h(x)2x.若存在x1，1，使得不等式mg(x)h(x)0有解，则实数m的最大值为_.解析：因为g(x)h(x)2x，所以g(x)h(x)2x.又g(x)为偶函数，h(x)为奇函数，所以g(x)h(x)2x，联立，得g(x)，h(x).由mg(x)h(x)0，得m1.因为y1为增函数，所以当x1，1时，1，所以m，即实数m的最大值为.答案：17第3讲导数的几何意义及简单应用全国卷3年考情分析年份全国卷全国卷全国卷2019导数的几何意义，求切线方程t13导数的几何意义，求切线方程t10利用导数的几何意义求参数t7利用导数研究函数的极值t21(1)利用导数讨论函数的单调性与最值t202018奇函数的定义及利用导数的几何意义求切线方程t6利用导数的几何意义求切线方程t13利用导数的几何意义求切线方程t21(1)利用函数的极值点求参数及单调区间t21利用导数求函数的单调区间t21(1)2017利用导数的几何意义求切线方程t14利用导数研究函数的单调性t21(1)利用导数研究函数的单调性t21(1)利用导数研究函数的单调性t21(1)(1)此部分内容是高考命题的热点内容.在选择题、填空题中多考查导数的几何意义，难度较小.(2)应用导数研究函数的单调性、极值、最值，多在选择题、填空题最后几题的位置考查，难度中等偏上，属综合性问题；常在解答题的第一问中考查，难度一般.导数的几何意义例1(1)(2019全国卷)曲线y2sinxcosx在点(，1)处的切线方程为()a.xy10b.2xy210c.2xy210d.xy10(2)(2019全国卷)已知曲线yaexxlnx在点(1，ae)处的切线方程为y2xb，则()a.ae，b1b.ae，b1c.ae1，b1d.ae1，b1解析(1)设yf(x)2sinxcosx，则f(x)2cosxsinx，f()2，曲线在点(，1)处的切线方程为y(1)2(x)，即2xy210.故选c.(2)yaexlnx1，ky|x1ae1，切线方程为yae(ae1)(x1)，即y(ae1)x1.已知切线方程为y2xb，即ae1，b1.故选d.答案(1)c(2)d解题方略与切线有关问题的处理策略(1)已知切点a(x0，y0)求斜率k，即求该点处的导数值，kf(x0).(2)已知斜率k，求切点a(x1，f(x1)，即解方程f(x1)k.(3)求过某点m(x1，y1)的切线方程时，需设出切点a(x0，f(x0)，则切线方程为yf(x0)f(x0)(xx0)，再把点m(x1，y1)代入切线方程，求x0.跟踪训练1.(2019福州市第一学期抽测)曲线f(x)xlnx在点(1，1)处的切线与坐标轴围成的三角形的面积为()a.2b.c.d.解析：选df(x)1，则f(1)2，故曲线f(x)xlnx在点(1，1)处的切线方程为y12(x1)，即y2x1，此切线与两坐标轴的交点坐标分别为(0，1)，则切线与坐标轴围成的三角形的面积为1，故选d.2.(2019江西八所重点中学联考)已知曲线y在x1处的切线l与直线2x3y0垂直，则实数a的值为_.解析：因为yf(x)，所以f(x)，所以曲线y在x1处的切线l的斜率kf(1)1.直线2x3y0的斜率k.因为切线l与直线2x3y0垂直，所以1，得a.答案：3.已知函数f(x)xsinxcosx的图象在点a(x0，y0)处的切线的斜率为1，则tanx0_.解析：f(x)xsinxcosx，f(x)cosxsinxsin.函数f(x)的图象在点a(x0，y0)处的切线斜率为1，sin1，x02k，kz，x02k，kz，tanx0tantantan.答案：利用导数研究函数的单调性例2(1)(2019广东省七校联考)已知定义在r上的连续可导函数f(x)，当x0时，有xf(x)0，则下列各项正确的是()a.f(1)f(2)2f(0)b.f(1)f(2)2f(0)c.f(1)f(2)2f(0)d.f(1)f(2)与2f(0)大小关系不确定(2)已知函数f(x)ex(exa)a2x，讨论f(x)的单调性.解析(1)由题意得，x0时，f(x)是增函数，x0时，f(x)是减函数，x0是函数f(x)的极大值点，也是最大值点，f(1)f(0)，f(2)f(0)，两式相加得，f(1)f(2)2f(0)，故选c.答案c解 (2)函数f(x)的定义域为(，)，f(x)2e2xaexa2(2exa)(exa).若a0，则f(x)e2x在(，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xlna.当x(，lna)时，f(x)0；当x(lna，)时，f(x)0.故f(x)在(，lna)上单调递减，在(lna，)上单调递增.若a0，则由f(x)0，得xln.当x时，f(x)0；当x时，f(x)0.故f(x)在上单调递减，在上单调递增.解题方略求解或讨论函数单调性有关问题的解题策略讨论函数的单调性其实就是讨论不等式的解集的情况.大多数情况下，这类问题可以归结为一个含有参数的一元二次不等式的解集的讨论：(1)在能够通过因式分解求出不等式对应方程的根时，依据根的大小进行分类讨论.(2)在不能通过因式分解求出根的情况时，根据不等式对应方程的判别式进行分类讨论.注意讨论函数的单调性是在函数的定义域内进行的，千万不要忽视了定义域的限制.跟踪训练1.(2019唐山市摸底考试)设函数f(x)x(exex)，则f(x)()a.是奇函数，且在(0，)上是增函数b.是偶函数，且在(0，)上是增函数c.是奇函数，且在(0，)上是减函数d.是偶函数，且在(0，)上是减函数解析：选a法一：由条件可知，f(x)(x)(exex)x(exex)f(x)，故f(x)为奇函数.f(x)exexx(exex)，当x0时，exex，所以x(exex)0，又exex0，所以f(x)0，所以f(x)在(0，)上是增函数，故选a.法二：根据题意知f(1)f(1)，所以函数f(x)为奇函数.又f(1)f(2)，所以f(x)在(0，)上是增函数，故选a.2.若本例(2)变为：已知函数f(x)ex(exa)a2x在1，)上单调递增，求实数a的取值范围.解：由本例解析知f(x)(2exa)(exa)，f(x)在1，)上单调递增，则f(x)0在1，)上恒成立，(2exa)(exa)0，2exaex在1，)上恒成立，2eae，实数a的取值范围为2e，e.3.若本例(2)变为：函数f(x)ex(exa)a2x在1，)上存在单调递减区间，求实数a的取值范围.解：由本例解析知f(x)2e2xaexa2，设tex，x1，)，te，)，即g(t)2t2ata2在e，)上有零点.g(e)2e2aea2e或a2e，实数a的取值范围为(，2e)(e，).利用导数研究函数的极值(最值)问题题型一求已知函数的极值(最值)例3(1)(2019昆明市质量检测)已知函数f(x)ax2bxclnx(a0)在x1和x2处取得极值，且极大值为，则函数f(x)在区间上的最大值为()a.0b.c.2ln24d.4ln24(2)已知函数f(x)2x，则函数f(x)的极小值为_.解析(1)f(x)2axb(x0，a0).因为函数f(x)在x1和x2处取得极值，所以f(1)2abc0，f(2)4ab0.又a0，所以当0x1或x2时，f(x)0，f(x)是增函数，当1x2时，f(x)0，f(x)是减函数.所以当x1时，f(x)极大值f(1)ab.联立，解得a，b3，c2.f(4)16342ln44ln24，经比较函数f(x)在区间上的最大值是f(4)4ln24.故选d.(2)f(x)2x(x1)，f(x)，令f(x)0，得2ln2xlnx10，解得lnx或lnx1(舍去)，即xe.当1xe时，f(x)0，当xe时，f(x)0，f(x)的极小值为f(e)2e4e.答案(1)d(2)4e解题方略利用导数研究函数极值、最值的方法(1)若求极值，则先求方程f(x)0的根，再检查f(x)在方程根的左右函数值的符号.(2)若已知极值大小或存在情况，则转化为已知方程f(x)0根的大小或存在情况来求解.(3)求函数f(x)在闭区间a，b的最值时，在得到极值的基础上，结合区间端点的函数值f(a)，f(b)与f(x)的各极值进行比较得到函数的最值.题型二由函数的极值(最值)确定参数值(范围)例4已知函数f(x)2lnx2axx2有两个极值点x1，x2(x1x2)，求实数a的取值范围.解f(x)的定义域为(0，)，f(x)2a2x，令f(x)0，即x2ax10，要使f(x)在(0，)上有两个极值点，则方程x2ax10有两个不相等的正根，则实数a的取值范围为(2，).解题方略已知函数极值点或极值求参数的方法列式根据极值点处导数为0和极值这两个条件列方程组，利用待定系数法求解验证因为导数值等于零不是此点为极值点的充要条件，所以利用待定系数法求解后必须验证根的合理性跟踪训练1.函数yf(x)的导函数的图象如图所示，则下列说法错误的是()a.(1，3)为函数yf(x)的单调递增区间b.(3，5)为函数yf(x)的单调递减区间c.函数yf(x)在x0处取得极大值d.函数yf(x)在x5处取得极小值解析：选c由函数yf(x)的导函数的图象可知，当x1或3x5时，f(x)0，yf(x)单调递减；当x5或1x3时，f(x)0，yf(x)单调递增.所以函数yf(x)的单调递减区间为(，1)，(3，5)，单调递增区间为(1，3)，(5，).函数yf(x)在x1，5处取得极小值，在x3处取得极大值，故选项c错误，选c.2.设函数f(x)klnx，k0在x1处取得极小值，则极小值为()a.b.c.1d.1解析：选bf(x)x.由f(x)0解得x.f(x)与f(x)在区间(0，)上的情况如下：x(0，)f(x)f(x)所以f(x)的单调递减区间是，单调递增区间是.由条件知，1，解得k1，极小值f(1)0.选b.3.已知函数f(x)exx2(3a2)x在区间(1，0)上有最小值，则实数a的取值范围是()a.b.c.d.解析：选d由f(x)exx2(3a2)x可得，f(x)ex2x3a2，因为函数f(x)exx2(3a2)x在区间(1，0)上有最小值，所以函数f(x)exx2(3a2)x在区间(1，0)上有极小值，而f(x)ex2x3a2在区间(1，0)上单调递增，所以f(x)ex2x3a20在区间(1，0)上必有唯一解，由零点存在定理可得解得1a，所以实数a的取值范围是，故选d.逻辑推理分类与整合思想研究函数的单调性典例已知函数f(x)lnxa2x2ax(ar).(1)当a1时，求函数f(x)的单调区间；(2)若函数f(x)在区间(1，)上是减函数，求实数a的取值范围.解(1)当a1时，f(x)lnxx2x，其定义域为(0，)，f(x)2x1，令f(x)0，则x1(负值舍去).当0x0；当x1时，f(x)0，f(x)在区间(0，)上为增函数，不合题意；当a0时，由f(x).f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a1；当a0时，由f(x).f(x)的单调递减区间为.依题意，得解得a.综上所述，实数a的取值范围是1，).法二：f(x)2a2xa.由f(x)在区间(1，)上是减函数，可得g(x)2a2x2ax10在区间(1，)上恒成立.当a0时，10不合题意；当a0时，可得即a1或a.实数a的取值范围是1，).素养通路逻辑推理是指从一些事实和命题出发，依据规则推出其他命题的素养.主要包括两类：一类是从特殊到一般的推理，推理形式主要有归纳、类比；一类是从一般到特殊的推理，推理形式主要有演绎.本题是含参函数的单调性问题，对于此类问题一般要分类讨论，常见有以下几种可能：方程f(x)0是否有根；若f(x)0有根，求出根后是否在定义域内；若根在定义域内且有两个，比较根的大小是常见的分类方法.考查了逻辑推理这一核心素养.专题过关检测a组“633”考点落实练一、选择题1.已知函数f(x)的导函数f(x)满足下列条件：f(x)0时，x2；f(x)0时，1x2；f(x)0时，x1或x2.则函数f(x)的大致图象是()解析：选a根据条件知，函数f(x)在(1，2)上是减函数.在(，1)，(2，)上是增函数，故选a.2.设函数f(x)xex1，则()a.x1为f(x)的极大值点b.x1为f(x)的极小值点c.x1为f(x)的极大值点d.x1为f(x)的极小值点解析：选d由题意得，f(x)(x1)ex，令f(x)0，得x1，当x(，1)时，f(x)0，当x(1，)时，f(x)0，则f(x)在(，1)上单调递减，在(1，)上单调递增，所以x1为f(x)的极小值点，故选d.3.已知直线ykx2与曲线yxlnx相切，则实数k的值为()a.ln2b.1c.1ln2d.1ln2解析：选d由yxlnx知ylnx1，设切点为(x0，x0lnx0)，则切线方程为yx0lnx0(lnx01)(xx0)，因为切线ykx2过定点(0，2)，所以2x0lnx0(lnx01)(0x0)，解得x02，故k1ln2，选d.4.若x是函数f(x)(x22ax)ex的极值点，则函数yf(x)的最小值为()a.eb.0c.ed.e解析：选cf(x)(x22ax)ex，f(x)(2x2a)ex(x22ax)exx22(1a)x2aex，由已知得，f0，所以222a2a0，解得a1.所以f(x)(x22x)ex，所以f(x)(x22)ex，所以函数的极值点为，当x时，f(x)0；所以函数yf(x)是减函数，当x或x时，f(x)0，函数yf(x)是增函数.又当x(，0)(2，)时，x22x0，f(x)0，当x(0，2)时，x22x0，f(x)0，所以f(x)min在x(0，2)上，又当x时，函数yf(x)递减，当x时，函数yf(x)递增，所以f(x)minfe.5.已知函数f(x)(2xlnxa)ex在(0，)上单调递增，则实数a的最大值是()a.5ln2b.52ln2c.2ln2d.52ln2解析：选af(x)(2xlnxa)ex，f(x)(2xlnx2a)ex，x(0，).依题意，知x(0，)时，f(x)0恒成立，即a2xlnx2在(0，)上恒成立.设g(x)2xlnx2，则g(x)2，x(0，).令g(x)0，得x或x1(舍去).令g(x)0，则0x，令g(x)0，则x，当x时，函数g(x)取得最小值，g(x)ming5ln2，a5ln2，即实数a的最大值是5ln2.故选a.6.已知函数f(x)为偶函数，当x0时，f(x)4x，设af(log30.2)，bf(30.2)，cf(31.1)，则()a.cabb.abcc.cbad.bac解析：选a因为函数f(x)为偶函数，所以af(log30.2)f(log30.2)，cf(31.1)f(31.1).因为log3log30.2log3，所以2log30.21，所以1log30.22，所以31.13log30.2130.2.因为y在(0，)上为增函数，y4x在(0，)上为增函数，所以f(x)在(0，)上为增函数，所以f(31.1)f(log30.2)f(30.2)，所以cab，故选a.二、填空题7.(2019江苏高考)在平面直角坐标系xoy中，点a在曲线ylnx上，且该曲线在点a处的切线经过点(e，1)(e为自然对数的底数)，则点a的坐标是_.解析：设a(m，n)，则曲线ylnx在点a处的切线方程为yn(xm).又切线过点(e，1)，所以有n1(me).再由nlnm，解得me，n1.故点a的坐标为(e，1).答案：(e，1)8.若函数f(x)xalnx不是单调函数，则实数a的取值范围是_.解析：由题意知f(x)的定义域为(0，)，f(x)1，要使函数f(x)xalnx不是单调函数，则需方程10在(0，)上有解，即xa，a0.答案：(，0)9.设定义在r上的函数yf(x)的导函数为f(x).如果存在x0a，b，使得f(b)f(a)f(x0)(ba)成立，则称x0为函数f(x)在区间a，b上的“中值点”.那么函数f(x)x33x在区间2，2上的“中值点”为_.解析：由f(x)x33x求导可得f(x)3x23，设x0为函数f(x)在区间2，2上的“中值点”，则f(x0)1，即3x31，解得x0.答案：三、解答题10.已知函数f(x)x2axalnx.(1)若曲线y
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