线性代数与解析几何 课后答案 (代万基 廉庆荣)第9章习题答案.pdf

思考题思考题 9 1 1 是 因为 T PAPB可写成 TTT PAPB 记 T MP 则 T M AMB 2 是 设 TT P APB Q BQC 则 TTT Q P APQC PQA PQC 3 两个实对称矩阵合同的充要条件是它们同阶且正 负惯性指数相同 4 参考第 3 题 5 证证 设实对称矩阵A的正 负惯性指数分别为p和q 则A有p个正特征值 1 p 和q个负特征值 1 pp q 于是 存在正交矩阵Q 使得 1 11 diag 0 0 ppp q Q AQ 即 11 diag 0 0 T ppp q Q AQ 取 1111 2222 11 diag 1 1 ppp q D 则 diag 1 1 1 1 0 0 T D DQ AQ 即 diag 1 1 1 1 0 0 T QDA QD 记 PQD 则diag 1 1 1 1 0 0 T P AP 习题习题 9 1 1 解 解 1 120 1 20 2 1 01 2 A 该二次型的秩为 3 2 011 111 110 A 该二次型的秩为 3 2 1 所求正交变换为 212 1 122 3 221 xQy Q标准形为 22 12 33gyy y 正惯性指数为 1 负惯性指数为 1 2 所 求 正 交 变 换 为 111 263 111 263 21 0 63 xQy Q标 准 形 为 222 123 22gyyy y 正惯性指数为 2 负惯性指数为 1 3 1 222 12312233 2 2 5f x x xxxxxx 标准形为 222 123 25gyyy y 所作变换为 122 011 001 xPy P 2 解 解 由于该二次型中不含平方项 但含有混合项 12 x x 故令 112 212 33 xyy xyy xy 可得含有平方项的二次型 22 1231223 2g y yyyyy y 对含有 2 y的项配方 得 222 1231233 g y yyyyyy 令 11 223 33 zy zyy zy 则把所给二次型化为标准形 222 123123 h z z zzzz 所 做 的 可 逆 变 换 为 1123 2123 33 xzzz xzzz xz 111 111 001 P 4 规范形为 222 123123 h y yyyyy 所做的可逆变换为 1123 2123 3123 111 222 111 222 111 222 xyyy xyyy xyyy 5 4 1 ab 6 1 0 ab 7 证 证 存在正交变换 xQy将该二次型化为标准形 22 11 nn gyy y即 22 11 T nn yy x Ax 因为 12n 所以 2222 111 nnn yygyy y 由x为单位列向量及正交变换保持长度不变可知 y也是单位向量 因而 22 1 1 n yy 所以 1 T n x Ax 8 证 证 因为对于任何 n 元列向量x 都有 TT x Axx Bx 所以 TT iiii e Aee Be 即 iiii ab 同样也有 TT ijijijij eeA eeeeB ee 即 iijjijjiiijjijji aaaabbbb 因为 iiii ab 所以 ijjiijji aabb 又因为A和B都是实对称矩阵 ijjiijji aabb 所以 ijij ab AB 思考题思考题 9 2 1 n 元正定二次型的规范形为 22 1n yy 2 不一定 与它的阶数的奇偶性有关 3 负定矩阵的对角元一定小于零 4 不一定 与 k 的奇偶性有关 5 当 1 k 时 A为正定矩阵 当 n k 时 A为负定矩阵 6 正确 因为C的特征值为A和B的特征值之并 7 等价变换只保持秩不变 相似变换保持行列式 秩 特征值 特征值的符号不变 相 合变换保持秩 特征值的符号及正定性不变 正交相似变换保持行列式 秩 特征值 特征 值的符号及正定性都不变 习题习题 9 2 1 1 为正定矩阵 2 为负定矩阵 2 1 是正定二次型 2 是正定二次型 3 是正定二次型 3 1 02k 2 12k 3 12k 4 4k 5 2k 4 证 证 设A的特征值为 12 n 则 AE的特征值为 12 1 1 1 n 因为A为正定矩阵 所以 12 n 全大于 0 从而 12 1 1 1 n 全大于 1 12 1 1 1 1 n AE 5 证 证 设A的特征值为 12 n 由A为负定矩阵可知 12 n 全小于 0 12n A A的特征值为 111 12 n AAA 当 n 为奇数时 0 A A的特征值全大于 0 A为正定矩阵 当 n 为偶数时 0 A A的特征值全小于 0 A为负定矩阵 6 证 证 对任意 k 元非零实向量x 由 rk P可得 Px0 由A为正定矩阵 得 0 T PxA Px 于是 有 0 TTTT x Bxx P APxPxA Px 故B是正定矩阵 7 证 证 由 T A A为正定矩阵 得0 TT rn A AA A因为 T rr AA A 所以 rn A 显然 T A A是对称矩阵 对任意 n 元非零实向量x 由 rn A可得 Ax0 于是 有 2 0 TTT x A AxAxAxAx 故 T A A是正定矩阵 8 证证 由A是正交矩阵 得 T A AE 由A是正定矩阵可知 A也是对称矩阵 T AA于是 2 AE 设 为A的特征值 则 2 1 或0 由于A是正定矩阵 而正定矩阵的特征值全大于0 所以1 A的特征值全为1 由A是对称矩阵可知 存在正交矩阵Q 使得 1 1 1 1 Q AQE 1 AQEQE 提高题提高题 9 2 1 证 证 由B是正定矩阵及定理 9 3 的 4 可知 存在可逆矩阵 1 P 使得 11 T P BPE 由于相合变换保持对称性 所以 11 T P AP仍为对称矩阵 于是 存在正交矩阵Q 使得 11 TT QP AP Q为对角矩阵 注 1T QQ 这时 11 TTT QP BP QQ EQE 取 1 PPQ即可 2 证 证 由AB为正定矩阵可知 AB也是对称矩阵 T ABAB即 TT B AAB 也即 ABBA 注 由A和B都是正定矩阵可知 它们也是对称矩阵 由 T TT ABB ABAAB可知 AB为对称矩阵 由A是正定矩阵及定理 9 3 的 5 可知 存在可逆矩阵P 使得 T AP P于是 有 11 TTTTTT PAB PPP PB PPBP 可见 AB与 T PBP相似 特征值相同 由B是正定矩阵及相合变换保持正定性可知 T PBP也是正定矩阵 特征值全大于 0 从而AB的特征值也全大于 0 所以AB为正定矩阵 思考题思考题 9 3 1 可以 球面的母线是它上面最大的圆 旋转轴为最大圆的直径 圆柱面的母线是它上面平行于对称轴的直线 旋转轴就是它的对称轴 2 圆柱面 3 1 是平面3x 上的圆 2 是平面1y 上的椭圆 3 是平面4z 上的双曲线 4 是平面2y 上的双曲线 习题习题 9 3 1 球心为 0 1 0 半径为 2 2 图略 1 表示母线平行于z轴的椭圆柱面 2 表示母线平行于x轴的双曲柱面 3 表示母线平行于z轴的抛物柱面 4 表示母线平行于y轴的双曲柱面 3 1 22 4yzx 2 222 1 34 xzy 4 图略 1 旋转轴为y轴 母线为 22 21 0 xy z 或 22 21 0 yz x 2 旋转轴为x轴 母线为 2 0 zx y 或 2 0 yx z 3 旋转轴为z轴 母线为 22 1 49 0 yz x 或 22 1 49 0 xz y 5 1 22 1xy 在平面直角坐标系下表示圆 在空间直角坐标系中表示圆柱面 2 2 zy 在平面直角坐标系下表示抛物线 在空间直角坐标系中表示抛物柱面 6 母线平行于x轴且通过曲线 222 222 216 0 xyz xzy 的柱面的方程为 22 316yz 母线平行于y轴且通过曲线 222 222 216 0 xyz xzy 的柱面的方程为 22 3216xz 7 球面 222 9xyz 与平面1xz 的交线在Oxy面上的投影的方程为 22 117 2 22 0 xy z 思考题思考题 9 4 1 提示 看系数同号的平方项何时系数能相同 2 椭球面的二次项部分所对应的实对称阵的特征值同号 单叶双曲面的二次项部分所 对应的实对称阵的特征值都不为 0 且异号 椭圆抛物面的二次项部分所对应的实对称阵的特 征值有一个为 0 且同号 3 不能 因为二次锥面 单叶双曲面和双叶双曲面的二次项部分所对应的实对称阵的 特征值的特点