角平分线的性质典型例题.doc

【典型例题】例1. 已知：如图所示，CC90，ACAC求证：（1）ABCABC；（2）BCBC（要求：不用三角形全等判定） 分析：由条件CC90，ACAC，可以把点A看作是CBC平分线上的点，由此可打开思路 证明：（1）CC90（已知），ACBC，ACBC（垂直的定义）又ACAC（已知），点A在CBC的角平分线上（到角的两边距离相等的点在这个角的平分线上）ABCABC（2）CC，ABCABC，180（CABC）180（CABC）（三角形内角和定理）即BACBAC，ACBC，ACBC，BCBC（角平分线上的点到这个角两边的距离相等） 评析：利用三角形全等进行问题证明对平面几何的学习有一定的积极作用，但也会产生消极作用，在解题时，要能打破思维定势，寻求解题方法的多样性例2. 如图所示，已知ABC中，PEAB交BC于E，PFAC交BC于F，P是AD上一点，且D点到PE的距离与到PF的距离相等，判断AD是否平分BAC，并说明理由分析：判定一条射线是不是一个角的平分线，可用角平分线的定义和角平分线的判定定理根据题意，首先由角平分线的判定定理推导出12，再利用平行线推得34，最后用角平分线的定义得证 解：AD平分BACD到PE的距离与到PF的距离相等，点D在EPF的平分线上12又PEAB，13同理，2434，AD平分BAC 评析：由角平分线的判定判断出PD平分EPF是解决本例的关键“同理”是当推理过程相同，只是字母不同时为书写简便可以使用“同理”例3. 如图所示，已知ABC的角平分线BM，CN相交于点P，那么AP能否平分BAC？请说明理由由此题你能得到一个什么结论？ 分析：由题中条件可知，本题可以采用角的平分线的性质及判定来解答，因此要作出点P到三边的垂线段 解：AP平分BAC结论：三角形的三条角平分线相交于一点，并且这一点到三边的距离相等理由：过点P分别作BC，AC，AB的垂线，垂足分别是E、F、DBM是ABC的角平分线且点P在BM上，PDPE（角平分线上的点到角的两边的距离相等）同理PFPE，PDPFAP平分BAC（到角的两边的距离相等的点在这个角的平分线上）例4. 如图所示的是互相垂直的一条公路与铁路，学校位于公路与铁路所夹角的平分线上的P点处，距公路400m，现分别以公路、铁路所在直线为x轴、y轴建立平面直角坐标系（1）学校距铁路的距离是多少？（2）请写出学校所在位置的坐标分析：因为角平分线上的点到角的两边距离相等，所以点P到铁路的距离与到公路的距离相等，也是400m；点P在第四象限，求点P的坐标时要注意符号 解：（1）点P在公路与铁路所夹角的平分线上，点P到公路的距离与它到铁路的距离相等，又点P到公路的距离是400m，点P（学校）到铁路的距离是400m（2）学校所在位置的坐标是（400，400）评析：角平分线的性质的作用是通过角相等再结合垂直证明线段相等例5. 如图所示，在ABC中，C90，ACBC，DA平分CAB交BC于D，问能否在AB上确定一点E，使BDE的周长等于AB的长？若能，请作出点E，并给出证明；若不能，请说明理由分析：由于点D在CAB的平分线上，若过点D作DEAB于E，则DEDC于是有BDDEBDDCBCAC，只要知道AC与AE的关系即可得出结论解：能过点D作DEAB于E，则BDE的周长等于AB的长理由如下：AD平分CAB，DCAC，DEAB，DCDE在RtACD和RtAED中，RtACDRtAED（HL）ACAE又ACBC，AEBCBDE的周长BDDEBEBDDCBEBCBEAEBEAB 评析：本题是一道探索题，要善于利用已知条件获得新结论，寻找与要解决的问题之间的联系本题利用角平分线的性质将要探究的结论进行转化这是初中几何中常用的一种数学思想【方法总结】学过“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”与“到角的两边的距离相等的点在角的平分线上”这两个结论后，许多涉及角的平分线的问题用这两个结论解决很方便，需要注意的是有许多同学对证明