数学人教版九年级上册22.1.2二次函数 的图象.doc

22.1.1 二次函数主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册【学习目标】1、了解二次函数的有关概念2、会确定二次函数关系式中各项的系数。3、确定实际问题中二次函数的关系式。【学习重难点】 1、会确定二次函数关系式中各项的系数。2、确定实际问题中二次函数的关系式。【学习过程】一、知识链接： 独学对学展示质疑（补充）点评1、若在一个变化过程中有两个变量x和y，如果对于x的每一个值， y都有唯一的值与它对应，那么就说y是x的 ，x叫做 。2、形如的函数是一次函数，当时，它是 函数；形如 的函数是反比例函数。二、知识准备：独学群学展示质疑（补充）点评1、二次函数定义：一般地，形如 ，（ ，该式称为一般式）的函数为二次函数。其中是自变量，是_，b是_，c是_思考：1、二次项系数为什么不等于0？2、一次项系数和常数项可以为0吗？三、合作交流：独学对（群）学展示质疑（补充）点评例1、下列函数中哪些是二次函数？哪些不是？若是二次函数，指出a、b、c（1）y=1-3x2； （2）y=x(x-5)； （3）y=3x(2-x)+3x2；例2、用16m长的篱笆围成长方形圈养小兔，圈的面积y()与长方形的长x(m)之间的函数关系式为 。它是 函数。四、当堂训练： 独学对（群）学展示质疑（补充）点评1、观察：；y200x2400x200；这六个式子中二次函数有 。（只填序号）2、若 是二次函数，则m _若 是二次函数，则m的值为_3、若物体运动的路段s（米）与时间t（秒）之间的关系为，则当t4秒时，该物体所经过的路程为 。4、二次函数当x2时，y3，则这个二次函数解析式为 5、为了改善小区环境，某小区决定要在一块一边靠墙（墙长25m）的空地上修建一个矩形绿化带ABCD，绿化带一边靠墙，另三边用总长为40m的栅栏围住（如图）若设绿化带的BC边长为x m，绿化带的面积为y m2求y与x之间的函数关系式，并写出自变量x的取值范围22.1.2二次函数的图象主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册【学习目标】1知道二次函数的图象是一条抛物线；2会画二次函数yax2的图象；3掌握二次函数yax2的性质，并会灵活应用。（重点）【学习重难点】1、会画二次函数yax2的图象；2、掌握二次函数yax2的性质，并会灵活应用。【学习过程】一、知识链接：独学对学展示补充点评1、画一个函数图象的一般过程是 ； ； 。2、一次函数的图象是一条 ；反比例函数的图象是 .3、二次函数的一般形式为： 二、合作学习：独学对（群）学展示质疑（补充）点评（一）画二次函数yx2的图象列表：x3210123yx2（3）在图（3）中描点，并连线（1）（2）1.思考：图（1）和图（2）中的连线正确吗？为什么？连线中我们应该注意什么？答：2.归纳： 由图象可知二次函数的图象是一条曲线，它的形状类似于投篮球时球在空中所经过的路线，即抛出物体所经过的路线，所以这条曲线叫做 线； 叫做抛物线的顶点。抛物线是轴对称图形，对称轴是 ；的图象开口_； 与 的交点叫做抛物线的顶点。抛物线的顶点坐标是 ；它是抛物线的最 点（填“高”或“低”），即当x=0时，y有最 值等于0.抛物线在对称轴的左侧，图象从左往右呈 趋势，在对称轴的右侧，图象从左往右呈 趋势；即0时，随的增大而 。（二）例1在图（4）中，画出函数，的图象解：列表：x432101234x2-1.51-0.500.511.52（4）归纳：抛物线，的图象的形状都是 ；二次项系数_0；开口都 ；对称轴都是_或x=_；顶点都是_；顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低”） ，a越大，抛物线的开口越 例2 请在图（4）中画出函数，的图象列表：x-4-3-2-101234x3210123x2-1.51-0.500.511.52归纳：抛物线，的的图象的形状都是 ；二次项系数_0；开口都 ；对称轴都是_或x=_；顶点都是_；顶点都是抛物线的最_点（填“高”或“低”） ，a越大，抛物线的开口越 三、合作交流：独学对（群）学展示质疑（补充）点评归纳：1.抛物线的性质图象（草图）开口方向对称轴顶点有最高(低)点增减性最值0当x0时，y随着x的增大而 当x_时，y有最_值，是_0当x0时，y随着x的增大而 当x_时，y有最_值，是_2当0时，越大，抛物线的开口越_；当0时， 越大，抛物线的开口越_；因此，越大，抛物线的开口越_。四、当堂训练：独学对（群）学展示质疑（补充）点评1函数的图象开口向_，对称轴是_，顶点是_；当x_时，有最_值是_2. 函数的图象开口向_，对称轴是_，顶点是_；当x_时，有最_值是_3. 二次函数的图象开口向下，则m_当m= 时，抛物线开口向下4. 二次函数ymx有最高点，则m_5. 二次函数y(k1)x2的图象如右图所示，则k的取值范围为_6.已知抛物线y=ax2开口向下，且|a|=3，则a= .7若二次函数的图象过点（1，2），则的值是_8点（1，y1）、（2，y,2）在抛物线上，则y1 、y,2的大小关系是： 9点A（，b）是抛物线上的一点，则b= ；10函数具有的共同性质有： ； 11. 写出一个二次函数关系式，它的图像开口向下，顶点在原点，这函数关系式为： 12.二次函数与直线交于点P（1，b）（1）求a、b的值；（2）写出二次函数的关系式，并指出x取何值时，该函数的y随x的增大而减小22.1.3二次函数的图象（一）主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册【学习目标】1、知道二次函数与的联系； 2、掌握二次函数的性质，并会应用。【学习重难点】1、掌握二次函数的性质，并会应用。【学习过程】一、知识链接：独学对学展示点评1、直线可以看做是由直线向 得到的。2、若一个一次函数的图象是由平移得到，并且过点（-1,3），求这个函数的解析式。3、二次函数的图像是一条 ，当0时，抛物线开口 ，当 0时，抛物线开口 ，抛物线的顶点是 ，对称轴是 。二、合作探究 猜想：二次函数与的图象之间又有何关系吗？（一）在同一直角坐标系中，画出二次函数，的图象独学对（群）学展示质疑（补充）点评1.填表：x3210123开口方向顶点对称轴有最高（低）点最值当x_时，y有最_值，是_当x_时，y有最_值，是_当x_时，y有最_值，是_2可以发现，把抛物线向_平移_个单位，就得到抛物线；把抛物线向_平移_个单位，就得到抛物线.3抛物线，的形状_开口大小 。（二）归纳：1、抛物线的性质图象（草图）开口方向对称轴顶点有最高(低)点增减性最值0当x0时，y随着x的增大而 当x_时，y有最_值，是_0当x0时，y随着x的增大而 当x_时，y有最_值，是_2、抛物线与形状相同，位置不同，是由向 平移得到的。（填上下或左右）二次函数图象的平移规律：上 下 。3、的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。三、当堂训练：1抛物线向上平移3个单位，就得到抛物线_；抛物线向下平移4个单位，就得到抛物线_2抛物线向上平移3个单位后的解析式为 ，它们的形状_，当= 时，有最 值是 。3写出一个顶点坐标为（0，3），开口方向与抛物线的方向相反，形状相同的抛物线解析式_4抛物线的对称轴是直线 ，当x_时，y有最_值，是_5抛物线有A（1，y1）和B（3，y2）两点，则y1 y2（填“”）6二次函数的经过点A（1，-1）、B（2，5）.求该函数的表达式；若点C(-2，),D（，7）也在函数的上，求、的值。22.1.3二次函数的图象（二）主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册【学习目标】1、会画二次函数的图象；2、知道二次函数与的联系；3、掌握二次函数的性质，并会应用。【学习重难点】1、知道二次函数与的联系；2、掌握二次函数的性质，并会应用。【学习过程】一、知识回顾：独学对学展示质疑（补充）点评1、将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。2、将抛物线的图象向下平移3个单位后的抛物线的解析式为 。3、二次函数图象上、下平移的规律：上 下 。4、抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是 。二、合作探究：独学对（群）学展示质疑（补充）点评1、画出二次函数，的图象；先列表：432101234归纳：（1）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 。图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。 可以看作由向 平移 个单位形成的。（2）的开口向 ，对称轴是直线 ，顶点坐标是 ， 图象有最 点，即= 时，有最 值是 ；在对称轴的左侧，即 时，随的增大而 ；在对称轴的右侧，即 时随的增大而 。可以看作由向 平移 个单位形成的。三、知识梳理：独学对（群）学展示质疑（补充）点评（一）抛物线特点：1.当时，开口向 ；当时，开口 ；2. 顶点坐标是 ；3. 对称轴是直线 。（二）抛物线与形状相同，位置不同，是由 平移得到的。（填上下或左右）结合学案和课本第33-34页可知二次函数图象的平移规律：左 右 ，上 下 。（三）的正负决定开口的 ；决定开口的 ，即不变，则抛物线的形状 。因为平移没有改变抛物线的开口方向和形状，所以平移前后的两条抛物线值 。四、课堂训练：独学对（群）学展示质疑（补充）点评1抛物线的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；当 时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。2. 抛物线的开口_；顶点坐标为_；对称轴是直线_；当 时，随的增大而减小；当 时，随的增大而增大。3. 抛物线的开口_；顶点坐标为_；对称轴是_；4.抛物线向右平移4个单位后，得到的抛物线的表达式为_5. 抛物线向左平移3个单位后，得到的抛物线的表达式为_6将抛物线向右平移1个单位后，得到的抛物线解析式为_7抛物线与y轴的交点坐标是_，与x轴的交点坐标为_8. 写出一个顶点是（5，0），形状、开口方向与抛物线都相同的二次函数解析式_22.1.3二次函数的图象（三）主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册【学习目标】1、会画二次函数的顶点式的图象；2、掌握二次函数的性质；【学习重难点】1、掌握二次函数的性质。【学习过程】一、知识链接：独学对学展示质疑（补充）点评1、二次函数图象的平移规律：上 下 ，左 右 。2、将二次函数的图象向上平移2个单位，所得图象的解析式为 。3、将抛物线的图象向左平移3个单位后的抛物线的解析式为 。4、抛物线开口方向是 ，顶点坐标为 ，对称轴为 ；抛物线顶点坐标为 ，对称轴为 ；抛物线顶点坐标为 ，对称轴为 。二、合作探究：独学对（群）学展示质疑（补充）点评在右图中做出的图象：观察：1、 抛物线开口向 ；顶点坐标是 ；对称轴是直线 。2、抛物线和的形状 ，位置 。（填“相同”或“不同”）3、抛物线是由如何平移得到的？答： 。三、知识梳理：独学对学展示质疑（补充）点评结合上图和课本第36页例3归纳：（一）抛物线的特点：1、当时，开口向 ；当时，开口 ；2、对称轴是直线 ；3.顶点坐标是 。（二）抛物线与形状 ，位置不同，是由平移得到的。（三）平移前后的两条抛物线值 。四、当堂训练：独学对（群）学展示质疑（补充）点评1、二次函数的图象可由的图象（ ）A.向左平移1个单位，再向下平移2个单位得到 B.向左平移1个单位，再向上平移2个单位得到C.向右平移1个单位，再向下平移2个单位得到 D.向右平移1个单位，再向上平移2个单位得到2、抛物线开口 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y有最 值为 。开口方向顶点对称轴最值3、填表：4、函数的图象可由函数的图象沿x轴向 平移 个单位，再沿y轴向 平移 个单位得到。5、若把函数的图象分别向下、向左移动2个单位，则得到的函数解析式为 。6、顶点坐标为（2，3），开口方向和大小与抛物线相同的解析式为（ ）A B CD7、一条抛物线的形状、开口方向与抛物线相同，对称轴和抛物线相同，且顶点纵坐标为0，求此抛物线的解析式.8、二次函数和的图像的关系如下图所示，请利用“平移”知识把下图补充完整。 的图像的图像的图像的图像（ ）（ ）（ ）（ ） 22.1.3二次函数的图象（四）主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册【学习目标及学习重难点】会用二次函数的性质解决问题；【学习过程】一、知识链接：独学对学展示质疑（补充）点评1、抛物线开口向 ，顶点坐标是 ，对称轴是 ，当x 时，y有最 值为 。当 时，随的增大而增大.2、抛物线是由如何平移得到的？答： 。二、合作探究：独学对（群）学展示质疑（补充）点评1、抛物线的顶点坐标为（2，-3），且经过点（3,2）求该函数的解析式？分析：如何设函数解析式？写出完整的解题过程。2、仔细阅读课本第36页例4：分析：由题意可知：池中心是点 ，水管是线段 ，点 是喷头，线段 的长度是1米，线段 的长度是3米。转化成数学问题即为已知抛物线的顶点坐标为（ ， ）及抛物线与x轴的交点坐标为（ ， ），求抛物线与y轴交点点A的 坐标。解：设抛物线的解析式为 ，根据题意得三、当堂训练：独学对（群）学展示质疑（补充）点评1、如图，某隧道横截面的上下轮廓线分别由抛物线对称的一部分和矩形的一部分构成，最大高度为6米，底部宽度为12米. AO= 3米，现以O点为原点，OM所在直线为x轴建立直角坐标系.(1) 直接写出点A及抛物线顶点P的坐标；(2) 求出这条抛物线的函数解析式；2、如图抛物线与轴交于A,B两点，交轴于点D，抛物线的顶点为点C。（1）求ABD的面积。（2）求ABC的面积。22.1.4二次函数的图象主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册【学习目标】1、能通过配方把二次函数化成的形式，从而确定开口方向、对称轴和顶点坐标。2、熟记二次函数的顶点坐标公式；3、会画二次函数一般式的图象【学习重难点】1、会通过配方把二次函数化成的形式；2、熟记二次函数的顶点坐标公式。【学习过程】一、知识链接：独学对学展示质疑（补充）点评1、抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是直线 ；当= 时有最 值是 ；当 时，随的增大而增大；当 时，随的增大而减小。2、二次函数解析式中，很容易确定抛物线的顶点坐标为 ，所以这种形式被称作二次函数的顶点式。3、用配方法解一元二次方程的一般步骤为： 。一元二次方程配方后得： 。二、合作探究：（一）、问题：独学群学展示质疑（补充）点评（1）一元二次方程配方后可变为。所以二次函数可以写成： 。则的顶点坐标是 ，对称轴是 。（2）像这样我们可以把一个一般形式的二次函数用 的方法转化为 式从而直接得到它的图像性质。（3）用配方法把下列二次函数化成顶点式： （4）归纳：二次函数的一般形式可以用配方法转化成顶点式： 。因此，抛物线的顶点坐标是 ；对称轴是 。（5）用顶点坐标和对称轴公式也可以直接求出抛物线的顶点坐标和对称轴，这种方法叫做公式法。（6）用公式法写出下列抛物线的对称轴和顶点坐标。 （二）、用描点法画出的图像. 独学群学展示质疑（补充）点评（1）列表（2）描点，并连线。 （3）观察：图象开口向 ，对称轴是 ，有最 点，即= 时，有最 值是 即顶点坐标为（ ， ）； 时，随的增大而增大； 时，随的增大而减小。该抛物线与轴交于点 。该抛物线与轴有 个交点.三、归纳解析式开口方向顶点坐标对称轴有最高(低)点最大（小）值增减性yax2000000000022.1.5用待定系数法求二次函数的解析式 *主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册【学习目标】1.能根据已知条件选择合适的二次函数解析式；2.会用待定系数法求二次函数的解析式。【学习重难点】1、会用待定系数法求二次函数的解析式。【学习过程】一、知识链接：独学对学展示质疑（补充）点评1、二次函数的一般式为： ，顶点式为： 。2、二元一次方程组的消元方法有： 。3、一次函数经过点A(-1，2)和点B(2，5)，求该一次函数的解析式。分析：要求出函数解析式，需求出k，b的值，因为有两个待定系数，所以需要知道两个点的坐标，列出关于k，b的二元一次方程组即可。解：二、合作探究：独学群学展示质疑（补充）点评例1、已知一个二次函数的图像过（0,-3）、（4,5）、（-1,0）三点，求这个函数的解析式。分析：如何设函数解析式，顶点式还是一般式？答： ；所设解析式中有 个待定系数，它们分别是 ，所以一般需要 个点的坐标；请你写出完整的解题过程。解：设这个二次函数的解析式为由条件得解得二次函数的解析式为对应习题：已知一个二次函数的图象过（1，5）、（）、（2，11）三点，求这个二次函数的解析式。例2、已知二次函数的图像顶点为（1，-4）， 并经过点（0，-3），求此二次函数的解析式。分析：有顶点坐标，又过任意一点，如何设函数解析式？顶点式还是一般式？ 。解：设二次函数的解析式为 。由条件得点（0，-3）在抛物线上，所以 ，得 。所以所求的二次函数的解析式为 。变式训练：已知一个二次函数的图像过点（0，-3），（4，5），对称轴为直线x=1，求这个函数的解析式。分析：设所求的二次函数的解析式为，将（0，-3）和（4，5）代入，求出a，k即可。也可以运用公式小结：已知顶点坐标（h，k）或对称轴方程x=h和最值k时，优先选用顶点式。三、知识归纳用待定系数法求二次函数的解析式通常用以下2种方法：设顶点式和一般式。1已知抛物线过三点，通常设函数解析式为 ； 2已知抛物线顶点坐标及一点，通常设函数解析式为 。四、当堂训练：独学群学展示质疑（补充）点评1已知二次函数的图象的顶点坐标为（2，3），且图像过点（3，1），求这个二次函数的解析式2已知二次函数的图象过点（1，2），则的值为_3一个二次函数的图象过（0，1）、（1,0）、（2，3）三点，求这个二次函数的解析式。22.2二次函数与一元二次方程主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册【学习目标及学习重难点】1、 体会二次函数与一元二次方程之间的联系；2、 理解二次函数图象与x轴交点的个数与一元二次方程的根的个数之间的关系。【学习过程】一、知识链接：独学对学展示质疑（补充）点评1、x轴上的点的坐标特点为纵坐标为 ；y轴上的点的坐标特点为横坐标为 。2、直线与轴交于点 ，与轴交于点 。3、一元二次方程，当 时，方程有两个不相等的实数根；当 时，方程有两个相等的实数根；当 时，方程没有实数根；4、解下列方程（1） （2） （3）4、观察二次函数的图象，写出它们与轴的交点坐标：函数图象交点与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 与轴交点坐标是 3.对比第1题各方程的解，你发现什么？ 三、知识梳理：独学群学展示质疑（补充）点评一元二次方程的实数根就是对应的二次函数与轴交点的 .（即把代入）二次函数与一元二次方程的关系如下：（一元二次方程的实数根记为）二次函数与一元二次方程 与轴有 个交点 0，方程有 的实数根与轴有 个交点；这个交点是 点 。 0，方程有 实数根与轴有 个交点 0，方程 实数根.二次函数与轴交点坐标是 .四、当堂训练：独学群学展示质疑（补充）点评1、二次函数，当1时，_；当0时，_2、抛物线与轴的交点坐标是 ，与轴的交点坐标是 ；3、二次函数，当_时，3（4） （8）4、如图，一元二次方程的解为 ，不等式的解集为_。5、已知抛物线的顶点在x轴上，则_6、已知抛物线与轴有两个交点，则的取值范围是_7、如图，根据图象填空：（1）_0； （2） 0； （3） 0； （4） 0 ；(5) ； （6）。22.3复习二次函数解析式的求法主备人：陈艳宁 复核人： 年级：九年级上册学习目标及学习重难点： 1、复习用待定系数法求已知图象上三个点坐标的二次函数的关系式。2、使学生掌握已知抛物线的顶点坐标或对称轴等条件求出函数的关系式。3、能根据不同条件选择不同的方法求二次函数的关系式。学习过程：一、知识准备：独学对学展示质疑（补充）点评1、求二次函数的关系式，常见的类型有： (1)一般式： (2)顶点式： ，其顶点是( ， )；2、用待定系数法求已知三点坐标的二次函数关系式的一般步骤为：（1）设函数解析式为： ；（2）把已知三点坐标代入解析式组成方程组；（3）解方程组；（4）下结论。3、二次函数yax2bxc的对称轴是直线 ，顶点坐标是 ； 二、合作探究：独学群学展示质疑（补充）点评例1、已知二次函数的图象经过A(0，1)，B(1，3)，C(1，1），求二次函数的关系式。解：设二次函数的关系式为 ，根据题意得：解之得二次函数的解析式为例2、已知一个二次函数的图象过点(0，1)，它的顶点坐标是(8，9)，求这个二次函数的关系式。 分析：这个二次函数的图象顶点坐标是(8，9)，因此，可以设函数关系式为： ，由于二次函数的图象过点(0，1)，将(0，1)代入所设函数关系式，即可求出a的值。解：例3、已知抛物线对称轴是直线x2，且经过(3，1)和(0，5)两点，求二次函数的关系式。解：设所求二次函数的关系式为ya(x2)2k，由于二次函数的图象经过( ， )和( ， )两点，可以得到 解这个方程组，得： 所以，所求二次函数的关系式为y2(x2)23，即y2x28x5。例4、已知抛物线的顶点是(2，4)，它与y轴的一个交点的纵坐标为4，求函数的关系式。 分析：抛物线与y轴的一个交点的纵坐标为4，所以抛物线过点( ， )，又因为抛物线的顶点是(2，4)，所以可通过二次函数顶点式求函数的关系式。解：设所求的函数关系式为 ，依题意，得所求二次函数的关系式为 ，即 。例5、已知二次函数当x3时，有最大值1，且当x0时，y3，求二次函数的关系式。解：设二次函数关系式为ya(xh)2k，依题意得： 。 因为二次函数图象过点( ， )，所以有 解得a所以，所求二次函数的关系为 ，即yx2x3归纳：已知二次函数的最大值或最小值，就是已知该函数的 坐标，进而可应用顶点式求函数关系式。三、当堂训练：独学群学展示质疑（补充）点评1、已知二次函数yx2pxq的图象的顶点坐标是