数学理卷·2014届湖北省宜昌市高三5月模拟考试(201405).doc

宜昌市2014届高三年级五月模拟考试试题数 学（理工类）【试卷综析】本套试题，具体来说比较平稳，遵照高考考试大纲和考试大纲说明的要求，从题型设置、考察知识的范围等方面保持稳定，试题难度适中，基本符合高考复习的特点，稳中有变，变中求新,适当调整了试卷难度，体现了稳中求进的精神。考查高中数学基本概念、基本技能和基本方法等数学基础知识，突出三基，强化三基的同时，突出了对学生能力的考查，注重了对学科的内在联系和知识的综合、重点知识的考查，并达到了必要的深度，考查的知识涉及到函数、三角函数、数列、解析几何、立体几何、排列组合、概率、复数等几章知识，重视学科基础知识和基本技能的考察，同时侧重考察了学生的学习方法和思维能力的考察，有相当一部分的题目灵活新颖，知识点综合与迁移。且都是从中学数学的基础知识、重点内容、基本方法出发，在知识的交汇点处设计命题，解答题实行了分步把关，层层递进，让不同层次的同学都能展示自身的综合素质和综合能力。一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分. 在每小题给出的四个选项中，只有一项符合题目要求. 【题文】若复数是纯虚数，其中m是实数，则A.i B.-i. C.2i D. -2i.【答案】【知识点】复数的基本运算.【答案解析】 C 解析：解：因为复数z为纯虚数，所以解得m=10，则,即，故选C.【思路点拨】先通过复数是纯虚数，解出m=10，再代入化简即可.【题文】集合，则集合S的个数为 A.8 B.4 C.2 D.0 【答案】【知识点】对数函数的单调性与特殊点；集合的包含关系判断及应用；交集及其运算【答案解析】 B 解析：解：log2（x+1）1log2（x+1）log22 ，故B=0，1，从0开始逐一验证自然数可知A=1，2，3，要使SA，SB，S中必含有元素1，可以有元素2，3，所以S只有1，1，2，1，3，1，2，3故选：B【思路点拨】首先化简集合A和B，然后由条件可知S中必含有元素1，可以有元素2，3，从而得出结果【题文】总体由编号分别为01,02,19,20的20个个体组成。利用下面的随机数表选取5个个体，选取方法是从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右依次选取两个数字，则选出来的第5个个体的编号为 A.08 B.07 C.02 D.01 【答案】【知识点】简单随机抽样【答案解析】 D 解析：解：从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读，第一个数为65，不符合条件，第二个数为72，不符合条件，第三个数为08，符合条件，以下符合条件依次为：08，02，14，07，01，故第5个数为01故选D【思路点拨】从随机数表第1行的第5列和第6列数字开始由左到右一次选取两个数字开始向右读即可.【典型总结】本题主要考查简单随机抽样在随机数表中每个数出现在每个位置的概率是一样的，所以每个数被抽到的概率是一样的【题文】函数有且仅有一个正实数零点，则实数m的取值范围是 A. B. C. D. 【答案】【知识点】函数的零点【答案解析】 D 解析：解：当m=0时，令f（x）=-2x+1=0，求得x= ，满足条件当m0时，函数f（x）=mx2-2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），由f（x）有且仅有一个正实数的零点，则得 对称轴x= 0，且判别式=4-4m=0，求得m=1或者对称轴x= 0，解得 m0综上可得，实数m的取值范围m|m=1，或m0故选D【思路点拨】当m=0时，令f（x）=-2x+1=0，求得x= ，满足条件当m0时，函数f（x）=mx2-2x+1图象是抛物线，且与y轴的交点为（0，1），由f（x）有且仅有一个正实数的零点，则得 对称轴x= 0，且判别式=4-4m=0，或者对称轴x= 0，分别求得m的范围，再取并集，即可得实数m的取值范围【典型总结】本题主要考查函数的零点的定义，二次函数的性质应用，体现了分类讨论的数学思想，属于基础题【题文】函数的图象向左平移个单位后关于原点对称，则函数在上的最小值为 A. B. C. D. 【答案】【知识点】函数y=Asin（x+）的图象变换【答案解析】 A 解析：解：函数f（x）=sin（2x+）（|）的图象向左平移个单位后，所得图象对应的函数解析式为 y=sin2（x+）+=sin（2x+）再由所得图象关于原点对称，可得y=sin（2x+）为奇函数，故 +=k，kz，=-可得 函数f（x）=sin（2x-）故选A【思路点拨】由函数y=Asin（x+）的图象变换可求，最后得到结果.【题文】给出下列四个结论：由曲线、围成的区域的面积为； “”是“向量与向量平行”的充分非必要条件； 命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b都不是有理数”；函数的最小值等于4。其中正确结论的个数为A.1 B.2 C.3 D.4 【答案】【知识点】定积分的计算；向量平行充要的条件；命题的否定；基本不等式.【答案解析】 A 解析：解：由曲线、围成的区域的面积为,故错误；由向量平行的条件可得解得，所以“”是“向量与向量平行”的充分非必要条件；故正确.命题“a、b都是有理数”的否定是“a、b不都是有理数”； 故错误；，当且仅当时等号成立，而无解，故错误；综上，答案选A.【思路点拨】通过定积分的计算可判断错误；利用向量平行充要的条件得到正确；由命题否定的形式判断出错误；利用基本不等式时，必须同时满足三个条件：“一正二定三相等”三个条件缺一不可.【题文】已知直线l和双曲线相交于A、B两点，线段AB的中点为M（与坐标原点不重合），设直线l的斜率为 ，直线OM的斜率为，则A. B. C. D. 【答案】【知识点】直线与双曲线相交问题；点差法.【答案解析】 D 解析：解：设，满足双曲线成立，则有，两式相减得：即整理得故答案为D.【思路点拨】先设代入双曲线方程，利用点差法即可.【题文】某班班会准备从含有甲、乙、丙的7名学生中选取4人发言，要求甲、乙两人至少有一人参加，若甲、乙同时参加时，丙不能参加，且甲、乙两人的发言顺序不能相邻，那么不同的发言顺序有 A.484种 B.552种 C.560种 D.612种【答案】【知识点】排列组合的综合应用.【答案解析】 B 解析：解：（1）甲乙两人只有一人参加的顺序有=480，(2) 甲、乙同时参加时有=72;故不同的发言顺序有552种.【思路点拨】根据题意分类即可.【题文】在三棱锥中，PABC.PA.平面ABC，ACBC.，为侧棱上的一点，它的正视图和侧视图如图所示： 则下列命题正确的是 A. ，且三棱锥D- ABC的体积为B. ，且三棱锥D-ABC的体积为C. ，且三棱锥D-ABC的体积为D. ，且三棱锥D-ABC的体积为【答案】【知识点】直线与平面垂直的判定；命题的真假判断与应用；简单空间图形的三视图【答案解析】 A 解析：解：PA平面ABC，PABC，又ACBC，PAAC=A，BC平面PAC，BCAD，又由三视图可得在PAC中，PA=AC=4，D为PC的中点，ADPC，AD平面PBC又BC=4，ADC=90，BC平面PAC故VDABCVBADC【思路点拨】先证明出BCAD，再由三视图结合已知证得，BC平面PAC最后用体积转化VDABCVBADC即可得到结果【典型总结】本题考查直线与平面垂直的判断，几何体的体积的求法，考查命题的真假的判断与应用【题文】设函数在区间上的导函数为，在区间上的导函数为，若在区间上恒成立，则称函数在区间上为“凸函数”已知,若对任意满足的实数，函数在区间上为“凸函数”，则的最大值为 A.4 B.3 C.2 D.1 【答案】【知识点】利用导数研究函数的单调性；导数在最大值、最小值问题中的应用【答案解析】 C 解析：解：（1）由题意可得在0，3上恒成立，解得m2m的取值范围是（2，+）；（2）令对上恒成立，解得-1x1（b-a）max=1-（-1）=2【思路点拨】（1）由题意可得在0，3上恒成立，解得m即可；（2）令对上恒成立，即转化为看作关于m的一次函数，利用其单调性即可解得x即可【典型总结】正确把问题等价转化和熟练掌握导数的运算法则、一次函数和二次函数等是解题的关键【题文】如图所示的程序框图的输出值，则输入值x的取值范围为_ 【答案】【知识点】程序框图；分段函数；对数不等式的解法；指数不等式的解法.【答案解析】 解析：解：若解得；若解得，故答案为.【思路点拨】通过对程序框图的判断，可知是解关于x的对数不等式与指数不等式.【题文】 若a, b, c为正实数且满足，则的最大值为_ 【答案】【知识点】一般形式的柯西不等式；平均值不等式在函数极值中的应用【答案解析】 解析：解：由柯西不等式，当且仅当a+1=2b+1=3c+1即a=2，b=1，c= 时等号成立，的最大值为 【思路点拨】利用柯西不等式得（a2+b2+c2）（m2+n2+p2）（am+bn+cp）2进行求解即可【题文】过点的直线与曲线相交于两点A, B，则线段AB长度的取值范围是_ 【答案】【知识点】数形结合的思想方法.【答案解析】 解析：解：曲线变形为或如图所示：过（0,1）点的直线与曲线交于A,B时最短为，交于C,D时最长为4.故答案为【思路点拨】先把原曲线对应的函数图像画出，再利用数形结合的思想方法即可得到结果.【题文】图中的三角形称为希尔宾斯三角形，在下列四个三角形中，黑色三角形的个数依次构成数列的前四项，依此着色方案继续对三角形着色. （1）数列的通项公式_；（2）若数列满足，记，则M的个位数字是_ 【答案】【知识点】数列递推式【答案解析】（1）（2）1 解析：解：（1）由图形得：第2个图形中有3个三角形，第3个图形中有33个三角形，第4个图形中有39个三角形，以此类推：第n个图形中有3n-1个三角形（2）由题意可知：，代入M得,等式两边同时乘以2得化简得,易知的余数为1，故M的余数为1.答案为1.【思路点拨】（1）根据图形的特点，每增加一个三角形应在原来的基础上再增加3倍个三角形，三角形的个数为：1，3，33，39，归纳出第n图形中三角形的个数（2）由题意可知：，代入M化简得,易知M的余数为1.【题文】（几何证明选讲）如图，从圆O外一点A引圆的切线AD和割线ABC，已知AD，AC=6 ，圆O的半径为3，则圆心O到AC的距离为 【答案】【知识点】圆的切线的判定定理的证明【答案解析】 解析：解：连接OB，过O点向AC引垂线，垂足为E，AD=2 ，AC=6，由切割线定理可得，AD2=ACAB，AB=2，BC=4，由垂径定理得BE=2又R=OB=3，OE= ，故答案为：【思路点拨】要求圆心O到AC的距离，我们要先做出O点到AC的垂线段OE，则OE的长度即为所求，根据半径、半弦长（BE）、弦心距（OE）构成直角三角形，满足勾股定理，故我们要要求出半弦长（BE），根据切割线定理，我可以求出AB长，进而得到BE，代入即可得到答案【题文】（坐标系与参数方程选讲）在直角坐标系xOy中，直线l的参数方程为（t为参数），以坐标原点为极点，以x轴的正半轴为极轴，单位长度不变，建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为，若直线l和曲线C相切，则实数k的值为_ 【答案】【知识点】直线与圆锥曲线的关系；参数方程化成普通方程【答案解析】 1 解析：解：由，得直线l的普通方程为y=kx+1， 由，得2sin2=4cos，y2=4x，把y=kx+1代入y2=4x，得k2x2+（2k-4）x+1=0，由直线l和曲线C相切，得=（2k-4）2-4k2=0，解得k=1【思路点拨】把y=kx+1代入y2=4x，得k2x2+（2k-4）x+1=0，由直线l和曲线C相切，能求出实数k的值【题文】（本小题满分12分）在ABC中，D是边AC的中点，且AB=AD=1 ，BD= （1）求cosA的值； （2）求sinC的值 【答案】【知识点】余弦定理；正弦定理；平方关系.【答案解析】（1）（2） 解析：解：(1)在中,.4分(2)由(1)知,且.6分是边的中点,在中,.8分解得由正弦定理得12分【思路点拨】（1）在三角形中借助与余弦定理即可.（2）先用余弦定理解得再由正弦定理得即可.【题文】（本小题满分12分）第22届索契冬奥会期间，来自俄罗斯国际奥林匹克大学的男、女大学生共9名志愿者被随机地平均分配到速滑、冰壶、自由式滑雪这三个岗位服务，且速滑岗位至少有一名女大学生志愿者的概率是 （1）求冰壶岗位至少有男、女大学生志愿者各一人的概率； （2）设X为在自由式滑雪岗位服务的男大学生志愿者的人数，求X的分布列和期望 【答案】【知识点】相互独立事件的概率；二项分布的分布列和数学期望.【答案解析】（1）（2）2 解析：解：(1)记至少一名女大学生志愿者被分到速滑岗位为事件A,则A的对立事件为“没有女大学生志愿者被分到速滑岗位”,设有女大学生x人,那么.即女大学生志愿者有3人,男大学生志愿者有6人.3分记冰壶岗位至少有男女大学生志愿者各一人为事件B,则6分(2)X的所有可能值为0,1,2,3,.10分的分布列为X0123P12分【思路点拨】（1）记至少一名女大学生志愿者被分到速滑岗位为事件A,则A的对立事件为“没有女大学生志愿者被分到速滑岗位”,设有女大学生x人,再由，可解的x=3,然后再求出.（2）依次求出当X取0,1,2,3时的概率，再代入公式求出期望值即可.【题文】（本题满分12分）如图，C是以AB为直径的圆O上异于A, B的点，平面PAC. ，PA=PC=AC=2，BC=4，E, F分别是PC, PB的中点，记平面AEF与平面ABC的交线为l （1）求证：直线l平面PAC； （2）直线l上是否存在点Q，使直线PQ分别与平面AEF、 直线EF所成的角互余？若存在，求出|AQ|的值；若不存在，请说明理由 【答案】【知识点】线面平行的判定定理；线面垂直的判定定理；夹角公式.空间直角坐标系，空间向量.【答案解析】（1）略（2）在上存在点Q,使直线分别与平面AEF、直线EF所成的角互余,AQ=1。.解析：解：(1)证明:E,F分别为PB,PC的中点, 又.2分又.4分又.6分(2)以C为坐标原点, 所在的直线为x轴, 所在的直线为y轴,过C垂直面ABC的直线为z轴建立空间直角坐标系.则A(2,0,0),B(0,4,0),P(1,0, ),E(),F().7分,设,平面AEF的法向量为,则即,令z=得到与平面AEF的一个法向量为.10分,依题意得,在上存在点Q,使直线分别与平面AEF、直线EF所成的角互余,AQ=1.12分【思路点拨】先利用已知条件得到，再结合相关结论证出即可得到结论 (2)先建立空间直角坐标系.再取平面AEF的法向量为,然后计算出法向量为再由得到结论.【题文】（本小题满分12分）已知数列的通项公式为，且数列的通项公式满足（1）试确定实数t的值，使得数列为等差数列； （2）当数列为等差数列时，对每个正整数k，在和之间插入个2，得到一个新数列。设是数列的前n项和，试求满足的所有正整数m.【答案】【知识点】等差数列的定义；等比数列的性质.【答案解析】（1）略 （2） 解析：解：(1)当n=1时得同理:n=2时,得时,得则由,得.而当时,得,又故此数列为等差数列.6分(2)由题意知, ,则当m=1时，不合题意,舍去;当m=2时, 成立;当时,若则不合题意,舍去;从而必是数列中的某一项,则,.9分又所以，因为为奇数,而为偶数,所以上式无解.即当时, .综上所述,满足题意得正数仅有.12分【思路点拨】（1）由对于成立取n=1,2,3时得到即可；（2）由题意对m进行取舍，然后在证明出当时, ，故可得到结论.【题文】（本小题满分13分）设椭圆的中心和抛物线的顶点均为原点O，、的焦点均在x 轴上，过的焦点F作直线l，与交于A、B两点，在、上各取两个点，将其坐标记录于下表中： （1）求、的标准方程；（2）已知P、Q是上的两点，若，求证：为定值；反之，当为此定值时，是否成立？请说明理由【答案】【知识点】直线与曲线的位置关系；根与系数的关系.【答案解析】（1）（2）定值,为此定值时不一定成立解析：解：(1) 在椭圆上, 在抛物线上,.4分(2) 若P、Q分别为长轴和短轴的端点,则.6分若P、Q都不为长轴和短轴的端点,设OP: 那么OQ: 联立方程解得.8分同理联立方程,解得综合可知为定值.10分反之,对于上的任意两点P、Q,