自学考试高数一真题答案详细解释(2007年4月,2006年4月,.pdf

全国 2007 年 4 月高等教育自学考试 高等数学 一 试题 课程代码 00020 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 1 设函数f x 的定义域为 0 4 则函数f x2 的定义域为 A 0 2 B 0 16 C 16 16 D 2 2 知识点 函数的定义域 解 由题意得 解得 2 0 x 422x 2 x x x1 lim A 0 B 1 C 1 D 不存在 知识点 函数的极限 解 11 limlim1 xx xx xx 3 设 f x 为可微函数 且 n 为自然数 则 n 1 lim n f xf x n A 0 B x f fx C D 不存在 知识点 函数的极限 解 nn 1 1 lim lim 1 f xf x n n f xf xfx n n 4 设 f x 是连续函数 且 f 0 1 则 2 0 0 x lim x dt t tf x A 0 B 1 2 C 1 D 2 知识点 1 函数的极限 0 0 sin 1 ln x A Bxx ex C 该题是型的未定式极限 有以下求解方法 分子 分母含有相同的零因式 消去零因式 等价无穷小替换 常用 洛必达法则 1 xx 2 变限积分函数的导数公式 v x u x f t dtf v xv xf u xu x 解 0 2 x0 x0 x0 111 limlimlim 0 222 x tf t dt xf x f xf 2xx 5 已知某商品的产量为 x 时 边际成本为 则使成本最小的产量是 x e x 1004 A 23 B 24 C 25 D 26 知识点 函数的最值 解 令 解得 4100 0 x ex 25 x 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 10 小题 每空小题 每空 3 分 共分 共 30 分 分 0 6 函数 f x ln 1 x x 0 的值域是 知识点 函数的值域 解 0 0 11 ln 1 0 x x x f xx Q 7 设 n n n xn n n xlim 3 1231 则 L 3 知识点 数列的极限 解 121 1 3213 2 limlimlimlim3 33 n nnnn nn nn xnn nn L 3n 8 xx x2 sin 35 53 lim 2 x 6 5 知识点 函数的极限 解 222 2 xxx 35235 2610 limsinlimlim 5353535 xxx xxxxxx 6 9 设 00 0 1 2 x x x e x f x 则 1 f0 知识点 函数的导数 解 2 2 2 2 0000 1 2 0 1 0 limlimlimlim1 02 x x x xxxx e exf xfe x f xxxx 10 设 f x x x2 则 f1 2 知识点 函数的导数 解 因为 f x 2 2 2 2 02 x xx x x xx x x 或0 所以 法一 111 2 1 1 2 1 limlimlim2 11 xxx x f xf x f xx x 法二 因为当时 02x 则为常数 其中0 ln ay axx 知识点 偏导数 解 ln ln ayay y u xx ayaxx y 注 该题还可变化为求 222 22 uuuu 2 u xxx yy xy 15 微分方程的阶数是 1 03 2 xyyyx 知识点 微分方程 解 根据方程中出现的未知函数的最高阶导数的阶数称为微分方程的阶 有微分方程 的阶数是 1 2 3x yyyx 0 三 计算题 一 本大题共三 计算题 一 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 分 16 求极限 x1 lim 1 n 2 ta x x 2 知识点 函数的极限 解 x1x1x1x1 1 sin 11 2 lim 1 tanlimlimlim 2 coscos sin 222 x x xx x xx 2 2 x 17 设 2 4 816tan x x yy x 求 知识点 函数的导数 解 2 2 sectan xxx y x 2 22 4 sectan 816 444 4 x y 18 求不定积分 22 2 1x C x 1 dx xx 知识点 不定积分 解 法一 2 tan 2 2222 2 2 seccos sin 1tan1tan 111 sin sinsin xt dxtdtt dt t xxtt x dtCC ttx 法二 2 1 2 22 3 22 2 1 1 11 2211 1 11 121 2 u x u t d dxdxdu x u xx x xx tdtx tCC tx 1 注 该题是教材 229 页例 13 的 4 19 计算定积分 1 0 2 169xx dx1 4 知识点 定积分 解 31 11144 1 2222 10001 31111 961333 3131 xt dxdxdxdt t xxt xx 1 4 22 1 2 1 cossin2sinlnsin yy yxxxdxy xxxx dy 20 设 求 dz 2 sin y xxz 知识点 全微分 解 22 22 22 11 22 2 1 2 sinsin 1 cossin sinlnsin 2sinlnsin 1 cossin2sinlnsin yy x yy y yy z yxxxxyxxx x z xxxxyy xxx y zz dzdxdy xy x yxxxdxy xxxx dy 四 计算题 二 本大题共四 计算题 二 本大题共 3 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 21 分 分 21 设 2 32 x1112x 1 lnarctan 1 6 x1 1 133 yxy xx 求 知识点 函数的导数 解 2 2 112x 1 ln x1ln1arctan 633 yxx 222 2 2 22 2 3 2 2 x11211 3 613 x12x 1 1 3 12211 6 x1121 1211 3 x16121 12 3 x131 1 x1 x y xx x xxxx x xxxx x xx 22 求 1 sin1 cos11 2 e sin ln e x dx 的值 知识点 定积分 注 1 分部积分公式 bb b a aa udvuvvdu 或 bb b a aa uv dxuvvu dx 2 分部积分公式适用范围 被积函数是乘积形式 且新积分比原积分容易计算 3 分部积分公式关键点 恰当地选取 u 和 v 一般 被积函数是两类基本初等函数的乘积 可按下列 顺序 反三角函数 对数函数 幂函数 三角函数 指数函数 将排在前面的那类函数选作 u 后面的那类函数选作 v 1 11 1 1 1 1 1 sin ln sin ln cos ln x sin1cos ln 1 sin1cos ln xsin ln x sin1cos1 1sin ln sin1cos1 1 ee e e e e e x dxx xxdx x ex dx exx x eex dx ee 解 法一 因为 1 sin ln e x dx dx 故 1 sin ln sin1cos1 1 e x dxee 2 即 1 sin1 cos11 sin ln 2 ee x dx 1 10 11 0 1 0 11 00 1 0 ln sin ln sin sincos sin1cos sin1cossin sin1cos1 1sin t e t tt t tt t xtex x dxt e dt t et e dt et e dt et et e eet e 0 法二 令则 1 0 sin1cos1 1sin t eet e dt dt dt 故 1 0 sin sin1cos1 1 t t e dtee 2 即 1 sin1 cos11 sin ln 2 ee x dx 注 教材 291 页例 8 的 4 23 设 D 为 xoy 平面上由 x 0 2 2 yxy y 及所围成的平面区域 试求 2 3 1 82 sin D x dxdy y 知识点 二重积分 步骤 1 画积分区域图形 2 确定积分次序 3 确定积分上下限 4 计算求值 解 2 2 2 0 2 0 2 0 2 2 2 2 2 22 2 sinsin sin cos cos1 cos sincos 2 1 282 3 1 82 y D y y xx dxdydydx yy xx ydyd yy x ydy y yydy yyy dy y yyy 五 应用题 本大题五 应用题 本大题 9 分 分 24 某厂每批生产某产品 x 单位时 边际成本为 5 元 单位 边际收益为 10 0 02x 元 单位 当生产 10 单位产品时总成本为 250 元 问多少 250 单位产品时利润最大 并求出最大利润 425 元 每批生产 知识点 由边际函数求总函数 函数的最值 q 产量或销售量 P 销售单价 固定成本是常数与 q 无关 可变成本是 q 的函数 0 C 1 C q 总 成 本 函 数C q 01 CC q 是q的 单 调 增 加 函 数 1 0 0C 即 0 0 CC 总收益函数 R q Pq 总利润函数 L q R q C q 已知总函数求边际函数要进行求导 即 MCC qMRR qML 边际成本边际收益边际利润L q 已知边际函数求总函数要进行求积分 即 如果已知边际成本函数 MC f q 边际收益函数 MR g q 则 成本函数 0 C q 0 C q f x dx 收益函数 q 0 R q g x dx 所以总利润函数为 0 C q 0 L q R q C q g x f x dx 解 1 由边际利润 边际收益 边际成本 得 ML 10 0 02x 5 令 ML 0 得 x 250 故每批生产 250 单位产品时利润最大 2 总收益函数 R x 2 0 100 02100 01 x t dtxx 总成本函数 C x 00 0 55 x dtCxC 又由当生产 10 单位产品时总成本为 250 元得 0 2505 10C 故 0 200C 则总成本函数 C x 520 x0 总利润函数 L x R x C x 2 0 015200 xx 则 L 250 2 0 01 2505 250200425 故每批生产 250 单位产品时利润最大 最大利润为 425 元 六 证明题 本大题共六 证明题 本大题共 5 分 分 25 证明方程 22 0sin1 xx在区间内至少有一个根 知识点 闭区间上连续函数的零点定理 证明 令 F x 1sinxx 2 2 则F x 在区间上连续 且 110 222 F 根据闭区间上连续函数的零点定理得 F x 2 2 在区间 内至少有一个零点 即方程 1sin0 2 2 xx 在区间 内至少有一个根 全国 2006 年 4 月高等教育自学考试 高等数学 一 试题解析 课程代码 00020 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或 未选均无分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多选或 未选均无分 1 已知 f x 的定义域是 0 3a 则 f x a f x a 的定义域是 B A a 3a B a 2a C a 4a D 0 2a 032 2 034 2 xaaaxa axaxaa xaaaxa f xaf xaaa B 2 解 由题意有 函数的定义域是 选 2 xsin x 1 sinx lim 2 0 x D A 1 B C 不存在 D 0 22 000 11 sinsin 1 limlimlim sin0 sin xxx xx xx x xx D x 解 选 3 设 D D p 是市场对某一商品的需求函数 其中 p 是商品价格 D 是市场需求量 则需求价格弹性是 B A p D p D B p D D p C D p p D D D p D p 149 p D p D B Q ED 解 需求价格弹性函数为 Ep 选 见教材页 4 x tdtcos lim 0 x 2 0 x C A 0 B 1 C 1 D 0 2 2 00 cos cos limlim1 1 x xx tdt x x 解 5 C 2 22 yx dxdy A B 4 C 2 D 2 22 2 2 2 2 xy dxdy 解 利用二重积分的性质 当被积函数是1时 二重积分的值是被积区域的面积 见教材369页 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 3 分 共分 共 30 分 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 6 若f x 1 x cosx则f 1 1 1 1 1 cos 1 1 1 1 cos 1 1 0cos01 xtxtf ttt f 解 令则所以 则 7 3 32 1 lim 1 51 x n nn 3 3 32 3 1 1 1 limlim1 11 51 1 5 xx n n nn nn 解 8 若f x 在x x0处可导 且 00 0 0 5 3 lim3 5 h f xf xh fx h 则 0000 0 00 00 0 0 5 5 lim5lim5 5 5 lim3 3 5 hh h f xf xhf xhf x fx hh f xf xh h fx Q Q 解 又 9 曲线y x3 5x2 3x 5 的拐点是 5 20 3 27 32 2 32 535 3103 610 5 6100 3 55 0 0 33 5 20 535 3 27 yxxx yxx yx yxx xyxy yxxx Q解 令 解得x 2 则曲线的凹区间是 注 注 0 0 fxf xfxf x Q 解 设围成正方形的铁丝长 则围成圆形的铁丝长为1 正方形的边长为圆形的半径为则正方形和圆形的面积和为 y x y 8 4 令y 0 则y的驻点是x 4 1 8 4 x 是 的极小值点 4 4 围成正方形的铁丝长则围成圆形的铁丝长为 4 4 23 设 D 是由 x 轴 y x 4 和 y D xydxdy x2试求所围成的闭区域 2 2 4444 4 4 2 2 2 000 2 44 44 2 2 00 4 5 32 0 4 436 2 0 11 4 224 11 4816 2424 1 816 24 1 88 24324 96 y y y D y y xydxdyydyxdxy xdyyydy yy yydyyyydy y yyydy yyy y 解 法一 428248 22 22 04 004404 48 2 04 48 232 04 8 4 343 2 0 4 11 22 11 21016 22 1 1016 2 1 108 3243 96 xx xx x Dx xydxdyxdxydyxdxydyx ydxx ydx xxdxxxxdx x dxxxx dx xxx x 法二 五 应用题 本大题五 应用题 本大题 9 分 分 24 已知某企业生产某种产品 q 件时 MC 5 千元 件 MR 10 0 02q 千元 件 又知当 q 10 件时 总成本为 250 千元 求最大利润 其中边际成本函数 MC dq dC 边际收益函数 MR dq dR 注 见教材注 见教材 311 页例页例 10 相关的经济学的符号大家也要熟悉 相关的经济学的符号大家也要熟悉 六 证明题 本大题 5 分 六 证明题 本大题 5 分 25 设 f x x t dxxf t t dt t t 0 0 2 1 sin sin 证明定义 0 000 0 0 00 sinsin 1 sinsinsin sin 0sincos1 12 x t xxx tt f xdt tt ttt f x dxdtdxxdtdtxdx ttt x xdxxdxx x Q解 定义 全国 2006 年 1 月高等教育自学考试 高等数学 一 试题解析 课程代码 00020 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号 内 错选 多选或未选均无分 1 设f x 1 x2 3x 2 则f x B A xA x 2 2 6x 5 B x 6x 5 B x 2 2 5x 6 5x 6 C xC x 2 2 5x 2 D x 5x 2 D x 2 2 x x 22 2 1 1 1 3 1 256 56 xtxt f ttttt f xxx B 解 令则故 选 2 设函数y f x 在点x0可导 且则 a x f 0 x x f x2x f lim 00 0 x C A a B 2a A a B 2a C 2a D C 2a D 2 a 0000 0 00 2 2 lim2 lim 2 2 2 xx f xxf xf xxf x fxa xx C 解 选 3 若函数f x 在点x0处自变量增量 x 0 25 对应函数增量 y的线性主部为 2 则函数在该点的导数值 x f 0 B A 4 B 8 A 4 B 8 C 0 5 D 0 125 00 0 0 0 0 0 25 2 2 0 25 8 x xx x ydyoxfxxo ydyfxx xdy fx fx B x Q Q 解 的线性主部为 又 选 4 微分方程的通解是 D x2 ey3y A eA e 3x3x Ce Ce 2x 2x B eB e 3x3x Ce Ce 2x2x C Ce 3x e 2x D Ce 3x e 2x 1 1 2 3 1 3 22 3 3332 3 30 3 3 3 3 x x C Cx x xxxx x x yye dy y dx dy dx y xCye CeC e C x e C x eC x eC x ee C xe C xeC 解 法一 对应的齐次方程为 分离变量 得 两边积分得 ln y 即 记 得对应的齐次方程的通解y 用常数变易法 设是非齐次方程的通解 代入原方程得 即 从而得到非齐次方程的通解y 332 33 232 254 xxxx p x dxp x dx dxdx xxx eC eCee yeq x edxC yeeedxCCee 法二 直接用公式 教材页 5 设某商品的供给函数为 S a bp 其中 p 为商品价格 S 为供给量 a b 为正常数 则该商品的供给价格弹性 EP ES A A A bpa bp B B bpa b C bpa bp D bpa b p Sp S sabp Spb ppb Spb Sabpa A p bp Q Q Es 解 供给价格弹性函数为 Ep 又 Es 则所求为 Ep 选 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 10 小题 每小题小题 每小题 3 分 共分 共 30 分 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 6 设函数1x2y 其反函数的定义域是 0 0 y 解 反函数的定义域就是原函数的值域 而y2x 1的值域是 所以y2x 1的反函数的定义域是 0 7 nnn3n lim n 2 lim 3 3 3 lim 3 4 lim 3 4 lim 11 1 31 2 n n n n nnnn nnnnnnnn nnnn n nnnn nn 解 8 1xcos 1e x lim x 0 x 2 000 1 11 1 0 limlimlim2 cos1sincos1 xxxxxx xxx x eexeeexe xxx 解 9 在一个极限过程中 变量u的极限为A的充分必要条件是u A 其中 是极限过程中的 无穷小量 lim lim0 uA uA uA uA Q解 是极限过程中的无穷小量 10 函数 f x lnsinx 在区间 6 5 6 上满足罗尔定理的点 为 2 lnsin cos sin 5 0 6 6 2 f xx x fxctgx x fxx x Q解 令又因为 解得 见教材 156 页 11 函数y x4 2x2 5 在 2 2 上的最小值是 4 5 1 1 4 2 2 13fffff Q Q 42 32 123 42 42 解 y x 2x 5 y 4x 4x 4x x 1 令y 0 则 x 0 x 1 x 1 又函数y x 2x 5是偶函数 0 函数y x 2x 5在 2 2 的最小值是4 注 注 1 2 3 fxf x 最值的方法 步骤 求确定的驻点 稳定点 不可导点 求出以上各函数值及区间端点的函数值 比较上述数值 最大的为最大值 最小的为最小值 12 dx 1x 1 1 2 1 1 2 1 1 1 1 1 1 2 x xdxxdxx 解 2 13 设 F x 1 X t x F dtte则 x xe x xe 解 本题属于变限积分求导 则F x 注 公式为 v x u x f t dtf v xv xf u xu x 见教材 272 页 14 设 z ln x 22 yx 则 yx z 2 322 1 yx y 221 22 2 2222222222 332 2222 22 111 1 1 2 2 xxyzx xy x xxyxyxxyxyxy z xyyy xy x y 解 15 设 D 0a 1 y a x y x 且 D 2 a 4dxdy a x 则 3 1 23 1 2 1 1 2 1112 2 33 4 4 3 3 0 a a Da a 32 4 3 xxa dxdydyx dxy aaaa a aa a Q解 则 三 计算题 一 本大题共三 计算题 一 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 分 16 设 y y x1 1 5 求 1 2 3 1 5 1 6 5 5 1 1 1 1 2 1 1 1 1 5 1120 1 n nn x yx yx ynx yx x Q解 y 17 求极限 x 1 x x xe lim 11 1 1 lim lnln 1 1 limln 1 limlim ln 11 limlnlimlimlimlim1 1 1 1 lim xx xx x x x x exex x x xx x xx x x xx xxxxx x ex x x x exee ex ee ex xexe e exeee Q解 错误解法 1 1 lim lim1lim 1 x e x x xx x xx xxx xx exe ee e 18 求不定积分 dxex 2 x3 2 22 2 u 322uu uuu 2 111 uuuu 222 111 u1 1 222 x xx x u x edxxedxe dee d eeCeuCexC 解 19 计算定积分 x1 x dx 4 1 2 422 2 111 2 2 1 1 2 2 2 1 1 1 11 22ln 11 xtxtdxtdt dxtdtdt ttttxx t dt ttt 解 令则 4 2ln 3 20 设隐函数z z x y 由方程ex ysin x z 0 确定 求dz sin cos 10 1tan sin cos 0 tan 1tan tan sin x z xzxz x z xz x z xzxz y z xz y zz dzdxdyxzdxxz dy xy xz F x yx y x yx y x y 解 法一 对原方程两边关于x求导得 ee 对原方程两边关于y求导得 ee 法二 令F x y z e sin cos sin cos sin cos 1tan cos sin tan cos 1tan y z x z y z xzxz Fxz Fxz Fzxzxz xz xFxz F zxz xz yFxz zz dzdxdyxzdx xy x yx y x y x y x yx y x y x y x y ee e e ee e e e tan xz dy 四 计算题 二 本大题共四 计算题 二 本大题共 3 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 21 分 分 21 设有一个体积为V0的正三棱柱 求底面三角形边长为多长时 该棱柱的表面积S最小 并求此时的S值 2 0 0 2 2 00 2 23 3 00 22 3 0 2 3 0 133 224 4 3 3 4 34 3133 23 2232 4 334 3 3 04 3 3 4 3 3 2 xh Vxxhx h V h x VV Sxxxx xx VxV Sx xx SxVS V S 14243 14 4 244 314 4 2443 高 底面面积 个底面面积个侧面面积 解 设正三棱柱的底面三角形边长为 高为则 当时 解得是 的极小值点 也是最小值点 且最小值是 2 3 0 2V 22 求不定积分dx x x1ln 3 2 2 22 3 22 22 2 22 2 22 2 2 2 ln 1 1 ln 1 2 12 ln 1 21 ln 1 11 21 ln 1 1 21 ln 1 1 lnln 1 22 x dxx dx x x1 xxd x x x dx xx x xx dx xxx x x xxC x 解 23 计算二重积分 I D dxdy x xsin 其中 D 是由直线 y x x 和 y 围成的闭区域 00 0 0 sinsinsin sincos2 x x D xxx dxdydxdyydx xxx xdxx 解 五 应用题 本大题共五 应用题 本大题共 9 分 分 24 求曲线y x2 y 4 x 2 及直线y 1 所围平面图形的面积A以及其绕y轴旋转所产生的旋转体的体积Vy 1 3 1 2 0 0 22 111 2 000 44 2 2 33 33 23 22 y Ayy dyy Vyydyydyy 解 六 证明题 本大题共六 证明题 本大题共 5 分 分 25 证明 x 0 时 x sinx sin 1 cos 0 0 0 0 0 sin0 sin f xxx fxx xfxf x xf xfxxxx 证明 令 则 当时 即在区间 单调增加 从而当时即则 全国 2005 年 10 月高等教育自学考试 高等数学 一 试题解析 课程代码 00020 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号 内 错选 多选或未选均无分 1 设 则 D D x2 2 x x x f x f A B C xA B C x 2 x 2 x 2 x 2x2x D 2 D 2 2x 2x 22 2 22 xx fxx D 解 选 2 设函数 f x 在点 a 可导 且1 h2 h5a f h5a f lim 0h 则 a f A A A 5 1 B 5 C 2 D B 5 C 2 D 2 1 0 00 00 5 5 lim1 2 5 5 5 5 limlim 22 1 5 5 5lim5lim 255 1 5 5 2 5 5 1 1 5 h hh hh f ahf ah h f ahf af ahf af ahf ah hh f ahf af ahf a hh fafa fa fa fa A Q解 且 选 3 设函数y 2x2 已知其在点x0处自变量增量3 0 x 时 对应函数增量 y 的线性主部为 0 6 则x0 C A 0 B 1 C 0 5 D 4 00 0 0 00 0 0 4 0 3 0 6 0 640 3 0 5 x xx x ydyoxfxxo ydyfxx fxxxdy x x C x Q Q 解 的线性主部为 又 选 4 下列无穷限积分中 发散的是 B A B 1 xdx xe e xlnx dx C D 1 x2 dxex e 2 xlnx dx 1111 1111 11 2 xxx xx Axe dxxdexee dx eeeeexe dx x Q解 错误 收敛 ln lnln lnlnln e eee dxdxdx Bx xxxxx Q正确 发散 222 1111 111 111 2 225 xxxx xxx Cx e dxx dex exe dx exe dxAxe dxeex e dx 错误 由 知收敛 2 222 ln1 1 lnlnlnln eee e dxdxdx D xxxxxx Q错误 收敛 5 设某商品的需求函数为 Q a bp 其中 p 表示商品价格 Q 为需求量 a b 为正常数 则需求量对价格的弹 性 EP EQ D A bpa b B bpa b C bpa bp D bpa bp p Q p Q Qabp Q pb ppb Q pb Qabpa D p bp Q Q EQ 解 需求价格弹性函数为 Ep 又 EQ 则所求为 Ep 选 二 填空题 本大题共二 填空题 本大题共 10 小题 每空小题 每空 3 分 共分 共 30 分 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无分 6 设函数 f x 的定义域是 2 2 则函数 f x 1 f x 1 的定义域是 1 1 21231 111 21213 1 1 1 1 xx xx xx f xf x 1 解 由题意有 函数的定义域是 7 lim ln 2 ln n nnn 2 2 2 2 22 limln 2 lnlim lnlim ln 1 222 limln 1 lnlim 1 lnlim 1 ln2 22 limln 2 lnlim lnlim ln 1 12 22 ln 1 1 limlim 1 nnn n nn nnn nnn nn n nnnnn nn e nnn n nnnnn nn nn n 解 法一 法二 2 2 2 1 22 limln 2 lnlim lnlim ln 1 22 ln 1 limlim2 11 nnn nn n n n nnnnn nn nn nn 法三 8 0 cos lim sin x xxx xx 3 00 00 00 00 cos1 cossin limlim sin1 cos 2sincos2coscossin limlim3 sincos cos1 cossin limlim sin1 cos 2cos 2sincos sin limlim3 sin1 xx xx xx xx xxxxxx xxx xxxxxxx xx xxxxxx xxx x x xxx x x 解 法一 法二 9 函数f x 在点x0处左 右导数存在且相等是函数f x 在x0可导的 充要 条件 解 本题考察单侧导数与导数的关系 见教材 112 页 10 函数 y lnx 在 1 2 上满足拉格朗日中值定理的点 是 1 ln2 ln 1 1ln2ln1 2 1 1 ln2 yx Q 212 21 21 21 解 根据拉格朗日中值公式f x f x f x x f x f x 得f x x x 2 x 1 11 曲线为凹的区间是 5x3x5xy 2 3 5 3 2 32 535 310 610 5 0 3 5 3 3yxxxxx yx yx Q解 令得 原函数的凹区间是 12 微分方程 3 xy dx dy x 的通解是 3 2 x Cx 11 12 11 22 123 ln ln2ln22 1 22 p x dxp x dx dxdx xdxx dx xx xx x dy x yx dx yeq x edxC yex edxCex edxC xx ex edxCxx edxCxxdxCxCCx x 解 原方程变形为 直接用公式 13 设 x 0 2 x 3 t1 dt 则 tan3 20 0 arctanarctanarctan0arctan 1 arctan3 tan3 x xdt tx t x x x Q解 14 设 z xln xy 则 dz dy y x dxxy 1 ln 1 ln 1 ln 1 1 ln z xyxyxy xxy zx xx yxyy zzx dzdxdyxydxdy xyy Q解 15 设 D dxdy xy2 1y0 x y x D 则 4 1 0 111 2 000 01 2 2 22 2404 2 D Dx yxyxy dxdydyxy dx x dydxydyxdxydy 解 则 三 计算题 一 本大题共三 计算题 一 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 5 分 共分 共 25 分 分 16 设y x5x 求dy 5 1 555 5 5 x yx x y dydx 5x 5x 5x 解 对原函数两边取对数得lny lnxlnx 1 两边关于x求导数得lnx lnx 1 y xlnx 1 xlnx 1 17 求极限 x2 xsinln lim 2 2 x 2 222 2 2 22 2 22 22 cos lnsin sin limlimlim 4242 2 1 csc1 sin limlim 888 lnsincos limlim sin42 2 1cos1sin1 limlim 42428 xxx xx xx xx x xc x tgx xx x x x xx xx x xx x 解 法一 法二 18 求不定积分 dx x x1ln 2 22 22 2 2 22 2 2 ln 1 ln 1 22 2 ln 1 2 ln 1 2 1 1 1 2 ln 1 42 ln 1 44 1 2ln 1 44 xt xtdxtdt xttdt dxtdtttdt ttx t ttdttttarctgtC t xxxarctgxC 解 令 t 19 计算定积分 I dxx2 2 0 2 2 22 22 000 2 2 0 0 sin cos 2 222sincosc 1 cos21sin2 22 t ttdt 2 osx dxttdttdt tdttt 解 令x 2则dx 2 22 20 设方程x2 y2 z2 yez确定隐函数z z x y 求zx zy 222 222 222 222 222 22 222 22 z zz xyz x x zz z zz y y zz z F xxyzye FxFyeFzye F 2 2 z xxx z Fzyexyzzye F yeyeye z Fzyexyzzyez z 解 令 四 计算题 二 本大题共四 计算题 二 本大题共 3 小题 每小题小题 每小题 7 分 共分 共 21 分 分 21 欲做一个容积 100 米 3 的无盖圆柱形容器 问此圆柱形的底面半径r和高h分别为多少时 所用材料最省 并 求此时所用材料的面积 2 2 22 2 3 0 33 00 2 0 23 0 0 100 100 200 2 0 200 2 100 0 100100100 200 30 10 r hh r A Arrhrr r Ar r Ar rh r Ar r Q 2 解 设所用材料面积为则 得唯一实驻点 故当 米 米 时所用材料最省 此时 米 22 计算定积分 1 0 2 dx xsinarc I 1 222 222 0000 2222 22 22 00 00 sin sin cos sin sinsin2sin 2cos2coscos2 0sin212 4444 arcxt xt dxtdt Iarcxdxt dtttttdt tdttttdtt 解 令 2 4 23 将二次积分 0 x 2 dy y ysin dxI化为先对 x 积分的二次积分并计算其值 2 22 000 222 000 sinsin 11 sinsincos1 22 y x yy Idxdydydx yy yy dyy dyy 解 2 五 应用题 本题五 应用题 本题 9 分 分 24 求曲线y ex y e x和直线x 1 所围成平面图形的面积A以及其绕x轴旋转而成的旋转体的体积Vx 11 1010 00 11 222222 00 1 2 22 xxxx xxxx x Aeedxeeeeeee e Veedxeeee 解 2 注 本题见教材习题 5 10 第 1 题的第 6 小题 六 证明题 本题六 证明题 本题 5 分 分 25 证明函数 0 x 2 1 0 x x 11x x f 在点 x 0 连续且可导 000 000 0 0 1 1 0 1 0 2 1 0 2 1 1 11 21 lim limlim 12 1 11 1 11 limlimlim 21 1 1 11 1 1 lim 0 2 0 0 0 lim xxx xxx x x x x x f x x f x x f x x xx x xxxxx f xf f xx f xf f x Q Q 解 在点处连续 又 0 2 00 3 2 00 1 11 2 lim 0 212 212 2 limlim 2 1 1 1 1 1 12 limlim 448 0 x xx xx x x x xx xx x xx x x x f xx 在点处可导 全国 2005 年 7 月高等教育自学考试 高等数学 一 试题解析高等数学 一 试题解析 课程代码 课程代码 00020 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多 选或未选均无分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号内 错选 多 选或未选均无分 1 函数 y 3 1 x 1 ln 的定义域是 D A B 0 0 1 0 C 0 1 D 0 1 0 111 1010101 0 x x xxx x D 3 x0 解 根据题意x满足 当时 x1 选 2 设 f x 0 x x 0 x x 则 f x 在点 x 0 处 D A 无定义 B 无极限 C 不连续 D 连续 00 0 0 000 0 0 0 0 lim lim0 lim lim0 0lim lim lim 0 lim 0 0 0 xx x x xxx x Af xxf Bf xx f xx f xxf xf xf x DABf xf f xx Q Q 解错误 在点处有定义 错误 在点处有极限 正确 由有 在点处连续 C 错误 3 函数f x 在点x x0处连续是f x 在x x0处可导的 A A 必要条件 B 充分条件 C 充分必要条件 D 既非充分条件又非必要条件 解 函数f x 在点x x0处连续是f x 在x x0处可导的必要条件 但不是充分条件 所以选A 相关内容见教材 114 页 注 注 极限 连续 可导 可微之间的关系 三角关系 极限 连续 可导 可微 4 微分方程的通解是 B 01yex A C B ey x Cey x C C D ey x Cey x xx xx dy yeedye dx dx dye dxyeC 解 原方程变形为即 两边积分得 则 x 注 属于可分离变量微分方程 解法见教材 247 页 另外解是否正确可以代入原方程检验 5 下列广义积分中 收敛的是 C A 1 0 x1 dx B e1x dx C 1 0 x1 dx D e 1x dx 111 1 0 000 1 ln 1 1 111 dxdxdx Ax xxx Q解 错误 把 代入无意义发散 1 ln1 111 e eee d xdxdx Bx xxx Q错误 发散 1 111 000 0 1 2 12 111 dxdxdx Cx xxx Q正确 0 1 2收敛 1 0 1 21 111 ee e d xdxdx Dx xxx Q错误 发散 二 填空题 本大题二 填空题 本大题 10 小题 每小题小题 每小题 3 分 共分 共 30 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无 分 分 请在每小题的空格中填上正确答案 错填 不填均无 分 6 函数 y 的定义域是 xlnln 1 11 x x0 解 lnx0 7 4 34 21 n n 999 0lim 1 8 x2 1 sinx3lim x 3 2 1 sin 11 2 lim1sin 1 22 2 11 lim3 sinlim3 22 x x x xx x xx xx xx 3 2 Q 当时 与为等价无穷小 解 9 设某商品的市场需求函数为 D 1 7 P P 为商品价格 则需求价格弹性函数为 7 p p 1 1 77 1 77 1 7 p D p D p DD p ppp D p p Dp Q Q ED 解 需求价格弹性函数为 Ep 又 ED 则所求为 Ep 10 设 y 则 0 2 2 x2e x y 222 222 22 22 2221 2122122 0 2 xxx xxx yxex x exex yexxxexxxe y Q解 11 函数 y 2x 0 x x 8 的单调增加的区间是 2 2 88 2 0 0 22 yxyyx xx Q解 令则x 2或x 单调性判定法 单调性 单增 单减 12 dx x fd f x dx df x dxf x d 解 x 注 公式见教材 207 页 13 设 f x 则 3 0 时 有 x 2 1 x 2 1 2 1 证明 令f x x x 2 11 则f x 令f x 0 则得驻点x 1 2x 当x 1时 f x 0 当0 x0 所以x 1是函数f x 在区间 0 的极大值点 因为唯一所以也是函数f x 在区间 0 的最大值点 11 则当x 0时 f x f 1 即 x x 22 注 注 11 22 2 f xxx x Q 3 2 1 也可以构造另外的函数 判断x 1是函数f x 在区间 0 的极大值 也可以用二阶导数来判断极大值点 1 f x 4 1 f 1 0 x 1是函数f x 在区间 0 的极大值点 4 00 0 3 f xa ba bxxf x xf xa b 极值与最值区别及联系 区别 极值是局部概念 最值是整体概念 联系 设在上连续 在内有唯一极值点若 是的极大 小 值点 则 必为在上的最大 小 值点 全国 2005 年 4 月高等教育自学考试 高等数学 一 试题解析 课程代码 00020 一 单项选择题 本大题共一 单项选择题 本大题共 5 小题 每小题小题 每小题 2 分 共分 共 10 分 分 在每小题列出的四个备选项中只有一个是符合题目要求的 请将其代码填写在题后的括号 内 错选 多选或未选均无分 1 函数 2 xxy 的定义域是 D D A A B B 1 0 C C D 0 1 D 0 1 10 U 22 00 1 0010 1xxxxx xxx 解 即选D 2 1n n 2 3ln B A A 23ln 3ln B B 3ln2 3ln C C 3ln2 1 D D 3ln2 3 ln n