1.1回归分析的基本思想及其初步应用 (4).ppt

第18课 回归分析与独立性检验 1 变量间的关系 1 常见的两变量之间的关系有两类 一类是函数关系 另一类是相关关系 与函数关系不同 相关关系是一种非确定性关系 2 将样本中n个数据点 xi yi i 1 2 n 描在平面直角坐标系中 表示两个变量关系的一组数据的图形叫做散点图 3 正相关 负相关 在散点图中 点散布在从左下角到右上角的区域 对于两个变量的这种相关关系称为正相关 在散点图中 点散布在从左上角到右下角的区域 两个变量的这种相关关系称为负相关 2 回归分析 1 定义 对具有相关关系的两个变量进行统计分析的一种常用方法 2 线性相关关系 观察散点图的特征 如果散点图中点的分布从整体上看大致在一条直线附近 我们就称这两个变量之间具有线性相关关系 这条直线叫做回归直线 3 回归直线的求法 对于一组具有线性相关关系的数据 x1 y1 x2 y2 的方法 即求回归直线 使得样本数据的点到它的距离的平方 和最小 这一方法叫做最小二乘法 则回归直线方程 的系数为 样本点的中心 当r 0时 表明两个变量正相关 当r 0时 表明两个变量 r的绝对值越接近于1 表明两个变量的线性相关性越强 r的绝对值越接近于0 表明两个变量之间几乎不存在线性相关关系 通常 r 大于0 75时 认为两个变量有很强的线性相关性 5 相关指数 R2的值越大 说明残差平方和越小 也就是说模型的拟合效果越好 在线性回归模型中 R2表示解释变量对于预报变量变化的贡献率 R2越接近于1 表示回归的效果越好 3 独立性检验 1 分类变量 变量的不同 值 表示个体所属的不同类 别 像这类变量称为分类变量 2 列联表 列出两个分类变量的频数表 称为列联表 假设有两个分类变量X和Y 它们的可能取值分别为 x1 x2 和 y1 y2 其样本频数列联表 称为2 2列联表 为 2 2列联表 构造一个随机变量K2 n ad bc 2 a b c d a c b d 其中n 为样本容量 3 独立性检验 利用随机变量K2来判断 两个分类变量有关系 的方法称为独立性检验 a b c d 1 下面是2 2列联表 则表中a b的值分别为 C A 94 72 B 52 50 C 52 74 D 74 52 解析 a 21 73 a 52 又a 22 b b 74 2 2013年湖北 四名同学根据各自的样本数据研究变量x y之间的相关关系 并求得回归直线方程 分别得到以下四个结论 其中一定不正确的结论的序号是 D A B C D 3 通过随机询问110名性别不同的大学生是否爱好某项运动 得到如下的列联表 由K2 算得 a b c d a c b d K2 110 40 30 20 20 260 50 60 50 7 8 n ad bc 2 附表 参照附表 得到的正确结论是 A A 有99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别有关 B 有99 以上的把握认为 爱好该项运动与性别无关 C 在犯错误的概率不超过0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别有关 D 在犯错误的概率不超过0 1 的前提下 认为 爱好该项运动与性别无关 4 2012年新课标 在一组样本数据 x1 y1 x2 y2 xn yn n 2 x1 x2 xn不全相等 的散点图中 若所有样本点 的样本相关系数为 D A 1 B 0 C 12 D 1 解析 由题设知 这组样本数据完全正相关 故其相关系数为1 故选D xi yi i 1 2 n 都在直线y x 1上 则这组样本数据 考点1 线性回归分析 例1 已知x与y之间的几组数据如下表 答案 C 互动探究 1 2014年湖北 根据如下样本数据 解析 依题意 画散点图 如图D69 两个变量负相关 图D69 答案 A 考点2 独立性检验 例2 2014年安徽 某高校共有15000人 其中男生有10500人 女生有4500人 为调查该校学生每周平均体育运动时间的情况 采用分层抽样的方法 收集300位学生每周平均体育运动时间的样本数据 单位 小时 1 应收集多少位女生样本数据 2 根据这300个样本数据 得到学生每周平均体育运动时间的频率分布直方图 如图9 10 1 其中样本数据分组区间为 0 2 2 4 4 6 6 8 8 10 10 12 估计该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率 图9 10 1 3 在样本数据中 有60位女生的每周平均体育运动时间超过4个小时 请完成每周平均体育运动时间与性别的列联表 并判断是否有95 的把握认为 该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 附 K2 n ad bc 2 a b c d a c b d 解 1 应收集女生样本数据为300 450015000 90 2 由频率分布直方图 得1 2 0 100 0 025 0 75 所以该校学生每周平均体育运动时间超过4个小时的概率为0 75 3 由 2 知 300名学生中有300 0 75 225名学生每周平均体育运动时间超过4个小时 75名学生每周平均体育运动时间不超过4个小时 又因为该数据中有男生210名 女生90名 根据题意列表如下 每周平均体育运动时间与性别列联表 结合列联表计算K2 n ad bc 2 a b c d a c b d 300 45 60 30 165 2 4 762 3 841 75 225 210 90 因此有95 的把握认为 该校学生的每周平均体育运动时间与性别有关 规律方法 解决独立性检验问题的一般步骤 制作列联表 利用公式K2 n ad bc 2 a b c d a c b d 计算 近似计算 要精确到小数点后三位 查表得出结论 要选择满足条件P K2 k0 的k0作为拒绝域的临界值 互动探究 2 2014年江西 某人研究中学生的性别与成绩 视力 智商 阅读量这4个变量之间的关系 随机抽查52名中学生 得到统计数据如表1至表4 则与性别有关联的可能性最大的变 量是 表1 成绩 表2表3 视力智商 表4 A 成绩C 智商 阅读量B 视力D 阅读量 解析 由公式K2 n ad bc 2 a b c d a c b d 计算得 A 52 8216 36 20 32 B 52 112216 36 20 32 C 52 96216 36 20 32 D 52 408216 36 20 32 显然D的值最大 说明阅读量与性别有关联 的可能性最大 答案 D 考点3回归分析的综合运用 例3 2015年新课标 某公司为确定下一年度投入某种产品的宣传费 需了解年宣传费x 单位 千元 对年销售量y 单位 t 和年利润z 单位 千元 的影响 对近8年的宣传费xi和 年销售量yi i 1 2 8 数据作了初步处理 得到下面的散 点图 如图9 10 2 及一些统计量的值 图9 10 2 1 根据散点图判断 y a bx与y c d 哪一个适宜作为年销售量y关于年宣传费x的回归方程类型 给出判断即可 不必说明理由 2 根据 1 的判断结果及表中数据 建立y关于x的回归方 程 3 已知这种产品的年利润z与x y的关系为z 0 2y x 根据 2 的结果回答下列问题 当年宣传费x 49时 年销售量及年利润的预报值是多少 当年宣传费x为何值时 年利润的预报值最大 附 对于一组数据 u1 v1 u2 v2 un vn 其回归直线 u的斜率和截距的最小二乘估计分别为 互动探究 3 2014年新课标 某地区2007年至2013年农村居民家 庭纯收入y 单位 千元 的数据如下表 1 求y关于t的线性回归方程 2 利用 1 中的回归方程 分析2007年至2013年该地区农村居民家庭人均纯收入的变化情况 并预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入 附 回归直线的斜率和截距的最小二乘法估计公式分别为 2 由 1 知 0 5 0 故2007年至2013年该地区农村居 民家庭人均纯收入逐年增加 平均每年增加0 5千元 将2015年的年份代号t 9带入 1 中的回归方程 得 0 5 9 2 3 6 8 故预测该地区2015年农村居民家庭人均纯收入为6 8千元 易错 易混 易漏 对回归分析的理解 例题 2015年广东广州调研 某位同学进行寒假社会实践活动 为了对白天平均气温与某奶茶店的某种饮料销量之间的关系进行分析研究 他分别记录了1月11日至1月15日的白天平均气温 单位 与该奶茶店的这种饮料销量 单位 杯 所得数据如下表 1 若从这5组数据中随机抽出2组 求抽出的2组数据恰 好是相邻2天数据的概率 正解 1 设 选取的2组数据恰好是相邻2天数据 为事件A 所有基本事件 m n 其中m n为1月份的日期数 有 11 12 11 13 11 14 11 15 12 13 12 14 12 15 13 14 13 15 14 15 共10种 事件A包括的基本事件有 11 12 12 13 13 14 14 15 共4种 1 求回归方程 关键在于正确求出系数a b 由于a b的计算量大 计算时应仔细谨慎 分层进行 避免因计算而产生错误