高中数学 第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的性质与图象学案 新人教A版必修4.doc

1.4.3正切函数的性质与图象学习目标：1.能画出正切函数的图象(重点)2.掌握正切函数的性质(重点、难点)3.掌握正切函数的定义域及正切曲线的渐近线(易错点)自 主 预 习探 新 知正切函数的图象与性质解析式ytan x图象定义域 值域r周期奇偶性奇函数对称中心，kz单调性在开区间，kz内都是增函数基础自测1思考辨析(1)正切函数的定义域和值域都是r.()(2)正切函数图象是中心对称图形，有无数个对称中心()(3)正切函数图象有无数条对称轴，其对称轴是xk，kz.()(4)正切函数是增函数()解析由正切函数图象可知(1)，(2)，(3)，(4).答案(1)(2)(3)(4)2函数ytan的定义域为_因为2xk，kz，所以x，kz所以函数ytan的定义域为.3函数ytan 3x的最小正周期是_函数ytan 3x的最小正周期是.4函数ytan的单调增区间是_，kz令kxk，kz得kxk，kz即函数ytan的单调增区间是，kz.合 作 探 究攻 重 难有关正切函数的定义域、值域问题(1)函数y的值域是()a(1,1)b(，1)(1，)c(，1)d(1，)(2)函数y3tan的定义域为_(3)函数ylg(1tan x)的定义域为_. 【导学号：84352103】思路探究求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件，另外解不等式时要充分利用三角函数的图象或三角函数线(1)b(2)(3)(1)当x0时，1tan x0，1；当0x时，0tan x1，1.即当x时，函数y的值域是(，1)(1，)(2)要使函数有意义应满足k，kz，得x4k，kz，所以函数的定义域为.(3)要使函数ylg(1tan x)有意义，则即1tan x1.在上满足上述不等式的x的取值范围是.又因为ytan x的周期为，所以所求x的定义域为.规律方法1.求正切函数定义域的方法(1)求与正切函数有关的函数的定义域时，除了求函数定义域的一般要求外，还要保证正切函数ytan x有意义即xk，kz.(2)求正切型函数yatan(x)(a0，0)的定义域时，要将“x”视为一个“整体”令xk，kz，解得x.2解形如tan xa的不等式的步骤提醒：求定义域时，要注意正切函数自身的限制条件跟踪训练1函数ylogtan的定义域是()a.b.c.d.b由题意tan0，即tan0，kxk，kxk，kz，故选b.2求函数ytan2tan1的定义域和值域解由3xk，kz，得x(kz)，所以函数的定义域为.设ttan，则tr，yt2t12，所以原函数的值域是.正切函数奇偶性、周期性和图象的对称性(1)函数f(x)tan的周期为_(2)已知函数ytan，则该函数图象的对称中心坐标为_(3)判断下列函数的奇偶性：y3xtan 2x2x4；ycostan x.思路探究(1)形如yatan(x)(a0)的周期t，也可以用定义法求周期(2)形如yatan(x)(a0)的对称中心横坐标可由x，kz求出(3)先求定义域看是否关于原点对称，若对称再判断f(x)与f(x)的关系(1)(2)，kz(1)法一：(定义法)tantan，即tantan，f(x)tan的周期是.法二：(公式法)f(x)tan的周期t.(2)由x(kz)得x(kz)，所以图象的对称中心坐标为，kz.(3)定义域为，关于原点对称，又f(x)3(x)tan 2(x)2(x)43xtan 2x2x4f(x)，所以它是偶函数定义域为，关于原点对称，ycostan xsin xtan x，又f(x)sin(x)tan(x)sin xtan xf(x)，所以它是奇函数规律方法1.函数f(x)atan(x)周期的求解方法：(1)定义法(2)公式法：对于函数f(x)atan(x)的最小正周期t.(3)观察法(或图象法)：观察函数的图象，看自变量间隔多少，函数值重复出现2判定与正切函数有关的函数奇偶性的方法：先求函数的定义域，看其定义域是否关于原点对称，若其不关于原点对称，则该函数为非奇非偶函数；若其关于原点对称，再看f(x)与f(x)的关系提醒：ytan x，xk，kz的对称中心坐标为，kz.跟踪训练3判断下列函数的奇偶性：(1)f(x)；(2)f(x)tantan. 【导学号：84352104】解(1)由得f(x)的定义域为，不关于原点对称，所以函数f(x)既不是偶函数，也不是奇函数(2)函数定义域为，关于原点对称，又f(x)tantantantanf(x)，所以函数是奇函数正切函数单调性的应用探究问题1正切函数ytan x在其定义域内是否为增函数？提示：不是正切函数的图象被直线xk(kz)隔开，所以它的单调区间只在(kz)内，而不能说它在定义域内是增函数假设x1，x2，x1x2，但tan x1tan x2.2如果让你比较tan与tan的大小，你应该怎样做？提示：先根据正切函数的周期性把两角化到同一单调区间内，再由正切函数的单调性进行比较(1)tan 1，tan 2，tan 3，tan 4从小到大的排列顺序为_(2)求函数y3tan的单调区间思路探究(1)利用ytan x在上为增函数比较大小，注意tan 1tan(1)(2)先将原函数化为y3tan，再由k2xk，kz，求出单调减区间(1)tan 2tan 3tan 4tan 1(1)ytan x在区间上是单调增函数，且tan 1tan(1)，又2341，所以tan 2tan 3tan 4tan 1.(2)y3tan3tan，由k2xk，kz得，x，kz，所以y3tan的减区间为，kz.母题探究：1.将本例(2)中的函数改为“y3tan”，结果又如何？解由kxk(kz)，得2kx2k(kz)，函数y3tan的单调递增区间是(kz)2将本例(2)中的函数改为“ylgtan x”结果又如何？解因为函数ylg x在(0，)上为增函数所以函数ylgtan x的单调递增区间就是函数ytan x(tan x0)的递增区间，即，kz.规律方法1.求函数yatan(x)(a0，0，且a，都是常数)的单调区间的方法(1)若0，由于ytan x在每一个单调区间上都是增函数，故可用“整体代换”的思想，令kxk，kz，解得x的范围即可(2)若0，可利用诱导公式先把yatan(x)转化为yatan(x)atan(x)，即把x的系数化为正值，再利用“整体代换”的思想，求得x的范围即可2运用正切函数单调性比较大小的步骤(1)运用函数的周期性或诱导公式将角化到同一单调区间内(2)运用单调性比较大小关系提醒：yatan(x)(a0，0)只有增区间；yatan(x)(a0，0)只有减区间当 堂 达 标固 双 基1若tan x1，则()a2kx2k(kz)bx(2k1)(kz)ckxk(kz)dkxk(kz)d因为tan x1tan.所以kxk，kz.2在下列函数中同时满足：在上递增；以2为周期；是奇函数的是()aytan xbycos xcytandytan xca，d的周期为，b中函数在上递减，故选c.3比较大小：tan_tan. 【导学号：84352105】因为tantan，tantan，又0，ytan x在内单调递增，所以tantan，即tantan.4求函数ytan(x)，x的值域为_(，1)ytan(x)tan x，在上