西北师大附中奥赛辅导第二轮教案第四章：曲线运动.doc

第四章 曲线运动 考点要求读解 内 容要 求读 解 7运动的合成和分解两个互成角度的匀速直线运动的合成、速度的合成与分解、轮船渡河问题8曲线运动中质点速度的方向沿轨道的切线方向，且必有加速度曲线运动的条件、与曲线运动有关概念的判断、由曲线运动的轨迹判断质点的受力方向9平抛运动平抛运动的规律、用运动的合成和分解处理平抛运动的方法、与平抛运动有关的计算10匀速圆周运动，线速度和角速度、周期。匀速圆周运动的向心加速度a=v2/R（说明：不要求会推导向心加速度的公式a=v2/R）匀速圆周运动的运动学与动力学问题、竖直平面内圆周运动最高点与最低点的动力学方程等。118实验：研究平抛物体的运动命题趋势导航 曲线运动一章是在运动学和牛顿运动定律基础上的综合应用，具有概念多、公式多的特点，复习中要切实注意掌握基础知识、基本概念，深入理解处理复杂运动的基本方法运动的合成与分解方法，将所学到的运动的合成与分解知识合理的迁移到平抛运动的问题中在处理圆周运动的问题时，要区分匀速圆周运动和非匀速圆周运动，同时在分析过程中要明确以下两点：首先应确定出轨道平面和圆心位置，其次要认真分析向心力的来源由于向心力的表达式有多种形式，表面看来公式较多，实则只有一个，那就是F=ma=mv2/r，切实理解加速度a的含义，是对牛顿第二定律和曲线运动的综合运用通过复习本章知识，可以进一步加深对力和运动关系的理解，提高分析和解决实际问题的能力从近几年高考看，本章基本概念考查主要是平抛运动、匀速圆周运动如线速度、角速度、向心力等；与本章内容相关的主观性较强的综合题也时有出现，这样的考题知识覆盖面广，一题中可考查多个知识点，如万有引力作用下的天体的圆周运动、带电粒子在电场中的运动(类平抛运动)，洛伦兹力充当向心力的带电粒子在匀强磁场中的圆周运动，光滑圆轨道上的机械能守恒等。 本章高考几乎是年年有题，既有客观性的选择题，也有主观性的计算、简答题。平抛运动、机械能守恒与动量守恒相联系的圆周运动的运动学与动力学问题是历届高考的重点和热点方向。考题的难度以中低档较多，也有中等难度或中等偏难的综合分析计算题。其主要命题方向有： 1 运动的合成与分解，轮船渡河问题；2 曲线运动的条件，与曲线运动有关的物理概念的判断、由曲线运动的轨迹定性判断质点的受力方向； 3 用运动的合成和分解处理平抛运动的方法、与平抛运动有关的计算；4 匀速圆周运动的运动学与动力学问题、竖直平面内圆周运动最高点与最低点的动力学问题等。5 将平抛运动、圆周运动与动能定理、机械能守恒、动量守恒相联系的综合应用问题。 4.1 运动的合成和分解 平抛运动一、概念与规律1. 运动的合成和分解(1) 独立性原理：任何一个运动都可以看作是独立进行的几个分运动的合运动。 (2) 等时性原理：合运动和各分运动经历的时间相等。(3) 运动的合成分解法则：位移、速度、加速度都是矢量，所以都遵循矢量合成法则，即平行四边形定则。2曲线运动 (1)物体做曲线运动的条件：运动学的角度：加速度a方向跟速度v方向不在一条直线上.动力学的角度：物体所受合外力F的方向跟速度v的方向不在一条直线上. (2)曲线运动的特点：瞬时速度的方向：曲线的切线方向可见，速度方向时刻在改变运动性质：曲线运动一定是变速运动加速度不为零合外力不为零.典型的曲线运动：平抛、类平抛、匀速圆周运动. 例1：关于曲线运动，下列说法正确的是 （ ）A.曲线运动一定是变速运动B.曲线运动一定是变加速运动C.运动物体的加速度数值、速度数值都不变的运动一定是直线运动D.做曲线运动的物体受到的合外力一定不为零E.做曲线运动的物体加速度一定是变化的F.曲线运动的加速度可能为零G.物体在变力的作用力，可能做直线运动也可能做曲线运动H.物体在恒力作用下，不可能做曲线运动 yxOv0图411例2：光滑平面上一运动质点以速度v0通过点O，如图411所示，与此同时，给质点加上沿x轴正方向的恒力Fx和沿Y轴正方向的恒力Fy，则 ( ) A.因为有Fx，质点一定做曲线运动B.如果Fy Fx，质点向Y轴一侧做曲线运动C.如果Fy= Fx tan，质点做直线运动D.如果FxFy cot，质点向x轴一侧做曲线运动 3平抛运动 (1)定义：水平抛出的物体只在重力作用下的运动 (2)性质：是加速度为重力加速度g的匀变速曲线运动，轨迹是抛物线(3)处理方法： 水平方向：速度为v0的匀速直线运动 Vx= v0 ，x= v0t 竖直方向：自由落体运动 vy= gt，y=gt2/2(4)几个常用关系： 下落时间t=，仅取决于下落高度h，与初速度v0无关；任意时刻的速度大小：vt=,与初速度v0和下落高度h有关；方向：若与的夹角为，则，与初速度v0和下落高度h有关任意时刻的水平位移的大小和方向：x=v0，与初速度v0和下落高度h有关，与其他因素无关,水平位移和竖直位移之间的偏角：速度偏转角与位移偏向角的关系tg=2tg平抛运动的速度偏角tan= ,水平位移和竖直位移之间的偏角：tan= tg=2tg(此关系式对类平抛运动也成立)平抛运动的速度随着时间逐渐增大，但是速度的水平分量却保持不变.平抛运动在相同的时间内，速度变化量相等，而且总是方向竖直向下.例3：一架飞机水平匀速飞行.从飞机上每隔1释放一个铁球,先后共释放4个.若不计空气阻力,从地面上观察4个球 ( )A.在空中任何时刻总是排成抛物线,它们的落地点是等间距的 B.在空中任何时刻总是倾斜的直线,它们落地点是不等间距的C.在空中任何时刻总在飞机正下方,排成竖直的直线,它们的落地点是等间距的D.在空中任何时刻总在飞机正下方,排成竖直的直线,它们落地点是不等间距的图412例4：小球以15 m/s的水平初速度向一倾角为37的斜面抛出，飞行一段时间后，恰好垂直撞在斜面上，如图412，.求：(1)小球在空中的飞行时间；(2)抛出点距球落点的高度.(g=10 m/s2)二、方法与技巧1合运动的性质和轨迹 (1)两个匀速直线运动的合运动仍是匀速直线运动。(2)一个匀速直线运动和一个匀变速直线运动的合运动是匀变速运动。二者共线时(如竖直上抛)为匀变速直线运动；二者不共线时(如平抛)为匀变速曲线运动(3)两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动。当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动，当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动。例5：关于互成角度的两个初速度不为零的匀变速直线运动的合运动，下述说法正确的是( ) A一定是直线运动 B一定是曲线运动C可能是直线运动，也可能是曲线运动 D以上说法都不对2轮船渡河问题的处理方法一：将船渡河的运动看作是水流的运动 (水冲船的运动)和轮船相对水运动（船在静水中的运动）的合运动。（船头的方向就是轮船相对水运动的速度方向）v2v1图4-1-3方法二：将船对静水的速度，沿河岸和垂直于河岸方向正交分解。如图4-1-3所示，则v1-v2cos为船实际沿水流方向的速度，v2sin为船实际垂直于水流方向的速度，由于cosv1）例6：在抗洪抢险中，战士驾驶摩托艇救人，假设江岸是平直的，洪水沿江向下游流去，水流速度为v1，摩托艇在静水中的航行速度为v2，战士救人地点A离岸边最近处O的距离为d，如战士想在最短时间内将人送上岸，则摩托艇登陆的地点离O点的距离为 （ ）A B0 C D 3在进行速度的分解和合成时应明确，物体的实际速度是合速度（反之，物体的合速度一定是指实际速度）例7：如图4-1-4所示，人通过定滑轮拉物体A，当人以速度v0匀速前进时，物体A的速度是多大？ AV0图4-1-4 点拔：在本题中一定要明确物体A的实际速度（沿水平方向）是合速度，可分解为沿绳和垂直于绳方向的分速度，不能把沿绳方向的速度分解为水平方向和竖直方向的分速度vmp例8：如图4-1-5所示，汽车以速度v匀速行驶，当汽车到达P点时，绳子与水平方向的夹角，此时物体m的速度为 （用v和表示）多少？物体做什么运动？例9：玻璃生产线上，宽6m的成形玻璃板以4m/s的速度连续不断地向前行进，在切割工序处，金刚钻割刀的速度为8m/s，为了使割下的玻璃板都能成规定尺寸的矩形，金刚钻割刀的轨道如何控制？切割一次的时间多长？4平抛运动问题的分析方法：要从水平方向和竖直方向（分运动）考虑问题，同时考虑水平方向与竖直方向的速度、位移的关系（抓住所给物理情景的特征）370 530v0 A B v0例10：如图4-1-6所示，两斜面的倾角分别为37和53，在顶点把两个小球以同样的初速度分别向左、右水平抛出，小球都落在斜面上，若不计空气阻力，则A、B两小球运动时间之比 。 DCAB例11：在研究平抛物体运动的实验中，用一张印有小方格的纸记录轨迹，小方格的边长L=1.25cm，若小球在平抛运动途中的几个位置如图4-1-7中的A、B、C、D所示，则小球平抛运动的初速度的计算式为v0= （用L、g表示），其值为 ，能否在图中标出抛出点的位置（g取9.8 m/s2）。 BA v0300例12：如图4-1-8所示,AB为一斜面，倾角为，小球从A点以初速度v0水平抛出,恰好落到B点，求：（1） 物体在空中飞行的时间； （2） AB的间距； （3）从抛出开始经多长时间小球与斜面间的距离最大? 5. 类平抛运动及其应用当物体具有一个初速度V0, 同时受一与初速度V0垂直的恒力F作用时, 物体在初速度方向做匀速直线运动, 在恒力F方向做匀加速直线运动,其运动形式类似于平抛运动,一般称其为类平抛运动. 类平抛运动问题的分析处理方法与平抛运动分析处理方法相似, 垂直进入匀强电场中的带电粒子的运动就是典型的类平抛运动问题例13：在光滑的水平面上有一静止的物体，质量为2 kg。若以大小为3N的水平恒力F1推这一物体，作用时间4s后，换成与F1方向垂直的水平恒力F2推这一物体，恒力F2的大小为4N。F2作用的时间与F1作用的时间相同，此后物体依靠惯性继续运动。求：（1）物体最终速度的大小和方向。（2）F2作用4s时物体离出发点的距离。（3）在如图4-1-9的坐标系中画出物体沿F1方向的速度vF1随时间变化的vF1-t图象（要标出纵轴坐标值） dv0L例14：如图4-1-10所示，一带电量为-q，质量为m的微粒，以初速度v0从两平行板电容器中间射入，从离上板为d/4处飞离平行板，若平行板长为L，两板间距为d，求：（1）两板间所加的电压为多大？（2）飞离平行板时，带电微粒的速度多大？ 三、创新与应用例15：（轮船渡河的最值问题）汽艇在宽为400 m，水流速度为2 m/s的河中横渡河面，已知它在静水中的速度为4 m/s.求：(1)汽艇要垂直横渡到达正对岸，船头应取什么航向？(2)如果要在最短时间内过河，船头应取什么航向？最短时间为多少？(3)若水流速度为4 m/s，船在静水中的速度为2 m/s，则船能过河的最短航程是多少？ 图4-1-11例16 ：(排球场上的平抛运动)排球场总长18 m，网高2.25 m，如图4111所示.设对方飞来一球，刚好在3 m线正上方被我方运动员后排强攻击回.假设排球被击回的初速度方向是水平的，那么可认为排球被击回时做平抛运动.（g取10 m/s2）（1）若击球的高度h=2.5 m，球被击回的水平速度与底线垂直，球既不能触网又不出底线，则球被击回的水平速度在什么范围内？（2）若运动员仍从3 m线处起跳，起跳高度h满足一定条件时，会出现无论球的水平初速度多大都是触网或越界，试求h满足的条件五、例题答案及详解例1. ADG 例2. CD例3. C解析铁球释放时，具有与飞机相同的水平速度，故所有释放铁球后均做平抛运动，轨迹是抛物线；释放的铁球竖直方向自由下落，水平方向与飞机一样做匀速直线运动，所以铁球落地前和飞机总排列成一条直线，且落地点总是等间距的。例4. (1) (2) 解析 将球达到落点时的速度分解，可知=37, =9037=53(1)tan=,则t=tan=s=2 s(2)h=gt2=1022 m=20 m例5. C解析 两个匀变速直线运动的合运动仍为匀变速运动。当合初速度与合加速度共线时为匀变速直线运动，当合初速度与合加速度不共线时为匀变速曲线运动。例6. D解析要使时间最短，应使船头垂直岸航行，渡河时间，到达岸时离O点距离即沿水流方向位移为。例7. VA =v0 /cos解析物体A的实际运动速度即合运动速度方向应是水平向左，其向左运动的过程产生两个运动效果：一是沿着绳方向使绳缩短的运动，一是使绳以滑轮为轴的转动，所以我们可以把A的运动看成是沿绳子方向的运动（分速度为）和沿垂直于绳子方向的圆周运动（分速度为）的合成，设绳与水平面的夹角为，则，又，所以 例8. vcos，物体做加速运动解析 汽车的实际运动即合运动，速度方向应是水平向左，其向左运动的过程产生两个运动效果：一是沿着绳方向使绳伸长的运动，一是使绳以滑轮为轴的转动，所以我们可以把汽车的运动看成是沿绳子方向的运动（分速度为）和沿垂直于绳子方向的圆周运动（分速度为）的合成，当汽车到达P点时，绳与水平面的夹角为，则，又，所以 v刀=8m/s v=4m/s6m例9. cos=0.5 =600 t=解析如图4-1-17,由于玻璃板要被切割成矩形，这里割刀实际速度应是割刀的合速度，将割刀速度分解为沿玻璃走向和垂直于玻璃走向两 图4-1-17,个分量，沿玻璃走向分量应与玻璃板的速度相同（否则玻璃板不可能被切割成矩形），则，cos=0.5 得=600；切割一次所用时间例10. 9/16解析 设两小球运动时间分别为和，水平位移为和，下落高度为和，则依题意有 =916 所以 =916例11. v0=2=0.7m/s, 坐标（-L，-L/8）解析 在水平方向t内位移为2L时，竖直方向相邻的时间t内位移差为L， , , 得 =0.7m/s 坐标（-L，-L/8），A为原点,v0方向为x方向,竖直向下为y轴方向.例12. （1） （2） （3）解析 （1）小球做的是平抛运动,设水平位移为s，竖直位移为h，则 则 （2）AB的间距为 LAB=（3）小球离斜面最远时，速度方向平行于斜面，故 例13. （1）10m/s（2）4m解析 ：在F1作用下物体的加速度为a1=F1/m=1.5m/s2，4s末物体的速度为v1=a1t1=6m/s；撤去F1、作用F2后，物体在F1方向做匀速直线运动，在F2方向做匀加速直线运动，加速度为a2=F2/m=2 m/s2，在F2方向的速度v2=a2t2=8 m/s；（1）得出物体最终的速度大小为 =10m/s, 速度方向与F1方向的夹角 （2）物体在F1方向的位移为 =36 m， s2=a2t/2=16m, s=（3）图略例14. （1）U=Ed= （2）v=v0解析 （1）依题意得 故U= （2） 故v=v0 例15. (1)船头与上游河岸成60角 (2)船头指向对岸，t=100 s (3)800 m解析 (1)汽艇要垂直横渡到达正对岸，就必须使合速度的方向垂直于河岸，如图4-1-18所示，v1是船对水的速度，v2是水对岸的速度，v是船的实际速度.应有：m/s=2 m/s, sin=,=60图4-1-18(2)由于合运动与分运动具有等时性及分运动的独立性，知在船速一定的情况下，船头应指向对岸开渡河时间最短，且：t=s=100 s(其中d为河宽)图4-1-19(3)由于河水的流速大于船速，故小船不可能垂直于河岸过河，如图4119，设船从A点开始渡河，按题意作出速度矢量三角形，若要航程最短，只需船的合速度v方向与AB间的夹角最小，由于v1的大小恒定，所以当v与圆周相切，即v1v时航程最短.由相似三角形关系知最短航程为s=d=400 m=800 m例16.答案 (1)13.4 m/sv17 m/s (2)h2.4 m解析 设球以v1速度被击回，球正好落在底线上，则，将s12m，h2.5m代入得：v117m/s设球以v2速度被击回，球正好触网，则，将（2.5-2.25）m=0.25m，=3m代入得： v213.4m/s 故球被击回的速度范围是：13.4m/sv17m/s若h较小，如果击球速度大就会出界，如果击球速度小则会触网，临界情况是球刚好从球网上过去，落地时又刚好压底线，则，（h-2.25）m，由此得h=2.4m六、随堂练习答案1. ABD 2. CD 3. D 4. C5. s=18.75 m, t=1.5s解析 解得 6. 解析 A实际运动速度为v，竖直向上，把v分解为沿绳v1和垂直于绳v2，则v1v0，v 所以，A实际运动速度为. 7. (1)第5个环 (2)第2个环解析 (1)以环为参考系，在开枪的同时，细线被烧断，则子弹相对于环以1000m/s的速度向右做匀速直线运动，这说明在竖直方向上子弹与环没有位移差，因此子弹应击中第5个环。(2)当环自由下落0.1s时的速度，这段时间内环下降的高度为，此时枪口正对准第4个环的环心。当子弹射出后，仍以环为参考系，则子弹相对环在水平方向上以1000m/s的速度向右做匀速运动，在竖直方向上相对环以1m/s的速度向上做匀速运动，子弹射出后到与环相遇所经历的时间为向上移的距离为，所以子弹应击中第2个环。 4.2 圆周运动 向心力一、概念与规律1匀速圆周运动(1)概念：物体在圆周上运动，在相等的时间内通过的弧长相等；(2)描述匀速圆周运动快慢的物理量；线速度：，矢量，单位：m/s；角速度：，单位：rad/s；周期T：运动一周所用时间，单位：s频率f：每秒钟完成圆周运动的个数，单位： 转速n：做匀速圆周运动的物体单位时间内转过的圈数叫转速单位：转分（r/min）、转秒（r/s）.若转速取转秒（r/s）作单位，则转速和频率在数值上是相同的(3)线速度、角速度、周期之间的关系：(4)向心加速度方向：总指向圆心(是变加速度)，且与速度方向垂直；意义：反映线速度的方向变化的快慢；大小：例1：对于做匀速圆周运动的物体，下面说法正确的是 （ ）A相等的时间里通过的路程相等 B是加速度恒定的运动C是相等的时间里速度变化相等的运动 D是速度变化快慢恒定的运动例2：关于角速度和线速度，说法正确的是 （ ）A半径一定，角速度与线速度成反比 B半径一定，角速度与线速度成正比C线速度一定，角速度与半径成正比D角速度一定，线速度与半径成反比2向心力(1) 方向：总指向圆心(是变力)，与速度方向垂直；(2) 作用效果：改变线速度的方向，不会改变线速度的大小；(3) 大小：(4) 特点： 向心力垂直于速度方向，向心力不做功，向心力不是独立的力，是物体所受的沿半径方向的合外力例3：做匀速圆周运动的物体,下列不变的物理量是（ ）A速度 B速率 C向心加速度 D周期E动量F动能 G向心力H角速度例4：如图4-2-1所示,地球绕OO轴自转,则下列正确的是（ ）AA、B两点的物体角速度相等 BA、B两点的重力加速度相同CA、B两点的向心加速度和向心力都相同DA、B两点的物体均受地球引力和向心力的作用二、方法与技巧 1传动装置中，求各量的比值时，应明确等量关系例5：如图4-2-2所示, 转轴1上固定有两个半径分别为和的轮,用皮带传动2轮,2的轮半径是=,若1每秒钟转了5圈,1 ,0.5 ,则:(1)大轮转动的角速度 rad/s； (2)图中A、C两点的线速度分别是A m/s,C m/s； (3)A、B、C三点的向心加速度之比为 . 图4-2-2例6：A、B两行星绕同一恒星在同一平面内作匀速圆周运动，运动方向相同，A、B的周期分别为T1、T2（设T1T2），若在某时刻两行星的距离最近，求：(1)再经过多长时间，两行星距离又最近；(2)再经过多长时间，两行星距离又最远.2.圆周运动问题应考虑周期性（多解性）例7： 如图4-2-3所示,直径为的纸制圆筒,使它以角速度绕轴O匀速转动,然后使子弹沿直径穿过圆筒.若子弹在圆筒旋转不到半周时在圆筒上留下、两个弹孔,已知O、O夹角为 ,求子弹的速度. 图4-2-3思考:若把原题中的在圆筒旋转不到半周时去掉,子弹的速度又如何?3.圆周运动与其它运动的综合应用问题例8：如图4-2-4所示，质点P以为圆心在水平面内做匀速圆周运动，运动半径为，周期为T，当质点P过图中位置的瞬间，另一质量为的质点受到水平向右的力F的作用开始作初速度为零的匀加速直线运动，为使上述两质点在某时刻速度相等，则F必须满足什么条件？图4-2-44研究圆周运动动力学问题的方法处理圆周运动的动力学问题时，在明确研究对象以后，首先要注意两个问题： (1)明确轨道平面和圆心；(2)确定向心力来源（分析受到的外力）.如: 地球的自转:轨道平面是某一纬度所在平面,圆心在地球自转轴上, 图4-2-5向心力是外有引力的分力沿半球形碗的光滑内表面，一小球在水平面上做匀速圆周运动，如图4-2-5所示,小球做圆周运动的圆心在过碗的圆心的竖直线上, 轨道平面是水平的, 向心力是重力和支持力的合力,方向应在水平面内. 沿半球形碗的内表面，一小球在竖直平面内做匀速圆周运动，如图 4-2-5所示小球做圆周运动的圆心在碗的圆心, 轨道平面在竖直面内, 向心力是重力、支持力和滑动摩擦力的合力,方向应指向碗的圆心. 例9：沿水平方向的转动轴O上固定一根轻杆，杆端固定一个金属小球A，A随转轴及轻杆在竖直平面内匀速转动，某一时刻位置如图4-2-6所示(BC为过A的竖直方向)，此时刻轻杆对金属小球的作用力的方向可能是下面的哪个方向或在下面的哪个范围内 ( ) A沿AO方向 B在AB及AO间的范围内C沿AB方向D在AB及OA延长线间的范围内 图 4-2-6例10：火车轨距为L，在半径为R的弯道处保证以速率v运动，并且轮对轨道无侧向压力，问：(1)外轨比内轨高多少？（因内外轨的高度差较小，轨道斜面与水平面的夹角很小，计算时可认为sin=tan） (2)若火车速度小于v，会对那一轨道造成损伤？ 例11：如图4-2-7所示,水平转盘的中心有个竖直小圆筒,质量为的物体A放在转盘上,A到竖直筒中心的距离为.物体A通过轻绳、无摩擦的滑轮与物体B相连,B与A质量相同.物体A与转盘间的最大静摩擦力是正压力的倍,则转盘转动的角速度在什么范围内,物体A才能随盘转动.图4-2-7例12：如图4-2-8所示,在光滑的水平面上钉两个钉子A和B,相距20cm,用一根长1的细绳,一端系一个质量为0.5 kg的小球,另一端固定在钉子A上.开始时球与钉子A、B在一直线上,然后使小球以2 m/s的速率开始在水平面内做匀速圆周运动.若绳子能承受的最大拉力为4 N,那么从开始到绳断所经历的时间是多少?图4-2-8引伸：若绳子不会断裂，从开始运动到绳完全缠在A、B上需要多长时间?5竖直平面内圆周运动的临界问题： 最高点的临界速度（最小）V0= (1) 绳(或只有外轨)模型： 当V= 时，绳的拉力(轨道支持力)为零（没有物体支持小球） 当V 时，绳的拉力为T=mv2/R -mg 当V 时, 小球不能达到最高点(早已离轨)最高点的临界速度（最小）V0=0 当V=0时，杆(或内轨)的支持力为mg(2) 杆(或有内外轨)模型： 当0V 时,杆(或内轨)支持力为:N= mg-mv2/R 时, 杆的拉力(或外轨压力)为:N=mv2/R+mg例13：如果表演水流星节目时(一个杯子)，拴杯子的绳长为L，绳子能承受的最大拉力是杯子和杯内水重力的8倍，要使绳子不断裂，节目成功，则杯子通过最高点的速度最小为 ，通过最低点的速度最大为 。思考:若本题中将绳换成轻杆,将杯换成球,上面所求的临界速率还适用吗? 例14：如图4-2-9所示，在电机距轴O为r处固定一质量为m的铁块电机启动后铁块以角速度绕轴O匀速转动则电机对地面的最大压力和最小压力之差为 图4-2-9说明：本题可用隔离法、整体法、超重和失重等方法思考：(1)若m在最高点时突然与电机脱离，它将如何运动?(2)当角速度为何值时，铁块在最高点与电机恰无作用力?(3)本题也可认为是一电动打夯机的原理示意图若电机的质量为M，则为多大时，电机可以跳起来？此情况下，对地面的最大压力为多大？例15：如图4-2-10所示,A、B是粗糙程度相同的凸凹形路面，且A、B都在同一水平面上，已知物块m以初速度V0从A滑到B时的速度为V1，而以初速度V0从B滑到A时的速度为V2，则V1与V2的关系是 ( )AV1V2 CV1=V2 D无法确定 图4-2-10三、创新与应用范例例16：(单臂大回环)童非，江西人，中国著名体操运动员，首次在单杠项目上实现了单臂大回环：用一只手抓住单杠，伸展身体，以单杠为轴做圆周运动假设童非的质量为65 kg，那么，在完成单臂大回环的过程中，童非的单臂至少要能够承受 N的力(g取10 ms2) 例17：(转动与视觉暂留)如图4-2-11所示，电风扇有三片均匀分布的叶片，在频闪周期为T= s的闪光灯照射下匀速转动.当看起来三个叶片静止不动时，叶片的转速为 r/min;当看起来有六个均匀分布的叶片时，转速为 r/min.(转速不超过1500 r/min)例18：(一种车速的测量方法)如图4-2-12所示为一实验小车中利用光电脉冲测量车速和行程的装置的示意图.A为光源，B为光电接收器，A、B均固定在车身上，C为小车的车轮，D为与C同轴相连的齿轮.车轮转动时，A发出的光束通过旋转齿轮上齿的间隙后变成脉冲光信号，被B接收并转换成电信号，由电子电路记录和显示.若实验显示单位时间内的脉冲数为n，累计脉冲数为N，则要测出小车的速度和行程还必须测量的物理量或数据是 ；小车速度的表达式为v= ;行程的表达式为s= . 四、随堂针对性练习1. 地球自转一周为一昼夜；兰州市的纬度较高，而广州的纬度较低，下列说法正确的是（ ） A. 兰州一昼夜的时间要比广州一昼夜的时间略长B. 兰州的物体角速度大，广州的物体线速度大C. 两地物体的角速度、线速度都一样大D. 两地物体的角速度一样大，但广州的物体线速度比兰州的物体线速度要大2.如图4-2-13所示为质点P、Q做匀速圆周运动的向心加速度随半径变化的图线.表示质点P的图线是双曲线，表示质点Q的图线是过原点的一条直线.由图线可知 （ ） A.质点P的线速度大小不变B.质点P的角速度大小不变C.质点Q的角速度随半径变化D.质点Q的线速度大小不变3.飞机驾驶员最多可承受9倍的重力加速度带来的影响，当飞机在竖直平面上沿圆弧轨道最高点俯冲时速度为v，则圆弧的最小半径为 （ ） A. B. C. D. 4.一个内壁光滑的圆锥筒的轴线是竖直的，圆锥固定，有质量相同的两个小球A和B贴着筒的内壁在水平面内做匀速圆周运动，如图4-2-14所示，A的运动半径较大，则 （ ）A.A球的角速度必小于B球的角速度B.A球的线速度必小于B球的线速度C.A球运动的周期必大于B球运动的周期D.A球对筒壁的压力必大于B球对筒壁的压力5.如图4-2-15为一皮带传动装置，大轮与小轮固定在同一根轴上，小轮与另一中等大小的轮子间用皮带相连，它们的半径之比是123，.A、B、C分别为轮子边沿上的三点，那么三点线速度之比vAvBvC_；角速度之比ABC_；转动周期之比TATBTC_.6. 如图4-2-16所示，竖直放置的转轴下端用三条细杆固定一半径为R的开口圆环，圆环紧靠光滑的水平桌面，在转轴的带动下作匀速转动，圆环中心所在处的桌面上有一静止的质量为m2的小球A，现有一质量为m1的小球B以速度v0向A运动，在圆环缺口转到某位置时，B球刚好通过缺口，B球运动至中心处时与A球碰撞，碰撞后两球粘到一起又恰好从缺口处离开圆环，则圆环运动的角速度为多少？7.如图4-2-17所示，质点A 从某一时刻开始在竖直平面内顺时针做匀速率圆周运动，计时点是与圆心O等高的A点；与此同时，位于圆心的质点B自由下落。已知圆的半径为R，求：(1)质点A的角速度1满足什么条件时，才能使A、B相遇?(2)质点A的角速度2满足什么条件时，才能使A、B同时出现速度相同情况? 8.如图4-2-18所示，内表面光滑的半径为R的半球形碗内，有一质量为m的小球以角速度在水平面内做匀速圆周运动.求该小球的运动平面离碗底的高度 9.如图4-2-19所示，半径为R的水平圆板绕竖直轴做匀速圆周运动，当半径 OB转到某一方向时， 在圆板中心正上方h处以平行于OB方向水平抛出一小球，小球抛出时的速度及圆板转动的角速度为多大时，小球与圆板只碰一次，且落地点为B?五、例题答案及详解例1. A 例2. B 例3. BDFH 例4. A例5. (1) 31.4 (2) 15.7 31.4 (3) 1 2 4例6. (1) t=n （n=1、2、）(2) t= （n=1、2、）解析 （1）因为T1T2, 12 最近的条件是 1-2= n2（n=1、2、） n2（n=1、2、） t=n （n=1、2、）（2）最远的条件是 n2（n=1、2、） t= （n=1、2、）例7. （ ）.解析 子弹从穿入圆筒到从穿出圆筒,圆筒转过的角度为 ,则子弹穿过圆筒的时间为（ ）在这段时间内子弹的位移为圆筒的直径,则子弹的速度为（ ）.例8. （n=0，1，2 ）解析 依题意，只有在c点两质点在某时刻速度才可能相等（即大小相等和方向相同）， 则 （n=0，1，2 ）质点P在c点时速率为 质点m在某时刻时速率为 两质点在某时刻速度相等则 由以上三式得 （n=0，1，2 ）例9. B 例10. (1) tg=V2/gR , LV2/gR (2) 内轨解析 (1) tg=V2/gR, 则外轨比内轨高 , (2) 若火车速度小于V，则火车做向心运动，会对内轨道造成损伤例11. 解析 由于A在圆盘上随盘做匀速圆周运动,所以它所受的合外力必然指向圆心,而其中重力、支持力平衡,绳的拉力指向圆心,所以A所受的摩擦力的方向一定沿着半径或指向圆心,或背离圆心.当A将要沿盘向外滑时,A所受的最大静摩擦力指向圆心,A的向心力为绳的拉力与最大静摩擦力的合力.即 由于B静止,故F 由于最大静摩擦力是压力的倍, 即 由、解得 ；当A将要沿盘向圆心滑时,A所受的最大静摩擦力沿半径向外,这时向心力为: 由、得 .要使A随盘一起转动,其角速度应满足 小结:根据向心力公式解题的关键是分析做匀速圆周运动物体的受力情况；明确哪些力提供了它需要的向心力.例12. t=3.768s 引伸：4.7S 解析 球每转半圈,绳子就碰到不作为圆心的另一颗钉子,然后再以这颗钉子为圆心做匀速圆周运动,运动的半径就减少0.2 m,但速度大小不变(因为绳对球的拉力只改变球的速度方向).根据F2/r知,绳每一次碰钉子后,绳的拉力(向心力)都要增大,当绳的拉力增大到Fmax4 N时,球做匀速圆周运动的半径为min,则有 m=0.5 m绳第二次碰钉子后半径减为0.6 m,第三次碰钉子后半径减为0.4 m.所以绳子在第三次碰到钉子后被拉断.在这之前球运动的时间为: 引伸：由于L0/LAB=1/0.2=5 n10 tn= ， 4.7S 例13. 解析 此题为绳模型，通过最高点的临界速度（最小）V0= 通过最低点时绳的拉力为T=mv2/R +mg= mv2/L+ mg = 8mg , 则通过最低点时的速度最大为 v= 例14. N2m2r解析 铁块在竖直面内做匀速圆周运动，其向心力是重力mg与轮对它的力F的合力由圆周运动的规律可知：当，m转到最低点时F最大，当m转到最高点时F最小设铁块在最高点和最低点时电机对其作用力分别为F1和F2，且都指向轴心根据牛顿第二定律有：在最高点：mg+F1m2r 在最低点：F2- mgm2r 电机对地面的最大压力和最小压力分别出现在铁块m位于最低点和最高点时，且压力差的大小为：NF1+F2 由式可解得：N2m2r例15. B 例16. 3250 N 解析 轻杆模型， 当童非在最高点速度为零，然后下落到最低点时单臂承受的力才是最小的，设童非做圆周运动的半径为R,则由机械能守恒定律得 最低点时 则F=5mg=3250N例17. 当看来三个叶片静止不动时：600 r/min或1200 r/min 当看来有六个均匀分布的叶片时：300 r/min或900 r/min或1500 r/min解析 当看来三个叶片静止不动时： (n=1，2，3) 由于转速不超过1500 r/min 则叶片的转速为600 r/min或1200 r/min当看来有六个均匀分布的叶片时： (n=1，2，3) 由于转速不超过1500 r/min 则叶片的转速为300 r/min或900 r/min或1500 r/min例18.车轮半径R和齿轮的齿数p；2Rn/p；2RN/pA解析 小车的速度等于车轮的周长与单位时间内车轮转动圈数的乘积.设车轮的半径为R，单位时间内车轮转动圈数为k，则有v=2Rk若齿轮的齿数为p，则齿轮转一圈电子电路显示的脉冲数即为p，已知单位时间内的脉冲数为n，所以单位时间内齿轮转动圈数为 ，由于齿轮与车轮同轴相连，它们在单位时间内转动圈数相等，即k= 由以上两式可得，v= 同理，设车轮转动的累计圈数为K，则有s=2RK,且K= ，所以s= 可见，要测出小车的速度v和行程s，除单位时间内的脉冲数n和累计脉冲数N外，还必须测出车轮半径R和齿轮的齿数p.六、随堂练习答案1. D 2. A 3. B 4. AC解析 则 AC正确 5. vAvBvC113 ABC212 TATBTC121解析 AC vA=vB=ARA vCARC 所以 vAvBvC113ARA=BRB AB=RBRA=21 ABC212 TATBTC /A /B /C=1216.= （n=1,3,5 ）解析 B球通过缺口运动至中心处所用时间： 与A球碰撞动量守恒 碰撞后一起从缺口处离开圆环所用时间： 依题意 （n=0,1,3,5 ） = （n=0,1,3,5 ）7. (1) 1= （n=0,1,2,3 ） (2) 2= （n=1,2,3 ）8. 解析 设小球的运动平面离碗底的高度为h, 离碗内表面圆心高度为 ，与碗内表面圆心夹角为 ， 则 9. R 解析 球做平抛运动的时间为t ,球落到B点时水平位移为R，则球抛出时的速度为v R ,要保证球落到B点，需在球做平抛运动的时间内使圆板转动n圈（n1，2，），则圆板转动的角速度为tn