有趣的初中数学题及解答.doc

1、在平面直角坐标系内,有两直线,其解析式分别是和, (1) 如果在 和 之间（不包括和 ）有且只有一个整数,求x的取值范围；(2) 如果在 和 之间（不包括和 ）有且只有两个整数，x的取值范围又是什么呢？解：（1） 、 在 和 之间（不包括和 ）有且只有一个整数，,x ，易求和的交点的坐标为（ ，）， 自图中可以观察到，要找出和 之间（不包括 和 ）有且只有的一个整数，则应从选取与 相邻的整数入手（因为距越远，与之间的差值越大，它们之间包括的整数越多），1 时, , ，当2，x , =1, x , , 所以整数2就是和 之间的唯一整数（ 2和=1哪个所对应的X值与 的差值越小，则哪个y值就是和 之间的唯一整数；如图，X值相同时，和 的连线与y轴平行，这条平行于y轴的直线自点（，）向右移动，则线段 首先与y=2相交），A 、当x时，显然2， 和 之间不含有整数（此时2，而和之间包括的唯一整数不包括和 ）；B、当 x 时， 时，而和 之间开始包括整数2，与2相邻的整数是1和3， 3（解得X1） 1（解得X）综合A、B和C，当 x 1时， 2 3，和 之间（不包括和 ）有且只有一个整数2 ； 当x 时, ， =2 (解得X=0), A 、当X=0时, =1和 =2之间不含整数；B、当0 x 时， 1 2，和 之间不含整数；C、当X0时, 1 2 ，和之间至少含有两个整数(1和2), 综合当A、B和C，当x 时, 和 之间不可能只包括一个整数.综合、 和,X的取值范围是 x 1（2） 通过观察和计算可得1 x 或 - x 0, 在 和 之间（不包括和 ）有且只有两个整数 ( 其中,1 x 时, 和 之间包括的两个整数是2和3, - x 0时, 和 之间包括的两个整数是1和2 ). 解: (1) B(-1,5)在函数上,c=-5, C(,d)在函数上,d = - 2; B(-1,5), C(,-2)在函数 上,可得方程组 ， 解得 (2) 根据(1)可得,P(m,n) (-1 m )在函数的图象上, 则n =-2 m +3 ,PD平行于x轴, 设点D的坐标为(,),则=-2m+3,点 D在函数的图象上,则= ,SPAD = DP=(m - )= (m - )(-2m+3)=- (m - )2 + ,m = (-1 0时, m1n , m和n之间有且只有一个整数1(不包括m和n), 0m1n2 解得0a 当a0时, n 1 m , m和n之间有且只有一个整数1(不包括m和n), 0n12,解得 - a 0 综合,和 a 0 或0 因为直线l与O相离,所以 OP 5,O的半径r的取值范围是 r 5 解：(1) 设抛物线的解析式为y = ax2 + bx + c,实数m、n(m0），则有2x2（）2，解得x,点P的坐标为（，- ）；若OC=CP, 设点P的坐标为（x，- x）（其中x0）,则有x2+- x-（- ） 2（）2 ，解得x，点P的坐标为（，- ）；OPC为等腰三角形时，点P的坐标为（，）、（，- ）或（，- ）。 过点D作直线DHy轴，分别交线段OB和x轴于点H和F,过点B作直线BGDH, 垂足为G，设D点的坐标为（x，x2 + x），则H点的坐标为（x，- x），SBOD= SODH+ SBDH= DHOF+DHBG=DH（OF+ BG）=x2 + x-（- x）3（x2+x）(x23 x)=, 当x，x2 + x- 时，SBOD有最大值 ，点D的坐标为（，- ）。3、抛物线C 1的解析式为y1 = - x2-x-2,抛物线与y轴交于点A,在平面直角坐标系内有点B(-2,-2),(1)、求抛物线C 1的顶点坐标；（2）、 连接AB并将其延长与抛物线C 1交于点E，求证：+=2 ，在抛物线C 1上有一动点P(m，n)， -2m0，连接PB并将其延长与抛物线C 1交于点Q，是否存在+=2，若存在，请证明，若不存在，请说明理由。（3）、将抛物线C 1平移后，变化成将抛物线C 2：y2 =- ,若tx-2,X 2y2恒成立，求t的最小值，并说明抛物线C 1是如何平移成C 2的。解：（1）、y1 = - x2-x-2- （x2+4x+4）-1=- (x+2)2-1,抛物线C 1的顶点坐标为（-2，-1）。（2）、 A是抛物线C 1与y轴的交点，A(0, -2)，B(-2,-2),则ABX轴，- x2-x-2-2，解得X0或-4，即E（-4，-2），AB=0-(-2)=2,BE=-2-(-4)=2, +=+=2 。 存在+=2证明： 过点P(m，n)作PCAB于C,过点Q作QDAE交AE的延长线于D.在RTPCB中，PB2=PC2+BC2, PB2= n -(-2)2+ m -(-2)2=( n+2)2+( m+2)2,点P在y1 = - (x+2)2-1上,n=- (m+2)2-1, (m+2)2=-4n-4,PB2= ( n+2)2+( m+2)2=( n+2)2-4n-4=n2，(-2m0, -2n-1,PB=-n；设点Q的坐标为（t,v）,同理可证QB=-v（在RTQDB中，设点Q的坐标为（t,v）,QB2=DQ2+BQ2, QB2=(-2) -v2+(-2) - t2=( v+ 2 )2+( t + 2)2,点Q在y1 = - (x+2)2-1上,v=- (t+2)2-1, (m+2)2=-4v-4, QB2= ( v+ 2 )2+( t + 2)2= ( v+ 2 )2-4v-4= v2， QB=- v ） PCAB，QDAE，PCBQDB, PC=n+2, PB=-n,QD=-2-v, QB=-v,= , , , +=2 。（3）令直线y3 =x，设其图象 与y2 =- 交点的横坐 标为u和 u且uu, X x ，y2 y3 ，y2 =- 的图象是由y =- 的图象左右平移而成的，y2 =- 与y3 =x的图象如图所示，当y2 =- 的图象不断向左移动，u和 u的值不断减小，tx y3恒成立时，t的最小值在u处取得，所以当u-2时，对应的u的值即为t的最小值；（-2）=- ，解得k=0（y2 =- 的顶点坐标为（-k，0），t-k -2，2k-t,舍去）或k=4，y2 =- x，解得x=u-2或xu-8，所以t的最小值为-8 。将y1 = - (x+2)2-1向上平移1个单位再向左平移2个单位形成y2 =- 解：A1=180-A1BC-A1CB=180- ABC-ACB-A1CA=180- ABC-ACB-ACD=180- ABC-(180-A-ABC) -(A+ABC)=180- ABC-180+A+ABC-A-ABC=A同理可得 A2=A1=A, A3=A2=A1=A , A4 =AAn =A解:(1) 可化为x2+(6-2m)x+m2-4m+3=0,方程有实根,则 =(6-2m)2-4(m2-4m+3)0,解得m3(2) x1x2= m2-4m+3, x1+x2=2m-6 ,x1x2-x12-x22= x1x2-(x12+x22)= x1x2-(x12+2 x1x2+x22)+2 x1x2=3 x1x2-( x1+x2)2=3(m2-4m+3)-(2m-6)2=-m2+12m-27=-(m-6)2+9,x1x2-x12-x22=-(m-6)2+9,当m6时,函数值随着m的增大而增大,据(1)得m3, 当m=3时, x1x2-x12-x22有最大值0 。解：(1)y=2x+2与y轴交于点A,则有A(0,2),OA=2,HO=1,H(1,0),MHx轴,则点M的横坐标为，点M是直线y=2x+2与反比例函数的交点，所以有y=4是点M的纵坐标，M(1,4), K=4。(2)作点N关于x轴的对称点N，连接M N与x轴交于点P。点N(a,1)在函数 的图象上,所以a=4,N(4,1)与N关于x轴对称，所以N的坐标为(4,-1), x轴是线段NN的中垂线，所以对于x轴上任意一点P 有PN=PN,PM+PN=PM+PN,根据两点之间直线距离最短可知，当P是MN与x轴的交点时，PM+PN = PM+PN最小。M(1,4),N(4,-1),则直线MN的解析式为y= , 直线MN与x轴的交点P的坐标为(,0)。 解：(1)BD=CF成立证明：CAD+DAB=CAB=CAD+CAF=DAF=90, DAB=CAF，在BAD和CAF中，AD=AE,AC=AB,BADCAF,BD=CF.(2) 证明：ABC是等腰直角三角形，CBG+GBA+ACB=90,在（）中已证BADCAF ，GCA=GBA, CBG+GCA+ACB=90,GCB+CBG=90,在CBG中，CGB=90, BDCF过点F作FHAC于点H.BG和AC交于点I.AD=AF=,DAB=CAF=45,FHA为等腰直角三形，FH=HA=，AB=AC=4,HC=AC-HA=4-1=3,在RTHCF中，CF=,在BIA、CIG和CFH中，BAI=CGI=CHF=90,HBA=ICG=FCH, BIACIGCFH, ,BI=,IA=,CI=AC-IA=4-=,IG=,BG=IG+BE=+=要求:(1) OBA的面积关于t的解析式; (2)正方形ACBD的面积关于t的解析式;(3)PAE的面积关于t的解析式.分析:y=-x+t与x轴和y轴分别交于P点和Q点,则有P(t,0),Q(0,t). y=-x+t和y=3x交于点A,则-x+t=3x,x=,y=,有A(,).y=-x+t和y=x交x于点B,则-x+t=x, x=,y=, 有B(,).QPO=PQO=45 四边形ACBD是正方形,AB是对角线,则CAB=CBA=45,ACBDOQ,ADCBOP,则有D(,),C( ,).AD=- = ,EADEOP,令E点的纵坐标为y,则有 ,解得y = ,(1) SOBA= SOPA - SOPB= t- t= .(2) S正方形ACBD=AC2=(-)2= (也可用BC2求解).(3) SPAE= SADE + SADP= ADy =(-)= .（2012自贡）如图，抛物线l交x轴于点A（3，0）、B（1，0），交y轴于点C（0，3）将抛物线l沿y轴翻折得抛物线l1（1）求l1的解析式；（2）在l1的对称轴上找出点P，使点P到点A的对称点A1及C两点的距离差最大，并说出理由；（3）平行于x轴的一条直线交抛物线l1于E、F两点，若以EF为直径的圆恰与x轴相切，求此圆的半径 解: (1).抛物线沿y轴翻折得抛物线l1,则A到A(3,0),B到B(-1,0),C(0,-3)不动, l1过A,B和C.设抛物线l1的解析式为y=ax2+bx+c，则有：，解得a=1，b=2，c=3，故抛物线l1的解析式为：y=x22x3(2) y=x22x3, y=(x-1)2-4 , 抛物线l1的对称轴是x=1,找出A(3,0)关于对称轴x=1的对称点(-1,0),此点正好落在B的位置,连接BC并延长交x=1于点P,则P是为所要求的点.在x=1任取一点P,显然PA=PB,PC-PA=PC-PB PC-PB,所以P点为所要找的点.B(-1,0),C(0,-3),设过BC的直线的解析式为y=kx+b，则有：，解得k=b=3，故直线BC的解析式为：y=3x3直线BC与直线x=1的相交于点P,y=313=6，故P（1，6）(3)线段EFx轴,与对称轴x=1相交于点D,设D点的坐标为(1,m),以EF为直径的圆与x轴相切,则圆的半径BD=EF=|m|.EF的长是当抛物线y=x22x3的值y为m时,两个x值的差值的绝对值.x22x3=m, x22x3-m=0,令其根为x1, x2 ,则(x1- x2)2=( x1+ x2)2-4 x1 x2=2 2-4(3-m)=(2BD)2=(2|m|)2=4m 2, 2 2-4(3-m)= 4m 2, m 2- m 4 = 0解得m = ,圆的半径BD=|m|=（2012自贡）如图所示，在菱形ABCD中，AB=4，BAD=120，AEF为正三角形，点E、F分别在菱形的边BC、CD上滑动，且E、F不与B、C、D重合（1）证明不论E、F在BC、CD上如何滑动，总有BE=CF；（2）当点E、F在BC、CD上滑动时，分别探讨四边形AECF和CEF的面积是否发生变化？如果不变，求出这个定值；如果变化，求出最大（或最小）值解: (1)证明:连接AC.四边形ABCD是菱形,AC平分一组对角BAD和BCD,BAD=BCD =120,BAC=BCA=60,AB=BC=CD=DA,ABC和ACD是正三角形.AEF是正三角形, AE=EF=AF,EAF=60, BAE+EAC=BAC=60,CAF+E