数学初三讲义TBcss.doc

科目：数学 年级：初三 教师：张立平20052006学年第二学期第十六周总复习（五）开放型问题例析一、典型例题分析例1（2005年呼和浩特市中考题）如图，DE是0直径，弦ABDE，垂足为C，请你找出具有相等数量关系的结论 （至少写出四对等量关系）解: 弧AE=弧BE ，弧AD = 弧BD ，AC= BC，AD = BD，ADEBDE，A=B等中任意四对例2（2005年广州市课改区中考题）(1) 观察图的一中阴影部分构成的图案，请写出这四个图案都具有的两个共同特征；(2) 借助图之的网格，请设计一个新的图案，使该图案同时具有你在解答（1）中所写出的两个共同特征 （注意：新图案与图的一的图案不能重合）解（1）答案不惟一，例如所给的四个方案具有的共同特征可以是： 都是轴对称图形； 面积都等于四个小正方形的面积之和； 都是直线形图案； 图案中不含钝角；-等等只要写出两个即可 (2) 答案不惟一，只要设计的图案同时具有所给出的两个共同特征，均正确，例如：同时具备特征、的部分图案如下：说明 本题主要考查从不同图形中寻找共同的特征的能力，考查观察能力、抽象概括能力、数学语言表述能力和空间观念 例3（2005年南宁市课改区中考题）如图, EGAF，请你从下面三个条件中，再选两个作为已知条件另一个为结论，推出一个正确的命题（只需写出一种情况） ABAC；DE=DF；BECF解 已知：EGAF, AB = AC, DE =DF求证：BECF证明 EG AF， GEDF， BGE=BCA ABAC， B=BCA B=BGE BE = EG， 在DEG和DFC中， DEGDFC EG=CF BECF例5（2005年杭州市中考题）我们已经学习了相似三角形，也知道：如果两个几何图形形状相同而大小不一定相同，我们就把它们叫做相似图形比如两个正方形，它们的边长、对角线等所有元素都对应成比例，就可以称它们为相似图形 现给出下列4对几何图形：两个圆；两个棱形；两个长方形；两个正六边形，请指出其中哪几对是相似图形，哪几对不是相似图形，并简单地说明理由解 圆和正六边形为相似图形，因为它们的对应元素都成比例； 菱形和长方形不是相似图形，因为它们对应的元素不一定都成比例（或举出具体反例）例6（2005年济南市中考题）小明代表班级参加校运会的铅球项目，他想：“怎样才能将铅球推得更远呢？”，于是找来小刚做了如下的探索：小明手挚铅球在控制每次推出时用力相同的条件下，分别沿与水平线成300、450、600方向推了三次铅球推出后沿抛物线形运动如图，小明推铅球时的出手点距地面2m, 以铅球出手点所在竖直方向为y轴、地平线为x轴建立坐标系，分别得到的有关数据如下表：(1) 请你求出表格中两横线上的数据，写出计算过程，并将结果填人表格中的横线上； (2) 请根据以上数据，对如何将铅球推得更远提出你的建议解（1） 一0 1，10.抛物线y = a（x一4）236经过点（0，2），解得a=01当y=0时, 0.1(x一4)2+3.6=0, 解得x =10 (2) 推铅球时沿与水平线成45方向用力推出，推得更远例8（2005年长沙市中考题）已知点E、F在ABC的边AB所在的直线上，且AEBF, FHEGAC，FH、EG分别交边BC所在的直线于点H、G (1) 如图，如果点E、F在边AB上，那么EGFHAC； (2) 如图，如果点E在边AB上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是 ； 图 图 (3) 如图，如果点E在AB的反向延长线上，点F在AB的延长线上，那么线段EG、FH、AC的长度关系是 对(1)(2)(3)三种情况的结论，请任选一个给予证明 图 图解 （2）线段EG、FH、AC的长度的关系为：EGFHAC (3) 线段EG、FH、AC的长度的关系为：EG一FHAC 证明（2）如图，过点E作EPBC交AC于P， EGAC， 四边形EPCG为平行四边形 EG=PC， HFEGAC， F=A， FBH=ABCAEP 又 AE=BF, BHFEPA HF=AP， AC=PCAPEGHF 即 EGFH=AC （用平行线分线段成比例或相似三角形的性质等证明均可）例10（2005年天津市中考题）在ABC中，A、B、C所对的边分别用a、b、c表示 （）如图，在ABC中，A=2B，且A60求证：a2b（bc）； 图 图（）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2倍，我们称这样的三角形为“倍角三角形”本题第（）问中的三角形是一个特殊的倍角三角形，那么对于任意的倍角三角形ABC（如图），其中A=2B，关系式a2b（bc）是否仍然成立？证明你的结论； （）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数 解 (I) 证明. A=60， A=2B， C90 在RtABC中， b=c，a= 于是，a2 =c2， b（bc）= c（c+c）=c2 a2b（bc）（）关系式 a2b（bc）仍然成立 证明 如图，延长BA至点D，使ADACb 连结CD，则ACD为等腰三角形 BAC为ACD的一个外角， BAC=2D 图 由已知，BAC=2B， B=D. CBD为等腰三角形 又D为ACD与CBD的一个公共角， 于是ACDCBD ， 即 a2b（bc） （）若 ABC是倍角三角形，由A=2B，应有a2b（bc），且ab 当abc时，设an1，c=n，bn一1，（n为大于1的正整数） 代人a2b（bc），得（n1）2（n一1）（2n1）,解得n=5, 有a=6, b = 4, c5,可以证明这个三角形中, A2B. 当cab及abc时，均不存在三条边长恰为三个连续正整数的倍角三角形 边长为4, 5，6的三角形为所求例11（2005年安徽省中考题）一列火车自A城驶往B城，沿途有n个车站（包括起点站A和终点站B）该列火车挂有一节邮政车厢，运行时需要在每个车站停靠，每停靠一站不仅要卸下已经通过的各车站发给该站的邮包各一个，还要装上该站发往下面行程 中每个车站的邮包各一个 例如，当列车停靠在第x个车站时，邮政车厢上需要卸下已经通过的(x一1)个车站发给该站的邮包共（x一1）个，还要装上下面行程中要停靠的（n一x）个车站的邮包共（n一x）个（1）根据题意，完成下表： (2) 根据上表，写出列车在第x个车站启程时，邮政车厢上共有邮包的个数y（用x、n表示）(3) 当n=18时，列车在第几个车站启程时邮政车厢上邮包的个数最多？解（1） (2) y =x (n一x) (3) 当n=18时， y x（18一x）一x218x一（x一9）281， 当x=9时， y取得最大值 所以列车在第9个车辆启程时，邮政车厢上邮包的个数最多 例13（2005年河北省中考题）操作示例 对于边长均为a的两个正方形ABCD和EFGH，按图所示的方式摆放，再沿虚线BD，EG剪开后，可以按图中所示的移动方式拼接为图中的四边形BNED 从拼接的过程容易得到结论： 四边形BNED是正方形； S正方形ABCD十S正方形EFGH = S正方形BNED 实践与探究(1) 对于边长分别为a，b (ab) 的两个正方形ABCD和EFGH，按右图所示的方式摆放，连结DE，过点D作DMDE，交AB于点M，过点M作MNDM，过点E作ENDE，MN与EN相交于点N. 证明四边形MNED是正方形，并用含a，b的代数式表示正方形MNED的面积； 在图中，将正方形ABCD和正方形EFGH沿虚线剪开后，能够拼接为正方形MNED请简略说明你的拼接方法（类比上图，用数字表示对应的图形） (2) 对于n (n是大于2的自然数)个任意的正方形，能否通过若干次拼接，将其拼接为一个正方形？请简要说明你的理由 解 (1) 证明由作图的过程可知四边形MNED是矩形 在RtADM与RtCDE中， AD=CD， 又ADM十MDCCDE十MDC=90， ADM=CDE RtADMRtCDE DM=DE 四边形MNED是正方形 DE2 =CD2CE2a2b2， 正方形MNED的面积为a2b2； 过点N作NPBE，垂足为P，如下图. 可以证明图中6与5位置的两个直角三角形全等，4与3位置的两个直角三角形全等，2与1位置的两个直角三角形也全等 所以将6放到5的位置，4放到3的位置，2放到1的位置，恰好拼接为正方形MNED （2） 答：能 理由是：由上述的拼接过程可以看出：对于任意的两个正方形都可以拼接为一个正方形，而拼接出的这个正方形可以与第三个正方形再拼接为一个正方形，依此类推由此可知：对于n个任意的正方形，可以通过（n一1）次拼接，得到一个正方形例14（2005年重庆市中考题）已知四边形ABCD中，P是对角线BD上的一点，过P作MNAD，EFCD，分别交AB、CD、 AD、BC于点M、N、E、F，设aPMPE,b=PNPF，解答下列间题： 图 图 (1) 当四边形ABCD是矩形时，见图, 请判断a与b的大小关系，并说明理由； (2)当四边形ABCD是平行四边形，且A为锐角时，见图, (1)中的结论是否成立？请说明理由； (3)在（2）的条件下，设=k，是否存在这样的实数k，使得？若存在，请求出满足条件的所有k的值；若不存在，请说明理由 解（1） 四边形ABCD是矩形，MNAD，EFCD， 四边形PEAM、PNCF也均为矩形 a=PMPE=S矩形PEAM， bPNPFS矩形PNCF，又BD是对角线， PMBBFP， PDEDPN， DBADBC， S矩形PEAMSDBA一SBFB一SDPE， S矩形PNCFSDBC一SBFP一SDPN S矩形PEAMS矩形PNCF ab (2) 成立，理由如下： 四边形ABCD是平行四边形，MNAD，EFCD， 四边形PEAM、PNCF也均为平行四边形， 仿（1）可证S平行四边形PEAMS平行四边形PNCF，如图， 过E作EHMN于点H，则sinMPE=， EH=PE sinMPE, S平行四边形PEAM = AMEHPMPE sinMPE， 同理可得: S平行四边形PNCF = PNPFsinFPN: 又 MPE=FPN=A, sinMPE= sinFPN， PMPE=PN