美国大学的留学申请问题的数学模型.doc

培 养 能 力，激 发 潜 能；培 养 意 识，提 高 水 平美国大学的留学申请问题的数学模型摘要现在，越来越多的学生选择去海外留学，尤其是美国。校园中随处可见考托、考G者的身影。申请的程序很繁杂，录取的时候影响因素也很多。为了这些同学都能取得好的申请结果，多拿“offer”。现在请你们建立一个模型，来帮助他们做结果的定性和定量评估。本文主要针对申请美国研究生的同学，包括硕士研究生（master）和博士研究生（Ph.D.），在留学申请问题方面的规律进行分析研究。首先，分别从申请的专业、他/她的平均成绩（GPA）、托福分数、GRE分数、班级/专业排名，五方面因素的影响进行研究，对每一方面因素统计出其数据，做相关性检验；然后分析得出综合性检验方程；对学生有在相关专业有论文发表，以及参加竞赛获奖的情况另作分析，最后求的他/她的offer成绩然后，通过对学生资金和申请学校数量的分析，选取优化模型。通过模型建立求解后，使此学生可以拿到一个录取。另外对每个学校的排名和录取概率做进一步讨论。对结果与开始时作出的初步分析进行检验，进一步保证结果的准确性。最后，我们从模型所用思想方法的科学性，以及结果的合理性两方面进行了讨论。该模型具有简单易懂，而又容易操作的特点。关键词：优化模型 层次分析法 比例系数 数学建模 MATLAB 线性规划一、问题重述申请美国大学的流程通常是，学生首先准备必要的考试和一些证明，然后将考试成绩和这些证明寄给自己想去的大学，一般学生可根据自己的情况选择申请多所学校。每所大学计划招生人数有限，所以只会录取申请的一部分学生。要求为申请留美学生建立一个数学模型，通过此模型来帮助申请人合理的选择学校。本次模型主要考虑的对象是申请美国研究生的同学，包括硕士研究生（master）和博士研究生（Ph.D.）。不考虑申请其它国家和申请本科、博后的情况。问题一：一个申请人是否能够被录取，需要考虑很多因素，比如申请的专业、他/她的平均成绩（GPA）、托福分数、GRE分数、班级/专业排名等等。现在，我们假设一个申请人只能申请一个学校。请根据以上列举的影响因素建立模型，来计算一个申请者录取的可能性。如果一个申请人曾经发表过相关专业的论文，或是参加了一些竞赛并获奖（例如全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛、电子设计竞赛等），这样他/她就会比其他人更有优势，从而拿到“offer”。请考虑以上两个因素，进而改善你们的模型。问题二：大多数情况下，一个申请人会同时申请多个学校。申请的学校越多，获得录取的可能性也就越大。但是，每一次申请都需要缴纳不菲的申请费和材料寄送费。如果一个申请人认为只要能拿到一个录取就算是成功的，在资金有限的情况下，他/她应该申请几个学校呢？请建立模型，帮助你的同学做分析。问题三：几乎所有的申请人都想拿到美国顶尖学校的录取通知，比如麻省理工学院、哈佛大学、斯坦福大学等。可是，学校的排名越高，获得录取的可能性就越小。根据你的模型，写一份分析报告，帮助申请人合理的选择学校。二、问题分析本问题的关键是寻找留美大学生被美国大学录取规律的分析研究，先从申请的专业、他/她的平均成绩（GPA）、托福分数、GRE分数、班级/专业排名等因素考虑，通过数据的统计分析与相关性检验来验证得到其规律，再综合考虑学生在本专业有无发表相关论文及获奖情况根据层次分析法对各种因素进行加权获得组合权向量，从而得出学生拿到“offer”的规律。在前面统计分析的基础上，得到了一个学生申请一个学校可以拿到“offer”的规律，再考虑一个学生可以申请多个学校，但同时需要缴纳不菲的申请费和材料寄送费等相关因素，根据现代优化算法，把美国大学的申请问题建立成最优化问题二模型，由组合优化问题的优化模型，根据提供的相关数据，通过通用计算公式的计算求解，从而得出最优解方案。本问题的难点在于一个人可以申请多个学校，并且要缴纳不菲的费用的同时，还需要考虑美国大学的排名不同，从而导致大学的录取可能性不同。根据优化问题组合的方法建立数学模型，求出最大价值量，从而得出学生申请大学的最优方案。最后，讨论所用方法的科学性和计算结果的合理性。三、变量说明问题一最终成绩： offer申请的专业： x1他/她的平均成绩（GPA）： x2托福分数： x3GRE分数： x4班级/专业排名： x5其他（曾经发表过相关专业的论文，或是参加了一些竞赛并获奖（例如全国大学生数学建模竞赛、美国大学生数学建模竞赛、电子设计竞赛等）： x6变量的成对赋值： aij(i、j=1,2,3,4,5)权重系数为：a1 a2 a3 a4 a5问题二资金 y1申请费和材料寄送费 y2申请的学校数量 y3比例系数 此生每所学校申请成功的概率 y此同学拿到一个录取的概率 m问题三每所学校申请成功的概率（i=1、2y3)美国大学排名序号：zi(i=1、2)四、模型假设1. 学校录取学生时根据学生递交的材料，计算学生的综合成绩，根据综合成绩排名，依次发放通知书。 2学校每年录取学生的人数固定，按照比例与学生的综合成绩排名录取学生。 3.学校在计算学生综合成绩的时候，各种因素的重要程度不改变。 4.每个学生申请每个学校都可以成功申请五、模型的建立和求解每年都有众多中国学生申请美国大学研究生，可以说，相对于美国本科申请，美国大学研究生申请在美国留学市场上占据不可忽视的地位。对于国内大三或大四的学生来说，申请美国大学研究生，尤其是美国顶尖名校的研究生，需要准备的不仅仅是TOEFL和GRE，学生大学的在校成绩和专业论文在一定程度上都影响美国大学研究生的申请成功率。（一）、问题一模型建立和求解：1. 问题一中对变量进行成对赋值：x1/x2=a12; x1/x3=a13; x1/x4=a14; x1/x5=a15; x2/x3=a23; x2/x4=a24; x2/x5=a25; x3/x4=a34; x3/x5=a35; x4/x5=a45; 其中aij(i、j=1,2,3,4,5) 为成对赋值（即任取xi与xj比较它们对于“offer”贡献（重要程度）的大小） 2. 建立逆对称矩阵：由xi/xj建立n阶方阵AA=3. 迭代按下列方法求向量迭代序列： eo= e1=Ae=1/5 = e1=e1 / ek=Aek-1 ek= ek/ k=1,2, 经过n次迭代，当en=en-1时，迭代中止：en=(a1 a2 a3 a4 a5 )T权系数为：a1 a2 a3 a4 a5 相应的综合评价公式：Y=a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4+a5*x5若此学生曾经发表过相关专业的论文，或是参加了一些竞赛并获奖另行加分，为：x6offer=Y+x6（二）、问题二模型建立和求解：申请美国的研究生还需要准备一定的资金，因为零零碎碎的申请费用加起来数目不小。建议申请人事先要选好学校，拉开申请院校的等级差距，一般最好在10所以内。首先，申请费，每所院校平均大概在50美元左右，申请10所就是500美元；寄送GRE和托福成绩的费用，每所36美元，申请10所就是360美元。此外，还要加上邮寄包裹、打电话、成绩单盖章、网上查资料、GRE、托福考试以及培训等费用，加起来费用至少在1万到2万元人民币。所以申请美国大学研究生前一定要慎重考虑各个方面因素。1. 定义当此同学申请成功的概率达到m时可以获得一份录取通知书y = z=y3 约束条件: y10 y20y31 y3*y2y11-(1-y )y3m由约束条件可解得: y31 y3情况：若1，则取最优解y3=；情况:若1，则取y3=1；情况:若；则由于资金原因，无法一定申请成功，而申请成功的概率和申请学校的个数之间满足：P=1-(1-y )y3（三）、问题三模型建立和求解：由题意可知：学校的排名越高，获得录取的可能性就越小，当每所学校录取的概率为（i=1,2），大学的排名序号为zi（i表示第i名大学），设定学生申请大学的最大价值量为：，则在条件允许的情况下，求出的最大值既是此生申请的y3所学校的最优组合。六、模型检验和结果分析 为了对所建立的模型进行检验，我们利用得出的权重向量对学生申请美国大学做出了预测，结果如下所示。 clear allA=cell(1,5,5);%给变量分配空间a1=cell(1,5,1); %给变量分配空间a2=cell(1,5,1); %给变量分配空间a3=cell(1,5,1); %给变量分配空间a4=cell(1,5,1); %给变量分配空间a5=cell(1,5,1); %给变量分配空间a1=1 1/3 2/3 2/3 1/3;%给变量赋值a2=3 1 2 2 1; %给变量赋值a3=3/2 1/2 1 1 1/2; %给变量赋值a4=3/2 1/2 1 1 1/2; %给变量赋值a5=3 1 2 2 1; %给变量赋值A=a1;a2;a3;a4;a5; %给变量赋值e0=1/5, 1/5, 1/5 ,1/5 ,1/5; %给变量赋值b1=cell(5,1); %给变量分配空间b1=A*e0; %给变量赋值normest(b1);%求出b1的范数e1=cell(5,1); %给变量分配空间e1=b1/normest(b1); %给变量赋值b2=cell(5,1); %给变量分配空间b2=A*e1; %给变量赋值normest(b2); %求出b2的范数e2=cell(5,1); %给变量分配空间e2=b2/normest(b2); %给变量赋值b3=cell(5,1); %给变量分配空间b3=A*e2; %给变量赋值normest(b3); %求出b3的范数e3=cell(5,1);%给变量分配空间e3=b3/normest(b3); %给变量赋值b4=cell(5,1); %给变量分配空间b4=A*e1; %给变量赋值normest(b4); %求出b4的范数e4=cell(5,1); %给变量分配空间e4=b4/normest(b4); %给变量赋值 e0e0 = 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 0.2000 e1e1 = 0.2063 0.6189 0.3094 0.3094 0.6189 e2e2 = 0.2063 0.6189 0.3094 0.3094 0.6189 e3e3 = 0.2063 0.6189 0.3094 0.3094 0.6189 e4e4 = 0.2063 0.6189 0.3094 0.3094 0.6189%迭代出数列的各项值，当当en=en-1时，迭代中止,所得的向量ei即所求的权重向量。相应的综合评价公式：Y=a1*x1+a2*x2+a3*x3+a4*x4+a5*x5然后代入：a1= 0.2063a2= 0.6189a3= 0.3094a4= 0.3094a5= 0.6189最后求出Y的值。 七、模型的评价与改进本模型是在学生申请美国大学时的各项因素的影响下以及美国大学的录取概率情况下利用层次分析发建立数学模型并做出的分析，在第二个问题中考虑到学生缴纳费用的多少及美国大学录取可能性之间的矛盾，故而建立了最优化模型。考虑到不同大学对学生的要求不同以及大学本身价值的不同，从而导致录取概率是个模糊的概念，所以模型存在一定缺陷，若能加入模糊算法，则模型准确性将有所提高。不过就问题中的条件以及要求而言，本模型实用性以及适用性广泛，提出权重系数的概念，使其适用于大多数学生。模型大部分数据通过实际调查得来的，计算过程中完全依赖现实中的数据，而且对于类似的优化问题也可以同样以数据代入而及其方便的获得相应的决策，具有普遍性。八、参考文献1现代数学建模方法 王庚 王敏生 科学出版社2数学建模 浙江大学出版社 杨启帆 方道元3数学模型（第三版） 高等教育出版社 姜启源4最优化方法及其应用 高等教育出版社 郭科 陈聆 魏友华5 MATLAB程序设计与应用 高等教育出版社 刘卫国 陈昭平 张颖 九、附录附录一Matlab代码:clear allA=cell(1,5,5);a1=cell(1,5,1);a2=cell(1,5,1);a3=cell(1,5,1);a4=cell(1,5,1);a5=cell(1,5,1);a1=1 1/3 2/3 2/3 1/3;a2=3 1 2 2 1;a3=3/2 1/2 1 1 1/2;a4=3/2 1/2 1 1 1/2;a5=3 1 2 2 1;A=a1;a2;a3;a4;a5;e0=1/5, 1/5, 1/5 ,1/5 ,1/5;b1=cell(5,1);b1=A*e0;normest(b1);e1=cell(5,1);e1=b1/normest(b1);b2=cell(5,1);b2=A*e1;normest(b2);e2=cell(5,1);e2=b2/normest(b2);b3=cell(5,1);b3=A*e2;normest(b3);e3=cell(5,1);e3=b3/normest(b3);b4=cell(5,1);b4=A*e1;normest(b4);e4=cell(5,1);e4=b4/normest(b4);附录二对权重系数的量化过程成对比较从 x1,x2,xn中任取xi与xj比较它们对于y贡献（重要程度）的大小，按照