2、(压轴题)反比例函数.doc

2013年全国各地中考数学压轴题专集答案二、反比例函数（浙江湖州）如图，O为坐标原点，点B在x轴的正半轴上，四边形OACB是平行四边形，sinAOB ，反比例函数y （k 0）在第一象限内的图象经过点A，与BC交于点F（1）若OA10，求反比例函数的解析式；（2）若点F为BC的中点，且AOF的面积S12，求OA的长和点C的坐标；（3）在（2）的条件下，过点F作EFOB，交OA于点E（如图），点P为直线EF上的一个动点，连结PA，PO是否存在这样的点P，使以P，O，A为顶点的三角形是直角三角形？若存在，请直接写出所有点P的坐标；若不存在，请说明理由图ACBOxFy图ACBOxFyPEACBOxFyMH解：（1）过点A作AHOB于HsinAOB ，OA10AH8，OH6A点坐标为（6，8）根据题意：8 ，k48反比例函数的解析式为y （x 0）（2）设OAa（a 0），过点F作FMx轴于MsinAOB ，AH a，OH aSAOH a a a 2ACBOxFyP1P2ESAOF 12，SAOBC 24F为BC的中点，SOBF 6BF a，FBMAOB，FM a，BM aSBMF BMFM a a a 2SFOM SOBF SBMF 6 a 2ACBOxFyEP3点A，F都在y 的图象上，SAOH SFOM k a 26 a 2，a ，OA AH ，OH2SAOBC OBAH24，OBAC3C（5，）（3）存在三种情况：ACBOxFyP4E当APO90时，在OA的两侧各有一点P，分别为：P1（，），P2（ ，）当PAO90时，P3（，）当POA90时，P4（ ，）（浙江义乌）如图1，已知y （x 0）图象上一点P，PAx轴于点A（a，0），点B坐标为（0，b）（b0），动点M是y轴正半轴上B点上方的点，动点N在射线AP上，过点B作AB的垂线，交射线AP于点D，交直线MN于点Q，连结AQ，点C为AQ的中点（1）如图2，连结BP，求PAB的面积；（2）当点Q在线段BD上时，若四边形BQNC是菱形，面积为2，求此时P点的坐标；（3）当点Q在射线BD上时，且a3，b1，若以点B，C，N，Q为顶点的四边形是平行四边形，求这个平行四边形的周长OxyDPBA图2OxyDMNPCBAQ图1解：（1）SPAB SPAO 63（2）如图1，四边形BQNC是菱形BQBCNQ，BQCNQCOxyDMNPCBAQ图1ABBQ，C为AQ中点，BCCQ AQBQC60，BAQ30在ABQ和ANQ中 ABQANQBAQNAQ30，BAO30S菱形BCNQ 2，BQ2OxyDMNPCBAQ图2ABBQ2，OA AB3又P点在反比例函数y 的图像上P点坐标为（3，2）（3）a3，b1，A（3，0），B（0，1）OA3，OB1，ABAOBDBA， BD3如图2，当点Q在线段BD上时ABBD，C为AQ的中点BC AQ四边形BQNC是平行四边形QNBC，CNBQ，CNBDQMNCDOBAxy图3 BQCN BDAQBQ2CBQNC 22如图3，当点Q在线段BD的延长线上时ABBD，C为AQ的中点BCCQ AQ平行四边形BNQC是菱形，BNCQ，BNCQ ，BQ3BD9AQ2CBQNC 2AQ4（浙江模拟）已知二次函数ya( xm )24的图象是由函数y x 22xn的图象向左平移一个单位得到，反比例函数y 与二次函数ya( xm )24的图象交于点A（1，b）（1）求a、m、n、k、b的值；（2）要使反比例函数y 和二次函数ya( xm )24在直线xt的一侧都是y随着x的增大而减小，求t的最大值；（3）记二次函数ya( xm )24图象的顶点为B，以AB为边作矩形ABCD，边CD与反比例函数y 相交，且直线AB与CD的距离为 ，求点C、D的坐标解：（1）y x 22xn ( x2 )2n2，顶点坐标为（2，n2）a ，m213，n24，n6y ( x3 )24把x1，yn代入y ( x3 )24，得n ( 13 )2412把x1，y12代入y 得k12（2）反比例函数y 在图象所在的每一象限内，y随着x的增大而减小而二次函数y ( x3 )24的对称轴为直线x3要使二次函数y ( x3 )24在直线xt的一侧都是y随着x的增大而减小必须x3t的最大值为3（3）过A作直线lx轴，作DFl于F，BEl于EB（3，4），A（1，12），AE4，BE8yBxOCAFEDlBEl，AB 4四边形ABCD是矩形，BAD90EABFAD90BEl于E，EABEBA90FADEBA，RtEBARtFAD 直线AB与CD的距离为 ，AD ，AF2，DF1点D的坐标为（3，11）同理可求点C（1，3）（浙江模拟）如图，在平面直角坐标系中，点A坐标为（1，3），点C是x轴上一点，且ACOC（1）求点C的坐标；（2）若双曲线y 经过点A，AC与双曲线交于点B，点D是线段OA上的点（不与O、A重合），点P（t，0）是x轴正半轴上一动点，且满足BDPAOC当DPOC时，求点D的坐标；若对于每一个P点，同时存在两个满足条件的D点，求t的取值范围DAOxCPBy解：（1）过A作AHOC于HDAOxCPByHA（1，3），OH1，AH3设OCx，则ACx，HCx1在RtAHC中，( x1 )23 2x 2解得x5，C（5，0）（2）设直线AC的解析式为ymxn 解得 直线AC：y x 双曲线y 经过点A（1，3），3 k3，y 令 x ，解得x11，x24DAOxCPByHGB（4，）DPOC，RtDOPRtAOH 3，DP3OP设OPa，则DP3a过B作BGDP于G则PG ，DG3a ，BG4aBDPAOC，RtBDGRtAOH 3，DG BG ( 4a )3a ( 4a )，解得a D（ ，）ACOC，DOPBADDAOxCPByBDPAOC，ODPADBODPOPDOPDADB，ODPABD， 易求AO ，AB ，设ODx，则AD x ，整理得：4x 24x15t0对于每一个P点，同时存在两个满足条件的D点( 4 )24415t 0，解得t 又D是线段OA上的点，t 0t的取值范围是0t （江苏泰州）如图，在平面直角坐标系xOy中，直线yx2与y轴相交于点A，与反比例函数在第一象限内的图象相交于点B（m，2）（1）求该反比例函数的关系式；（2）将直线yx2向上平移后与反比例函数在第一象限内的图象相交于点C，且ABC的面积为18，求平移后的直线的函数关系式；（3）在（2）的条件下，在线段AC上存在一点P，使APBABC，求点P的坐标BACOxy解：（1）点B（m，2）在直线yx2上2m2，m4，点B（4，2）设反比例函数的关系式为y 点B（4，2）在反比例函数的图象上k428BACDEOxyy （2）作BDy轴于D，CEy轴于E设C点坐标为（x， ）SABC S梯形BDEC SABD SACE ( x4 )( 2 ) 44 x( 2 ) 2x4SABC 18， 2x418即x 27x80，解得x18（舍去），x21C点坐标为（1，8）设平移后的直线的函数关系式为yxb，把C（1，8）代入得81b，b7平移后的直线的函数关系式为yx7（3）设直线AC的函数关系式为ytxnBACOxyP把A（0，2），C（1，8）代入得 解得 y10x2设P（x，10x2），AP 2x 2( 10x22 )2101x 2APBABC， 而AB 224 232，AC 21 2( 82 )2101 ，解得x （舍去负值）点P的坐标为（ ，）（江苏连云港）如图，已知一次函数y2x2的图象与y轴交于点B，与反比例函数y 的图象的一个交点为A（1，m）过点B作AB的垂线BD，与反比例函数y （x0）的图象交于点D（n，2）（1）求k1和k2的值；BAEDCOxy（2）若直线AB、BD分别交x轴于点C、E，试问在y轴上是否存在一点F，使得BDFACE若存在，求出点F的坐标；若不存在，请说明理由（1）点A（1，m）在直线上y2x2m4，即A（1，4）将A点坐标代入y 中得k14BAEDCOxyMN过点A、D分别作y轴的垂线，垂足分别为点M、NABBD，ABMBDN ，即 DN8，D（8，2）将D点坐标代入y 中得k216（2）存在符合条件的点F，F（0，8）由y2x2，解得C（1，0）OBON2，DN8，以OE4易知AE5，CE5，AC2，BD4，EBOACECAE若BDFACE，则 ，即 BF10，F（0，8）（江苏镇江）我们知道：一次函数yx1的图象可以由正比例函数yx的图象向右平移1个单位长度得到，类似地，函数y （k 0）的图象是由反比例函数y （k 0）的图象向左平移2个单位长度得到运用这一知识解决下列问题如图，已知反比例函数y 的图象C与正比例函数yax（a0）的图象l相交于点A（2，2）和点B（1）写出点B的坐标，并求a的值；（2）将函数y 的图象和直线AB同时向右平移n（n0）个单位长度，得到的图象分别记为C 和l，已知图象C 经过点M（2，4）求n的值；分别写出平移后的两个图象C 和l 对应的函数关系式；M(2,4)lyxBAO直接写出不等式 ax1的解集解：（1）B（2，2）正比例函数yax经过（2，2），则a1（2）函数y 的图象向右平移n（n0）个单位长度M(2,4)lyxO则设图象C 对应的函数关系式：y ，经过点M（2，4）4 ，n1图象像C 对应的函数关系式：y 图象l 对应的函数关系式：yx1x 3或1x 1（山东济宁）如图1，在平面直角坐标系中，O为坐标原点，P是反比例函数y （x 0）图象上的任意一点，以P为圆心，PO为半径的圆与坐标轴分别交于点A、B（1）求证：线段AB为P的直径；（2）求AOB的面积；（3）如图2，Q是反比例函数y （x 0）图象上异于点P的另一点，以Q为圆心，QO为半径画圆与坐标轴分别交于点C、D，连接AD、CB求证：ADCBCxyOPAB图1CxyOPABDQ图2CxyOPABFE（1）证明：点O在P上，且AOB90线段AB为P的直径（2）过点P作PEx轴，PFy轴由题意可知PE、PF是AOB的中位线SAOB OBOA 2PE2PF2PEPFP是反比例函数y （x0）图象上的任意一点PEPF12CxyOPABDQSAOB 2PEPF24（3）连接CD由（1）知，线段CD为P的直径点Q在线段CD上，且SCOD SAOB 24DOOCBOOA，即 又AODCOB，AODCOBOADOCB，ADCBOxyAB（甘肃兰州）已知反比例函数y 的图象与一次函数yxb（b0）的图象交于A、B两点，连接OA、OB（1）当AOB150时，求b的值；（2）当线段AB被坐标轴截成相等的三段时，求AOB的面积解：（1）过A作ACy轴于C，过B作BDx轴于D解方程组 得 ACBD，OCODOxyABCDEFAOCBOD，AOCBODAOB150，COD90，AOC30设ACa，则OCa，A（a，a）A（a，a）在反比例函数y 的图象上a ，a 或a（舍去）OCa设直线AB交坐标轴于E、F两点则E（0，b），F（b，0），OEOFbOEF是等腰直角三角形ACE是等腰直角三角形CEACb（2）由题意，AEEFBFOECEAC，OC2AC2a ，a 2SAOB 3SAOE 3 OEAC a 2 （湖北模拟）如图，直线y2x4与x轴交于点E，与y轴交于点A，点D是直线AE在第一象限上的一点，以AD为边，在第一象限内做正方形ABCD（1）若ADAE，求点B的坐标；（2）若B、D两点在反比例函数y 的图象上，求该反比例函数的解析式；（3）经过D、C、E三点作P，过点C作CQAC交P于Q，当D点在EA延长线上运动时，CQ的长度是否发生变化？若不变，请你证明并求出其值；若变化，请说明理由，并指出其变化范围ExOyABCD图2ExOyABCD图1ExOyABCD图3PQ解：（1）过B作BHy轴于H在y2x4中，令x0，得y4；令y0，得x2ExOyABCDHA（0，4），E（2，0）OA4，OE2正方形ABCD，ABADADAE，ABAEBAHAEO90EAORtABHRtEAOAHEO2，BHAO4B（4，2）ExOyABCDPQF（2）设D（m，2m4），则B（2m，4m）m( 2m4 )2m( 4m )，解得：m10（舍去），m21D（1，6）反比例函数解析式为y （3）CQ的长度不变延长CA交P于F，连接EF、EC、EQEDC90，EC是P的直径EFCEQC90又CQAC，四边形EFCQ是矩形，CQEF在RtAEF中，FAEDAC45，AE 2CQEF AE（湖北模拟）如图1，直线yx4与x轴交于点B，与y轴交于点C，交双曲线y （x 0）于点N，SOBN 10（1）求双曲线的解析式；（2）如图2，平移直线BC交双曲线于点P，交直线y2于点Q，若CPQBQP，求平移后的直线PQ的解析式；（3）如图3，已知A（2，0），点M为双曲线上一点，CEOM于E，AFOM于F，设梯形ACEF的面积为S，若AFEF S，求点M的坐标yBOCxN图1yBOCxN图3MEFAyBOCxN图2PQy2解：（1）在yx4中，当y0时，x4；当x0时，y4B（0，4），C（0，4），OBOC4设N（x，x4），SOBN 1044 4(x )10，x1N（1，5），k(1 )55双曲线的解析式为y （2）直线PQ由直线BC平移得到，PQBCCPQBQP，四边形BCPQ是等腰梯形或矩形yBOCxN图2PQy2EFCPBQ作PEy轴于E，作QFx轴于F则PECQFB90OBOC，OCBOBCCPQBQP，PCBQBCPCEQBF，PCEQBFPEQF2，点P的横坐标为2P（2，）PQBC，设直线PQ的解析式为yxb把P（2，）代入得： 2b，b 平移后的直线PQ的解析式为yx （3）作AGCE于G，交OC于H，作FIOA于I，连接EHCEEF，AFEF，四边形AFEG是矩形GAF90，AFEGS ( AFCE )EF，AFEF SyBOCxN图3MEFAGHIAFEF ( AFCE )EF AFEF CEEF AF CE，CE2AF2EGCGEGGHCE，CHEH，CEHECHHEOCEHEOHECH90HEOEOH，OHEHCH OC2A（2，0），OA2OHHAO45，OAF45OIIF1，F（1，1）设直线EF的解析式为ykxk1，yx联立 解得 （舍去） 点M的坐标为（，）（湖北模拟）如图1，一次函数yxb与反比例函数y （x 0）的图象交于点A、B，与x轴、y轴交于点C、D（1）当0AB2时，求b的取值范围；（2）当ABBC时，求b的值；（3）如图2，当b2 时，连接OA，将线段OA绕点O逆时针旋转60得到线段OP，以点P为顶点作MPN60，分别交直线CD和x轴负半轴于M、N求证：PM平分AMNOCBAxy图1DOCAxyPNM图2D解：（1）令xb ，得 x 2bx0设A（x1，y1），B（x2，y2），则x1x2 ，x1x21OCBAxyDEGH过A作AEy轴，过B作BEx轴，AE、BE交于点E则tanABE ABE60，BE AB当AB0时，点A与点B重合，x1x212 ，b2当AB2时，BE1，BE 21( x1x2 )2( x1x2 )24x1x21( )241，解得b（舍去负值）0AB2时，2b（2）作AGy轴于G，BHx轴于H一次函数yxb的图象与x轴、y轴交于点C、DODb，OC ADAGx1，BCHC( x2)bx2x1x2 ，ADBCx1x2b0ADBCABBC，ADABBCAB CD，BE OC，BE 2 OC 2 b 2OCFAxPNMDyG( )24 b 2，解得b （舍去负值）（3）延长AO、PN交于点FOAOP，AOP60AOP为等边三角形，APOP，OPA60MPN60，MPAFPO由（1）知，当b2 时，点A与点B重合，x1x21A（1，），P（1，），PAM120FPOAPMOPF，PMPF，AMPFGPANPO，APOP，PAGPON60APGOPN，PGPNPMPF，MPNFPG，PNPGPMNPFG，PMNFAMPPMN，即PM平分AMN（湖北模拟）如图1，已知点A（a，0），B（0，b），且a、b满足 ( ab3 )20，ABCD的边AD与y轴交于点E，且E为AD中点，双曲线y 经过C、D两点（1）求k的值；（2）如图2，点P在双曲线y 上，点Q在y轴上，若以A、B、P、Q为顶点的四边形是平行四边形，请求出所有满足条件的点P、Q的坐标；（3）如图3，以线段AB为对角线作正方形AFBH，点T是边AF上一动点，M是HT的中点，MNHT，交AB于N，当T在AF上运动时， 的值是否发生改变？若改变，求出其变化范围；若不改变，请求出其值，并给出你的证明AxOBy图2AxOBCDEy图1AO图3NxMHTFBy（1）( ab3 )20AxOByPQAxOBPEyQ 解得 A（1，0），B（0，2）E为AD中点，点D的横坐标为1设D（1，t）CDAB，C（2，t2）双曲线y 经过C、D两点1t2( t2 )，t4k144（2）由（1）知，反比例函数的解析式为y AxOByPQ点P在双曲线y 上，点Q在y轴上设P（x，），Q（0，y）当AB为边时若四边形ABPQ为平行四边形则PQAB，点P的横坐标为1P1（1，4），Q1（0，6）若四边形ABQP为平行四边形则APBQ，点P的横坐标为1P2（1，4），Q2（0，6）当AB为对角线时则APBQ且APBQ，点P的横坐标为1P3（1，4），Q3（0，2）（3）连接NH、NT、NFMN是线段HT的垂直平分线，NTNHAONxMHTFBy四边形AFBH是正方形BFBH，NBFNBH，又BNBN，BFNBHNNFNH，NHNTNFNTFNFTAHNTNHTAH90 （湖北模拟）如图，点A在反比例函数y （k 0，x 0）图象上，点B在反比例函数y （k 0，x 0）图象上，AOB是等腰直角三角形，OAOB2，AB交y轴于C，AOC60（1）将AOC沿y轴折叠得DOC，试判断点D是否存在y 的图象上，并说明理由；（2）连接BD，求四边形BCOD的面积；AOxByCDy y （3）将直线OB向上平移，分别交y 于E，交y 于F问：是否存在某一位置使EF2？若存在，求E、F两点的坐标，若不存在，说明理由解：（1）点D在y 的图象上，理由如下：作AEx轴于E，BFy轴于FCOE90，AOC60，AOE30AOxByCDy y EFGOA2，AE1，OEA（，1），k1AOB是等腰直角三角形，OAOBAOB90，BOF30BF1，OFB（1，），k2y 由题意，A、D两点关于y轴对称，D（，1）当x 时，y1点D在y 的图象上（2）过B作BGOD于G由题意，DOCAOC60BOF30，BOD30OB平分DOF，BFBGSBOF SBOGBOF30，ABO45，BCF75OAOB，OAOD，OBODBDG75，BCFBDGBCFBDG，SBCF SBDGS四边形BCOD 2SBOF 2 1（3）点E在反比例函数y 的图象上设E（a， ）（a 0）由题意，EFOB，又EF2OB四边形OBFE是平行四边形O（0，0），B（1，），F（a1， ）点F在反比例函数y 的图象上( a1 )( )，即a 2a10解得a1 （舍去），a2 E（，），F（，）（湖北模拟）如图1，直线y3x3与x轴交于点A，与y轴交于点B，以AB为直角边作等腰RtABC，BAC90，ABAC，双曲线y 经过点C（1）求双曲线的解析式；AOBEPQDxy图2AOBCxy图1（2）如图2，点P为第四象限双曲线上一点，连接BP交x轴点E，点Q（m，n）为线段AB上一动点，过Q作QDBP于D，若QDt，问是否存在点P，使nt3？若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明理由（1）过C作CHx轴于HAOBCxyH由y3x3得：A（1，0），B（0，3）OA1，OB3BAC90，CAHBAO90ABOBAO90，CAHABO又ACAB，CHAAOB90ACHBAO，AHBO3，CHAO1OHOAAH4，C（4，1）k414双曲线的解析式为y （2）过Q作QMx轴于M，QNy轴于N则四边形OMQN为矩形，nQMONAOBEPQDxyMNQDt，nt3，OB3，ONQDOBONBNOB，QDBNBNQQDB90，BQBQBQNQBD，BQNQBDQNOA，BQNBAOQBDBAO，AEBE设OEx，则BEAEx1在RtBOE中，x 23 2( x1 )2解得x4，E（4，0）设直线BP的解析式为ykx304k3，k ，y x3令 x3 ，解得x1 （舍去），x1 存在满足条件的点P，点P的坐标为（，）（四川某校自主招生）O(B)ADFExyC如图，正方形ABCD的边长为2，点B与原点O重合，与反比例函数y （k 0）的图象交于E、F两点，DEF的面积为 将正方形ABCD向右平移，平移过程中，正方形ABCD位于线段EF上方部分的面积记为S，设C点坐标为（t，0）（1）求k的值；（2）直接写出S与t的函数关系式及自变量t的取值范围；（3）若S2，求t的值OADFExyCB解：（1）由题意，可设E（2，）、F（ ，2）DE2 ，DF2 SDEF ，( 2 )2 解得k17（舍去）k21k1OADFExyBC（2）S（3）当2t 时，DE2，DF2S DEDF2当t 时，由4 2，解得t 或t （舍去）t （宫老师原创）已知直线l分别与x轴、y轴交于点A（2，0）、B（0，2），双曲线y （k 0，x 0）与直线l不相交，点P为双曲线上一动点，过点P作PMx轴于M，PNy轴于N，分别与直线l交于E、F，且EOF45（1）求证：AOFBEO；（2）求双曲线的解析式；（3）若OEOF，求点P的坐标；（4）是否存在这样的点P，使OF( 1 )OE？若存在，直接写出点P的坐标；若不存在，请说明理由OxByA备用图lOxFByAPMNEl（1）A（2，0），B（0，2），OAOBOAFEBO45EOF45，OAFEOF又OFAEFO，AOFOEFAOFBEO，AOFBEO（2）设直线l的解析式为ykx2把A（2，0）代入，得2k20，k1直线l：yx2设P（a，b），PMx轴，PNyE（a，2a），F（b，2b）AFb，BEBAAE2( 2a )aAOFBEO， ，kab2OxFByAPMNDEl双曲线的解析式为y （3）过O作ODAB于DOAOB，ADBDOEOF，DEDF，AEBFAME和BNF均是等腰直角三角形AMMEBNNF，OMONOxEByAPMNFGl四边形NOMP是正方形设P（m，），则m ，解得m 或m（舍去）P（，）（4）存在P（2，2）提示：过F作FGOF，交OE于G则OFG是等腰直角三角形OFFG，OGOF，OEOFGEOF( 1 )OE，OE( 1 )OFOFGE，FGGEOEAEFG22.5，AOE22.5AOEOEA，AEOA2OMOAAMOA AE2 22PM 2P（2，2）（宫老师原创）如图，直线y x2与x轴交于点A，与反比例函数y （x 0）的图象交于点B，BCx轴于C点，且SABC 9（1）求反比例函数的解析式；（2）若点P是反比例函数图象上的一动点，且位于直线BC的右侧，过P点作y轴的平行线，交直线AB于点M，交x轴于点N当BPMCPN时，求P点坐标；是否存在点P，使BPM与BPC全等？若存在，求点P的坐标；若不存在，说明理由；当BPM是等腰三角形时，直接写出点P的坐标AOCxyB备用图AONCxyBMP解：（1）y x2，当y0时， x20x4，A（4，0）AONCxyBMPD设B（m， m2），则OCm，BC m2，ACm4SABC 9，( m4 )( m2 )9解得m110（舍去），m22B（2，3），k236反比例函数的解析式为y AONCxyBMP（2）过点P作PDBC于点DBCx轴，MNy轴，BCMNPDMNBPMBPD90，CPNCPD90BPMCPN，BPDCPDBPDCPD，BDCDD（2，）当y 时， ，解得x4P（4，）当CPBM时，四边形BCPM是平行四边形此时BPMBPC设直线CP的解析式为y xb，把C（2，0）代入，得：AONCxyBMP0 2b，解得b1，y x1令 x1 ，解得x11 ，x21 （舍去）P（1，）当BMBC时，可求PMPC此时BPM与BPC不全等同理，当PMPC时，BMBC此时BPM与BPC也不全等P1（4，），P2（，1），P3（6，1）提示：如图所示，有三种情况AONCxyBMPEAONCxyBMPAONCxyBMPD（宫老师原创）已知：点P是反比例函数y （x 0）图象上一动点，过点P作PAx轴于点A，PBPA交反比例函数y （k 0，x 0，且k 4）图象于点B，直线AB与这两个反比例函数的图象一共有两个交点B、C（1）SPAB _（用含k的代数式表示）；（2）若SPAB 2，求 的值；（3）是否存在实数k，使点C是线段AB的中点？若存在，求出k值；若不存在，请说明理由OAxyPBC解：（1）|2 |（k 0，且k 4）（2）SPAB 2，|2 |2解得k0（舍去）或k8分别过C、B作x轴的垂线，垂足为D、E，连接OB、OCOAxyPBCDE则 设 x，则 设P（ ，m），则A（ ，0），B（ ，m）AE ，OAAE ， ，SACD SOCD ( )2SABESOCD xDyD 42，SABE SOBE xByB 82OAxyDEBPCSOCD SABE ， ( )2 ( )2，解得x （舍去负值） （3）存在设P（ ，m），则A（ ，0），B（ ，m）OAxyDEBPC当k 4时则AE ，AD AE ODOAAD ， SACD SOCD ( )2SABESOCD xDyD 42，SABE SOBE xByB k 2( )2 ，解得k12当0k 4时AE ，AD AE ODOAAD ， SACD SOCD ( )2SABE ，SABE SOBE SOBE SOCD SOBE ( )2 ，解得k 综上所述，存在实数k12或 ，使点C是线段AB的中点（宫老师原创）如图，反比例函数y （k 0）的图象与一次函数yxb的图象交于A、B两点（点A在第一象限，点B在第三象限），已知点C（1，1），且ACy轴（1）求证：ABC是等腰直角三角形；（2）若AB3，求k、b的值；（3）在（2）的条件下，P是坐标轴上一点，满足APB45，直接写出点P的坐标BCOxyABCOxyAP1P2EF（1）令xb ，得x 2bxk0解得x1 ，x2 A（ ，），B（ ，）C（1，1），ACy轴，点A的横坐标为1 1，bk1A（1，k），B（k，1），ACk1点B的纵坐标为1，点C的纵坐标为1BCx轴，ACB90BCOxyADFGP3P4BCk1，ACBCABC是等腰直角三角形（2）A（1，k），B（k，1），AB3( 1k )2( k1 )2( 3 )2解得k12，k24（舍去）k2，bk11（3）P1（12，0），P2（0，12），P3（2，0），P4（0，2）提示：构造辅助圆，构造全等（宫老师原创）如图，在平面直角坐标系中，反比例函数y 的图象和矩形ABCD在第一象限内，ADx轴，AB2，AD4，点A的坐标为（2，6）将矩形ABCD向下平移，平移后的矩形记为ABCD，在平移过程中，矩形ABCD 有两个顶点恰好同时落在反比例函数的图象上（1）求反比例函数的解析式；（2）若矩形以每秒1个单位的速度向下平移，矩形的两条边分别与反比例函数的图象交于E、F两点，矩形被直线EF分为上、下两部分，记下部分的面积为S，矩形平移的时间为t，当1t 5时，求S关于t的函数关系式；（3）在（2）的条件下，当E、F两点分别在边AB、BC 上时，将BEF沿直线EF翻折，使点B 落在边AD 上，求此时直线EF的解析式OxyABDCOxyABDC备用图解：（1）由题意得：B（2，4），C（6，4），D（6，6）OxyABDCABCD显然，平移后A、C 两点恰好同时落在反比例函数的图象上设平移距离为a，则A（2，6a），C（6，4a）点A，C 在反比例函数y 的图象上2( 6a )6( 4a )，解得a3，A（2，3）反比例函数的解析式为y （2）当1t 3时设边AB、BC 分别与反比例函数的图象交于E、F两点OxyABCDEF由题意得：E（2，3），F（ ，4t）BEt1，BF 2 SSBEF ( t1 )( ) 当3t 5时设边AD、CD 分别与反比例函数的图象交于E、F两点由题意得：E（ ，6t），F（6，1）OxCFBEADyDE6 ，DF6t15tSS矩形ABCD SDEF 24 ( 5t )( ) 综上，当1t 5时，S关于t的函数关系式为：S（3）设点B 落在边AD 上点B 处OxyABCDEFHB由题意得：E（2，3），F（ ，4t）BEBEt1，BFBF 2