数学人教版八年级上册《最短路径问题》教学设计.doc

13.4 最短路径问题一、课标分析2011版数学课程标准指出：“模型思想的建立是学生体会和理解数学与外部世界联系的基本途径。”新课标强调从生产、生活等实际问题出发，引导学生运用数学知识，去解决实际问题，培养应用意识与能力。因此，数学建模是初中数学的重要任务之一，它是培养学生应用数学的意识和能力的有效途径和强有力的教学手段。但从教学的反馈信息看，初中学生的数学建模能力普遍很弱，这与课堂教学中忽视对学生数学建模能力的培养不无关系。要想提高学生的建模能力，我们就要在课堂教学中引导学生从生活经验和已有的知识出发，从社会热点问题出发，让学生直接接触数学建模，培养学生抽象能力以及运用数学知识能力。现实生活中问题是很复杂的，有些问题表面看来毫无相同之处，但抽象为数学模型，本质都是相同的，这些问题都可以用类似的方法解决。本节课的教学中注重模型归类，训练学生归纳能力，培养学生数学建模能力。二、教材分析本节课是在学习了基本事实：“两点之间线段最短”和轴对称的性质、图形的平移的基础上，引导学生探究如何综合运用知识解决最短路径问题。它既是轴对称三角形知识运用的延续，又能培养学生自主探究，学会思考，在知识与能力转化上起到桥梁作用。学习目标：1.能够利用基本事实“两点之间线段最短”和“轴对称的性质”，从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型，体会轴对称的“桥梁”作用。2.能将立体图形中的“最短路径问题”转化为平面图形来解决，感悟转化思想.3、通过训练，提高综合运用知识的能力。教学重点：通过利用轴对称将最短路径问题转化为“连点之间，线段最短”问题，学会从知识内容中提炼出数学模型和数学数学方法。教学难点：从复杂的图形中抽象出“最短路径”问题的基本数学模型。突破难点的方法：对应模型,找出本质问题。三、学情分析对于八年级的学生来说，已学过一些关于空间与图形的简单推理知识，具备了一定的合情推理能力，能应用勾股定理、线段公理、轴对称的性质等知识解决简单的问题，但演绎推理的意识和能力还有待加强，思维缺乏灵活性从平时教学反映出学生不重视学习方法，不注意归纳总结，不会思考，更不善于思考，学生学得累。所以想通过本节课引导学生学会学习，学会思考，从而使其感受到学习的快乐，提高学习的兴趣，以达到提高学习能力的目的四、教学过程设计 （一）创设情景 如图，学校新修建了一块长方形的草坪，小路在草坪四周，如果想从A地到B地去，有四种走法可供选择，你会选择哪条？小明选择了2，他说这样最短，你赞同他的说法吗？ 2：如图，要在燃气管道l上修建一个泵站，分别向A、B两镇供气，泵站修在管道的什么地方，可使所用的输气管线最短？ 【学生活动】学生思考教师展示问题，并积极回答，回顾两点之间线段最短的知识. 【设计意图】从生活中问题出发，帮助学生复习旧知. （二）探索新知 相传，古希腊亚历山大里亚城里有一位久负盛名的学者，名叫海伦有一天，一位将军专程拜访海伦，求教一个百思不得其解的问题：从图中的A 地出发，到一条笔直的河边l 饮马，然后到B 地问到河边什么地方饮马可使他所走的路线 BAl 你能解决“将军饮马问题”吗？活动1：观察思考，抽象为数学问题 将A，B 两地抽象为两个点，将河l 抽象为一条直 线 B。Al 【学生活动】学生尝试回答， 并互相补充，最后达成共识：（1）从A 地出发，到河边l 饮马，然后到B 地； （2）在河边饮马的地点有无穷多处，把这些地点与A，B 连接起来的两条线段的长度之和，就是从A 地到饮马地点，再回到B 地的路程之和；（3）现在的问题是怎样找出使两条线段长度之和为最短的直线l上的点设P 为直线上的一个动点，上面的问题就转化为：如图，点A，B 在直线l 的同侧，点P是直线上的一个动点，当点P在l 的什么位置时，PA+PB最小？ B。Al强调：将最短路径问题抽象为“线段和最小问题”【设计意图】让学生经历观察、叙述、画图等过程，培养学生把生活问题抽象为数学问题的能力。活动2：观察猜想教师借助几何画板演示帮助学生解决：“是否存在这样的最短路径”的疑惑。活动3：尝试解决数学问题【学生活动】学生独立思考，画图分析，并尝试回答，互相补充。教师适当提示。作法：（1）作点B 关于直线l 的对称点B；（2）连接AB，与直线l 相交于点c。则点c 即为所求 如图所示：【学生活动】在教师的引导下，积极思考，同伴交流，尝试解决实际问题。【设计意图】学以致用，利用轴对称知识解决问题，及时进行学法指导，引导学生进行方法规律的提炼总结。活动4：证明猜想【学生活动】合作交流，证明方案的正确性。【设计意图】引导学生梳理总结从实际问题中抽象出来的数学模型，形成认知结构，增强从复杂问题中找出基本图形的能力。 （四）及时归纳Q1: 解决上述问题运用了什么知识？Q2: 在解决问题的过程中运用了什么方法？Q3: 运用上述方法的目的是什么？体现了什么数学思想？ （五）应用巩固如图，ABC中，点E在AC上，点N在BC上，在AB上找一点F，使ENF的周长最小。 【设计意图】（1）帮助学生灵活的从复杂的图形中抽出基本模型（2）引导学生找出模型中已知直线L和A、B两点，提高学生分析题目的能力，提升思维的层次。 （六）拓展新知，解决问题2、（造桥选址问题）如图，A和B两地在一条河的两岸，现要在河上造一座桥MN.桥造在何处才能使从A到B的路径AMNB最短？（假定河的两岸是平行的直线，桥要与河垂直）bBAa 【学生活动】四步探索数学抽象、观察猜想（教师借助几何画板演示）、提出方案、推理论证，小组合作，教师引导参与其中。 （七）小结回顾Q1: 解决上述问题运用了什么知识？Q2: 在解决问题的过程中运用了什么方法？Q3: 运用上述方法的目的是什么？体现了什么数学思想？【设计意图】引导学生从知识、方法、数学思想方面进行归纳总结： （八）拓展提升，布置作业1、二中八(2)班举行文艺晚会，桌子摆成如图所示两直排(图中的AO，BO)，AO桌面上摆满了橘子，OB桌面上摆满了糖果，站在C处的学生小明先拿橘子再拿糖果，然后回到D处座位上，请你帮助他设计一条行走路线，使其所走的总路程最短？ 2、如图，已知A，B是在直线l异侧的两定点，定长线段PQ在l上平行移动，问PQ移动到什么位置时，AP+PQ+QB的长度最短？3、如图，A，B两点在直线l的两侧，在l上找一点C，使点C到点A、B的距离之差最大 （1） （2） （3） 【设计意图】思维变式训练，提升学生的思维层次，分层作业，让不同的学生有不同的发展。五、课后反思本节课我用数学故事“将军饮马”引入课题，引导学生 “两点之间线段最短”和轴对称的性质逐步从生活问题中抽象概括出“最短路径问题”数学模型。让学生经历将实际问题抽象为数学问题的线段和最小问题，再利用轴对称将线段和最小的问题转化为“两点之间，线段最短”问题。在建构模型的过程中，我注重学生学习学习方法的而培养和数学思想方法的渗透；在抽象出数学模型的基础上，进一步引导学生分析模型，增强了学生的模型思想；接下来通过两个典型例题及两个对应题组的联系，更是有利于学生发现问题的实质，增强了学生从复杂的图形中发现基本