2013数学高考真题立体几何分类汇编.doc

2013 数学高考真题数学高考真题 立体几何分类汇编立体几何分类汇编 1 北京理 14 如图 在棱长为 2 的正方体中 为中点 点在线段上 点 1111 DCBAABCD EBCPED1 在线段上 点到直线距离的最小值为 PED1P 1 CC 2 北京理 17 如图 在三棱柱中 是边长为的正方形 111 CBAABC CCAA 11 4 平面平面 ABCCCAA 11 5 3 BCAB 1 求证 平面 2 求二面角的余弦值 1 AAABC 111 BBCA 3 证明 在线段上存在点 使得 并求的值 1 BCDBAAD 1 1 BC BD 3 北京文 8 如图 在正方体中 为对角线的 1111 DCBAABCD P 1 BD 三等分点 到各顶点的距离的不同取值有 P 个 个 个 个 A3 B4 C5 D6 4 北京文 10 某四棱锥的三视图如图所示 该四棱锥的体积为 4 北京文 17 如图 四棱锥中 ABCDP ABCDADAB 平面底面 和分别是ABCD2 PAD ABCDADPA EF 和中点 求证 CDPC 1 底面 PAABCD 2 平面 BEPAD 3 平面平面 BEFPCD 5 大纲理 10 已知正四棱柱中 则与平面所成角的正弦值等于 1111 DCBAABCD ABAA2 1 CD 1 BDC A 3 2 B 3 3 C 3 2 D 3 1 AB C D A1 B1 C1 D1 E P C 1 B 1 A 1 C B A AB C D A 1 B 1 C 1 D 1 P 主 主 主 12 1 主 主 主 主 主 主 1 2 主 主 主 主 主 主 A B C D E F P 6 大纲文理 16 已知圆与圆是球的大圆和小圆 其公共弦长等于球的半径 且圆与圆OKOO 2 3 OKO 所在的平面所成的一个二面角为 则球的表面积等于 K 0 60O 7 大纲理 19 如图 四棱锥中 和都是等边ABCDP 0 90 BADABCADBC2 PAB PAD 三角形 1 证明 CDPB 2 求二面角的大小 CPDA 8 大纲文 11 已知正四棱柱中 则与平面所成角的正弦值等于 1111 DCBAABCD ABAA2 1 CD 1 BDC A 3 2 B 3 3 C 3 2 D 3 1 9 大纲文 19 如图 四棱锥中 和都是边长ABCDP 0 90 BADABCADBC2 PAB PAD 为 2 等边三角形 1 证明 CDPB 2 求点到平面的距离APCD 10 湖南理 7 已知棱长为 的正方体其俯视图是一个面积为 1 的正方形 则该正方体的正视图的面积不可能等1 于 A1 B2 C 2 12 D 2 12 11 湖南理 19 如图 5 在直棱柱中 1111 DCBAABCD ADBC 0 90 BADBDAC 1 BC 3 1 AAAD 1 证明 DBAC 1 2 求直线与平面所成角的正弦值 11C B 1 ACD 12 湖南文 7 已知正方体的棱长为 其俯视图是一个面积为1 1 的正方形 俯视图是一个面积为的矩形 则正方体的正2 视图的面积等于 2 3 A B1 C 2 12 D2 13 湖南文 17 如图 在直棱柱中 是中点 111 CBAABC 0 90 BAC2 ACAB3 1 AADBC 点在棱上运动 E 1 BB 1 证明 ECAD 1 2 当异面直线所成的角为时 求三棱锥ECAC 1 0 60EBAC 111 的体积 14 江西理 8 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面 上 且 正方体六个面所在的平面与直线相交的平面个数分别记为 那么 ABCDEFCE nm nm a A BCD E F A8 9 B10 C11 D 15 江西理 19 如图 四棱锥中 平面 为中点 为中点 ABCDP PAABCDEBDGPDDAB 连结并延长交于点 DCB 1 ABEBEA 2 3 PACEADF 1 求证 平面 ADCFG 2 求平面与平面的夹角的余弦值 BCPDCP 16 江西文 8 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的体 积为 A B C D A 1 B 1 C 1 E A B C D E F G P A 9200 B 18200 C 9140 D 18140 17 江西文 15 如图 正方体的底面与正四面体的底面在同一平面上 且 则直线与正方体 ABCDEF 的六个面所在的平面相交的平面个数是 a A BCD E F 18 江西文 19 如图 直四棱锥中 1111 DCBAABCD ABCDABAD 2 AB2 AD 为上一点 3 1 AAECD3 1 ECDE 1 证明 平面 BECCBB 11 2 求点到平面的距离 1 B 11C EA 19 辽宁文理 10 已知直三棱柱的个顶点都在球的球面上 若 111 CBAABC 6O4 3 ACAB 则球的半径为 ACAB 12 1 AAO A 2 173 B102 C 2 13 D103 20 辽宁文理 13 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积是 21 辽宁文 18 如图 是圆的直径 圆所在的平面 ABO PA 是圆上的点 CO 1 求证 平面 BCPAC 2 若为的中点 为的重心 求证 平面QPAGAOC QG PBC 4 21 1 21 1 P AB O C G Q 22 辽宁理 18 如图 是圆的直径 圆所在的平面 是圆上的点 AB PAC 1 求证 平面平面 PAC PBC 2 若 求二面角的余弦值 1 1 2 PAACABAPBC 23 山东理 4 已知三棱柱的侧棱与底面垂直 体 111 CBAABC 积为 底面是边长为的正三角形 若为底面的中 4 9 3P 111 CBA 心 则与平面所成角的大小为PAABC A 12 5 B 3 C 4 D 6 24 山东理 18 如图所示 在三棱锥中 平面ABQP PB 分别是的中点 与交于点 ABQBQBPBA FECD BPAPBQAQ BDAQ2 PDEQG 与交于点 连接 PCFQHGH 1 证明 ABGH 2 求二面角的余弦值 EGHD 25 山东文 4 一个四棱锥的侧棱长都相等 底面是正方形 其正 主 视图如图所示 在该四棱锥的侧面积 和体积分别是 A8 54 B 3 8 54 C 3 8 15 4 D8 8 26 山东文 19 如图 四棱锥中 ABCDP 分别为ACAB PAAB ABCDCDAB2 NMGFE 的中点 PCPDBCABPB 1 求证 平面 CEPAD 2 求证 平面 平面EFGEMN AB C P 主 主 主 1 2 主 主 主 11 主 主 主 27 陕西理 12 某几何体的三视图如图所示 则其体积为 28 陕西理 18 如图 四棱柱的底面 1111 DCBAABCD 是正方形 为底面中心 平面 ABCDO OA1ABCD 2 1 AAAB 1 证明 平面 CA1DDBB 11 2 求平面与平面的夹角的大小 1 OCBDDBB 11 29 陕西文 12 某几何体的三视图如图所示 则其表面积为 30 陕西文 18 如图 四棱柱 ABCD A1B1C1D1的底面 ABCD 是正方形 O 为底面中心 A1O 平面 ABCD 1 2ABAA 证明 A1BD 平面 CD1B1 求三棱柱 ABD A1B1D1的体积 31 天津理 17 如图 四棱柱中 侧棱底面 1111 DCBAABCD AA1ABCDABDCADAB 为棱的中点 1 CDAD2 1 ABAAE 1 AA 1 证明 CECB 11 2 求二面角的正弦值 11 CCEB 3 设点在线段上 且直线与平面所成MEC1AM 11A ADD 角的 正弦值为 求线段的长 6 2 AM A B C D O A 1 B 1 C 1 D 1 主 主 主 主 主 主 2 1 主 主 主 O D1 B1 C1 D A C B A1 32 天津文 10 一个正方体的所有顶点都在同一个球面上 若球的体积为 则正方体的棱长为 2 9 33 天津文 17 如图 三棱柱中 侧棱底面 且各棱长均相等 分别为 111 CBAABC AA1ABCDFED 棱的中点 11 CABCAB 1 证明 平面 EFCDA1 2 证明平面平面CDA1 11A ABB 3 直线与平面所成角的正弦值 BCCDA1 34 新课标 1 理 6 如图 有一个平面放置的透明无盖的正方体容器 容器高 将一个球放在容器口 再cm8 向容器内注水 当球面恰好接触水面时测得水深为 如果不计容器的厚度 则球的体积为 cm6 A 3 3 500 cm B 3 3 866 cm C 3 3 1372 cm D 3 3 2048 cm 35 新课标 1 文理 8 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 816 B 88 C 1616 D 168 36 新课标 1 理 18 如图 三棱柱中 111 CBAABC CBCA 1 AAAB 0 1 60 BAA 1 证明 CAAB 1 2 若平面平面 求直线与平面所成角的正弦值ABC BBAA 11 CBAB CA1CCBB 11 侧视图 俯视图 4 4 4 2 2 2 4 2 主视图 A B CC1 A1 B1 37 新课标 1 文 15 已知是球的直径上一点 平面 为垂足 截球HOAB2 1 HBAH AB H 的所得截面的面积为 则球的表面积为 O O 38 新课标 1 文 19 如图 三棱柱中 111 CBAABC CBCA 1 AAAB 0 1 60 BAA 1 证明 CAAB 1 2 若 求三棱柱的体2 CBAB6 1 CA 111 CBAABC 积 39 新课标 2 理 4 已知为异面直线 平面 平面 直线 满足 nm m n lml nl 则 ll 且 且 A l B l 与相交 且交线垂直于 与相交 且交线平行于 C l D l 40 新课标 2 文理 7 一个四面的顶点在空间直角坐标系中的坐标分别是 xyzO 1 0 1 0 1 1 1 1 0 画该四面体的正视图时 以平面为投影面 则得正视图可以为 0 0 0 zOx 41 新课标 2 理 18 如图 直三棱柱中 分别的中点 111 CBAABC ED 1 BBAB ABCBACAA 2 2 1 1 证明 平面 1 BCCDA1 2 求二面角的正弦值 ECAD 1 42 新课标 2 文 15 已知正四棱锥的体积为 底ABCDO 2 23 A B C A 1 B 1 C 1 A 1 B 1 C 1 A B C D E 面边长为 则以为球心 为半径的球的表面积为 3OOA 43 新课标 2 文 18 如图 直三棱柱中 分别的中点 111 CBAABC ED 1 BBAB 1 证明 平面 1 BCCDA1 2 设 求三棱锥的体积 2 1 CBACAA22 ABDEAC 1 44 重庆理 5 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的体积为 A 3 560 B 3 580 C200 D 240 重庆文 8 某几何体的三视图如图所示 则该几何体的表面积为 A180 B200 C220 D 240 45 重庆理 19 如图 四棱锥中 底面 ABCDP PAABCD2 CDBC4 AC 是的中点 3 ACDACBFPCPBAF 1 求的长 PA 2 求二面角的正弦值 DAFB 46 重庆文 19 如右图 四棱锥中 底面ABCDP PA ABCD32 PA2 CDBC 3 ACDACB 1 求证 平面 BD PAC 2 若侧棱上的点满足 求三棱锥PCFFCPF7 A 1 B 1 C 1 A B C D E 8 主 主 主 4 10 主 主 主 主 主 主 3 2 3 主 主 主 P A B C D F P A B C D F 主 2 1 主 主 主 主 主 主主 主 主 2 1 主 5 D G B F C A E 的体积BDFP 47 广东理 5 某四棱台的三视图如图所示 则该四棱台的体积是 A B 4 14 3 C D 16 36 48 广东理 6 设是两条不同的直线 是两个不同的平面 下列 m n 命题中正确的是 A 若 则 m n mn B 若 则 m n mn C 若 则 mn m n D 若 则 m mn n 49 广东理 19 如图 1 在等腰直角三角形中 分别是上的点 ABC90A 6BC D E AC AB 为的中点 将沿折起 得到如图 2 所示的四棱锥 其中 2CDBE OBCADE DEABCDE 3A O 证明 平面 求二面角的平面角的余弦值 A O BCDEACDB 50 广东文 6 某三棱锥的三视图如图 2 所示 则该三棱锥的体积是 A B C D 1 6 1 3 2 3 1 51 广东文 8 设 为直线 是两个不同的平面 下列命题中正确的是 l A 若 则 B 若 则 l l l l C 若 则 D 若 则l l l l 52 广东文 18 如图 4 在边长为 1 的等边三角形中 分别是边上的点 ABC D E AB ACADAE 是的中点 与交于点 将沿折起 得到如图 5 所示的三棱锥 其中FBCAFDEGABF AFABCF 1 2 2 1 1 正视图 俯视图 侧视图 第第 5 5 题图题图 C O B DE A C D O B E A 图 1图 2 主 4 G E F A B C D 2 2 BC 1 证明 平面 DEBCF 2 证明 平面 CF ABF 3 当时 求三棱锥的体积 2 3 AD FDEG F DEG V 53 安徽理 3 在下列命题中 不是公理的是 A 平行于同一个平面的两个平面相互平行 B 过不在同一条直线上的三点 有且只有一个平面 C 如果一条直线上的两点在一个平面内 那么这条直线上所有的点都在此平面内 D 如果两个不重合的平面有一个公共点 那么他们有且只有一条过该点的公共直线 54 安徽文理 15 如图 正方体的棱长为 1 P 为 BC 的中点 Q 为线段上的动点 过 1111 ABCDABC D 1 CC 点 A P Q 的平面截该正方体所得的截面记为 S 则下列命题正确的是 写出所有正确命题的编号 当时 S 为四边形 1 0 2 CQ 当时 S 为等腰梯形 1 2 CQ 当时 S 与的交点 R 满足 3 4 CQ 11 C D 11 1 3 C R 当时 S 为六边形 3 1 4 CQ 当时 S 的面积为1CQ 6 2 55 安徽理 19 如图 圆锥顶点为 底面圆心为 其母线po与底 面所成的角为 22 5 和是底面圆上的两条平行的弦 ABCDO轴 与平面所成的角为 60 OPPCD 证明 平面与平面的交线平行于底面 PABPCD 求 cosCOD 56 安徽文 18 如图 四棱锥的底面是边长PABCD ABCD 为 2 的菱形 已知 60BAD 2 6PBPDPA 证明 PCBD 若为的中点 求三菱锥的体积 EPAPBCE 57 福建理 12 已知某一多面体内接于球构成一个简单组合体 如果该组合体的正视图 俯视图 均如图所示 且图中的四边形是边长为 2 的正方形 则该球的表面积是 58 福建理 19 如图 在四棱柱中 侧棱底面 1111 DCBAABCD 1 AA ABCD 0 6 5 4 3 1 1 kkDCkBCkADkABAADCAB 求证 平面 CD 11A ADD 若直线与平面所成角的正弦值为 求的值 1 AACAB1 7 6 k 现将与四棱柱形状和大小完全相同的两个四棱柱拼成一个新的四棱柱 规定 若拼成的新 1111 DCBAABCD 四棱柱形状和大小完全相同 则视为同一种拼接方案 问共有几种不同的拼接方案 在这些拼接成的新四棱柱 中 记其中最小的表面积为 写出的解析式 直接写出答案 不必说明理由 kf kf 59 福建文 18 如图 在四棱柱 PABCDABDC 中 PD平面ABC D 5 3 4 60 ABAD BCDCADPAD I 当正视方向与向量的方向相同时 画出四棱锥的正视图 要求标AD PABCD 出尺寸 并写出演算过程 II 若 M 为 PA 的中点 求证 求二面角 DMPBC平面 III 求三棱锥的体积 DPBC 60 湖北理 8 一个几何体的三视图如图所示 该几何体从上到下由四个 简单几何体组成 其体积分别记为 V1V2V3V4 若上面两个几何体均为旋转 体 下面两个简单几何体均为多面体 则有 A V1 V2 V4 V3 B V1 V3 V2 V4 C V2 V1 V3 V4 D V2 V3 V1 V4 61 湖北理 19 如图 是园的直径 点是圆上异于的点 ABOCO A B 直线 平面 分别是的中点 PCABC E F PA PC 在平面与平面的交线为 试判断直线 与平面的位置BEFABCllPAC 关系 并加以证明 设 中的直线 与圆的另一个交点为 且点满足 记直线与平面所成的lODQ 1 2 DQCP PQABC 角为 二面角 的大小为 ElC 求证 sinsinsin 62 湖北文 20 如图 某地质队自水平地面A B C 三处垂直向地 下钻探 自A 点向下钻到A1处发现矿藏 再继续 下钻到A2处后下面已无矿 从而得到在A 处正下方的矿层厚度为 同样可得在B C 处正下方的矿层厚度 121 A Ad 分别为 且 过 的中点 且与直线平行的平面截多面体 122 B Bd 123 C Cd 123 ddd ABACMN 2 AA 所得的截面为该多面体的一个中截面 其面积记为 111222 ABCA B C DEFGS中 证明 中截面是梯形 DEFG 在 ABC 中 记 BC 边上的高为 面积为 在估测三角形区域内正下方的矿藏储量BCa hSABC 即多面体的体积 时 可用近似公式来估算 已知 试判断 111222 ABCA B C VVSh 中中123 1 3 Vddd S 与 V 的大小关系 并加以证明 V中 63 四川理 3 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体的直观图可以是 64 四川理 19 如图 在三棱柱中 侧棱底面 11 ABCABC 1 AA ABC 1 2ABACAA 分别是线段的中点 是线段的中点 120BAC 1 D D 11 BC BCPAD 在平面内 试作出过点与平面平行的直线 说明ABCP 1 ABCl 理由 并证明直线平面 l 11 ADD A 设 中的直线 交于点 交于点 求二面角lABMACN 的余弦值 1 AAMN 四川文 19 在平面内 试作出过点与平面平行的ABCP 1 ABC 直线 说明理由 并证明直线平面 ll 11 ADD A 第 20 题图 D1 D C B A1 B1 C1 A P 设 中的直线 交于点 求三棱锥的体积 锥体体积公式 其中lACQ 11 AQC D 1 3 VSh 为底面面积 为高 Sh 65 四川文 2 一个几何体的三视图如图所示 则该几何体可以是 A