弹性力学-07(简化)第七章 平面问题的差分解.ppt

第七章平面问题的差分解 要点 将微分方程转变成差分方程 基本思想 将基本方程和边界条件 一般为微分方程 近似地用改用差分方程 线性代数方程 表示 把解微分方程的问题变成求代数方程的问题 7 1差分公式的推导 主要内容 7 2稳定温度场的差分解 7 3不稳定温度场的差分解 7 4应力函数的差分解 7 5应力函数的差分解的实例 7 6温度应力问题的应力函数差分解 7 7位移差分解 7 8位移差分解实例 7 9多连体问题的位移差分解 7 10温度应力问题的位移差分解 7 0弹性力学的数值计算方法简介 工程问题 力学 物理等 建立一组基本方程 控制微分方程 定值条件 常微分方程 偏微分方程 位移边界条件 力的边界条件 初始条件 求解 精确解 近似解 数值解 均质 边界条件简单 1 有限差分法 2 等效积分法 包括变分法 3 有限单元法 4 边界单元法 1 有限差分法 FDM 要点 差分 微分 差分方程 微分方程 代数方程 优点 收敛性好 程序设计简单 非线性适应好 代表性软件 FLAC 缺点 当边界几何形状复杂时 解的精度受到限制 2 等效积分法 控制微分方程 边值条件 建立等效的积分方程 近似求解 a 加权余量法 加权残值法 配点法 子域法 最小二乘法 力矩法 Galerkin法 等 b 变分法 当原问题存在某个泛函时 则原问题等价于求该泛函的驻值 如 Ritz法等 特点 在整个区域内 假设未知函数 适用于边界几何形状简单的情形 3 有限单元法 FEM 加权余量法 变分法的推广 基本思想 整个区域 分成若干个单元 区域离散 假设未知函数 在单元上 由变分原理等求出单元结点上值 近似解 主要有限元软件 SAP ADINA NASTRAN ANSYS ABAQUS ASKA SAFE MARC等 早期的软件 1 中心差分公式 7 1差分公式的推导 设函数 为弹性体 内的某个函数 应力分量 位移分量 应力函数 温度等 在弹性体上用相隔等间距h且平行于坐标轴的两组平行线组成网格 称为差分网格 网格线的交点称为节点 结点 则函数f f x y 在平行于x轴的网格线上 如节点 3 0 1上 它只随x而变化 考察结点0处 函数f f x y 的变化 可展开成Taylor级数 a 若略去三次幂以上各项 式 a 变为 b 节点3及1的x坐标 将其代入式 b 有 c d 联立求解 得 7 1 7 2 同理 在网格线4 0 2上取 e 类似于 x方向的讨论 有 7 3 7 4 式 7 1 7 4 称为基本差分公式 混合二阶导数的差分公式 7 5 进一步可导出四阶偏导数的差分公式 进一步可导出四阶偏导数的差分公式 7 6 以两侧节点处的函数值表示中间节点处的一阶导数值 称为中点导数值 这种差分公式称为中心差分公式 说明 2 端点差分公式 向前差分公式 把导数 用函数值 f0f1f9 表示 把导数 用函数值 f0f2f10 表示 由 b 得到 7 7 e 同理 对y方向 有 由此解得 7 9 式 7 7 7 9 称为前差公式 向后差分公式 把导数 用函数值 f0f3f11 表示 用函数值 f0f4f12 表示 由 把导数 b 得到 由此解得 7 8 同理 对y方向 有 e 可解得 7 10 式 7 8 7 10 称为后差分公式 与中心差分公式类似 由式 7 7 7 10 可推出高阶导数的差分公式 1 中心差分 导数 公式与端点差分 导数 公式比较 前者的精度较高 所以尽可能应用中心差分公式 说明 2 在前面差分公式的推导中 应用了近似式 b 略去了三次幂以上的各项 其实质 在 x x0 的区间上 将 f x y 沿x方向用抛物线函数代替 所以 式 7 7 7 10 称为抛物线差分公式 3 若在差分公式的推导中 应用线性近似关系 略去了二次幂以上的各项 则 或 线性差分公式 前差公式 后差公式 线性差分公式的精度较低 很少采用 4 若在差分公式的推导中 应用高阶近似关系 如 由此得到的差分公式精度较高 但由于其涉及节点较多 实际应用不方便 所以也很少采用 7 2稳定温度场的差分解 1 热传导方程 一般情形下 热传导方程 对无热源 平面 稳定的温度场 有 其热传导方程变成二维的调和方程 a 2 热传导方程的差分方程 将温度场的域内划分网格 取任一节点 如 节点0 应有 b 由差分公式 7 2 7 4 得 c d 将式 c d 代入式 b 得 7 11 每一个节点均可建立上述方程 3 边界条件的引入 1 第一类边界条件 由于边界点的T值已知 因此 只需建立每一个内节点的差分方程即可求解 2 第二类边界条件 边界外 边界内 绝热条件 对于与x轴垂直的边界 有 故对于边界点0 有 在边界点0右侧设虚节点1 由一阶差分公式 7 1 有 将其代入差分方程 7 11 即该边界为绝热边界 有 7 12 边界外 边界内 对于与y轴垂直的边界节点0 7 12 若 整理得 7 13 7 11 有 3 第三类边界条件 式中 Te为周围介质的温度 边界外 边界内 对于与x轴垂直的边界节点0 有 由一阶差分公式 7 1 有 将上式代入差分方程 7 11 并整理得边界节点0点的差分方程 7 14 为放热系数 7 11 4 第四类边界条件 已知物体和与之接触的另一物体以热传导方式进行热交换的情况 对于两物体完全接触 情形 物体表面的温度Ts和接触物体表面温度Te相同 即 此时与第一类边界条件相同 对于与y轴垂直的边界节点 有 7 14 将上式代入差分方程 7 11 并整理得边界节点0点的差分方程 7 11 例 图示矩形薄板 右边界为绝热边界 其余三边界上的已知节点温度值标于图中各节点上 单位 求 板内的节点温度 a b c d e f g i 10 12 14 16 18 40 32 24 35 30 25 20 解 划分网格 4 3 编排节点号 a i 列节点差分方程 节点a 节点b 节点c 节点d 节点e 节点f 内节点 边界节点 节点g 绝热边界 内节点 节点i 联立求解方程组 得 4 不规则边界条件的处理 1 第一类边界 将温度T在节点0邻近处沿x方向展开为Taylor级数 略去 x x0 的三次方以上项 有 由此可解得 由 得 7 15 7 11 类似地 对于y方向网格线上的不规则边界点B 有 7 15 对于图中不规则边界节点A B 有 7 16 2 第二类边界 将第一类边界情形中的TA用 表示 在A点邻域内沿x方向展Taylor级数 并略去二阶以上各项 从式中消去 并求出TA d 由 得 代入上式 有 7 15 代入式 7 15 右端的TA 并整理 简化得 7 17 A 对于图示不规则节点0的差分方程 由类似的推导 有 7 18 3 第三类边界 将其代入式 d d 得到 e 由式 e 求出TA 将上式代入式 7 15 右端TA 7 15 整理即得节点0的差分方程 式中 7 4应力函数的差分解 1 应力函数的差分方程 应力分量的差分表示 平面问题 不计体力时 应力分量可表示为 任一点0处应力分量的差分格式 7 24 对常体力情况 将体力转换为面力分析 应力函数的差分方程 平面问题 不计体力时 应力相容方程为 在弹性体内每一点均可建立上述方程 即 由四阶导数差分公式 得 将其代入相容方程 有 7 25 对于弹性体边界内的每一节点 都可建立上述方程 但对紧靠边界内一行节点 建立其差分方程时 还包括边界上各点处的 值和边界外一行的结点处的 值 弹性体边界外一行的节点 称为虚结点 如 节点13 14等 应力函数差分方程 2 边界节点 值的确定 边界节点的 值由边界条件确定 由边界条件方程 b b 如图可见 代入式 b 有 上式进一步可写成 c 对上式从A到B积分 本章前面内容回顾 1 有限差分法 FDM 基本思想 要点 差分 微分 差分方程 微分方程 代数方程 2 中心差分公式 7 1 7 2 7 3 7 4 基本差分公式 混合二阶导数的差分公式 7 5 四阶导数的差分公式 7 6 3 端点差分公式 向前差分公式 7 7 向后差分公式 7 8 4 稳定温度场的差分公式 a 热传导方程 热传导的差分方程 7 11 各类边界条件的引入 1 第一类边界条件 由于边界点的T值已知 因此 只需建立每 一个内节点的差分方程即可求解 2 第二类边界条件 7 12 3 第三类边界条件 7 14 4 第四类边界条件 同第一类边界条件 5 应力函数的差分方程 7 24 应力分量差分公式 7 25 应力函数差分方程 2 边界节点 值的确定 边界节点的 值由边界条件确定 由边界条件方程 b 如图可见 代入式 b 有 上式进一步可写成 c 对上式从A到B积分 d 计算应力函数 的全微分 有 两边积分 有 同理 有 由式 c 有 代回前式 有 再利用 d e d e 由式 d e 可见 当 已知时 即可由面力 分量X Y求得 由第三章理论可知 在应力函数 上加上线性函数 不影响应力的值 因而 可在应力函数 上加上线性函数 适当选取a b c的数值 总可使得 于是式 d e 可变为 7 26 7 27 7 28 确定边界结点 及其导数值的基本公式 说明 1 式 7 26 7 28 适用于单连体的情况 对于多连体 则只能选取某一个连续边界S上一点A为基准点 并取 而应力函数在其它边界上不再有任意性 如 在另一连续边界S1上任选取一点A1 一般有 而需有位移单值条件确定 2 7 26 7 27 物理意义 边界上A B两点间x方向面力之和 物理意义 边界上A B两点间y方向面力之和 因而 差分解应用于多连体问题不方便 7 28 物理意义 边界上A B两点间面力对B点的矩 力矩的正负号由坐标系确定 图中以顺时针为正 3 虚节点 值的确定 可用应力函数 在边界上的导数和边界内一行各结点的 值表示 如 由此可求得 由此可求得 7 29 4 不规则边界内节点 虚节点的 值 基本思路 将紧靠边界的节点1不作为独立的内节点 即并不将其 1值作为独立的未知量 而把它用 0来表示 具体方法 在B点附近 将应力函数 沿x方向展为Taylor级数 并略去 x xB 的三次以上幂 有 有 代入上式 有 f g h 从中可求得 i j 显然 当 0时 有 其中 第二式与前面虚节点 值的计算公式相同 5 差分法的求解步骤 1 在边界上任意选定一个结点作用基点A 取 然后 由公式 7 26 7 27 7 28 计算边界上各结点处的应力函数 值及其导数值 2 应用公式 7 29 将边界外一行各虚节点的 值用边界内相应节点的 值表示 2 应用公式 7 29 将边界外一行各虚节点的 值用边界内相应节点的 值表示 7 29 注意 对虚节点16 对虚节点17 4 由应力分量的差分表达式 7 24 求出各节点的应力等 3 对边界内的每一个结点建立差分方程 7 25 并联立解出各结点的 值 应力函数差分法小结 1 应力函数差分方程 每一个内结点均可建立一方程 2 确定边界结点 及其导数值的基本公式 3 确定虚结点 值的基本公式 3 确定虚结点 值的基本公式 4 结点应力分量的差分公式 5 结点应力函数 及其导数值的物理意义 7 26 7 27 物理意义 边界上A B两点间x方向面力之和 物理意义 边界上A B两点间y方向面力之和 7 28 物理意义 边界上A B两点间面力对B点的矩 6 不规则边界内节点 虚节点 值 1 2 3 4 7 10 13 5 8 11 14 6 9 12 15 A D C B I H G F E J K L M 7 5应力函数的差分解的实例 1 问题 设一正方形的混凝土深梁 边长6h 上边界受有均布压力q 并下角点处的两反力维持平衡 试由应力函数的差分解法 求各节点的应力分量 2 求解 由于对称性 如图建立坐标系 并取其一半分析 求解过程 1 适当划分差分网格 编节点号 2 选取基点A 并计算边界节点的 及其导数值 计算公式 3 计算边界外一行虚节点的 值 同理 得 4 对边界内节点建立差分方程 公式 7 25 对节点1 式中 为已知 代入上式 整理得 对节点15 d e 类似于式 d e 可得到15个方程 其中含15个未知量 可求解得到 以qh2单位 5 计算边界外一行虚节点的 值 以qh2单位 上下虚节点 左侧虚节点 6 计算应力值 中截面 同理 可求得 应力分布如图 与材料力学结果比较 两者相差较大 求解步骤 课堂练习题 用差分法计算图示基础梁的最大拉应力 并与材料力学公式给出的结果比较 解 1 划分差分网格 编节点号 A D C B G F E 2 选取基点A 并计算边界节点的 及其导数值 0 2qh2 2qh2 2qh2 0 0 0 0 0 2qh 0 3 计算边界外一行虚节点的 值 4 对边界内结点建立差分方程 结点1 其中 a 结点2 其中 代入得 b 联立求解式 a b 5 计算边界外一行虚节点的 值 6 计算各点的应力值 材料力学结果 本章前面内容回顾 1 有限差分法 FDM 基本思想 要点 差分 微分 差分方程 微分方程 1 中心差分公式 7 1 7 2 7 3 7 4 2 基本差分公式 一 差分法的基本理论 混合二阶导数的差分公式 7 5 四阶导数的差分公式 2 端点差分公式 向前差分公式 向后差分公式 注 用于边界条件情形 二 无源 稳定温度场的差分法 a 1 稳定温度场的热传导方程 2 稳定温度场的差分方程 7 11 1 第一类边界条件 3 温度场边界条件的引入 2 第二类边界条件 7 17 3 第三类边界条件 7 14 7 12 4 不规则边界节点的处理 三 应力函数的差分法 1 应力函数差分方程 2 确定边界结点 及其导数值的基本公式 3 确定虚结点 值的基本公式 3 确定虚结点 值的基本公式 4 不规则边界内节点 虚节点 值 5 结点应力分量的差分公式 四 温度应力问题的应力函数的差分法 1 温度应力问题应力函数法的基本方程 e f d 温度应力问题的边界条件 7 7位移的差分解 引言 应力差分方程 边界节点 及其导数值计算公式 虚节点的 值计算公式 一 应力差分法及其局限性 应力分量的差分公式 应力差分法的局限性 1 不适用于具有位移边界条件的问题 2 不适用于多连体的问题 3 不适用于体力不为常量的问题 这些局限性可由位移差分法解决 2 平面问题按位移求解的基本方程 2 20 2 21 位移平衡微分方程 应力边界条件 位移边界条件 位移差分法的优点 1 适用于具有应力边界条件的问题 2 适用于多连体的问题 3 适用于体力不为常量的问题 可用位移表示应力边界条件 位移单值条件可直接由位移量给出 4 可无需设置虚节点 微分方程中最高价导数仅为2阶 函数f 位移u v 对节点0 7 2 7 4 7 5 3 内节点的位移差分方程 对节点0 将式 7 2 7 4 7 5 代入第一式 整理有 两边同乘以h2 并令 Px 0 X0h2 有 7 40 位移形式的平衡微分方程 7 41 将式 7 2 7 4 7 5 代入第二式 整理有 其中 Px 0 X0h2 Py 0 Y0h2 用差分图式表示 式 7 40 的差分图式 式 7 41 的差分图式 其中 注 对于只有位移边界条件的问题已可求解 例 四边固定的矩形薄板 其长度与宽度之比为1 2 密度为 为简单起见取泊松比 0 试用4 2的网格计算自重引起的位移与应力 解 由于对称性 有 只需求 对a点 x方向差分方程 对a点 y方向的差分方程 对b点 y方向的差分方程 a b 解方程 a b 得 计算应力 由几何方程和物理方程 得到 对边界结点 需用端点差分公式 4 边界未知位移节点的差分方程 1 某节点 邻域 的概念 指环绕该节点的那两段 三段 四段网格的垂直平分线所围的区域 如 角隅点1的邻域 1abc所围区域 边界点2的邻域 abde所围区域 内点4的邻域 bdfg所围区域 2 差分计算的三点约定 函数f 位移u v a 函数f沿网格线方向的导数 它在该网格线上各点 不包括节点 处的值取为常量 如 7 32 b 函数f在垂直于网格线方向的导数 它在该网格线上各点 不包括节点 处的值取为按线性变化 如 7 33 0 1线上a点y方向导数 函数f在节点处的导数 仍由第1节中的差分公式给出 即 对于0 2线上b点 有 7 34 7 35 c 对不在网格线上的任一点c 沿x y方向的导数值为 7 36 将 代入 7 37 将f在c点的导数值 用f在网格线上4个点的导数值表示 和f在4节点处的函数值表示 3 边界节点的差分方程 3 边界节点的差分方程 8 a b c 其中 为0点邻域上 所有外力的合力 即 由0点邻域微元体的平衡 有 x方向 将物理方程和几何方程代入 有 当边界的法线沿x正方向时 7 42 应用前面的差分公式 有 将式 7 43 代入式 7 42 并整理得相应于u0的差分方程 7 43 相应于u0的差分方程 其差分计算图式 u0的差分计算图式 y方向 将物理方程和几何方程代入 有 7 44 其中 将上式代入式 7 44 并整理得相应于v0的差分方程 差分计算图式 v0的差分方程的计算图式 相应于v0的差分方程 当边界的法线沿x负方向时 u0的差分方程的计算图式 v0的差分方程的计算图式 当边界的法线沿y正方向时 u0的差分方程的计算图式 v0的差分方程的计算图式 当边界的法线沿y负方向时 u0的差分方程的计算图式 v0的差分方程的计算图式 两边界的交点 结点0的邻域 h 2 h 2 由结点0的邻域微元的平衡 x方向 利用物理方程及几何方程 有 将式中导数用差分表示 将以上各式代入平衡方程 得到结点0的u0的差分方程 用的u0的差分图式表示 类似地 可得结点0的v0的差分图式 类似地 可得结点0的v0的差分图式 7 8位移差分解的实例 一 内结点的差分图式 u0的差分图式 Px 0 X0h2 Py 0 Y0h2 v0的差分图式 二 边界非零未知位移结点的差分图式 u0 v0 u0的差分方程的计算图式 v0的差分方程的计算图式 u0的差分方程的计算图式 v0的差分方程的计算图式 u0的差分方程的计算图式 v0的差分方程的计算图式 u0的差分图式 v0的差分图式 u0的差分图式 v0的差分图式 u0的差分图式 v0的差分图式 u0的差分图式 v0的差分图式 例 四边固定的矩形薄板 其长度与宽度之比为1 2 密度为 为简单起见取泊松比 0 试用4 2的网格计算自重引起的位移与应力 解 划分网格 编写结点号 由对称性 独立的位移分量仅为 ua va vb uf ub vf vg ug 0 内结点a ua 内结点a va 内结点b va 边界结点f u0的差分方程的计算图式 va 联立求解 得 求结点应力 求结点应力 类似地 可求结点y方向的应力 例 图示矩形深梁 左右两边固定 上边受均布载荷q作用 试求其位移和应力 取泊松比 0 2 弹性模量为E 解 划分网格 编写结点号 由对称