空间中的垂直关系教案

1 / 11 空间中的垂直关系教案 本资料为 WoRD文档，请点击下载地址下载全文下载地址 空间中的垂直关系 一 .教学内容： 空间中的垂直关系 二、学习目标 1、掌握直线与平面垂直的定义、判定定理和性质定理，并能运用它们进行论证和解决有关的问题； 2、掌握平面与平面垂直的概念和判定定理、性质定理，并能运用它们进行推理论证和解决有关问题； 3、在研究垂直问题时，要善于应用 “ 转化 ” 和 “ 降维 ” 的思想，通过线线、线面、面面平行与垂 直关系的转化，从而使问题获得解决。 三、知识要点 1、直线与平面垂直的定义：如果一条直线和一个平面内的任何一条直线都垂直，那么就称这条直线和这个平面垂直。 2、直线与平面垂直的判定：常用方法有： 判定定理： . b,aba ；（线面垂直性质定理） ,aa （面面平行性质定理） 2 / 11 ， =l ， al ， aa （面面垂直性质定理） 3、直线与平面垂直的性质定理： 如果两条直线 同垂直于一个平面，那么这两条直线平行。（ a ， bab ） 直线和平面垂直时，那么该直线就垂直于这个平面内的任何直线（） 4、点到平面的距离的定义：从平面外一点引这个平面的垂线，这个点和垂足间的线段的长度叫做这个点到平面的距离。 特别注意：点到面的距离可直接向面作垂线，但要考虑垂足的位置，如果垂足的位置不能确定，往往采取由点向面上某一条线作垂线，再证明此垂足即为面的垂足。 5、平面与平面垂直的定义及判定定理： （ 1）定义：如果两个相交平面 的交线与第三个平面垂直，又这两个平面与第三个平面相交所得的两条交线互相垂直，就说这两个平面互相垂直。 记作：平面 平面 （ 2）判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直。 （简称：线面垂直，面面垂直） 6、两个平面垂直的性质定理：如果两个平面垂直，那么在3 / 11 一个平面内垂直于它们交线的直线垂直于另一个平面。（简称：面面垂直，线面垂直。） 思维方式：判定两相交平面垂直的常用方法是：线面垂直，面面垂直；有时用定义也是 一种办法。 【典型例题】 例 1、（ 1）对于直线 m、 n 和平面 、 ， 的一个充分条件是（） A、 mn ， m ， nB 、 mn ， =m ， n c、 mn ， n ， mD 、 mn ， n ， m （ 2）设 a、 b 是异面直线，给出下列命题： 经过直线 a 有且仅有一个平面平行于直线 b； 经过直线 a 有且仅有一个平面垂直于直线 b； 存在分别经过直线 a 和 b 的两个平行平面； 存在分别经过直线 a 和 b 的两个平面互相垂直。 其中错误的命题为（） A、 与 B 、 与 c 、 与 D 、仅 （ 3）已知平面 平面 ， m 是 内一条直线， n 是 内一条直线，且 mn ，那么， 甲： m ；乙： n 丙： m 或 n ；丁： m 且n 。这四个结论中，不正确的三个是（） 解：（ 1）对于 A，平面 与 可以平行，也可以相交，但4 / 11 不垂直。 对 B，平面 内直线 n 垂直于两个平面的交线 m，直线 n 与平面 不一定垂直，平面 、 也不一定垂直。 对 D， m ， mn 则 n ，又 n ，所以 。 只有 c 正确， mn ， n 则 m 又 m ，由平面与平面垂直的判定定理得 。 故选 c。 （ 2） 正确，过 a 上任一点作 b 的平行线 b ，则 ab 确定唯一平面。 错误，假设成立则 b 该平面，而 a 该平面， ab ，但a、 b 异面却不一定垂直。 正确，分别过 a、 b 上的任一点作 b、 a 的平行线，由各自相交直线所确定的平面即为所求。 正确，换角度思考两个垂直的平面内各取一直线会出现各种异面形式，综上所述：仅 错误 选 D （ 3）丙正确。举反例：在任一平面中作平行于交线的直线m（或 n），在另一平面作交线的垂线 n（或 m）即可推翻甲、乙、丁三项。 思维点拨：解决这类问题关键是注意这是在空间而非平面内。 5 / 11 例 2、如图， ABcD为直角梯形， DAB=ABc=90 ， AB=Bc=a，AD=2a， PA 平面 ABcD。 PA=a。 （ 1）求证： PccD 。 （ 2）求点 B 到直线 Pc的距离。 （ 1）证明：取 AD的中点 E，连 Ac、 cE， 则 ABcE为正方形， cED 为等腰直角三角形， AccD ， PA 平面 ABcD， Ac 为 Pc在平面 ABcD上的射影， PccD （ 2）解：连 BE，交 Ac于 o，则 BEAc ， 又 BEPA ， AcPA=A ， BE 平面 PAc 过 o 作 oHPc 于 H，则 BHPc ， PA=a ， Ac=a,Pc=a， oH= ， Bo=a ， BH= 即为所求。 例 3、在斜三棱柱 A1B1c1 ABc 中，底面是等腰三角形，AB=Ac，侧面 BB1c1c 底面 ABc 6 / 11 （ 1）若 D 是 Bc的中点，求证 ADcc1 ； （ 2）过侧面 BB1c1c 的对角线 Bc1 的平面交侧棱于 m，若Am=mA1，求证截面 mBc1 侧面 BB1c1c； （ 3） Am=mA1是截面 mBc1 平面 BB1c1c 的充要条件吗？ 请你叙述判断理由。 命题意图：本题主要考查线面垂直、面面垂直的判定与性质。 知识依托：线面垂直、面面垂直的判定与性质。 错解分析：（ 3）的结论在证必要性时，辅助线要重新作出。 技巧与方法：本题属于知识组合题类，关键在于对题目中条件的 思考与分析，掌握做此类题目的一般技巧与方法，以及如何巧妙地作辅助线。 （ 1）证明： AB=Ac ， D 是 Bc的中点， ADBc 底面 ABc 侧面 BB1c1c， AD 侧面 BB1c1c ADcc1 （ 2）证明：延长 B1A1与 Bm交于 N，连结 c1N Am=mA1 ， NA1=A1B1 A1B1=A1c1 ， 7 / 11 A1c1=A1N=A1B1 c1Nc1B1 底面 NB1c1 侧面 BB1c1c， c1N 侧面 BB1c1c 截面 c1NB 侧面 BB1c1c 截面 mBc1 侧面 BB1c1c （ 3）解：结论是肯定的，充分性已由（ 2）证明， 下面证必要性。 过 m 作 mEBc1 于 E， 截面 mBc1 侧面 BB1c1c mE 侧面 BB1c1c， 又 AD 侧面 BB1c1c mEAD ， m 、 E、 D、 A 共面 Am 侧面 BB1c1c， AmDE cc1AD ， DEcc1 D 是 Bc的中点， E 是 Bc1的中点 Am=DE=AA1 ， 8 / 11 Am=mA1 即是截面的充要条件 例 4、如图，在正三棱锥 A BcD中， BAc=30 ， AB=a,平行于 AD、 Bc的截面 EFGH分别交 AB、 BD、 Dc、 cA于点 E、 F、G、 H （ 1）判定四边形 EFGH的形状，并说明理由 （ 2）设 P 是棱 AD上的点，当 AP 为何值时， 平面 PBc 平面 EFGH，请给出证明 （ 1）证明： AD/ 面 EFGH, 面 AcD 面 EFGH HG， AD面 AcD AD/HG. 同理 EFHG ， EFGH 是平行四边形 A BcD是正三棱锥， A 在底面上的射影 o 是 BcD 的中心， DoBc ， ADB c， HGEH ，四边形 EFGH是矩形 （ 2）作 cPAD 于 P 点，连结 BP， 9 / 11 ADBc ， AD 面 BcP HGAD ， HG 面 BcP， HG面 EFGH面 BcP 面 EFGH， 在 RtAPc 中， cAP=30 ， Ac=AB=a, AP=a 例 5、如图，在直三棱柱 ABc-A1B1c1 中，底面 ABc 是直角三角形， ABc=90 ， 2AB=Bc=BB1=a，且 A1cAc1=D ，Bc1B1 c=E，截面 ABc1与截面 A1B1c 交于 DE。求证： （ 1） A1B1 平面 BB1c1c； （ 2） A1cBc1 ； （ 3） DE 平面 BB1c1c。 证明：（ 1） 三棱柱 ABc-A1B1c1是直三棱柱， 侧面与底面垂直， 即平面 A1B1c1 平面 BB1c1c， 又 ABBc ， A1B1B1c1 从而 A1B1 平面 BB1c1c。 （ 2）由题设可知四边形 BB1c1c为正方形， Bc1B1c ， 10 / 11 而 A1B1 平面 BB1c1c， A1c 在平面 BB1c1c上的射影是 B1c， 由三垂线定理得 A1cBc1 （ 3） 直三棱柱的侧面均为矩形， 而 D、 E 分别为所在侧面对角线的交点， D 为 A1c的中点， E 为 B1c的中点， DEA1B1 ， 而由（ 1）知 A1B1 平面 BB1c1c， DE 平面 BB1c1c。 思维点拨：选择恰当的方法证明线面垂直。 本讲涉 及的主要数学思想方法 1、直线与平面垂直是直线与平面相交的一种特殊情况，应熟练掌握直线与平面垂直的 定义、判定定理、性质定理，并能依据条件灵活运用。 2、注意线面垂直与线线垂直的关系和转化。 3、距离离不开垂直，因此求距离问题的过程实质上是论证线面关系（平行与垂直）与解三角形的过程，值得注意的是“ 作、证、算、答 ”