数学解题的思维过程.ppt

第七章数学解题的思维过程 第一节解题过程的思维分析解题的过程是思维的过程 其中既有逻辑思维 又有直觉思维 有分析与综合 抽象与概括 比较与类比 也有归纳与猜想 观察与尝试 想象与顿悟 是一个极其复杂的心理过程 一 观察 联想 转化 解题 三部曲 1 观察是联想的基础 在观察中认识特征观察是人们认识事物 增长知识的最基本的途径 是发现和解决问题的前提 观察是积极的 有意识的 而不应是消极的 被动的 通过由整体到部分 再由部分到整体的观察 有意识地去寻找各种特征 联系 从比较中发现问题 从变化中寻找特点 特别是发掘问题与已有知识之间具有启发性的联系 同时 不仅解题开始要观察 在解题过程中也要观察 以便根据解题的不断变化 作出相应的决断 2 联想是转化的翅膀 在联想中寻找途径人在活动之前常有所准备 进行着的活动也有一定的趋向性 数学解题的定向 取决于观察问题的特征所作出的相应的联想 即从问题的条件和结论出发 联想有关知识 从中寻找途径 3 转化是解题的手段 在转化中确定方案从前面讨论过的解题实质表明 解题过程是通过转化得以完成的 从问题的具体特征 联想有关知识后 解题就有了定向 这时需要朝这个方向去努力 寻求转化关系 使问题应用联想的知识来解决 也就是在转化中确定方案 二 解题思维过程的三层次罗增儒教授在其专著 数学解题学引论 中 将邓克尔的三个层次在数学解题思维过程中的作用解释为 1 一般性解决 即在策略水平上的解决 以明确解题的大致范围或总体方向 这是对思考做定向调控 2 功能性解决 即在数学方法水平上的解决 以确定具有解决功能的解题手段 这是对解决做方法选择 3 特殊性解决 即在数学技能水平上的解决 以进一步缩小功能性解决的途径 明确运算程序或推理步骤 这是对细节做实际完成 三 解题思维过程的预见图数学解题是一种探索性思维 在 数学的发现 一书中 波利亚将其观点进行进一步发挥 对各个细节进行了具体分析 认为探索性思维中最关键的环节是提出一个有希望的合理的猜测 即作出某种预见 预见需要一定的知识准备和思维活动 波利亚将这一过程总结为一个正方形图解式 处于正方形顶点 边和中心的关键词有 动员 组织 分离 结合 回忆 辨认 重组 充实 预见 预见 第二节数学解题的思维监控 数学解题中思维监控的作用 相当于 数学运算感受器 对运算效果作出评价 它是一种认知监控 或者是元认知 所谓认知监控是指在自己的认知系统内准确评估信息过程的能力 元认知最初被表述为 个人关于自己的认知过程及其他相关事情的知识 是 为完成某一具体目标或任务 认知主体依据认知对象对认知过程进行主动的监测 以及连续的调节和协调 是 个人对认知领域的知识和控制 因此 元认知被简单地表述为 关于认知的认知 在数学解题思维过程中 元认知集中表现为自我反省 自我调节 自我监控 第三节解题坐标系 题目的条件和结论分别表示为坐标平面上的两个点 它们的存在形式本身是内容与方法的统一 原点 两个思考方向的交叉点 表示一个原则 内容与方法的统一永远是解题思考的基本出发点 1 解题坐标系的构成以横轴表示数学方法方面的实施 方法轴 以纵轴表示数学原理方面的应用 内容轴 题目的条件和结论 包括题目求证的结论与题目未写出的结论 分别表示为坐标平面上的两个点 它们的存在形式本身就是内容与方法的统一 两个思考方法的交叉 原点 显示这样一个原则 内容与方法的统一是我们解题思考的基本出发点 2 解题折线解题示意为连结条件与结论两点间的一条折线 这条折线记录了数学思维的轨迹 它告诉我们 寻找条件和结论之间的逻辑通道时解题的思考中心 在这个思考中 横轴方法的推进表示方法或技巧的运用 纵轴方法的推进表示数学内容的转化 整个解题过程就是内容与方法的联系与转化过程 就是在数学观点指导下 运用数学方法 转化数学内容的推理过程 3 审题同心圆审题 尽量从题意中获取更多的信息 可以表示为以条件和结论为中心的一系列同心圆 从条件出发的同心圆信息 预示可知并启发解题手段 从结论出发的同心圆信息 预告须知并诱导解题方法 两组同心圆的交接处 就是分别从条件 结论出发进行思考的结合点 也是手段与目标的统一处 4 内容与方法的统一在解题坐标系上 内容是提高方法的内容 方法是体现内容的方法 解题坐标系上的每一点 一方面是内容与方法的统一 另一方面是其在两轴上的投影又都不唯一 同一内容可以从不同的角度去理解 同一方法又可以在不同的地方发挥效能 这就为多角度 多侧面考虑数学对象及其之间的关系提供了理论依据 5 结论也是已知信息这是解题坐标系的一个特点 当把结论表示为坐标系上的一点时 结论就成为已知与未知的统一了 在寻找思路的过程中 我们可以把它当做已知条件来使用 好比列方程解应用题时的未知数 事实上 对于题而言 结论隐含在条件之中 当条件给定时 结论也在客观上随之确定 只不过是隐蔽给定而已 称为客观上确定与隐蔽地给予的统一 要注意从结论获取信息 目不转睛地盯着目标前进 6 思维过程的解释解题都要提取已储存的信息 对信息进行加工 运用 收集信息的反馈 并进行再处理 这里面包含着辩证思维和直觉思维 它们弥漫在整个解题坐标平面上 体现了解题活动的实质是思维活动 一条解题折线的画出往往经历许多类比 联想 归纳 尝试和失败 这就像解题坐标系上 试着用铅笔画草图折线 画了又擦 擦了又画 但决不是盲目瞎碰 有是一个机智的数学念头导致了一个卓有成效的解题计划 这个念头正是有准备的思考和解题经验长期积累的升华 7 数学证明的心理机制解题坐标系的模型有助于理解数学证明的心理机制 那就是在问题的条件及结论的启发下 激活记忆网络中的一些知识点 然后沿接线向外扩散 依次激活新的有关知识 同时要对被激活的知识进行筛选 组织 评价 再认识和转换 使之协调起来 直到条件与结论之间的线索接通 建立逻辑演绎关系 二 探求解题思路的几条原则1 平面结构原则将数学内容与数学方法结合起来 组成一个平面结构 正是解题坐标系的基本特点 平面结构原则是指在探索解题思路时 要注重内容与方法的统一 采用内容与方法结合的二维平面思考 例4 证明等腰三角形ABC的两个底角相等 2 广角投影原则同一数学内容可以有多种不同的存在形式 同一数学形式又可以从多种内容上去理解 在探求解题思路时 要善于将条件或结论向两轴作多角度投影 在这个多角度的投影中 数学知识不是孤立的单点或离散的片段 数学方法也不是互不相关的一招一式 它们是不可分割或离散的整体 组成一条又一条的知识链 解题思路探求的敏捷性 发散性就在于 当知识链的某一环节受到刺激时 整条知识链就活跃起来 3 内圈递扩原则如果解题折线过长或过于曲折 一时无法弄清 那么我们可以试着考虑两组同心圆的最内圈 即从条件或结论出发 作出一小步推理 进行稍稍简单的变形 然后再逐步扩展解题坐标系上的同心圆 在内圈递扩的过程中有希望出现中途点 4 差异渐缩原则在解题坐标系上 条件与结论之间位置的不同 反映了内容及形式上的目标差 解题就是要消除这种目标差 差异渐缩原则强调在探寻解题思路时 要善于考虑消除它们之间的差异 达到新的平衡 5 迹线平移原则 在解题坐标系上 每一道题都有一条思维轨迹 其中有的在结构上会有相似之处 形成一些平行线轨迹 平时注意积累平行迹线 探求解题思路时有意识寻找和借鉴平行迹线是一个重要的解题原则 我们称为迹线平移原则 1 李师傅原来加工5300只零件 不合格的有186只 技术改革后 不合格率是2 问加工同样的这批零件 合格的零件增加多少只 2 一个人在河里逆流游泳 在A处遗失了携带的水壶 它继续逆流游了20分钟才发现水壶失落 当即游回寻找 结果在距A处下游2千米的B处找到 求水流速度 1 李师傅原来加工5300只零件 不合格的有186只 技术改革后 不合格率是2 问加工同样的这批零件 合格的零件增加多少只 思路1 现在的合格零件数 原来的合格零件数 5300 1 2 5300 186 186 5300 2 80思路2 合格零件增加数等于不合格零件减少数186 5300 2 80 结论也是已知信息 思路2体现了内容与方法的统一 体现了暴露数学解题活动的两个关键过程 一是从没有思路到获得思路 而是对初步思路反思的元认知过程 思路1导致思路2的出现 2 一个人在河里逆流游泳 在A处遗失了携带的水壶 它继续逆流游了20分钟才发现水壶失落 当即游回寻找 结果在距A处下游2千米的B处找到 求水流速度 解法1 设水流速度为x千米 时 人的游泳速度为y千米 时 人向上游泳20分钟 走了20 60 y x 千米 游回追上水壶所走的路程是 20 60 y x 2 千米 游回追上水壶所用的时间是 20 60 y x 2 y x 以水壶漂流2千米所用时间相等列等式 20 60 20 60 y x 2 y