点、直线及平面的投影.ppt

第三章点 直线及平面的投影 第一节点的投影 一 点的三面投影 投影面 正面投影面 简称正面或V面 水平投影面 简称水平面或H面 侧面投影面 简称侧面或W面 投影轴 OX轴V面与H面的交线 OZ轴V面与W面的交线 OY轴H面与W面的交线 三个投影面互相垂直 空间点A在三投影面体系上的投影 空间点用大写字母表示 点的投影用小写字母表示 X Y Z O V H W A a a a 向右翻 向下翻 不动 投影面展开 X Y Z O V H W A a a a 点的投影规律 a a OX轴 aax a az y A到V面的距离 a ax a ay z A到H面的距离 aay a az x A到W面的距离 a a OZ轴 点的三面投影和坐标的关系为 水平投影a反映A点X和Y的坐标 正面投影a 反映A点X和Z的坐标 侧面投影a 反映A点Y和Z的坐标 画出A点投影图和举例 例 已知点的两个投影 求第三投影 a a ax az az 解法一 通过作45 线使a az aax 解法二 用分规直接量取a az aax 特殊位置点 d d e e f f e f d z x YW YH 0 例 已知点的两投影 求其第三投影 d a a a 点的投影规律一点的两投影之间的连线垂直于投影轴 点的一个投影到某投影轴的距离等于空间点到与该投影轴相邻的投影面之间的距离 因此在求作点的 投影时 应保证做到 点的V面投影与H面投影之间的连线垂直于0X轴 即a a上0X 点的V面投影与W面投影之间的连线垂直0Z轴 即a a 上0Z 点的H面投影到0X轴的距离及点的W面投影到0Z轴的距离两者相等 都反映点到V面的距离 点的投影与直角坐标的关系若把三个投影面当作空间直角坐标面 投影轴当作直角坐标轴 则点的空间位置可用其 X Y Z 三个坐标来确定 点的投影就反映了点的坐标值 其投影与坐标值之间存在着对应关系 点的一个投影反映了点的两个坐标 已知点的两个投影 则点的X Y Z三个坐标就可确定 即空间点是唯一确定的 因此已知一个点的任意两个投影即可求出其第三投影 各种位置点的投影空间点点的X Y Z三个坐标均不为零 其三个投影都不在投影轴上 投影面上的点点的某一个坐标为零 其一个投影与投影面重合 另外两个投影分别在投影轴上 投影轴上的点点的两个坐标为零 其两个投影与所在投影轴重合 另一个投影在原点上 与原点重合的点点的三个坐标为零 三个投影都与原点重合 二 两点的相对位置 两点的相对位置指两点在空间的上下 前后 左右位置关系 判断方法 B点在A点之前 之右 之下 例题2已知A点在B点之前5毫米 之上9毫米 之右8毫米 求A点的投影 两点的相对位置两点的相对位置是根据两点相对于投影面的距离远近 或坐标大小 来确定的 X坐标值大的点在左 Y坐标值大的点在前 Z坐标值大的点在上 根据一个点相对于另一点上下 左右 前后坐标差 可以确定该点的空间位置并作出其三面投影 空间两点在某一投影面上的投影重合为一点时 则称此两点为该投影面的重影点 A B为V面的重影点 重影点 被挡住的投影加 例2 已知各点的两个投影 求其第三投影 2 b a b c 1 a c 重影点及可见性判别若两点位于同一条垂直某投影面的投射线上 则这两点在该投影面上的投影重合 这两点称为该投影面的重影点 重影点在三对坐标值中 必定有两对相等 从投影方向观看 重影点必有一个点的投影被另一个点的投影遮住而不可见 判断重影点的可见性时 需要看重影点在另一投影面上的投影 坐标值大的点投影可见 反之不可见 不可见点的投影加括号表示 第二节直线的投影 两点确定一条直线 将两点的同名投影用直线连接 就得到直线的同名投影 1 直线对一个投影面的投影特性 一 直线的投影特性 直线垂直于投影面投影重合为一点积聚性 直线平行于投影面投影反映线段实长ab AB 直线倾斜于投影面投影比空间线段短ab ABcos 2 各种位置直线的投影特性 投影面平行线 投影面垂直线 正平线 平行于 面 侧平线 平行于 面 水平线 平行于 面 正垂线 垂直于 面 侧垂线 垂直于 面 铅垂线 垂直于 面 一般位置直线 统称特殊位置直线 平行于V面的直线Y坐标相等 称为正平线 直线与V面的夹角称为 在所平行的投影面上的投影反映实长及倾角的真实大小另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴 1 投影面平行线 总有一组坐标相等 一个倾角为零 定义 倾角 投影规律 总有一个倾角为0 投影面平行线 水平线 正平线 侧平线 投影面平行线 在其平行的那个投影面上的投影反映实长 并反映直线与另两投影面倾角 另两个投影面上的投影平行于相应的投影轴 水平线 侧平线 正平线 投影特性 与H面的夹角 与V面的角 与W面的夹角 实长 实长 实长 直线与V面的夹角称为 垂直于V面的直线X Z坐标相等 称为正垂线 HX Y铅 WY Z侧 H W 总有二组坐标相等 二个倾角为零 定义 倾角 投影规律 2 投影面垂直线 总有二个倾角为0 投影面垂直线 铅垂线 正垂线 侧垂线 投影面垂直线 铅垂线 正垂线 侧垂线 在其垂直的投影面上 投影有积聚性 投影特性 另外两个投影 反映线段实长 且垂直于相应的投影轴 一般位置直线 投影特性 三个投影都缩短 即 都不反映空间线段的实长及与三个投影面夹角的实大 且与三根投影轴都倾斜 例1 已知立体上直线AB CD的空间位置 在投影图中标注其投影位置 并填空 铅垂 一般位置 例2 已知直线AB AC的两投影 求两直线的第三投影 并指出其空间位置和反映实长的投影 二 直线上的点 判别方法 A B C V H b c c b a a 定比定理 点C不在直线AB上 例3 判断点C是否在线段AB上 点C在直线AB上 例4 判断点K是否在线段AB上 a b 因k 不在a b 上 故点K不在AB上 应用定比定理 a b k a b k 三 两直线的相对位置 空间两直线的相对位置可分为 两直线平行 两直线相交 两直线交叉 异面 两直线平行 空间两直线平行 则其各同名投影必相互平行 反之亦然 投影特性 a b c d c a b d 例1 判断图中两条直线是否平行 对于一般位置直线 只要有两个同名投影互相平行 空间两直线就平行 AB CD b d c a c b a d d b a c 对于特殊位置直线 只有两个同名投影互相平行 空间直线不一定平行 求出侧面投影后可知 AB与CD不平行 例2 判断图中两条直线是否平行 求出侧面投影 要用两个投影判断空间两直线是否平行时 其中应包括反映实长的投影 a b c d b a c d k k 两直线相交 交点K是两直线的共有点 若空间两直线相交 则其同名投影必相交 且交点的投影必须符合点的投影规律 例 过C点作水平线CD与AB相交 先作正面投影 1 2 3 4 两直线交叉 投影特性 同名投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上的一对重影点的投影 用其可帮助判断两直线的空间位置 1 2是 面的重影点 3 4是H面的重影点 为什么 两直线相交吗 小结 点与直线的投影特性 尤其是特殊位置直线的投影特性 点与直线及两直线的相对位置的判断方法及投影特性 定比定理 直角定理 即两直线垂直时的投影特性 重点掌握 一 各种位置直线的投影特性 一般位置直线 三个投影与各投影轴都倾斜 投影面平行线 在其平行的投影面上的投影反映线段实长及与相应投影面的夹角 另两个投影平行于相应的投影轴 投影面垂直线 在其垂直的投影面上的投影积聚为一点 另两个投影反映实长且垂直于相应的投影轴 二 直线上的点 点的投影在直线的同名投影上 点分线段成定比 点的投影必分线段的投影成定比 定比定理 三 两直线的相对位置 平行 相交 交叉 异面 同名投影互相平行 同名投影相交 交点是两直线的共有点 且符合空间一个点的投影规律 同名投影可能相交 但 交点 不符合空间一个点的投影规律 交点 是两直线上一对重影点的投影 第三节平面的投影 一 平面的表示法 1 不在同一直线上的三个点 2 直线及线外一点 3 两平行直线 4 两相交直线 5 任意平面图形 三角形 四边形 圆等 1 用几何元素表示平面 2 平面的迹线表示法 实形性 类似性 积聚性 平面对一个投影面的投影特性 二 平面的投影特性 平面在三投影面体系中的投影特性 平面对于三投影面的位置可分为三类 投影面垂直面 投影面平行面 一般位置平面 垂直于某一投影面 倾斜于另两个投影面 平行于某一投影面 垂直于另两个投影面 与三个投影面都倾斜 投影面平行面 水平面 正平面 侧平面 1 水平面 投影特性 1 a b c a b c 积聚为一条线积聚为一条线 具有积聚性2 水平投影abc反映 ABC实形 2 正平面 投影特性 1 abc a b c 积聚为一条线 具有积聚性2 正平面投影a b c 反映 ABC实形 投影特性 1 abc a b c 积聚为一条线 具有积聚性2 侧平面投影a b c 反映 ABC实形 3 侧平面 积聚性 积聚性 实形性 水平面 投影特性 在它所平行的投影面上的投影反映实形 另两个投影面上的投影分别积聚成与相应的投影轴平行的直线 投影面垂直面 铅垂面 正垂面 侧垂面 1 铅垂面 投影特性 1 abc积聚为一条线2 a b c a b c 为 ABC的类似形3 abc与OX OY的夹角反映 角的真实大小 2 正垂面 投影特性 1 a b c 积聚为一条线2 abc a b c ABC的类似形3 a b c 与OX OZ的夹角反映 角的真实大小 3 侧垂面 投影特性 1 a b c 积聚为一条线2 abc a b c 为 ABC的类似形3 a b c 与OZ OY的夹角反映 角的真实大小 a b c a c b c b a 类似性 类似性 积聚性 铅垂面 投影特性 在它垂直的投影面上的投影积聚成直线 该直线与投影轴的夹角反映空间平面与另外两投影面夹角的大小 另外两个投影面上的投影有类似性 为什么 3 一般位置平面 一般位置平面 三个投影都相似 投影特性 平面上取任意直线 三 平面内的直线和点 a b c b c a d n m 例1 已知平面由直线AB AC所确定 试在平面内任作一条直线 解法一 解法二 根据定理二 根据定理一 有无数解 例2 在平面ABC内作一条水平线 使其到H面的距离为12mm n m n m 唯一解 平面上取点 先找出过此点而又在平面内的一条直线作为辅助线 然后再在该直线上确定点的位置 例1 已知K点在平面ABC上 求K点的水平投影 面上取点的方法 首先面上取线 利用平面的积聚性求解 通过在面内作辅助线求解 例2已知 ABC给定一平面 试判断点D是否属于该平面 e e k b 例3 已知AC为正平线 补全平行四边形ABCD的水平投影 解法一 解法二 例4 已知立体上平面P Q R的空间位置 在投影图中标注其投影位置 并填空 水平 铅垂 侧垂 1 2 是 面 是 面 例5 已知平面的两个投影 求作其第三投