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第二讲运动和力 匀速直线运动 匀变速直线运动 运动学特征 x vt 动力学特征 F合 0 运动学特征 动力学特征 F合 ma a恒定 直线运动 特例 自由落体 v gth gt2 2 竖直上抛 vt v0 gth v0t gt2 2 F合 mg a g 条件 合外力与速度方向共线 运动学特征 动力学特征 运动学特征 动力学特征 F合 mg a g vt v0 atx v0t at2 2 一 运动和力的关系 平抛运动 匀速圆周运动 运动学特征 水平x vt 动力学特征 F合 mg a g 运动学特征 动力学特征 F合 ma mv2 R mR 2 曲线运动 简谐运动 x xmsin tv vmcos t F回 kx 条件 合外力与速度方向不在一直线上 运动学特征 动力学特征 2 TV R 竖直 v gth gt2 2 一 运动和力的关系 二 研究运动和力的基本规律和方法 牛顿第一定律 牛顿第二定律 牛顿第三定律 2 牛顿运动定律 3 动能定理 4 能量守恒定律 5 动量定理 6 动量守恒定律 1 匀变速运动规律和特点 1 如图所示 一物块从高度为H相等 倾角分别为30 45 60 的不同光滑斜面上 由静止开始下滑 物体滑到底端时所获得的速度大小和所占用时间相比较 下列关系中正确的是 例与练 2 相同的小球从光滑斜面上某一位置每隔0 1s释放一颗 在连续放几颗后 对斜面正运动着的小球拍下部分照片 如图所示 现测得AB 15cm BC 20cm 求 1 小球运动时的加速度的大小和斜面的倾角 2 拍片时B的速度 3 D C两球相距多远 4 A球上面正在运动着的小球共有多少颗 释放小球位置距A球多远 例与练 3 一物体在斜面上以一定速率沿斜面向上运动 斜面的倾角 可在0 90 之间变化 设物体所能达到的最大位移x与斜面倾角之间的关系如图所示 求x的最小值 例与练 物体在斜面上向上运动受力如图所示 解析 当 0时 x0 m 由动能定理 0 mv2 2 mgx0 当 900时 x1 10m 由动能定理 0 mv2 2 mgx1 由动能定理 0 mv2 2 mgxsin mgxcos 即 mgx1 mgxsin mgxcos 4 如图所示 质量为m的物体放在水平桌面上 物体与桌面的滑动摩擦因数为 对物体施加一个与水平方向成 角的斜向右上方的拉力F 1 求物体在水平面上运动时力F的取值范围 2 力F一定 角取什么值时 物体在水平面上运动的加速度最大 3 求物体在水平面上运动所获得的最大加速度的数值 例与练 解析 当F水平方向的分力小于最大静摩擦力时 物体不动 m受力分析如图所示 竖直方向 N mg Fsin 水平方向 所以F mg Fsin cos 当F大于某一值时 物体离开地面 地面对物体的支持力为0 对此时的m受力分析如图所示 Fcos f 又f N mg Fsin 竖直方向 Fsin mg 所以F mg sin 所以 mg Fsin cos F mg sin 解析 力F一定 角变化时 物体在水平面上运动的加速度也变化 对m受力分析如图所示 竖直方向 N mg Fsin 水平方向 所以a Fcos Fsin m g Fcos f ma 又f N mg Fsin 当 arccot 时 a有最大值am 5 两个劈形物块的质量分别为m1和m2 劈面光滑 倾角为 两物块与水平面之间的动摩擦因数分别为 1和 2 现用水平恒力F 未知 推动 使两物块向右运动 如图所示 试求 1 保持m1和m2无相对滑动时 系统的最大加速度 2 此时m1对m2的压力 3 此时对m1的推力F 例与练 解析 当水平恒力F增大时 整体的加速度a也将增大 m1所受地面的支持力将变小 当F增大某一值时 整体的加速度将增大到最大am 此时m1所受地面的支持力为0 m1所受地面的摩擦力也为0 对此时的m1受力分析如图所示 竖直方向 N1cos m1g 水平方向 F N1sin m1am N1 m1g cos F m1gtan m1am 解析 当整体的加速度最大时 此时m1所受地面的支持力为0 m1所受地面的摩擦力也为0 对此时的m1和m2整体受力分析如图所示 竖直方向 N2 m1 m2 g 水平方向 f2 2N2 2 m1 m2 g F f2 m1 m2 am 所以F m1 m2 am 2g 6 如图所示装置 物体A B质量分别为mA mB 斜面倾角为a 且mAsina mB 不计一切摩擦 要求在物体A沿斜面下滑过程中斜面体不动 问在斜面体上应作用一个多大的水平力 方向如何 例与练 一 连接体 问题的特点 1 各个物体的速度大小相同 2 各个物体的加速度大小相同 二 连接体 问题解题的关键是 方法小结 1 合理地选择研究对象 2 正确地进行受力分析 3 准确地分析物体的运动情况 注意临界状态 三 连接体 问题的解题方法 整体法和隔离法相结合 1 已知外力求内力 先整体法求加速度 再隔离法求内力 2 已知内力求外力 先隔离法求加速度 再整体法求外力 当斜面体向右做匀加速直线运动的加速度大于某一临界值时 小球将离开斜面 为此 首先求出加速度的这一临界值a0 显然 上述临界状态的实质是小球对斜面体的压力为零 对小球受力分析 如图所示 7 倾角为 的斜面体上 用长为L的细绳吊着一个质量为m的小球 不计摩擦 试求斜面体以加速度a向右做匀加速直线运动时 绳中的张力 例与练 解析 由牛顿第二定律 选择x轴与斜面平行y轴与斜面垂直的直角坐标系T mgsin macos mgcos N masin 解得此种情况下绳子的拉力T mgsin macos 此时 斜面体给小球的支持力 解析 据牛顿第二定律得Tcos mg 0 Tsin ma 求得绳子的张力为 解析 运用牛顿第二定律解题时可以将力沿物体运动方向和垂直运动方向分解 垂直运动方向合力为0 沿运动方向合力提供物体的加速度 也可以将物体的加速度沿两个互相垂直的方向分解 这两个方向的合力分别提供这两个方向的加速度 方法小结 7 一个倾角为 质量为M的斜劈静止在水平地面上 一个质量为m的滑块正沿斜劈的斜面以加速度a向下滑动 如图 1 所示 试求斜劈M所受地面支持力N的大小及M所受地面静摩擦力fM的大小和方向 例与练 要求斜劈M所受地面支持力N及M所受地面静摩擦力fM都是m M为整体所受的外力 可先考虑用整体法 对m M整体受力分析 解析 M m g N fM a1 a2 由水平方向牛顿第二定律 fM ma1 macos 由竖直方向牛顿第二定律 M m g N ma2 masin N M m g masin 9 如图所示 用轻质细绳联结的A和B两个物体 沿着倾角为 的斜面以相同的加速度下滑 A和B与斜面间的动摩擦因数分别为 A和 B 求A和B之间的细绳上的弹力 例与练 对A和B整体分析受力 如图所示 解析 由牛顿第二定律 mA mB g N fA fB 对A分析受力 如图所示 设弹力存在且为T 解析 N fA T mAg 由牛顿第二定律 当 T 0 当 T 0 10 一列总质量为M的火车 其最后一节车厢质量为m 若m从匀速前进的机车中脱离出来 运动了长度为S的一段路程停下来 如果机车的牵引力不变 且每一节车厢所受的摩擦力正比于其重力而与速度无关 问脱开车厢停止时 它距前进的列车后端多远 例与练 机车和车厢脱钩后的运动示意图如图所示 车厢脱钩后受阻力作用做匀减速运动 机车牵引力不变 做匀加速运动 用牛顿第二定律和运动学公式很容易求出车厢停止时两者的距离 F kMg 解析 从脱钩至车厢停止 机车通过的距离 机车和车厢的距离 解析 说明 解决动力学问题 常有两把钥匙 一把钥匙是牛顿运动定律 一把钥匙是能量和动量关系 本题中 在火车运动过程中 虽然受到阻力作用 而且发生了脱钩 但就整个系统而言 牵引力始终不变为F kMg 脱钩后机车的阻力 故系统的合外力为零 符合动量守恒的条件 对系统从最后一节车厢分离到停止过程由动量守恒 解析 解析 传送带顺时针方向转动时受力如图示 mgsin mgcos ma a gsin gcos 2m s2 S at2 2 11 如图示 传送带与水平面夹角为370 并以v 10m s运行 在传送带的A端轻轻放一个小物体 物体与传送带之间的动摩擦因数 0 5 AB长16米 求 以下两种情况下物体从A到B所用的时间 1 传送带顺时针方向转动 2 传送带逆时针方向转动 例与练 解析 2 传送带逆时针方向转动物体受力如图 开始摩擦力方向向下 向下匀加速运动 a gsin370 gcos370 10m s2 t1 v a 1sS1 1 2 at2 5mS2 11m 1秒后 速度达到10m s 摩擦力方向变为向上 a2 gsin370 gcos370 2m s2 物体以初速度v 10m s向下作匀加速运动 S2 vt2 1 2 a2t22 11 10t2 1 2 2 t22 t2 1s t t1 t2 2s 解析 F作用在车上 因物块从车板上滑落 则车与物块间有相对滑动 从车开始运动到车与物块脱离的过程中 车与物块分别做匀加速运动 物块脱离车后作平抛运动 而车仍作加速度改变了的匀加速运动 12 一平板车 质量M 100kg 停在水平路面上 车身的平板离地面高h 1 25m 一质量m 50kg的小物块置于车的平板上 它到尾端的距离b 1 00m 与车板间的动摩擦因数 0 20 如图所示 今对平板车施加一个水平方向的恒力 使车向前行驶 结果物块从车板上滑落 物块刚离开车板的时刻 车向前行驶了距离s0 2 0m 求物块落地时落地点到车尾的距离s 例与练 解析 对车 代入 得 解析 到车尾距离为 解析 13 一内壁光滑的环形细圆管 位于竖直平面内 环的半径为R 比细管的半径大得多 在圆管中有两个直径与细管内径相同的小球 可视为质点 A球的质量为m1 B球的质量为m2 它们沿环形圆管顺时针运动 经过最低点时的速度都为v0 设A球运动到最低点时 B球恰好运动到最高点 若要此时两球作用于圆管的合力为零 那么m1 m2 R与v0应满足的关系式是 例与练 分析受力 画出受力图 对A N1 m1g m1v02 RN1 m1g m1v02 R 对B N2 m2g m2v22 RN2 m2v22 R m2g 由机械能守恒定律m2v02 2 m2v22 2 m2g2R v22 v02 4Rg 又N1 N2 m1g m1v02 R m2v22 R m2g m2v02 R 5m2g m1 m2 v02 R m1 5m2 g 0 解析 14 一半径为R的光滑圆环上穿有一个质量为m的小球 当圆环位于竖直平面内 小球沿圆环做圆周运动 如图所示 到达最高点C时的速度 则下列说法中正确的是 A 此小球的最大速率为 B 小球达到最高点C时对环的压力为4mg 5 C 小球在任一直径两端点上的动能之和相等 D 小球沿圆环绕行一周所用时间小于 例与练 15 如图所示 a b c是在地球大气层外圆形轨道上运动的3颗卫星 下列说法正确的是 A b c的线速度大小相等 且大于a的线速度B b c的向心加速度大小相等 且大于a的向心加速度C c加速可追上同一轨道上的b b减速可等候同一轨道上的cD a卫星由于某原因 轨道半径缓慢减小 其线速度将增大 例与练 从北极上空看 30 A C 太阳的平行光 日落 A1 R B 16 在日落以后 我们常能看到高空中明亮的人造卫星 现有一颗在地球赤道上空飞行的人造卫星 在日落后两小时恰在赤道上某观察者的正上方 则该卫星距地球的表面高度至少有多少Km 已知地球的半径为R 6 4 103Km 例与练 解析 飞船绕地球GMm r2 4 2mr T2 地球表面mg GMm R2 又r R h 结论 T 5 4 103s 17 神舟五号载人飞船在绕地球飞行的第五圈进行变轨 由原来的椭圆轨道变为距地面高度h 342km的圆形轨道 已知地球的半径R 6 37 103km 地面处的重力加速度g 10m s2 试导出飞船在上述圆轨道上运动的周期T的公式 用h R g表示 然后计算周期T的数值 保留两位有效数字 例与练 解析 18 在方向水平的匀强电场中 一不可伸长的不导电细线的一端连着一个质量为m的带电小球 另一端固定于O点 把小球拉起直至细线与场强平行 然后无初速度释放 已知小球摆到最低点的另一侧 线与竖直方向的最大夹角为 如图所示 求小球经过最低点时 细线对小球的拉力 小球受力如图示 电场力一定向右 A C由动能定理mglcos qEl 1 sin 0 A B由动能定理mgl qEl mv2 2 在B点 由圆周运动T mg mv2 l T mg 3 例与练 解析 19 如图 甲 所示 一根质量可以忽略不计的轻弹簧 劲度系数为k 下面悬挂一个质量为m的砝码A 手拿一块质量为M的木板B 用木板B托住A往上压缩弹簧 如图 乙 所示 此时如果突然撤去木板B 则A向下运动的加速度为a a g 现用手控制使B以加速度a 3向下作匀加速直线运动 1 求砝码A作匀加速直线运动的时间 2 求出这段运动过程的起始和终止时刻手对木板B的作用力的表达式 并说明已知的各物理量间满足怎样的关系 上述两个时刻手对木板的作用力的方向相反 例与练 B托住A使弹簧被压缩 撤去B瞬间 因弹簧弹力F来不及改变 弹力F和物体重力方向都向下 因而产生向下加速度a 当用手控制B向下以a 3做匀加速运动时 对应着B对A支持力大于等于0 1 设在匀变速运动阶段 弹簧压缩量在起始时刻为 解析 终止时刻 B对A支持力N 0 此刻有 从x0到x1 物体作匀加速运动 需要的时间设为t 则 解析 2 分析A B起始时刻受力如图所示 解析 解析 20 一个劲度为k的轻弹簧直立于地面上 最上端为A 如图所示 一个物体第一次从A点正上方距A高度为h1的地方自由落下 在A点开始与弹簧接触 第二次从A点正上方距A高度为h2 h2 h1 的地方自由落下 下列说法中正确的是 A 两次物体下降过程中弹簧的最大形变量相同 B 两次物体下降过程中最大速度相同 C 两次物体下降过程中速度最大的位置相同 D 两次物体下降过程中最大加速度相同且都大于g 例与练 A 21 若电位器 可变电阻 总长度为L 其电阻均匀 两端接在稳压电源U0上 当导弹以加速度a沿水平方向运动时 与滑块连接的滑动片P产生位移 此时可输出一个电信号U 作为导弹惯性制导系统的信息源 为控制导弹运动状态输入信息 试写出U与a的函数关系式 a 2kS m S ma 2k U U0Rx R U0S L maU0 2kL mU0a 2kL a 例与练 解析 22 水平放置的导轨处于垂直轨道平面的匀强磁场中 今从静止起用力拉金属棒ab 若拉力为恒力 经t1秒ab的速度为v 加速度为a1 最终速度为2v 若拉力的功率恒定 经t2秒ab的速度为v 加速度为a2 最终速度为2v 求a1和a2的关系 拉力为恒力时 最终有F F安 B2L2 2v R a1 F B2L2v R m F m B2L2v mR B2L2v mR 拉力的功率恒定 F F安 P 2v B2L2 2v R P v 4B2L2v R a2 F2 F安 m P v B2L2v R m 3B2L2v mR a2 3a1 例与练 解析 23 如图所示 质量均为m的物体P Q用轻绳子相连 挂在两个高度相同的光滑定滑轮上 处于静止状态 现在定滑轮中点处再挂一质量也为m的物体N 设竖直段的细绳足够长 松手后 下列说法中正确的是 A N一直向下加速 直到P Q碰到定滑轮 B N下落过程为先加速后减速 C N下落过程加速度逐渐变小 D N将做机械振动 例与练 24 在一条公路上并排停着A B两车 A车先起步 加速度a1 1m s2 B车晚2s启动 加速度a2 2m s2 从A起步开始计时 问 在A B相遇前经过多长时间两车相距最远 这个距离是多少 例与练 解析 方法一 临界状态法 设经t时间两车相距最远 此时两车速度相同为v 则v a1t a2