现在控制理论第三章.ppt

现代控制理论 2 3 第3章控制系统的状态空间分析 3 1线性系统能控性和能观测性的概述3 1线性连续系统的能控性3 2线性连续系统的能观测性3 3对偶性原理3 4系统的能控性和能观测性与传递函数的关系补充 系统的能控标准形和能观测标准形实现问题 1 能控性和能观性是现代控制理论两个重要的基本概念 1960年由卡尔曼首先提出 卡尔曼 RE Kalman 美籍匈牙利人 是现代控制理论的主要奠基人之一 首先引入状态空间分析法 提出能控能观 最优调节器 卡尔曼滤波 最优控制的反问题等 6 2 能控性是u t 支配X t 的能力 回答u t 能否使X t 作任意转移的问题 7 3 能观性是Y t 反应X t 的能力 回答是否能通过Y t 的量测来确定X t 的问题 为什么经典控制理论没有涉及到这两个结构性问题 8 经典控制理论所讨论的是SISO系统输入输出的分析和综合问题 它的输入输出间的动态关系可以唯一地由传递函数所确定 因此 给定输入 则一定会存在唯一的输出与之对应 反之 对期望输出信号 总可找到相应的输入信号 即控制量 使系统输出按要求进行控制 不存在能否控制的问题 此外 输出一般是可直接测量 不然 则应能间接测量 否则 就无从对进行反馈控制和考核系统所达到的性能指标 因此 在这里不存在输出能否测量 观测 的问题 所以 无论是从理论还是实践 经典控制理论和技术一般不涉及到能否控制和能否观测的问题 9 现代控制理论中着眼于对表征MIMO系统内部特性和动态变化的状态进行分析 优化和控制 状态变量向量的维数一般比输入向量的维数高 这里存在多维状态能否由少维输入控制的问题 此外 状态变量是表征系统动态变化的一组内部变量 有时并不能直接测量或间接测量 故存在能否利用可测量或观测的输出输出的信息来构造系统状态的问题 古典中 C s 既是输出又是被控量 1 C s 肯定与R s 有关系 2 C s 肯定是可测量的 因此 只要满足稳定 肯定能控能观 现代中 被控制量是X 状态变量 问题 1 每个状态X t 是否受u t 控制2 状态变量在系统内部 能否通过观测Y t 来测量X t 分析 1 x1与输入u无关 不能控 x2能控 x1 x2不完全能控 2 y x1 x2 x1或x2都能对y产生影响 通过y能确定x1或x2 能观测 3 能控能观是最优制和最优估计的设计基础 13 3 1线性连续系统的能控性本节主要讨论线性定常连续系统的状态能控性和输出能控性问题 关键问题 1 基本概念 状态能控性和输出能控性2 基本方法 状态能控性和输出能控性的判别方法3 状态能控性的物理意义和在状态空间中的几何意义 重点 要理解 15 本节首先从物理直观性来讨论状态能控的基本含义 然后再引出状态能控性的定义 下面将看到 这种从直观到抽象的讨论 对于理解能控性严格定义的确切含义是有益的 本节讲授顺序为 能控性的直观讨论状态能控性的定义线性定常连续系统的状态能控性判别线性定常连续系统的输出能控性线性时变连续系统的状态能控性 16 能控性的直观讨论状态能控性反映输入u t 对状态x t 的控制能力 如果状态变量x t 由任意初始时刻的任意初始状态引起的运动都能由输入 控制项 来影响 并能在有限时间内控制到空间原点 那么称系统是能控的 或者更确切地说 是状态能控的 否则 就称系统为不完全能控的 下面通过实例来说明能控性的意义 状态可控否 18 19 状态可控否 21 该电桥系统中 电源电压u t 为输入变量 并选择两电容器两端的电压为状态变量x1 t 和x2 t 试分析电源电压u t 对两个状态变量的控制能力 例某电桥系统的模型如图所示 22 由电路理论知识可知 若图所示的电桥系统是平衡的 例Z1 Z2 Z3 Z4 电容C2的电压x2 t 是不能通过输入电压u t 改变的 即状态变量x2 t 是不能控的 则系统是不完全能控的 若图所示的电桥系统是不平衡的 两电容的电压x1 t 和x2 t 可以通过输入电压u t 控制 则系统是能控的 23 由状态空间模型来看 当选择两电容器两端电压为状态变量x1 t 和x2 t 时 可得如下状态方程 由上述状态方程可知 状态变量x2 t 的值 即电桥中电容C2的电压 是自由衰减的 并不受输入u的控制 因此 该电压的值不能在有限时间内衰减至零 即该状态变量是不能由输入变量控制到原点 具有这种特性的系统称为状态不能控的 24 例某并联双水槽系统如图4 2所示 其截面积均为A 它们通过阀门O均匀地输入等量液体 即其流量QO相同 25 由各水槽中所盛水量的平衡关系和流量与压力 水面高度 的关系 有 其中 代表平衡工作点附近的变化量 26 选上述方程中变化量 h1和 h2为状态变量 将状态变量带入方程中并消去中间变量 Q1和 Q2消去 则有 解上述状态方程 可得 27 由上述解可知 当初始状态x1 0 和x2 0 不等时 则x1 t 和x2 t 的状态轨迹完全不相同 即在有限时间内两条状态轨线不相交 因此 对该系统 无论如何控制流入的流量 QO t 都不能使两水槽的液面高度的变化量 h1 t 和 h2 t 在有限时间内同时为零 即液面高度不完全能进行任意控制 上面用实际系统初步说明了能控性的基本含义 能控性在系统状态空间模型上的反映可由如下两个例子说明 28 补充例给定系统的状态空间模型与结构图分别为 本例中 状态变量x1的运动只受初始状态x1 0 的影响 与输入无关 即输入u t 不能控制x1 t 的运动 而且x1 t 不能在有限时间内衰减到零 因此 状态x1 t 不能控 则整个系统是状态不完全能控的 3 1 1状态能控性的定义由状态方程x t A t x t B t u t 及其第2章的状态方程求解公式可知 状态的变化主要取决于系统的初始状态和初始时刻之后的输入 与输出y t 无关 因此研究讨论状态能控性问题 即输入u t 对状态x t 能否控制的问题 只需考虑系统在输入u t 的作用和状态方程的性质 与输出y t 和输出方程无关 对线性连续系统 我们有如下状态能控性定义 状态能控性的定义 2 5 能控性定义 定义4 1若线性连续系统x t A t x t B t u t 对初始时刻t0 t0 T T为时间定义域 和初始状态x t0 存在另一有限时刻t1 t1 t0 t1 T 可以找到一个控制量u t 能在有限时间 t0 t1 内把系统状态从初始状态x t0 控制到原点 即x t1 0 则称t0时刻的状态x t0 能控 若对t0时刻的状态空间中的所有状态都能控 则称系统在t0时刻状态完全能控 状态能控性的定义 3 5 能控性定义 若系统在所有时刻状态完全能控 则称系统状态完全能控 简称为系统能控 若存在某个状态x t0 不满足上述条件 称此系统是状态不完全能控的 简称系统为状态不能控 32 一维系统状态可控 二维系统状态可控 时间不是问题 任意 x t A t x t B t u t 状态能控性的定义 4 5 对上述状态能控性的定义有如下讨论 1 控制时间 t0 t1 是系统状态由初始状态转移到原点所需的有限时间 对时变系统 控制时间的长短 即t1 t0的值 与初始时刻t0有关 对于定常系统 该控制时间与t0无关 故 简便起见t0 0 所以 对于线性定常系统状态能控性 可不必在定义中强调 在所有时刻状态完全能控 而为 某一时刻状态完全能控 则系统状态完全能控 状态能控性的定义 5 5 2 在上述定义中 对输入u t 没有加任何约束 只要能使状态方程的解存在即可 如果矩阵A t 和B t 以及向量u t 的每个元素都是t的分段连续函数 则状态方程存在唯一解 u t 为分段连续的条件 在工程上是很容易满足的 3 在状态能控性定义中 对输入u t 和状态x t 所处的空间都没有加任何约束条件 在实际工程系统中 输入变量空间和状态空间都不为无限制条件的线性空间 因此上述能控性的定义对工程实际系统还需作具体的分析 35 3 1 2线性定常系统的状态能控性判据 定理3 1 1线性定常连续系统 A B 其状态完全能控的充要条件是其能控性矩阵 c BABA2B An 1B 的秩为n 即rank c n证明已知状态方程的解为 在以下讨论中 不失一般性 可设初始时刻为零 即t0 0以及终端状态为状态空间的原点 即x T 0 则有 36 因T是固定的 所以每一个积分都代表一个确定的量 令 利用凯莱 哈密尔顿 Cayley Hamilton 定理e A 0 I 1 A n 1 An 1 37 若系统是能控的 那么对于任意给定的初始状态x 0 都应从上述方程中解出 0 1 n 1来 这就要求系统能控性矩阵的秩为n 即rank c rank BABA2B An 1B n c 能控性检验矩阵 讨论 c的形式 38 P70定理3 1 1 系统能控 要求系统能控性矩阵的秩为n 即rank c rank BABA2B An 1B n SISO c为n维方阵 满秩 行列式不为零 MIMO c为n行m列阵 行满秩 c Tc为n维方阵 c Tc的行列式不为零 SISO 计算 c的行列式 MIMO 计算 c Tc的行列式 39 SISO 计算 c的行列式 MIMO 计算 c Tc的行列式 MATLAB的应用 uc ctrb A B rank uc ordet uc uc ctrb A B rank uc ordet uc uc 矩阵秩的定义 矩阵的秩 定义3 2设在矩阵A中有一个r阶子式Dr 0 且所有r 1阶子式 如果存在的话 全等于零 那么Dr称为矩阵A的最高阶非零子式 数r称为矩阵A的秩 记作R A r 对于m n矩阵A 显然有 特别的规定R O 0 1 R AT R A 2 R Am n min m n 设A为m n矩阵 当R A m时 称A为行满秩矩阵 当R A n时 称A为列满秩矩阵 若A为n阶方阵 且R A n 则称A为满秩矩阵 它既是行满秩矩阵 又是列满秩矩阵 显然 方阵A可逆的充分必要条件是A为满秩矩阵 若A为n阶方阵 且R A n 则称A为降秩矩阵 由此方阵A不可逆的充分必要条件是A为降秩矩阵 非奇异矩阵又称为满秩矩阵 而奇异矩阵又称为降秩矩阵 例如 显然 A为满秩矩阵 而B则为降秩矩阵 例1求下列矩阵的秩 解在A中 容易看出 一个2阶子式 A的3阶子式只有一个 A 经计算可知 A 因此R A 由于B是一个阶梯形矩阵 其非零行有 行 故可知B的所有 阶子式全为零 而以三个非零行的第一个非零元素为对角元的 阶行列式 因此 B 44 45 例设系统的状态方程为判断其状态能控性 解 系统的能控性矩阵为 c BABA2B rank c 2 n所以系统状态不完全能控 2111 1 1 3222 2 2 5444 4 4 都与u有关 所以状态完全能控 即能控 47 代数判据 17 18 例4 2 思考 试判断如下系统的状态能控性 代数判据 18 18 将上述矩阵的第3行加到第2行中去 则可得矩阵 显然其秩为2 而系统的状态变量维数n 3 所以状态不完全能控 解由状态能控性的代数判据有 例3 1 4有系统如下 判断其是否能控 解 故 它是一个三角形矩阵 斜对角线元素均为1 不论a2 a1取何值 其秩为3 系统总是能控的 因此把凡是具有本例形式的状态方程 称之为能控标准型 52 53 54 55 3 1 3能控性的性质 连续系统状态能控性模态判据在给出线性定常连续系统状态能控性模态判据之前 先讨论状态能控性的如下性质 定理3 1 3线性定常系统经线性变换后状态能控性保持不变 下面对该结论作简单证明 设线性变换阵为T则系统 A B 经线性变换后为 并有 结论 因此系统的状态能控性等价于 A B 的状态能控性 即线性变换不改变状态能控性 58 p76定理3 1 4 任意输入系统的能控状态空间模型都能等价变换成能控标准形 59 60 模态判据 3 14 基于上述结论 还可利用线性变换将一般状态空间模型变换成约旦规范形 通过分析约旦规范形 对角线规范形视为其特例 的能控性来分析原状态空间模型的能控性 下面讨论线性定常连续系统约旦规范形的状态能控性模态判据 推论 若A为约旦型 对角线规范形视为其特例 则系统能控的充要条件是 1 B中对应于互异的特征值的各行 没有一行的元素全为零 2 B中与每个约旦块最后一行相对应的各行 没有一行的元素全为零 3 若A为某个特征值有多于一个约旦块的约旦矩阵 则系统能控的充要条件为对应A的每个特征值的所有约旦块的B的分块的最后一行线性无关 最后指出一点 当系统矩阵A为对角标准形 但在含有相同的对角元素情况下 推论 不成立 或系统矩阵A为约当标准形 但有两个或两个以上的约当块的特征值相同时 推论 不成立 推论的证明可直接由定理3 1 1而得 推论作两点说明 状态能控性模态判据讨论的是约旦规范形 若系统的状态空间模型不为约旦规范形 则可根据线性变换不改变状态能控性的性质 先将状态空间模型变换成约旦规范形 然后再利用推论来判别状态能控性 推论不仅可判别出状态能控性 而且更进一步地指出是系统的哪一模态 特征值或极点 和哪一状态不能控 这对于进行系统分析和反馈校正是非常有帮助的 解由推论可知 A为特征值互异的对角线矩阵 且B中各行不全为零 故系统状态完全能控 例试判断如下系统的状态能控性 65 2 66 3 4 67 考察下列各系统的状态能控性 解A的每个特征值都只有一个约旦块 但对应于特征值 4的约旦块的B的分块的最后一行全为零 故状态x1和x2不能控 则系统状态不完全能控 状态空间x1 x2 x3不完全能控 状态子空间x1 x2不完全能控 状态变量x3完全能控 状态变量x2完全不能控 状态变量x1完全不能控 5 模态判据 8 14 解由于A中特征值 4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性无关 且A中特征值 3的约旦块所对应的B的分块的最后一行不全为零 故系统状态完全能控 解由于A中特征值 4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性相关 故该系统的状态x1 x2和x4不完全能控 则系统状态不完全能控 状态空间x1 x2 x3 x4不完全能控 状态子空间x1 x2 x4不完全能控 状态变量x3完全能控 例判断下列系统的能控性 不能控 能控 不能控 能控 不能控 由于A中特征值 4的两个约旦块所对应的B的分块的最后一行线性相关 故该系统的状态x1 x2和x3不完全能控 则系统状态不完全能控 73 线性定常离散系统的能控性 一 定义对于线性定常离散系统x k 1 Gx k Hu k 如果存在控制信号序列u k u k 1 u n 1 使得系统从第k步状态x k 开始 能在第n步上达到零状态 平衡状态 即x n 0 其中n为大于k的某一个有限正整数 称系统在第k步上是能控的 x k 称为系统在第k步上的能控状态 如果对于任一个k 第k步上的状态x k 都是能控状态 则系统都完全能控 称系统完全能控 写成 说明 形式上同连续系统 AB GH 定理 线性定常离散系统 G H 状态能控的充要条件是能控性矩阵 证明略 例已知 判断是否能控 解 说明 也可把矩阵G化为对角形或约旦标准型后 按 推论 判别系统是否能控 77 注意 一个能控的连续状态空间模型 离散化后 其对应的离散时间状态空间模型不一定仍然保持能控 78 3 1 4线性定常系统的输出能控性 在分析和设计控制系统的许多情况下 系统的被控制量往往不是系统的状态 而是系统的输出 因此有必要研究系统的输出是否能控的问题 定义对于系统 A B C D 如果存在一个无约束的控制矢量u t 在有限时间间隔 t0 T 内 能将任一给定的初始输出y t0 转移到任一指定的最终输出y T 那么就称 A B C D 是输出完全能控的 或简称输出是能控的 定理线性定常系统 A B C D 其输出完全能控的充要条件是输出能控性矩阵满秩 即rank rank CBCAB CAn 1BD m 79 例设某一系统 其方块图如下图所示 试分析系统输出能控性和状态能控性 解 描述系统的状态空间表达式为 80 rank c rank BAB 11 00 状态是不完全能控的 rank rank CBCABD 200 输出是完全能控的 系统的状态能控性与输出能控性是不等价的 也就是两者之间没有必然的联系 天柱山 81 3 2线性连续系统的能观性本节主要讨论线性定常连续系统的状态能观性问题 关键问题 1 基本概念 状态能观性2 基本方法 状态能观性的判别方法3 状态能观性的物理意义和在状态空间中的几何意义 重点 要理解 本节首先从物理直观性来讨论状态能观性的基本含义 然后再引出状态能观性的定义 下面将看到 这种从直观到抽象的讨论 对于理解能观性严格定义的确切含义是有益的 本节讲授顺序为 能观性的直观讨论状态能观性的定义线性定常连续系统的状态能观性判据 1能观性的直观讨论状态能观性反映系统外部可直接或间接测量的输出y t 和输入u t 来确定或识别系统状态的能力 如果系统的任何内部运动状态变化都可由系统的外部输出和输入唯一地确定 那么称系统是能观的 或者更确切地说 是状态能观的 否则 就称系统为状态不完全能观的 下面通过几个例子来说明能观性的意义 例考虑右图所示的电网络系统由输出变量的值确定状态变量值的能力问题 当电阻R1 R2 电感L1 L2 输入电压u t 0 以及两个状态变量的初始状态x1 t0 x2 t0 且为任意值时 必定有i3 t 0 即输出变量y t 恒为零 因此 由恒为零的输出y t 显然不能确定通过两个电感的电流值i1 t 和i2 t 即由输出y t 不能确定状态变量x1 t 和x2 t 的值 该电网络模型中 u t 为输入电压 y t i3 t 为输出变量 通过两电感的电流i1 t 和i2 t 分别为状态变量x1 t 和x2 t 但当电阻R1 R2或电感L1 L2时 则上述由输出y t 不能确定状态变量x1 t 和x2 t 的值的特性可能不成立 这种能由输出变量值确定状态变量值的特性称为状态能观 若由输出变量值不能唯一确定出状态变量值的特性则称为状态不能观 能观性的直观讨论 7 14 补充例1右图所示的电网络中 电源电压u t 为输入 电压y t 为输出 并分别取电容电压uC t 和电感电流iL t 为状态变量x1 t 和x2 t 因此 由输出变量y t 显然不能确定电压值uC t 即由输出y t 不能确定状态变量x1 t 的值 故 该电网络在开关K断开后 是状态不能观的 当开关K在t0时刻断开后 显然电容C和电阻R1构成一阶衰减电路 电容电压uC t 的变化只与初始状态uC t0 有关 与衰减电路外其他信号无关 补充例给定系统的状态空间模型与结构图分别为 本例中 输出变量y t 即为状态变量x1 t 因此 由y t 的测量值可直接得到x1 t 的值 即状态变量x1 t 可由输出唯一确定 补充例给定系统的状态空间模型与结构图分别为 本例中 输出变量y t 即为状态变量x1 t 因此 由y t 的测量值可直接得到x1 t 的值 即状态变量x1 t 可由输出唯一确定 90 2状态能观测性定义对任意给定的输入信号u t 在有限时间tf t0 能够根据输出量y t 在 t0 tf 内的测量值 唯一地确定系统在时刻t0的初始状态x t0 则称此系统的状态是完全能观测的 或简称系统能观测的 值得注意的是 在讨论系统的能观测性时 只需考虑系统的自由运动即可 定义3 2 1若非零初始状态x0产生的输出响应恒等于零 则称x0是不能观测的 91 证明不失一般性 假设t0 0 则齐次状态方程的解为y t CeAtx 0 根据第2章中输出方程解的表达式 有x t eAtx 0 y t CeAtx 0 由定义3 2 1 若x0不能观测 必有 CeAtx 0 0 等式左右两边连续微分 92 若方程有非零解 代表等式y t CeAtx 0 0成立 即 状态不能观测 反之 当方程组只有零解 说明状态完全能观的 93 说明矩阵 O不存在全零列或任两列线性相关即 rank O n 列满秩 为什么 94 例题3 2 1 输出齐次解 y t CeAtx 0 95 线性定常连续系统的能观测性定理3 2 1线性定常系统 A C 状态完全能观测的充要条件是能观测性矩阵 满秩 即rankQo n 96 例试判断如下系统的状态能观性 解由状态能观性的代数判据有 而系统的状态变量的维数n 2 所以系统状态不完全能观 应用定理解答 97 2 1 21 10 10 例考察系统的能观测性 rankQo 2 n所以系统是能观测的 98 定理设线性定常连续系统 A C 具有互不相同的特征值 则其状态完全能观测的充要条件 是系统经线性非奇异变换后的对角标准形 中 不包含全为零的列 99 定理设线性定常连续系统 A C 具有重特征值 则其状态完全能观测的充要条件 是系统经线性非奇异变换后的约当标准形 中 和每个约当块Ji i 1 2 k 首行相对应的 的所有那些列 其元素不全为零 100 试判断如下系统的状态能观性 解可知 A为特征值互异的对角线矩阵 但C中的第2列全为零 故该系统的状态x2不能观 则系统状态不完全能观 101 解由于A为每个特征值都只有一个约旦块 且对应于各约旦块的C的分块的第一列都不全为零 故系统状态完全能观 102 解由于A中特征值 4的两个约旦块所对应的C的分块的第一列线性相关 该系统的状态x1 x2和x3不完全能观 则系统状态不完全能观 103 104 例分析下列系统的状态能观测性 1 2 105 例下列的一些系统是完全能观测的吗 下列的系统是完全能观测的吗 109 线性离散系统的能控性和能观测性 1线性离散系统的能控性设线性定常离散系统的状态方程 x k 1 Gx k Hu k 定义 对于系统 G H 如果在有限采样间隔内kT t nT 存在阶梯控制信号序列u k u k 1 u n 1 使得系统从第k个采样时刻的状态x k 开始 能在第n个采样时刻到达零状态 即x n 0 则称该系统在第k个采样时刻上是能控的 若系统在第k个采样时刻上的所有状态都是能控的 那么该系统即称为状态完全能控的 或简称状态能控的 110 定理线性定常离散系统 G H 定义能控性矩阵为Uc HGHG2H Gn 1H 若系统矩阵G非奇异 则状态完全能控的充要条件是rankUc n证明已知状态方程的解为 根据假设条件 当k n时 x k 0 即 111 Gn 1Hu 0 GHu n 2 Hu n 1 Gnx 0 当G是非奇异矩阵时 对于任意给定的非零初态x 0 Gnx 0 必为某一非零的n维列矢量 因此 方程有解的充要条件是n n系数矩阵 即系统的能控性矩阵Uc满秩 112 例线性离散系统的状态方程为试判断系统是否具有能控性 解 Uc HGHG2H 001 01 1 1 12 113 解 Uc HGHG2H 100100 120110 040142 例线性离散系统的状态方程为试判断系统是否具有能控性 114 2线性定常离散系统的能观测性 定义如果根据第i步以后的观测值y i y i 1 y N 能唯一地确定出第i步的状态x i 则称系统在第i步是能观测的 若系统在任意采样时刻上都是能观测的 则称系统为状态完全能观测的 或简称系统能观测 定理3 9线性定常离散系统 G C 状态完全能观测的充要条件是nm n的能观测性矩阵Uo满秩 即 115 证明由于所研究的系统是线性定常系统 所以可假设观测从第0步开始 并认为输入u k 0 此时系统为x k 1 Gx k y k Cx k 利用递推法 可得y 0 Cx 0 y 1 Cx 1 CGx 0 y n 1 CGn 1x 0 写成矩阵形式 116 由于y t 是m维矢量 因此上述n个联立方程实质上代表了n m方程 要想从这n m个方程中求得唯一的一组解x 0 必须从这n m个方程中找出n个线性无关的方程 即x 0 有唯一解的充要条件是能观测性矩阵Uo满秩 117 试确定由下列状态表达式所描述的系统是否能观测 001100 30210 1 90 1 20 3 解 系统的观测性矩阵为Uo CCGCG2 T 118 3离散化系统的能控性和能观测性 这里所说离散化系统的能控性和能观测性 是指一个线性连续系统在其离散化后是否能保持其完全能控性和完全能观测性的问题 这是在构成采样数据系统或计算机控制系统时所要考虑的一个重要问题 例设线性定常系统的状态空间表达式为试分析其离散化后系统的能控性和能观测性 119 解 1 分析 A B C 的能控性和能观测性 连续系统是状态完全能控且完全能观测的 2 分析 A B C 的离散化系统C 01 120 3 离散化系统的能控性和能观测性 显然 上述矩阵是否满秩 唯一地取决于采样周期T的数值 若取T k k 1 2 rankUc 1rankUo 1此时离散化系统是不完全能控且不完全能观测的 若取T k k 1 2 rankUc 2rankUo 2这时 上述离散化系统是完全能控且能观测的 detUc 2sinT cosT 1 detUo sinT 121 3 3对偶性原理 从前面几节的讨论中可以看出控制系统的能控性和能观测性 无论从定义或其判据方面都是很相似的 这种相似关系决非偶然的巧合 而是有着内在的必然联系 这种必然的联系即为对偶性原理 设系统 1的状态空间表达式为 设系统 2的状态空间表达式为 称系统 1和系统 2是互为对偶的 即 2是 1的对偶系统 反之 1是 2的对偶系统 122 从结构图上看 系统 1和其对偶系统 2的输入端和输出端互换 信号传递方向相反 信号引出点和比较点互换 各矩阵转置 123 对偶性原理系统 1状态完全能控 完全能观测 的充要条件与其对偶系统 2状态完全能观测 完全能控 的充要条件相同 证明系统 1的能控性和能观测性矩阵分别为Qc1 BABA2B An 1B Qc2 CTATCT AT n 1CT 系统 2的能控性和能观测性矩阵分别为 124 BABA2B An 1B T rankQc1 rankQo2rankQo1 rankQc2根据这一原理 一个系统的状态完全能控性 能观测性 就可以借助其对偶系统的状态完全能观测性 能控性 来研究 125 3 4系统的能控性和能观测性与传递函数阵的关系 前已述及 系统的能控性和能观测性是现代控制理论中两个重要的基本概念 而传递函数矩阵概念 目前已被广泛用于控制工程中 那么它们之间是否存在内在联系呢 回答是肯定的 为了阐明它们之间的联系 首先应该对不完全能控 或者不完全能观测系统进行结构分解 即把系统中不能控或不能观测的部分同系统的能控与能观测部分区分开来 要做到这一点 一般可用线性变换来解决 126 3 4 1系统的结构分解 1 系统按能控性分解定理3 11设有n维状态不完全能控线性定常系统 A B C rankQc k n 则必存在一个非奇异矩阵Tc 令 能将系统变为 k维子系统是能控的 n k维子系统是不能控的 127 其中 列向量q1 q2 qk是能控性矩阵Qc中k个线性无关的列 另外n k个列向量qk 1 qn是在确保Tc为非奇异的情况下任意选取的 128 能控部分 不能控部分 129 解 1 判断系统是否完全能控 rankQc 2 原系统是状态不完全能控的 例线性定常系统状态空间表达式为试求系统的能控子系统 130 2 结构分解取 Tc 101101 001 131 l维子系统是能观测的 n l维子系统是不能观测的 2 系统按能观测性分解定理设有n维状态不完全能控线性定常系统 A B C rankQo l n 则必存在一个非奇异矩阵To 令 能将系统变为 132 能观测部分 不能观测部分 133 rankQo 2 原系统是状态不完全能观测的 2 结构分解 例把例3 14系统按能观测性分解 解 1 判断系统是否完全能观测 134 135 3 系统按能控性和能观测性分解将上述两个定理结合起来 就可得到卡尔曼 Kalman 标准分解定理 定理3 13设有n维线性定常系统 A B C 若系统既不完全能控 也不完全能观测 那么存在一个非奇异矩阵线性变换 可使系统变换为如下形式 136 137 3 4 2系统传递函数中零极点相消定理 定理3 14一个单输入单输出线性定常系统 A B C 若其传递函数中没有零点和极点相消现象 那么系统一定是既能控又能观测的 若有零 极点相消现象 则系统视状态变量的选择不同 它将是不能控的 或者是不能观测的 或者是不能控不能观测的 证明 A B C 的传递函数为G s C sI A 1B 1 证充分性 如果传递函数C sI A 1B中不出现零 极点对消 系统 A B C 一定是能控能观测的 假设G s 的分子 分母无零极点对消 系统 A B C 却不能控或不能观测 因而一定可对系统进行 138 能控性或能观测性结构分解 如设系统 A B C 不完全能观测 则将其按能观测性分解后可得 系统传递函数应满足 由于的维数低于A的维数 但又假设系统无零极点对消 故上式不可能成立 因此系统 A B C 的传递函数无零极点对消 系统必是能观测的 同理 可证明系统也必能控 139 2 证必要性 如果系统 A B C 能控且能观测 传递函数G s 中没有零极点相消现象 如果系统 A B C 不是G s 的最小实现 则必存在另一个系统 有更小的维数 使得 由于的阶次比A低 于是多项式det sI 的阶次也一定比det sI A 的阶次低 但是欲使上式成立 必须是C sI A 1B的分子分母之间出现零极点对消 于是反设不成立 证毕 这时特别需要指出 上述定理对于多输入多输出系统只是充分条件 而不是必要条件 140 系统不完全能控但完全能观测 所以系统传递函数中必有零极点相消现象 例3 18试判定系统的传递函数中是否有零极点相消现象 解 系统的能控性矩阵和能观测性矩阵 141 系统矩阵A有两个特征值 1 1 2 4 从上式可看出 1 1的因子被约去了 如果把系统矩阵A化为对角形 那么 1 1被约去的现象就看得更清楚了 不难求得变换矩阵为 142 由上述状态表达式清楚地看到 对应于 1 1的状态方程根本没有输入 自然不能控 也不会出现于系统的传递函数之中 通过以上分析我们得知 系统的传递函数 传递函数阵 所表征的只能是既能控又能观测的子系统 除此之外 由于系统不能控或不能观测部分的运动无法用传递函数 或传递函数阵 反映出来 若没有反映出来的部分有不稳定的运动模式 那就会有 潜伏振荡 发生 这就是用传递函数来描述系统的局限性 143 补充系统的能控标准形和能观测标准形 标准形亦称规范形 它是系统的系数在一组特定的状态空间基底下导出的标准形式 而系统的能控标准形和能观测标准形 指的是系统的状态方程和输出方程若能变换成某一种标准形式 即可说明这一系统必是能控的或能观测的 那么这一标准形式就称为能控标准形或能观测标准形 由于能控标准形常用于极点的最优配置 而能观测标准形常常用于观测器的状态重构 所以这两种标准形对系统的分析和综合有着十分重要的意义 144 1系统的能控标准形 单输入单输出系统定理设单输入单输出系统 A B C 其中 则此系统为能控标准形 那么该系统一定是完全能控的 证明因为 145 能控性矩阵的秩rankQc rank BAB An 1B Qc满秩 该系统是状态完全能控的 146 定理3 1 4设线性定常系统 A B C 如果系统是能控的 那么 就一定存在一个非奇异变换 能将上述系统 A B C 变换成能控标准形 147 2系统的能观测标准形 单输入单输出系统定理设单输入单输出系统 A B C 其中 则此系统为能观测标准形 那么该系统一定是完全能观测的 C 0 01 148 补充 实现问题 状态空间分析法是现代控制理论的基础 因此 如何建立状态方程和输出方程是分析和综合系统地首先要解决的问题 对于结构和参数已知的系统 可以通过对系统物理过程的深入研究后 直接建立系统的状态空间表达式 但是 有很多实际系统 其物理过程比较复杂 相互之间的数量关系又不太清楚 此时 要直接导出其状态空间表达式显得十分困难 甚至是不可能 149 为了解决这类问题 一个可能的办法是 先用实验的方法确定系统的传递函数 或传递函数阵 然后根据传递函数推导出相应的状态方程和输出方程 由传递函数阵或相应的脉冲响应阵来建立系统的状态方程和输出方程的问题 即称为实现问题 而系统的状态方程和输出方程则称为系统传递函数阵的一个实现 150 定义和基本特性 使得G s C sI A 1B成立 则称系统 A B C 是G s 的一个实现 相应地 如果其H t L 1 G s CeAtB则称该系统是脉冲响应阵H t 的一个实现 1定义如果对给定的一个传递函数阵G s 能找到相应的线性定常系统状态空间表达式 151 2 基本特性 1 对任意给定的传递函数阵G s 只要满足物理上可实现的条件 那么一定可以到其实现 这是实现的存在性问题 2 实现的实质是用状态空间分析法 寻找一个与真实系统具有相同传递函数阵的假想系统 但从传递函数阵出发 一般可以构造无数个与真实系统输入输出特性相同的假想系统 因此 实现具有非唯一性 3 当传递函数阵G s 所有元的传递函数Gij s 均为s的真有理分式函数 即分子多项式的阶次低于分母多项式的阶次 时 其实现为 A B C 形式 当Gij s 的分子多项式的阶次等于分母多项式的阶次时 其实现为 A B C D 形式 且有 152 按标准形实现 能控标准形 能观测标准形 实现就是由传递函数阵或相应的脉冲响应阵所建立的状态表达式 不但完全能控 能观测 而且为标准形式 则称为能控标准形 能观测标准形 实现 这两种典型实现 是找到最小实现的必经之路 1 单输入单输出系统的实现 定理3 19若单输入单输出系统的传递函数G s 为其中 ai和bi i 1 2 n 为实常数 则其能控标准形的实现为 153 能观测标准形的实现为 154 证明证能控标准形的实现 155 例试求传递函数的能控标准形实现和能观测标准形实现 解 a1 6a2 11a3 6b1 1b2 4b3 5 能控标准形为 156 能观测标准形为 157 2 多输入多输出系统 对具有r个输入和m个输出的多输入多输出系统 可把m r的传递函数阵G s 写成和单输入单输出系统传递函数相类似的形式 即 式中B1 B2 Bn均为m r实常数矩阵 分母多项式为该传递函数阵的特征多项式 最小公分母 158 能控标准形实现为 159 能观测标准形实现的各系数矩阵为 显然 能控标准形实现的维数是n r 能观测标准形实现的维数是n m 为了保证实现的维数较小 当m r 即输出的维数大于输入的维数时 应采用能控标准形实现 当m r时应采用能观测标准形实现 160 例试求传递函数阵的能控标准形实现和能观测标准形实现 解 将G s 写成按s的降幂排列的标准格式 即 r 2m 2 a1 6a2 11a3 6 B1 B2 B3 161 能控标准形实现的各系数矩阵为 162 能观测标准形实现的各系数矩阵为 163 最小实现 由上述分析可知 对应于一个传递函数阵 传递函数 G s 的实现不是唯一的 而且实现的阶数上也有很大的差别 一般总希望实现的阶次越低越好 但是 阶数显然是不能无限的降低 因此 在很多可能实现中 总会存在一个状态变量个数最小或阶数最低的实现 这就是最小实现 事实上 最小实现反映了系统最简单的结构 因此最具有工程意义 如用模拟计算机来实现 则所用的积分器的数目是最少的 对于给定的传递函数阵G s 虽然其最小实现也不是唯一的 但是 它们的维数是相同的 而且必是代数等价的 164 定理3 20传递函数阵G s 的一个实现 A B C 为最小实现的充要条件是 A B C 不但能控而且能观测 证必要性 设系统 A B C 为G s 的一个最小实现 其阶数为n 但系统 A B C 不完全能控和不完全能观测 A B C 不完全能控和不完全能观测 那么系统 A B C 必可进行结构分解 其能控且能观测部分也是一个实现 显然其维数一定比系统 A B C 的维数n低 这表明 A B C 不是最小实现 与假设条件相矛盾 故系统 A B C 必为完全能控且完全能观测的 165 充分性采用反证法设 A B C 是G s 的一个实现 但不是最小实现 并能控能观测的 其阶数为n 此时必存在另一个实现 其阶数为n n 由于 和 都是G s 的一个实现 则对任意的输入u t 必具有相同的输出y t 即 考虑到u t 和t的任意性 故 166 当t 时 则得 对上式两边微分 推得 167 已设 A B C 为完全能控且能观测 上式等号左边矩阵的秩为n 等号右边矩阵的最大的秩为n 假设n n不成立 故系统 A B C 必为最小实现 证毕 上式可改写成 168 根据这个定理 一般而言 构造最小实现一致可按如下步骤进行 1 对给定的系统传递函数阵G s 先找出一种实现 A B C 通常 最方便的方法是选取能控标准形实现或能观测标准形实现 2 对所得实现 A B C 中 找出其完全能控且完全能观测部分 即为最小实现 169 m 1r 2a1 6a2 11a3 6B1 00 B2 11 B3 31 因m r 故采用能观测标准形实现 例试求传递函数阵的最小实现 解 170 系统是既能控又能观测的 它为最小实现 如果现采用能控标准形实现 171 显然 能控标准形实现不是最小实现 需要进行结构分解 找出其状态完全能观测部分 172 第3章小结 1 系统的状态能控性 1 若线性定常系统 A B 在有限时间间隔 t0 tf 内存在无约束的分段连续输入信号u t 能使系统的任意初始状态x t0 转移到状态x tf 0 则称系统是状态完全能控的 反之 若存在能将系统从x t0 0转移到任意终态x tf 的控制作用 则称系统是可达的 对线性定常系统 可控与可达是可逆的 173 2 线性定常系统能控性判据 rankQc rank BAB An 1B n 当A为对角形且特征值互异时 输入矩阵B中无全为零行 当A为约当阵时且相同特征值分布在一个约当块内时 B中与约当块最后一行对应的行不全为零 且B中相异特征值对应的行不全为零 SISO系统 由状态空间表达式导出的传递函数没有零极点对消 A B 为能控标准形 174 3 线性定常离散系统能控