数字信号处理-第三章离散傅里叶变换(DFT).ppt

3 1离散傅里叶变换的定义3 2离散傅里叶变换的基本性质3 3频率域采样3 4DFT的应用举例 第3章离散傅里叶变换 DFT 四种傅里叶变换形式的归纳 上面讨论的三种傅里叶变换对 都不适用在计算机上运算 因为至少在一个域 时域或频域 函数是连续的 因为从数字计算角度 我们感兴趣的是时域及频域都是离散的情况 第3章离散傅里叶变换 DFT 傅里叶变换和Z变换是数字信号处理中常用的重要数学变换 对于有限长序列 还有一种更为重要的数学变换 即离散傅里叶变换 DiscreteFourierTransform DFT DFT之所以更为重要 是因为其实质是有限长序列傅里叶变换的有限点离散采样 从而实现了频域离散化 使数字信号处理可以在频域采用数值运算的方法进行 这样就大大增加了数字信号处理的灵活性 更重要的是 DFT有多种快速算法 统称为快速傅里叶变换 FastFourierTransform FFT 从而使信号的实时处理和设备的简化得以实现 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 1离散傅里叶变换的定义 设x n 是一个长度为M的有限长序列 则定义x n 的N点离散傅里叶变换为 X k 的离散傅里叶逆变换为 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 1 1DFT的定义 N为DFT变换区间长度 N M IDFT X k 的唯一性 因为0 0所以M只能取值0 第3章离散傅里叶变换 DFT 证明 所以 IDFT X k x n 0 n N 1 可见 3 1 2 式定义的离散傅里叶变换是唯一的 复正弦序列的正交性 例3 1 1x n R4 n 求x n 的8点和16点DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 解 变换区间N 8 则 设变换区间N 16 则 第3章离散傅里叶变换 DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 可见 x n 的离散傅里叶变换结果与变换区间长度N的取值有关 N 4 3 1 2DFT与傅里叶变换 Z变换的关系 比较上面二式可得关系式 设序列x n 的长度为N 其Z变换和DFT分别为 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 1 3 式表明 序列x n 的N点DFT是x n 的Z变换在单位圆上的N点等间隔采样 3 1 4 式则说明 X k 为x n 的傅里叶变换X ej 在区间 0 2 上的N点等间隔采样 DFT的物理意义 第3章离散傅里叶变换 DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 1 3DFT的隐含周期性 均为整数 同理 x n mN x n 因此 3 1 1 式和 3 1 2 式中的X k 隐含周期性 且周期均为N 第3章离散傅里叶变换 DFT 实际上 任何周期为N的周期序列都可以看作长度为N的有限长序列x n 的周期延拓序列 而x n 则是的一个周期 即 第3章离散傅里叶变换 DFT 一般称周期序列中从n 0到N 1的第一个周期为的主值区间 而主值区间上的序列称为的主值序列 因此x n 与的关系可叙述为 是x n 的周期延拓序列 x n 是的主值序列 第3章离散傅里叶变换 DFT 为了以后叙述简洁 式中x n N表示x n 以N为周期的周期延拓序列 n N表示模N对n求余 即如果 n MN n10 n1 N 1 M为整数 则 n N n1 例如 第3章离散傅里叶变换 DFT 注意 若x n 实际长度为M 延拓周期为N 则当N M时 3 1 5 式仍表示以N为周期的周期序列 但 3 1 6 和 3 1 7 式仅对N M时成立 图3 1 2有限长序列x n 及其周期延拓序列 第3章离散傅里叶变换 DFT 如果x n 的长度为M 且 N M 则可写出的离散傅里叶级数表示式 3 1 8 3 1 9 3 1 10 第3章离散傅里叶变换 DFT 表明 有限长序列x n 的N点离散傅里叶变换X k 正好是x n 的周期延拓序列x n N的离散傅里叶级数系数的主值序列 现在解释DFT R4 n 4 4 k 根据DFT第二种物理解释可知 DFT R4 n 4表示R4 n 以4为周期的周期延拓序列R4 n 4的频谱特性 因为R4 n 4是一个直流序列 只有直流成分 即零频率成分 第二种物理解释 物理意义 X k 实质上是x n 的周期延拓序列x n N的频谱特性 第3章离散傅里叶变换 DFT MATLAB提供了用快速傅里叶变换算法FFT计算DFT的函数fft 其调用格式如下 Xk fft xn N 调用参数xn为被变换的时域序列向量 N是DFT变换区间长度 当N大于xn的长度时 fft函数自动在xn后面补零 函数返回xn的N点DFT变换结果向量Xk 当N小于xn的长度时 fft函数计算xn的前面N个元素构成的N长序列的N点DFT 忽略xn后面的元素 Ifft函数计算IDFT 其调用格式与fft函数相同 3 1 4用MATLAB计算序列的DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 例3 1 2 设x n R4 n X ej FT x n 分别计算X ej 在频率区间 0 2 上的16点和32点等间隔采样 并绘制X ej 采样的幅频特性图和相频特性图 解 由DFT与傅里叶变换的关系知道 X ej 在频率区间 0 2 上的16点和32点等间隔采样 分别是x n 的16点和32点DFT 调用fft函数求解本例的程序ep312 m如下 第3章离散傅里叶变换 DFT 例3 1 2程序ep312 m DFT的MATLB计算 xn 1111 输入时域序列向量xn R4 n Xk16 fft xn 16 计算xn的16点DFT Xk32 fft xn 32 计算xn的32点DFT 以下为绘图部分 省略 程序运行结果如图3 1 3所示 第3章离散傅里叶变换 DFT 图3 1 3程序ep312 m运行结果 第3章离散傅里叶变换 DFT 如果x1 n 和x2 n 是两个有限长序列 长度分别为N1和N2 且y n ax1 n bx2 n 式中 a b为常数 取N max N1 N2 则y n 的N点DFT为 3 2 1线性性质 3 2离散傅里叶变换的基本性质 Y k DFT y n N aX1 k bX2 k 0 k N 1 3 2 1 其中X1 k 和X2 k 分别为x1 n 和x2 n 的N点DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 1 序列循环移位 这里包括三层意思 设x n 为长度M的序列 M N 则x n 的循环移位定义为 1 将x n 周期延拓 2 移位 3 取主值 3 2 2循环移位性质 第3章离散傅里叶变换 DFT 例 1 周期延拓 2 左移2 取N 6 n 0 3 取主值 N 1 1 周期延拓 2 左移2 主值区间 取N 8 n 0 3 取主值 N 1 循环移位的实质是将x n 左移m位 而移出主值区 0 n N 1 的序列值又依次从右侧进入主值区 循环移位 就是由此得名的 由循环移位的定义可知 对同一序列x n 和相同的位移m 当延拓周期N不同时 y n x n m NRn n 则不同 第3章离散傅里叶变换 DFT x n 及其循环移位过程 M 6 N 8 m 2时 x n 及其循环移位过程如图所示 第3章离散傅里叶变换 DFT 2 时域循环移位定理 表明 有限序列的圆周移位 在频域引入一个和频率成正比的线性相移 对幅度没影响 其中X k DFT x n N0 k N 1 第3章离散傅里叶变换 DFT 由于上式中求和项以N为周期 因此对其在任一周期上的求和结果相同 将上式的求和区间改在主值区 则得 令n m n 则有 证明 第3章离散傅里叶变换 DFT 如果X k DFT x n N0 k N 1 Y k X k l NRN k 则 3 频域循环移位定理 第3章离散傅里叶变换 DFT 设序列h n 和x n 的长度分别为N和M h n 与x n 的L点循环卷积定义为 3 2 3循环卷积定理 1 两个有限长序列的循环卷积 式中 L称为循环卷积区间长度 L max N M 上式显然与第1章介绍的线性卷积不同 为了区别线性卷积 用表示循环卷积 用表示L点循环卷积 即yc n h n x n 第3章离散傅里叶变换 DFT 当n 0 1 2 L 1时 由x n 形成的序列为 x 0 x 1 x L 1 令n 0 m 0 1 L 1 由式 3 2 5 中x n m L形成x n 的循环倒相序列为 矩阵计算循环卷积 与序列x n 进行对比 相当于将第一个序列值x 0 不动 将后面的序列反转180 再放在x 0 的后面 这样形成的序列称为x n 的循环倒相序列 第3章离散傅里叶变换 DFT 再令n 2 m 0 1 L 1 此时得到的序列又是上面的序列向右循环移1位 依次类推 当n和m均从0变化到L 1时 得到一个关于x n m L的矩阵如下 令n 1 m 0 1 L 1 由x n m L形成的序列为 观察上式等号右端序列 它相当于x n 的循环倒相序列向右循环移一位 即向右移1位 移出区间 0 L 1 的序列值再从左边移进 第3章离散傅里叶变换 DFT 称为x n 的L点 循环卷积矩阵 第3章离散傅里叶变换 DFT 特点 第1行是序列 x 0 x 1 x L 1 的循环倒相序列 注意 如果x n 的长度M L 则需要在x n 末尾补L M个零后 再形成第一行的循环倒相序列 第1行以后的各行均是前一行向右循环移1位形成的 矩阵的各主对角线上的序列值均相等 第3章离散傅里叶变换 DFT 式 3 2 5 的矩阵形式如下 按照上式 可以在计算机上用矩阵相乘的方法计算两个序列的循环卷积 这里关键是先形成循环卷积矩阵 上式中如果h n 的长度N L 则需要在h n 末尾补L N个零 第3章离散傅里叶变换 DFT 例3 2 1 计算下面给出的两个长度为4的序列h n 与x n 的4点和8点循环卷积 第3章离散傅里叶变换 DFT 解按照式 3 2 21 写出h n 与x n 的4点循环卷积矩阵形式为 h n 与x n 的8点循环卷积矩阵形式为 第3章离散傅里叶变换 DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT h n 和x n 及其4点和8点循环卷积结果分别如图 a b c 和 d 所示 后面将证明 当循环卷积区间长度L大于等于y n h n x n 的长度时 循环卷积结果就等于线性卷积 第3章离散傅里叶变换 DFT 有限长序列x1 n 和x2 n 长度分别为N1和N2 N max N1 N2 x1 n 和x2 n 的N点DFT分别为 X1 k DFT x1 n X2 k DFT x2 n 如果X k X1 k X2 k 则 3 2 5 2 时域循环卷积定理 第3章离散傅里叶变换 DFT 证明 直接对 3 2 5 式两边进行DFT 令n m n 则有 第3章离散傅里叶变换 DFT 由于 所以 循环卷积亦满足交换律 第3章离散傅里叶变换 DFT 时域循环卷积计算 N 1 n 1 图解法1 1 n换m 延拓 2 翻褶 3 移位 在主值区间内求和 4 最后结果 例 x n 5 4 3 2 1 h n 1 2 3 求N 7点的循环卷积 2 图解法2 解 1 将x n 补零加长为x k 5 4 3 2 1 0 0 2 将h n 补零加长至N 7 并周期延拓 3 反折得到 h n 1 0 0 0 0 3 2 4 作图表 循环卷积与线性卷积的性质对比 第3章离散傅里叶变换 DFT 如果x n x1 n x2 n 则 3 频域循环卷积定理 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 2 6 设x n 是x n 的复共轭序列 长度为NX k DFT x n 则DFT x n X N k 0 k N 1 3 2 7 且X N X 0 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 2 4复共轭序列的DFT 证明 因X k 的隐含周期性有 X N X 0 第3章离散傅里叶变换 DFT 同理可以证明 DFT x N n X k 3 2 8 有限长共轭对称序列 xep n x ep N n 0 n N 1 3 2 9 有限长共轭反对称序列 xop n x op N n 0 n N 1 3 2 10 当N为偶数时 将上式中的n换成N 2 n可得到 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 2 5DFT的共轭对称性 1 有限长共轭对称序列和共轭反对称序列 表明 有限长序列共轭对称序列是关于n N 2点对称 第3章离散傅里叶变换 DFT 任何有限长序列x n 都可以表示成其共轭对称分量和共轭反对称分量之和 即x n xep n xop n 0 n N 1 3 2 11 将上式中的n换成N n 并取复共轭 得 x N n x ep N n x op N n x N n xep n xop n 3 2 12 xep n 1 2 x n x N n 3 2 13 xop n 1 2 x n x N n 3 2 14 第3章离散傅里叶变换 DFT 2 DFT的共轭对称性 第3章离散傅里叶变换 DFT xep n 1 2 x n x N n xop n 1 2 x n x N n 第3章离散傅里叶变换 DFT 综上所述 DFT的共轭对称性质 如果序列x n 的DFT为X k 则x n 的实部和虚部 包括j 的DFT分别为X k 的共轭对称分量和共轭反对称分量 而x n 的共轭对称分量和共轭反对称分量的DFT 别为X k 的实部和虚部乘以j 第3章离散傅里叶变换 DFT 设x n 是长度为N的实序列 且X k DFT x n 则 1 X k 共轭对称 即X k X N k k 0 1 N 1 3 2 19 2 如果x n 是偶对称序列 即x n x N n 则X k 实偶对称 即X k X N k 3 2 20 3 如果是奇对称序列 即x n x N n 则X k 纯虚奇对称 即X k X N k 3 2 21 第3章离散傅里叶变换 DFT 减少实序列进行DFT运算量 当N 偶数时 只需计算X k 的前面N 2 1点 N 奇数时 计算X k 的前面 N 1 2点 其他点按照X k X N k 即可求得 例如 X N 1 X 1 X N 2 X 2 这样可以减少近一半运算量 例 利用DFT的共轭对称性 设计一种高效算法 通过计算一个N点DFT 就可以计算出两个实序列x1 n 和x2 n 的N点DFT 解构造新序列x n x1 n jx2 n 对x n 进行DFT 得到 第3章离散傅里叶变换 DFT 所以 由X k 可以求得两个实序列x1 n 和x2 n 的N点DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 时域采样定理告诉我们 在一定条件下 可以由时域离散采样信号恢复原来的连续信号 那么 1 能不能由频域离散采样恢复原来的信号 或原连续频率函数 2 条件是什么 3 内插公式又是什么形式 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 3频率域采样 设任意序列x n 的Z变换为 且X z 收敛域包含单位圆 即x n 存在傅里叶变换 上式表示在区间 0 2 上对x n 的傅里叶变换X ej 的N点等间隔采样 在单位圆上对X z 等间隔采样N点得到 1 由频域采样恢复序列 第3章离散傅里叶变换 DFT 由DFT与DFS的关系可知 X k 是xN n 以N为周期的周期延拓序列的离散傅里叶级数系数的主值序列 即 将X k 看做长度为N的有限长序列xN n 的DFT 即xN n IDFT X k 0 n N 1 第3章离散傅里叶变换 DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 频域采样定理 如果x n 的长度为M 则只有当频域采样点数N M时 才有xN n IDFT X k x n 即可由频域采样X k 恢复原序列x n 否则产生时域混叠现象 说明 X z 在单位圆上的N点等间隔采样X k 的N点IDFT是原序列x n 以N为周期的周期延拓序列的主值序列 第3章离散傅里叶变换 DFT 满足频域采样定理时 频域采样序列X k 的N点IDFT是原序列x n 所以必然可以由X k 恢复X z 和X ej 因为满足频域采样定理 所以 2 由X k 表达X z 与的问题 下面推导用频域采样X k 表示如何表示X z 设序列x n 长度为M 在频域0 2 之间等间隔采样N点 N M 则有 第3章离散傅里叶变换 DFT 将上式代入X z 的表示式中得 内插公式 第3章离散傅里叶变换 DFT 当z ej 时 带入上式 即 进一步化简可得 第3章离散傅里叶变换 DFT 解解题思想 先计算x n 的32点DFT 得到其频谱函数X ej 在频率区间 0 2 上等间隔32点采样X32 k 再对X32 k 隔点抽取 得到X ej 在频率区间 0 2 上等间隔16点采样X16 k 最后分别对X16 k 和X32 k 求IDFT 得到 绘制x16 n 和x32 n 波形图验证频域采样理论 MATLAB例 长度为26的三角形序列x n 如图 a 所示 编写MATLAB程序验证频域采样理论 第3章离散傅里叶变换 DFT MATLAB求解程序ep331 m如下 频域采样理论验证 M 26 N 32 n 0 M xa 0 M 2 xb ceil M 2 1 1 0 xn xa xb 产生M长三角波序列x n Xk fft xn 512 512点FFT x n X32k fft xn 32 32点FFT x n x32n ifft X32k 32点IFFT X32 k 得到x32 n X16k X32k 1 2 N 隔点抽取X32k得到X16 k x16n ifft X16k N 2 16点IFFT X16 k 得到x16 n 以下绘图部分省略 第3章离散傅里叶变换 DFT 本例中x n 的长度M 26 从图中可以看出 当采样点数N 16M时 无时域混叠失真 x32 n IDFT X32 k x n 3 4DFT的应用举例 DFT的快速算法FFT的出现 使DFT在数字通信 语言信号处理 图像处理 功率谱估计 仿真 系统分析 雷达理论 光学 医学 地震以及数值分析等各个领域都得到广泛应用 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 4 1用DFT计算线性卷积 则由时域循环卷积定理有 Y k DFT y n X1 k X2 k 0 k L 1 如果 1 DFT计算循环卷积 第3章离散傅里叶变换 DFT 由此可见 循环卷积既可在时域直接计算 也可以在频域计算 由于DFT有快速算法FFT 当N很大时 在频域计算的速度快得多 因而常用DFT FFT 计算循环卷积 其计算框图如图3 4 1所示 图3 4 1用DFT计算循环卷积 第3章离散傅里叶变换 DFT 在实际应用中 经常需要计算两个序列的线性卷积 与计算循环卷积一样 为了提高运算速度 也希望用DFT FFT 计算线性卷积 而DFT只能直接用来计算循环卷积 为此导出线卷积和循环卷积之间的关系以及循环卷积与线性卷积相等的条件 2 循环卷积代替线性卷积的条件 假设h n 和x n 都是有限长序列 长度分别是N和M 它们的线性卷积和循环卷积分别表示如下 第3章离散傅里叶变换 DFT 其中 L max N M 3 4 3 3 4 1 3 4 2 第3章离散傅里叶变换 DFT 因线性卷积取值长度为N M 1 循环卷积计算线性卷积的条件 L N M 1则可按照如图3 4 1所示的计算框图用DFT FFT 计算线性卷积 其中DFT和IDFT通常用快速算法 FFT 来实现 故常称其为快速卷积 第3章离散傅里叶变换 DFT 图3 4 2线性卷积与循环卷积 图3 4 3用DFT计算线性卷积框图 第3章离散傅里叶变换 DFT 实际上 经常遇到两个序列的长度相差很大的情况 例如M N 若仍选取L N M 1 以L为循环卷积区间 并用上述方法计算线性卷积 则要求对短序列补很多零点 而且长序列必须全部输入后才能进行快速计算 因此要求存储容量大 运算时间长 并使处理延时很大 不能实现实时处理 3 重叠相加法 重叠保留法 况且在某些应用场合 序列长度不定或者认为是无限长 如电话系统中的语音信号和地震检测信号等 显然 在要求实时处理时 直接套用上述方法是不行的 解决这个问题的方法是将长序列分段计算 这种分段处理方法有重叠相加法和重叠保留法两种 第3章离散傅里叶变换 DFT 设序列h n 长度为N x n 为无限长序列 将x n 均匀分段 每段长度取M 则 于是 h n 与x n 的线性卷积可表示为 3 4 4 重叠相加法 第3章离散傅里叶变换 DFT 说明计算h n 与x n 的线性卷积时 1 可先计算分段线性卷积yk n h n xk n 2 把分段卷积结果叠加起来 每一分段卷积yk n 的长度为N M 1 因此相邻分段卷积yk n 与yk 1 n 有N 1个点重叠 必须把重叠部分的yk n 与yk 1 n 相加 才能得到正确的卷积序列y n 第3章离散傅里叶变换 DFT 图3 4 4重叠相加法卷积示意图 这种方法不要求大的存储容量 且运算量和延时大大减少 最大延时TDmax 2MTs To Ts是系统采样间隔 To是计算1个分段卷积所需时间 一般要求To MTs 这样 可边输入边计算边输出 可以实现实时处理 用DFT计算分段卷积yk n 的方法步骤 1 i 0 L N M 1 计算并保存H k DFT h n L n 0 1 2 L 1 2 读入xk n x n RM n kM 构造变换区间 0 L 1 上的序列 实际中就是将xi n 的M个值存放在长度为M的数组中 并计算 重叠区相加非重叠区不加 6 i i 1 返回 2 说明 一般x n 是因果序列 假设初始条件y 1 n 0 第3章离散傅里叶变换 DFT 例 假设h n R5 n x n cos n 10 cos 2 n 5 u n 用重叠相加法计算y n h n x n 并画出h n x n 和y n 的波形 MATLAB中重叠相加法实现线性卷积的计算的函数y fftfilt h x M 式中 h是系统单位脉冲响应向量 x是输入序列向量 y是系统的输出序列向量 h与x的卷积结果 M是由用户选择的输入序列x的分段长度 缺省M时 默认输入序列x的分段长度M 512 第3章离散傅里叶变换 DFT 解 h n 的长度为N 5 对x n 进行分段 每段长度为M 10 计算h n 和x n 的线性卷积的MATLAB程序如下 例重叠相加法的MATLAB实现程序 Lx 41 N 5 M 10 Lx为信号序列x n 长度 hn ones 1 N hn1 hnzeros 1 Lx N 产生h n 其后补零是为了绘图好看 n 0 L 1 xn cos pi n 10 cos 2 pi n 5 产生x n 的Lx个样值 yn fftfilt hn xn M 调用fftfilt用重叠相加法计算卷积 以下为绘图部分 省略运行程序画出h n x n 和y n 的波形如图所示 第3章离散傅里叶变换 DFT 图3 4 4MATLAB求解程序运行结果 第3章离散傅里叶变换 DFT 重叠相加法时域波形 此方法与上述方法稍有不同 先将x n 分段 每段N个点 这是相同的 不同之处是 序列中补零处不补零 而在每一段的前边补上前一段保留下来的 M 1 个输入序列值 组成N M 1点序列xi n 如图 a 所示 如果N M 1 2m 则可在每段序列末端补零值点 补到长度为2m 这时如果用 DFT实现h n 和xi n 循环卷积 则其每段循环卷积结果的前 M 1 个点的值不等于线性卷积值 必须舍去 重叠保留法 第3章离散傅里叶变换 DFT 图3 4 5重叠保留法示意图 第3章离散傅里叶变换 DFT 图3 4 6重叠保留法示意图 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 4 2用DFT对信号进行谱分析 工程实际中 经常遇到连续信号xa t 其频谱函数Xa j 也是连续函数 为了利用DFT对xa t 进行频谱分析 先对xa t 进行时域采样 得到x n xa nT 再对x n 进行DFT 得到的X k 则是x n 的傅里叶变换X ej 在频率区间 0 2 上的N点等间隔采样 这里x n 和X k 均为有限长序列 1 用DFT对连续信号进行谱分析 第3章离散傅里叶变换 DFT 1 方法 然而 若信号持续时间有限长 则其频谱无限宽 若信号的频谱有限宽 则其持续时间必然为无限长 所以严格地讲 持续时间有限的带限信号是不存在的 因此 按采样定理采样时 上述两种情况下的采样序列x n xa nT 均应为无限长 不满足DFT的变换条件 实际上对频谱很宽的信号 为防止时域采样后产生频谱混叠失真 可用预滤波器滤除幅度较小的高频成分 使连续信号的带宽小于折叠频率 第3章离散傅里叶变换 DFT 对于持续时间很长的信号 采样点数太多 以致无法存储和计算 只好截取有限点进行DFT 由上述可见 用DFT对连续信号进行频谱分析必然是近似的 其近似程度与信号带宽 采样频率和截取长度有关 实际上从工程角度看 滤除幅度很小的高频成分和截去幅度很小的部分时间信号是允许的 因此 在下面分析中 假设xa t 是经过预滤波和截取处理的有限长带限信号 第3章离散傅里叶变换 DFT 设连续信号xa t 持续时间Tp 最高频率为fc 对xa t 进行时域采样得x n Xa nT x n 长度N为 第3章离散傅里叶变换 DFT 2 连续信号频谱与离散信号频谱关系 x n 的傅里叶变换X ej 与xa t 的傅里叶变换Xa j 满足如下关系 def 将 T代入上式 得到 第3章离散傅里叶变换 DFT 由x n 的N点DFT的定义有 说明了X k 与Xa j 的关系 为了符合一般的频谱描述习惯 以频率f为自变量 第3章离散傅里叶变换 DFT 由此可得 3 4 9 令 说明 可以通过对连续信号采样并进行DFT再乘以T 近似得到模拟信号频谱的周期延拓函数在第一个周期 0 fs 上的N点等间隔采样 第3章离散傅里叶变换 DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT T为采样时间间隔 单位 s Fs为采样频率 单位 Hz Tp为截取连续时间信号的样本长度 又称记录长度 单位 s F为谱线间距 又称频谱分辨率 单位 Hz 是指可分辨两频率的最小间距 它的意思是 如设某频谱分析的F 5 Hz 那么信号中频率相差小于5Hz的两个频率分量在此频谱图中就分辨不出来 第3章离散傅里叶变换 DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 下面举例说明截断效应 理想低通滤波器的单位冲激响应ha t 及其频响函数Ha f 如图3 4 7 a b 所示 图3 4 7 a 中只画出ha t 所截取的一段 3 截断效应 现在用DFT来分析ha t 的频率响应特性 由于ha t 的持续时间为无穷长 所以要截取一段Tp 假设Tp 8s 采样间隔T 0 25s 即采样频率Fs 4Hz 采样点数N Tp T 32 此时频域采样间隔F 1 NT 0 125Hz 则H kF T DFT h n 0 k 31其中h n ha nT R32 n 第3章离散傅里叶变换 DFT 图3 4 6用DFT计算理想低通滤波器频响曲线 可见 低频部分近似理想低通频响特性 而高频误差较大 且整个频响都有波动 这些误差就是由于对ha t 截断所产生的 所以通常称之为截断效应 为减少这种截断误差 可适当加长Tp 增加采样点数N或用窗函数处理后再进行DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 在对连续信号进行谱分析时 主要关心两个问题 谱分析范围和频率分辨率 谱分析范围为 0 Fs 2 直接受采样频率Fs的限制 频率分辨率用频率采样间隔F描述 F表示谱分析中能够分辨的两个频谱分量的最小间隔 3 4 13 4 谱分析参数选择原则 采样频率 在已知信号的最高频率fc 即谱分析范围 时 为了避免频率混叠现象 要求采样速率Fs满足下式 第3章离散傅里叶变换 DFT 谱分辨率F Fs N 如果保持采样点数N不变 要提高频谱分辨率 减小F 就必须降低采样频率 采样频率的降低会引起谱分析范围变窄和频谱混叠失真 如维持Fs不变 为提高频率分辨率可以增加采样点数N 因为只有增加对信号的观察时间Tp 才能增加N Tp和N选择 可以按照下面两式进行选择 3 4 14 3 4 15 第3章离散傅里叶变换 DFT 如果我们事先不知道信号的最高频率 可以根据信号的时域波形图来估计它 例如 某信号的波形如图所示 先找出相邻的波峰与波谷之间的距离 如图中t1 t2 t3 t4 然后 选出其中最小的一个如t4 这里 t4可能就是由信号的最高频率分量形成的 峰与谷之间的距离就是周期的一半 因此 最高频率为 知道fc后就能确定采样频率 第3章离散傅里叶变换 DFT 估算信号最高频率fC 第3章离散傅里叶变换 DFT 因此Tpmin 0 1s 因为要求Fs 2fc 所以 第3章离散傅里叶变换 DFT 例3 4 2 对实信号进行谱分析 要求谱分辨率F 10Hz 信号最高频率fc 2 5kHz 试确定最小记录时间Tpmin 最大的采样间隔Tmax 最少的采样点数Nmin 如果fc不变 要求谱分辨率提高1倍 最少的采样点数和最小的记录时间是多少 解 为使用DFT的快速算法FFT 希望N符合2的整数幂 为此选用N 512点 上面分析了为提高谱分辨率 又保持谱分析范围不变 必须增长记录时间Tp 增加采样点数 应当注意 这种提高谱分辨率的条件是必须满足时域采样定理 甚至采样速率Fs取得更高 为使频率分辨率提高1倍 即F 5Hz 要求 用快速算法FFT计算时 选用N 1024点 第3章离散傅里叶变换 DFT X ej 是 的连续周期函数 如果对序列x n 进行N点DFT得到X k 则X k 是在区间 0 2 上对X ej 的N点等间隔采样 频谱分辨率就是采样间隔2 N 因此序列的傅里叶变换可利用DFT 即FFT 来计算 2 用DFT对序列进行谱分析 我们知道单位圆上的Z变换就是序列的傅里叶变换 即 第3章离散傅里叶变换 DFT 对周期为N的周期序列 由 2 3 10 式知道 其频谱函数为 其中 由DFT的隐含周期性知 截取的主值序列 并进行N点DFT 得到 可见 周期序列的频谱结构可用其离散傅里叶级数系数表示 所以可用X k 表示的频谱结构 第3章离散傅里叶变换 DFT 如果截取长度M等于的整数个周期 即M mN m为正整数 即 令n n iN i 0 1 m 1 n 0 1 N 1 则 3 4 17 第3章离散傅里叶变换 DFT 因为 第3章离散傅里叶变换 DFT 3 4 18 由此可见 XM k 也能表示的频谱结构 只是在k im时 表示的i次谐波谱线 其幅度扩大m倍 而其他k值时 XM k 0 当然 X i 与XM im 对应点频率是相等的 所以 只要截取的整数个周期进行DFT 就可得到它的频谱结构 达到谱分析的目的 第3章离散傅里叶变换 DFT 比较XM k 和X2M k 如果二者的主谱差别满足分析误差要求 则以XM k 或X2M k 近似表示的频谱 否则 继续将截取长度加倍 直至前后两次分析所得主谱频率差别满足误差要求 设最后截取长度为iM 则XiM k0 表示 2 iM k0点的谱线强度 如果的周期预先不知道 可先截取M点进行DFT 即 再将截取长度扩大1倍 截取 第3章离散傅里叶变换 DFT 在很多实际应用中 并非整个单位圆上的频谱都很有意义 例如 对于窄带信号 往往只希望对信号所在的一段频带进行谱分析 这时便希望采样能密集地在这段频带内进行 而带外部分可完全不予考虑 另外 有时希望采样点不局限于单位圆上 例如 语音信号处理中 常常需要知道系统极点所对应的频率 如果极点位置离单位圆较远 则其单位圆上的频谱就很平滑 如图3 4 8 a 所示 这时很难从中识别出极点对应的频率 3 线性调频Z变换 Chirp Z变换 简称CZT 第3章离散傅里叶变换 DFT 第3章离散傅里叶变换 DFT 图3 4 8单位圆与非单位圆采样 DFT 实际中用FFT计算 可用来对连续信号和数字信号进行谱分析 1 混叠现象 2 栅栏效应 3 截断效应 4 用DFT进行谱分析的误差问题 第3章离散傅里叶变换 DFT 对连续信号进行谱分析时 首先要对其采样 变成时域离散信号后才能用DFT FFT 进行谱分析 采样速率Fs必须满足采样定理 否则会在 对应模拟频率f Fs 2 附近发生频谱混叠现象 这时用DFT分析的结果必然在f Fs 2附近产生较大误差 因此 理论上必须满足Fs 2fc fc为连续信号的最高频率 对Fs确定的情况 一般在采样前进行预滤波 滤除高于折叠频率Fs 2的频率成分 以免发生频率混叠现象 1 混叠现象 第3章离散傅里叶变换 DFT N点DFT是在频率区间 0 2 上对时域离散信号的频谱进行N