选修2-2-《导数及其应用》题型总结

导数及其应用导数及其应用 经典题型总结经典题型总结 一 知识网络结构一 知识网络结构 题型一题型一 求函数的导数及导数的几何意义求函数的导数及导数的几何意义 考点一考点一 导数的概念 物理意义的应用导数的概念 物理意义的应用 例 1 1 设函数在处可导 且 求 f x2x 2 1 f 0 2 2 lim 2 h fhfh h 2 求 2 sin 25 f xxx fx 3 已知 求 1 2 2008 f xx xxx 0 f 考点二考点二 导数的几何意义与物理意义的应用导数的几何意义与物理意义的应用 例 2 已知抛物线 y ax2 bx c 通过点 P 1 1 且在点 Q 2 1 处与直线 y x 3 相切 求实数 a b c 的值 例 3 已知曲线 y 3 4 3 1 3 x 1 求曲线在 2 4 处的切线方程 2 求曲线过点 2 4 的切线方程 例 4 已知物体运动的位移 s 与时间 f 关系为 s t 则 t 1 时物体的速度与加速度分别 2 21tt 为 题型二题型二 函数单调性的应用函数单调性的应用 考点一考点一 利用导函数的信息判断利用导函数的信息判断 f x f x 的大致形状的大致形状 例 1 如果函数 y f x 的图象如图 那么导函数 y f x 的图象可能是 考点二考点二 求函数的单调区间及逆向应用求函数的单调区间及逆向应用 导 数 导数的概念 导数的运算 导数的应用 导数的几何意义 物理意义 函数的单调性 函数的极值 函数的最值 常见函数的导数 导数的运算法则 例 1 求函数的单调区间 不含参函数求单调区间不含参函数求单调区间 52 24 xxy 例 2 已知函数 f x x2 alnx a R a 0 求 f x 的单调区间 含参函数求单调区间含参函数求单调区间 1 2 练习 求函数的单调区间 x a xxf 例 3 若函数 f x x3 ax2 1 在 0 2 内单调递减 求实数 a 的取值范围 单调性的逆向应用单调性的逆向应用 练习 1 已知函数 若在上是增函数 求的取值范围 0 1 0 2 3 axxaxxf xf 1 0 a 2 设 a 0 函数在 1 上是单调递增函数 求实数 a 的取值范围 axxxf 3 3 已知函数 f x ax3 3x2 x 1 在 R 上为减函数 求实数 a 的取值范围 总结 总结 已知函数在上的单调性 求参数的取值范围方法 xfy ba 1 利用集合间的包含关系 2 转化为恒成立问题 即 分离参数 0 0 xfxf或 3 利用二次方程根的分布 数形结合 例 4 求证 证明不等式证明不等式 xx sin x 练习 已知 x 1 证明 x ln 1 x 题型三 函数的极值与最值 考点一 利用导数求函数的极值 例 1 求下列函数的极值 1 f x x 2 f x 不含参函数求极值不含参函数求极值 1 4x lnx 1 x 例 2 设 a 0 求函数 f x x2 x 1 的单调区间 并且如果有极值时 求出极值 含参函数求极含参函数求极 a x 值值 例 3 设函数 f x x3 bx2 cx d a 0 且方程 f x 9x 0 的两个根分别为 1 4 若 f x 在 a 3 内无极值点 求 a 的取值范围 函数极值的逆向应用函数极值的逆向应用 例 4 已知函数 f x x3 3ax 1 a 0 利用极值解决方程的根的个数问题利用极值解决方程的根的个数问题 1 求 f x 的单调区间 2 若 f x 在 x 1 处取得极值 直线 y m 与 y f x 的图象有三个不同的交点 求 m 的取值范 围 题型四题型四 函数的最值函数的最值 例 1 求函数的最大值与最小值 不含参求最值不含参求最值 2 2 1 4 2 x x x xf 例 2 已知函数 f x ax3 6ax2 b 试问是否存在实数 a b 使 f x 在 1 2 上取得最大值 3 最小 值 29 若存在 求出 a b 的值 若不存在 请说明理由 最值的逆向应用最值的逆向应用 例 3 已知 f x xlnx g x x3 ax2 x 2 1 求函数 f x 的单调区间 2 若对任意 x 0 2f x g x 2 恒成立 求实数 a 的取值范围 利用极值处理恒成立利用极值处理恒成立 问题问题 练习 1 已知 f x x3 x2 2x 5 当 x 1 2 时 f x m 恒成立 求实数 m 的取值范围 1 2 2 f x ax3 3x 1 对于 x 1 1 恒有 f x 0 成立 则 a 二 知识点二 知识点 1 函数从到的平均变化率 f x 1 x 2 x 21 21 f xf x xx 2 导数定义 在点处的导数记作 f x 0 x x xfxxf xfy x xx lim 00 0 0 0 3 函数在点处的导数的几何意义是曲线在点处的切线的斜 yf x 0 x yf x 00 xf x 率 4 常见函数的导数公式 C0 1 xxxxcos sin xxsin cos aaa xx ln xx ee ax x a ln 1 log x x 1 ln 5 导数运算法则 1 f xg xfxgx 2 f xg xfx g xf x gx 3 2 0 f xfx g xf x gx g x g x g x 6 在某个区间内 若 则函数在这个区间内单调递增 a b 0fx yf x 若 则函数在这个区间内单调递减 0fx yf x 7 求解函数单调区间的步骤 yf x 1 确定函数的定义域 2 求导数 yf x yfx 3 解不等式 解集在定义域内的部分为增区间 0fx 4 解不等式 解集在定义域内的部分为减区间 0fx 8 求函数的极值的方法是 解方程 当时 yf x 0fx 0 0fx 如果在附近的左侧 右侧 那么是极大值 1 0 x 0fx 0fx 0 f x 如果在附近的左侧 右侧 那么是极小值 2 0 x 0fx 0fx 0 f x 9 求解函数极值的一般步骤 1 确定函数的定义域 2 求函数的导数 f x 3 求方程 f x 0 的根 4 用方程 f x 0 的根 顺次将函数的定义域分成若干个开区间 并列成表格 5 由 f x 在方程 f x