2012年黄冈中学预录数学考试试题及答案

第 1 页 共 9 页 20122012 年黄冈中学预录数学考试试题年黄冈中学预录数学考试试题 考试时间 120 分钟 满分 120 分 温馨提示 1 所有题目的答案必须填涂到答题卡上 答在试卷上无效 2 如果考试过程中遇到不会做的题 你可以暂时跳过 合理安排好时间才能考 出好的成绩 祝同学们考试顺利 一 选择题 本大题共 10 个小题 每小题 3 分 共 30 分 四个选项中只有一项是正确的 1 由四个相同的小正方体搭建了一个积木 它的三视图如图所示 则这个积木可能是 主视图 左视图 俯视 图 A B C D 2 黄冈市地处湖北省东部 大别山南麓 长江北岸 下辖一区七县两市 总人口 740 万人 人口总数用科学记数法表示为 A 70 4 105人B 7 4 106人 C 7 4 105人D 7 4 104人 3 已知一元二次方程 x2 4x 3 0 两根为 x1 x2 则 x1 x2 A 4B 3C 4D 3 4 下列四个点中 有三个点同在反比例函数的图象上 则不在这个函数图 x k y 象上的点是 A 5 1 B 3 C 3 D 1 5 3 5 3 5 5 如图 直径 AB 为 6 的半圆 绕 A 点逆时针旋转 60 此时点 B 到了点 则 B 图中阴影部分的面积是 A 3 B 6 C 5 D 4 6 已知函数的最大值为 M 最小值为 则的值为 31 xxym M m A B C D 4 1 2 1 2 2 2 3 7 在平面直角坐标系中 O 为坐标原点 直线 是函数 y x 的图象 点 A 的坐标为 1 0 l 3 在直线 上找一个点 N 使 ONA 是等腰三角形 则符合条件的点 N 的个数是 l A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 A B B 第 2 页 共 9 页 8 警方抓获一个由甲 乙 丙 丁四人组成的盗窃团伙 其中有一人是主谋 经过审讯 A B C 三名警察各自得出结论 A 主谋只有可能是甲或乙 B 甲不可能是主谋 C 乙和丙都不可能是主谋 已知三名警察中只有一人推测正确 则主谋是 A 甲 B 乙 C 丙 D 丁 9 团结号列车上午 7 45 从甲地出发开往乙地 胜利号列车上午 8 15 从乙地出发开往甲地 两车中途相遇 团结号在相遇后 40 分钟抵达乙地 胜利号在相遇后 1 小时 40 分抵达甲地 假设两列火车全程以各自的速度匀速行驶 则两列火车相遇的时刻为 A 上午 8 50 B 上午 8 55 C 上午 9 00 D 上午 9 05 10 用 1 2 3 4 5 五个数码可以组成 120 个无重复数字的五位数 则这 120 个五位数 之和为 A 3999960 B 6999990 C 3666690 D 6333390 二 填空题 本大题共 6 个小题 每小题 4 分 共 24 分 11 已知 则 1 2x x 2 2 1 x x 12 如图 将等腰直角 ABC 沿斜边 BC 方向平移得到 A1B1C1 若 BC ABC 与 A1B1C1重叠部3 2 分面积为 2 则 BB1 13 已知二次函数 当时 最大值为 3 最小值为 2 则的取值范 2 23yxx 0 xm ym 围是 14 有一列具有规律的数字 则这列数字前 100 个数之和为 1 111 2 6 12 20 15 信息安全逐渐成为社会热点问题 我们为了通信安全 通常会按一定规则将通讯内容 明文 加密成密文 再将密文传输给接收者 接收者再将密文还原成明文 已知按某种规 则将明文 WELCOME TO OUR SCHOOL 加密成 ZBOZRJH QR LXO VZKLRI 若接收者接收到密文 JLRA ORFH 则明文为 16 某次数学考试以 65 分为及格分数线 全班总平均分为 66 分 所有成绩及格的学生的平 均分为 71 分 所有成绩不及格的学生的平均分为 56 分 为了减少不及格的人数 老师给 每个学生的成绩都加 5 分 加分之后 所有成绩及格的学生的平均分为 75 分 所有成绩不 及格的学生的平均分为 59 分 已知该班学生人数介于 15 至 30 人之间 则该班的学生人数总共有 人 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 66 分 解答应写出文 字说明 证明过程或演算步骤 E A C Q P O1 O2 B D C1 C A BB1 A1 第 3 页 共 9 页 17 8 分 如图所示 两圆相交于两点 过点有两条直线 直线 12 O OPQPABCD 分别与两圆交于点 A B A B 在 P 点两侧 直线分别与两圆交于AB 12 O OCD 12 O O 点 C D C D 在 P 点两侧 直线 AC 与 BD 交于点 E 1 证明 AQCBQD 2 若 求 120AQB E 18 9 分 已知是方程的实数根 可相等 12 x x 22 2 350 xkxkk 12 x x 1 证明方程的两根都小于 0 2 当实数取何值时最大 并求出最大值 k 22 12 xx 19 9 分 不等式称为柯西不等式 其中都是实 22222 abcdacbd a b c d 数 1 证明柯西不等式 2 若 求证 22 326xy 23 35xy 20 15 分 已知抛物线 C 直线 为任意实数 直线 与轴 2 1 4 yx 1l ykx kly 交于点 F 与抛物线 C 交于 A B 两点 直线 过 A B 两点分别作的垂线 1m y m 垂足分别为 11 A B 1 证明 都是等腰三角形 1 AFA 1 BFB 2 证明 是直角三角形 11 AFB 3 以点 F 为圆心 半径为 1 的圆与直线 交于l C D 两点 A C 在 y 轴同侧 分别 ACBD 表示线段 AC BD 的长度 求 ACBDA 3 2 1 1 2 4224 m l D C B1A1 B O F A 第 4 页 共 9 页 21 15 分 如图 在 ABC 中 C 90 AB 10cm AC BC 4 3 点 P 从点 A 出发 沿 AB 方向向点 B 运动 速度为 1cm s 同时点 Q 从点 B 出发沿 B C A 方向向点 A 运 动 速度为 2cm s 当一个运动点到达终点时 另一个运动点也随之停止运动 设点 P 的 运动时间为 秒 x 1 设 PBQ 的面积为 cm2 当 PBQ 存在时 求与的函数关系式 并写出自yyx 变量的取值范围 x 2 为何值时 PBQ 的面积最大 并求出最大值 x 3 当点 Q 在 BC 上运动时 线段 PQ 上是否存在一个点 T 使得在某个时刻 ACT ABT BCT 的面积均相等 无需计算 说明理由即可 22 10 分 函数称为高斯函数 它表示不超过的最大整数 例如 xx 5 3 5 对任意的实数 2 4 3 4 4 x1 xxx 1 证明 对于任意实数 有 x 1 2 2 xxx 2 解方程 56157 85 xx C A B P Q C A B P Q T 第 5 页 共 9 页 数学考试答案 12345678910 ABBDBCACDA 11 2 12 13 212m 14 15 GOOD LUCK 16 24 100 101 三 解答题 本大题共 6 个小题 共 66 分 解答应写出文字说明 证明过程或演算步骤 17 8 分 如图所示 两圆相交于两点 过点有两条 12 O OPQP 直线 直线分别与两圆交于点 A B A BABCDAB 12 O O 在 P 点两侧 直线分别与两圆交于点 C D C D 在 PCD 12 O O 点两侧 直线 AC 与 BD 交于点 E 1 证明 3 分 AQCBQD 2 若 求 5 分 120AQB E 解答 1 证明 由圆周角定理可得 AQC APC BQD BPD 而 APC BPD 故 AQC BQD 3 分 2 联接 PQ E ACD EDC 由圆周角定理 EDC BQP 因为 CPQA 四点共圆 所以 ACD 180 AQP 即 E 180 AQP BQP 180 AQP BQP 180 AQB 60 8 分 18 9 分 已知是方程的实数根 可相等 12 x x 22 2 350 xkxkk 12 x x 1 证明方程的两根都小于 0 4 分 2 当实数取何值时最大 并求出最大值 5 分 k 22 12 xx 解答 1 证明 已知方程有两个实数根 则 即 0 解得 2 222 2 4 35 316160kkkkk 4 4 3 k 分 E A C Q P O1 O2 B D E A C Q P O1 O2 B D 第 6 页 共 9 页 由韦达定理 22 1212 311 20 35 0 24 xxkx xkkk 所以两根都小于 0 4 分 2 6 分 22222 121212 2 2 2 2 2 35 106 5 19 xxxxx xkkk kk k 又 当时 有最大值 18 9 分 4 4 3 k 4k 22 12 xx 19 9 分 不等式称为柯西不等式 其中都是实 22222 abcdacbd a b c d 数 1 证明柯西不等式 4 分 2 若 求证 5 分 22 326xy 23 35xy 解答 1 证明 22222222222222222 2222 2 2 2 0 abcdacbda ca db cb da cabcdb d a dabcdb c adbc 4 分 22222 abcdacbd 2 证明 22 2222 23 23 32 32 23 3 2 32 35 635 6 xyxy xy AA A 9 分 23 35xy 20 15 分 已知抛物线 C 直线 为任意实数 直线 与轴 2 1 4 yx 1l ykx kly 交于点 F 与抛物线 C 交于 A B 两点 直线 过 A B 两点分别作的垂线 1m y m 垂足分别为 11 A B 1 证明 都是等腰三角形 5 分 1 AFA 1 BFB 2 证明 是直角三角形 5 分 11 AFB 3 以点 F 为圆心 半径为 1 的圆与直线 交于 C Dl 3 2 1 1 2 4224 m l D C B1A1 B O F A 第 7 页 共 9 页 两点 A C 在 y 轴同侧 分别表示线段 AC BD 的长度 求 ACBD ACBDA 5 分 解答 1 证明 设直线 与抛物线 C 的两交点坐标 联立方程l 1122 A x yB xy 得 2 1 4 1 yx ykx 2 440 xkx 由韦达定理 2 分 1212 4 4xxk x x 又 22 1111 1 1 AAyAFxy 2 11 4xy 22 11111 4 1 1 1 AFyyyyAA 故是等腰三角形 同理可证是等腰三角形 5 分 1 AFA 1 BFB 2 是等腰三角形 1 AFA 11 AAFAFA 1 1 180 2 A AF AFA 同理 1 1 180 2 B BF BFB 故 11 11 360 2 A AFB BF AFABFB 又知直线平行 故 11 AA BB 11 180A AFB BF 则 11 90AFABFB 是直角三角形 10 分 11 90AFB 11 AFB 3 11 1 1ACAFAAy 12 1 1BDBFBBy 15 分 222 1212 111 4 1 4416 ACBDy yxx AAA 21 15 分 如图 在 ABC 中 C 90 AB 10cm AC BC 4 3 点 P 从点 A 出发 沿 AB 方向向点 B 运动 速度为 1cm s 同时点 Q 从点 B 出发沿 B C A 方向向点 A 运 动 速度为 2cm s 当一个运动点到达终点时 另一个运动点也随之停止运动 设点 P 的 运动时间为 秒 x 1 设 PBQ 的面积为 cm2 当 PBQ 存在时 求与的函数关系式 并写出自yyx 第 8 页 共 9 页 变量的取值范围 6 分 x 2 为何值时 PBQ 的面积最大 并求最大值 5 分 x 3 当点 Q 在 BC 上运动时 线段 PQ 上是否存在一个点 T 使得在某个时刻 ACT ABT BCT 的面积均相等 无需计算 说明理由即可 4 分 解答 1 设 AC 4x BC 3x 在 Rt ABC 中 AC2 BC2 AB2 即 4x 2 3x 2 102 解得 x 2 AC 8cm BC 6cm 当 点 Q 在边 BC 上运动时 过点 Q 作 QH AB 于 H AP x BP 10 x BQ 2x QHB ACB QH x y BP QH 10 x x x2 8x 0 x 3 QHQB ACAB 8 5 1 2 1 2 8 5 4 5 3 分 当点 Q 在边 CA 上运动时 过点 Q 作 QH AB 于 H AP x BP 10 x AQ 14 2x AQH ABC 即 解得 QH 14 2x AQQH ABBC 142 106 xQH 3 5 y PB QH 10 x 14 2x 3 x 7 6 分 1 2 1 2 3 5 2 351 42 55 xx y 与 x 的函数关系式为 y 2 2 4 8 03 5 351 42 37 55 xxx xxx 2 解 当 Q 在边 BC 上时 03x 22 44 8 5 20 55 yxxx 则当时 有最大值 8 分 3x y 84 5 当 Q 在边 AC 上时 37x 22 35131727 42 555220 yxxx 则当时 有最大值 综上可得 当 Q 在点 C 时 即时 PBQ 的面积3x y 84 5 3x 最大为 11 分 84 5 C A B P Q C A B P Q T T C B A DP0 Q0 P1 Q1 P2 Q2 第 9 页 共 9 页 3 存在 当 T 为 ABC 的重心时 满足 ACT ABT BCT 的面积均相等 作 AB 上的中线 CD T 在 CD 的三等分点上 当时 PQ 与 CD 的交点为 D 0 x 当时 PQ 与 CD 的交点为 C 当时 点 P 始终在 CD 左侧 点 Q 始终在