第十七章__反比例函数导学案[1]

第十七章第十七章 反比例函数反比例函数 17 1反比例函数 一 反比例函数 一 反比例函数的意义反比例函数的意义 学习目标 学习目标 1 理解并掌握反比例函数的概念 2 能判断一个给定的函数是否为反比例函数 并会用待定系数法求函数解析式 3 能根据实际问题中的条件确定反比例函数的解析式 体会函数的模型思想 4 经历抽象反比例函数概念的进程 领会反比例函数的意义 理解反比例函数的 概念以及意义 5 培养观察 推理 分析能力 体验数形结合的数学思想 认识反比例函数的应 用价值 学习重点 学习重点 理解反比例函数的概念 能根据已知条件写出函数解析式 学习难点 学习难点 理解反比例函数的概念 学习时间 学习时间 导学流程 导学流程 一 忆一忆一 忆一忆 回忆一下什么是正比例函数 一次函数 它们的一般形式是怎样的 二 议一议二 议一议 1 体育课上 老师测试了百米赛跑 那么 时间与平均速度的关系是怎样的 2 看教材 P39 页思考中的三个问题 三个函数的解析式分别是怎样的 3 电流 I 电阻 R 电压 U 之间满足关系式 U IR 当 U 220V 时 1 你能用含有 R 的代数式表示 I 吗 2 利用写出的关系式完成下表 R 20406080100 I A 当 R 越来越大时 I 怎样变化 当 R 越来越小呢 3 变量 I 是 R 的函数吗 为什么 归纳 归纳 反比例函数 如果两个变量 x y 之间的关系可以表示成 的形式 那么 y 是 x 的反比例函数 其中 x 是自变量 反比例函数的自变量 x 的取 值范围是 三 练一练三 练一练 1 一个矩形的面积为 20 相邻的两条边长分别为 xcm 和 ycm 那么变量 y 是 2 cm 变量 x 的函数吗 为什么 2 某村有耕地 346 2 公顷 人数数量 n 逐年发生变化 那么该村人均占有耕地面积 m 公顷 人 是全村人口数 n 的函数吗 为什么 3 y 是 x 的反比例函数 下表给出了 x 与 y 的一些值 x 2 1 2 1 2 1 13 y 3 2 2 1 1 写出这个反比例函数的表达式 2 根据函数表达式完成上表 四 做一做四 做一做 1 下列等式中 哪些是反比例函数 1 2 3 xy 21 4 3 x y x y 2 2 5 x y 5 6 7 y x 4 x y 2 3 3 1 x y 2 当 m 取什么值时 函数是反比例函数 2 3 2 m xmy 3 已知函数 y y1 y2 y1与 x 成正比例 y2与 x 成反比例 且当 x 1 时 y 4 当 x 2 时 y 5 1 求 y 与 x 的函数关系式 2 当 x 2 时 求函数 y 的值 4 苹果每千克 x 元 花 10 元钱可买 y 千克的苹果 求出 y 与 x 之间的函数关系式 5 若函数是反比例函数 求 m 2 8 3 m xmy 6 矩形的面积为 4 一条边的长为 x 另一条边的长为 y 求 y 与 x 的函数解析式 7 已知 y 与 x 成反比例 且当 x 2 时 y 3 则 y 与 x 之间的函数关系式是 当 x 3 时 y 8 函数中自变量 x 的取值范围是 2 1 x y 9 已知函数 y y1 y2 y1与 x 1 成正比例 y2与 x 成反比例 且当 x 1 时 y 0 当 x 4 时 y 9 求当 x 1 时 y 的值 五 小结与反思 五 小结与反思 17 1 反比例函数 二 反比例函数 二 反比例函数的图像和性质反比例函数的图像和性质 学习目标 学习目标 1 体会并了解反比例函数的图象的意义 2 能描点画出反比例函数的图象 3 通过反比例函数的图象的分析 探索并掌握反比例函数的图象的性质 4 结合正比例函数 y kx k 0 的图象和性质 来帮助我们观察 分析及归纳 通过对比 能更好地理解和掌握所学的内容 体会数形结合的思想方法 5 以积极探索的思想 逐步提高从函数图象中获取信息的能力 探索并掌握反比 例函数的主要性质 学习重点 学习重点 会作反比例函数的图象 探索并掌握反比例函数的主要性质 学习难点 学习难点 探索并掌握反比例函数的主要性质 学习时间 学习时间 导学流程 导学流程 一 忆一忆一 忆一忆 1 一次函数 y kx b k b 是常数 k 0 的图象是什么 其性质有哪些 正比 例函数 y kx k 0 呢 2 画函数图象的方法是什么 其一般步骤有哪些 应注意什么 方法与步骤 利用描点作图 列表 取自变量 x 的哪些值 x 是不为零的任何实数 所以不能取 x 的值的为 零 但仍可以以零为基准 左右均匀 对称地取值 描点 依据什么 数据 方法 找点 连线 在各个象限内按照自变量从小到大的顺序用两条光滑的曲线把所描的点连 接起来 二 探一探二 探一探 探索活动 1 画出反比例函数与的图象 x y 6 x y 6 探索活动 2 反比例函数与的图象有什么共同特征 它们之间有什 x y 6 x y 6 么关系 归纳反比例函数图象的特征及性质 归纳反比例函数图象的特征及性质 1 1 2 2 3 3 三 练一练三 练一练 1 已知反比例函数 分别根据下列条件求出字母 k 的取值范围 x k y 3 1 函数图象位于第一 三象限 2 在第二象限内 y 随 x 的增大而增大 2 函数 y ax a 与 a 0 在同一坐标系中的图象可能是 x a y 3 在平面直角坐标系内 过反比例函数 k 0 的图象上的一点分别作 x x k y 轴 y 轴的垂线段 与 x 轴 y 轴所围成的矩形面积是 6 求函数解析式 四 做一做四 做一做 1 若函数与的图象交于第一 三象限 则 m 的取值范围xmy 12 x m y 3 是 2 反比例函数 当 x 2 时 y 当 x 2 时 y 的取值范围 x y 2 是 当 x 2 时 y 的取值范围是 3 已知反比例函数y ax a 2 2 6 当x 0时 y 随 x 的增大而增大 求函数 关系式 4 已知反比例函数的图象在第二 四象限 求 m 值 并指出在每 3 2 1 m xmy 个象限内 y 随 x 的变化情况 5 如图 过反比例函数 x 0 的图象上任意两点 A B 分别作 x 轴的垂 x y 1 线 垂足分别为 C D 连接 OA OB 设 AOC 和 BOD 的面积分别是 S1 S2 比较它们的大小 可得 A S1 S2 B S1 S2 C S1 S2 D 大小关系不能确定 6 比较正比例函数和反比例函数的性质 填空并补充完整 正比例函数反比例函数 解析式 图像 位置 k 0 在 k 0 在 k 0 在 k 0 在 0 ykxk 0 k yk x 增减性 k 0 k 0 k 0 k 0 17 1 反比例函数 三 反比例函数 三 反比例函数的图像和性质反比例函数的图像和性质 学习目标 学习目标 1 进一步理解和掌握反比例函数及其图象与性质 2 能灵活运用函数图象和性质解决一些较综合的问题 3 深刻领会函数解析式与函数图象之间的联系 体会数形结合及转化的思想方法 4 经历观察 分析 交流的过程 逐步提高从函数图象中感受其规律的能力 5 提高观察 分析的能力和对图形的感知水平 从整体上领悟研究函数的一般要 求 学习重点 学习重点 理解并掌握反比例函数的图象和性质 并能利用它们解决一些综合问题 学习难点 学习难点 学会从图象上分析 解决问题 理解反比例函数的性质 学习时间 学习时间 导学流程 导学流程 一 忆一忆一 忆一忆 1 什么是反比例函数 2 反比例函数的图象是什么 有什么性质 二 想一想二 想一想 1 若点 A 2 a B 1 b C 3 c 在反比例函数 k 0 图象 x k y 上 则 a b c 的大小关系怎样 分析 由 k 0 可知 双曲线位于第二 四象限 且在每一象限内 y 随 x 的增 大而增大 因为 A B 在第二象限 且 1 2 故 b a 0 又 C 在第四象限 则 c 0 所以 b a 0 c 解 2 如图 一次函数 y kx b 的图象与反比例函数的图象交于 x m y A 2 1 B 1 n 两点 1 求反比例函数和一次函数的解析式 2 根据图象写出一次函数的值大于反比例函数的值的 x 的取值范围 分析 第 1 问因为 A 点在反比例函数的图象上 可 先求出反比例函数的解析式 又 B 点在反比例函数的图象上 代入即可求 x y 2 出 n 的值 最后再由 A B 两点坐标求出一次函数解析式 第 2 问根据图象可得 x 的取值范围 x 2 或 0 x 1 这是因为比较两个 不同函数的值的大小时 就是看这两个函数图象哪个在上方 哪个在下方 解 3 已知变量 y 与 x 成反比例 且当 x 2 时 y 9 写出 y 与 x 之间的函数解析式和自变量的取值范围 4 设汽车前灯电路上的电压保持不变 选用灯泡的电阻为 R 通过电流的强度 为 I A 提示 U IR 1 已知一个汽车前灯的电阻为 30 通过的电流为 0 40A 求 I 关于 R 的函数 解析式 并说明比例系数的实际意义 2 如果接上新灯泡的电阻大于 30 那么与原来的相比 汽车前灯的亮度将发 生什么变化 通过 4 题的学习可作如下拓展 1 电流 电阻 电压之间有何关系 2 在电压 U 保持不变的前提下 电流强度 I 与电阻 R 成哪种函数关系 3 前灯的亮度取决于哪个变量的大小 如何决定 三 练一练三 练一练 1 当质量一定时 二氧化碳体积 V 与密度 p 成反比例 且 V 5m3时 p 1 98kg m3 1 求 p 与 V 的函数关系式 并指出自变量的取值范围 2 求 V 9m3时 二氧化碳的密度 2 已知反比例函数 y k x k 0 的图像经过点 4 3 求当 x 6 时 y 的值 3 已知 y 2 与 x a 其中 a 为常数 成正比例关系 且图像过点 A 0 4 B 1 2 求 y 与 x 的函数关系式 4 已知一次函数 y x 8 和反比例函数 y x k 1 k 满足什么条件时 这两个函数在同一直角坐标系中的图象有两个交点 2 如果其中一个交点为 1 9 求另一个交点坐标 5 已知反比例函数的图象在每个象限内函数值 y 随自变量 x 的增大而 x k y 12 减小 且 k 的值还满足 2k 1 若 k 为整数 求反比例函数的解析 12 29 k 式 6 已知一次函数的图像与反比例函数的bkxy x y 8 图像交于 A B 两点 且点 A 的横坐标和点 B 的纵坐标都是 2 求 1 一次函数的解析式 2 AOB 的面积 17 2 实际问题与反比例函数 一 学习目标 学习目标 1 能灵活运用反比例函数的知识解决实际问题 2 经历 实际问题 建立模型 拓展应用 的过程发展分析问题 解决问题 的能力 3 经历观察 分析讨论法 交流的过程 逐步提高从实际问题中变量之间的关系 建立反比例函数模型的过程 认识反比例函数性质的应用方法 4 从现实情境中提出问题 提高 用数学 的意识 5 体验反比例函数是有效地描述现实世界的重要手段 体验数学的实用性 提高 学数学的兴趣 学习重点 学习重点 运用反比例函数的意义和性质解决实际问题 学习难点 学习难点 从实际问题中寻找变量之间的关系 建立数学模型 教学时注意分析过 程 渗透转化的数学思想 学习时间 学习时间 导学流程 导学流程 一 想一想一 想一想 1 某校科技小组进行野外考察 途中遇到一片十几米宽的烂泥湿地 为了安全 迅速通过这片湿地 他们沿着路线铺了若干块木板 构筑成一条临时通道 从而顺 利完成的任务的情境 1 当人和木板对湿地的压力一定时 随着木板面积 S m2 的变化 人和木板 对地面的压强 P Pa 将如何变化 P S F 2 如果人和木板反湿地的压力合计 600N 那么 P 是 S 的反比例函数吗 为什 么 3 如果人和木板对湿地的压力合计为 600N 那么当木板面积为 0 2m2时 压 强是多少 2 某煤气公司要在地下修建一个容积为 104m3的圆柱形煤气储存室 1 储存室的底面积 S 单位 m2 与其深度 d 单位 m 有怎样的函数关系 2 公司决定把储存室的底面积 S 定为 500 m2 施工队施工时应该向下掘进多深 3 当施工队施工的计划掘进到地下 15m 时 碰到了岩石 为了节约资金 公司 临时改设计 把储存室的深改为 15m 相应的 储存室的底面积改为多少才能满足 需要 保留两位小数 二 练一练二 练一练 1 近视眼镜的度数 y 度 与焦距 x m 成反比例 已知 400 度近视眼镜镜片的 焦距为 0 25m 1 试求眼镜度数 y 与镜片焦距 x 之间的函数关系式 2 求 1 000 度近视眼镜镜片的焦距 2 如图所示是某一蓄水池每小时的排水量 V m3 h 与排完水池中的水所用的时间 t h 之间的函数关系图象 1 请你根据图象提供的信息求出此蓄水池的蓄水量 2 写出此函数的解析式 3 若要 6h 排完水池中的水 那么每小时的排水量应该是多少 4 如果每小时排水量是 5 000m3 那么水池中的水将要多少小时排完 3 制作一种产品 需先将材料加热到达 60 后 再进 行操作 设该材料温度为 y 从加热开始计 算的时间为 x 分钟 据了解 设该材料加热时 温度 y 与时间 x 完成一次函数关系 停止加热进 行操作时 温度 y 与时间 x 成反比例关系 如图 所示 已知该材料在操作加工前的温度为 15 加热 5 分钟后温度达到 60 1 分别求出将材料加热和停止加热进行操作时 y 与 x 的函数关系式 2 根据工艺要求 当材料的温度低于 15 时 须停止操作 那么从开始加热到停止操作 共经 历了多少时间 四 做一做四 做一做 1 A B 两城市相距 720 千米 一列火车从 A 城去 B 城 1 求火车的速度 v 千米 时 和行驶的时间 t 时 之间的函数关系式 2 若到达目的地后 按原路匀速原回 并要求在 3 小时内回到 A 城 则返回的 速度不能低于多少 2 有一面积为 60 的梯形 其上底长是下底长的 若下底长为 x 高为 y 求 y 1 3 与 x 的函数关系式 3 已知矩形的面积为 10 则它的长 y 与宽 x 之间的关系用图象大致可表示为 4 面积为 2 的 ABC 一边长为 x 这边上的高为 y 则 y 与 x 的变化规律用图象 表示大致是 5 拓展 为了预防流行性感冒 某学校对教室采用药熏消毒法进行消毒 已知 药物燃烧时 室内每立方米空气中的含药量 y 毫克 与时间 x 分钟 成正比例 药物燃烧后 y 与 x 成反比例 如图所示 现测得药物 8 分钟燃毕 此室内空气中 每立方米的含药量为 6 毫克 请你根据题中所提供的信息 解答下列问题 1 求药物燃烧时 y 关于 x 的函数关系式 并求自变量的取值范围 2 研究表明 当空气中每立方米的含药量低于 1 6 毫克时学生方可进教室 那 么从消毒开始 至少需要经过多少分钟后 学生才能回到教室 3 研究表明 当空气中每立方米的含药量不低于 3 毫克且持续时间不低于 10 分 钟时 才能有效杀灭空气中的病菌 那么此次消毒是否有效 为什么 17 2 实际问题与反比例函数 二 学习目标 学习目标 1 学会把实际问题转化为数学问题 进一步理解反比例函数关系式的构造 掌握 用反比例函数的方法解决实际问题 2 感受实际问题的探索方法 培养化归的数学思想和分析问题的能力 3 体验函数思想在解决实际问题中的应用 养成用数学的良好习惯 学习重点 学习重点 用反比例函数解决实际问题 学习难点 学习难点 构建反比例函数的数学模型 学习时间 学习时间 导学流程 导学流程 一 学一学一 学一学 阅读教材 P51 页例二下面一段 公元前 3 世纪 古希腊科学家阿基米德发现了著名的 杠杆定律 若两物体与支点的距离反比于其重量 则杠杆平衡 也可这样描述 阻力 阻 力臂 动力 动力臂 为此 他留下一句名言 给我一个支点 我可以撬动地球 二 想一想二 想一想 1 小伟想用撬棍撬动一块大石头 已知阻力和阻力臂不变 分别是 1200N 和 0 5m 1 动力 F 和动力臂 L 有怎样的函数关系 当动力臂为 1 5m 时 撬动石头至少 要多大的力 2 若想使动力 F 不超过第 1 题中所用力的一半 则动力臂至少要加长多少 3 你能由此题 利用反比例函数知识解释 为什么使用撬棍时 动力臂越长越 省力 联想物理课本上的电学知识告诉我们 用电器的输出功率 P 瓦 两端的电压 U 伏 用电器的电阻 R 欧姆 有这 样的关系 PR U2 也可写为 P 或 R 2 教材 P53 页例 4 三 练一练三 练一练 1 某气球内充满了一定质量的气体 当温度不变时 气球内气体的气压 P 千帕 是气球体积 V m3 的反比例函数 其图象如图所示 千帕是一种压强单位 1 写出这个函数的解析式 2 当气球体积为 0 8m3时 气球内的气压是多少千帕 3 当气球内的气压大于 144 千帕时 气球 将爆炸 为了完全起见 气球的体积应不小 于多少 四 做一做四 做一做 1 在某一电路中 电流 I 电压 U 电阻 R 三者之间满足关系 I U R 1 当哪个量一定时 另两个量成反比例函数关系 2 若 I 和 R 之间的函数关系图象如图 试猜想这一电 路的电压是 伏 2 已知力 F 对一个物体作的功是 15 焦 则力 F 与此物体在力在方向上移动的距离 S 之间的函数关系式的图象大致是 3 在一定的范围内 某种物品的需求量与供应量成反比例 现已知当需求量为 500 吨时 市场供应量为 10 000 吨 试求当市场供应量为 16000 吨时的需求量 4 某电厂有 5 000 吨电煤 1 求这些电煤能够使用的天数 x 天 与该厂平均每天用煤吨数 y 吨 之间的函数关系式 2 若平均每天用煤 200 吨 这批电煤能用多少天 3 若该电厂前 10 天每天用 200 吨 后因各地用电紧张 每天用煤 300 吨 这批电煤共可用多少天 4 提升 一种电器的使用寿命 n 月 与平均每天使用时间 t 小时 成反比例 其关系如图所示 1 求使用寿命 n 月 与平均每天使用时间 t 小时 之间的函数关系式 2 当 t 5 小时时 电器的使用寿命是多少个月 5 某人用 50N 的恒定压力用气筒给车胎打气 1 求打气所产生的压强 P 帕 与受力面积 S 米 2 之间的函数关系 2 若受力面积是 100cm2 则产生的压强是多少 3 你能根据这一知识解释 为什么刀刃越锋利 刀具就越好用吗 为什么坦 克的轮子上安装又宽又长的履带呢 6 教材 P54 页习题 3 7 五 小结与反思 五 小结与反思 反比例函数复习 学习目标 学习目标 1 通过对实际问题中数量关系得探索 掌握用函数的思想去研究其变化规律 2 结合具体情境体会和理解反比例函数的意义 并解决与它们有关的简单的实际 问题 3 让学生参与知识的发现和形成过程 强化数学的应用与建模意识 提高分析问 题和解决问题的能力 学习重点 学习重点 反比例函数的图像和性质在实际问题中的运用 学习难点 学习难点 运用函数的性质和图像解综合题 要善于识别图形 勤于思考 获取有 用的信息 灵活的运用数学思想方法 学习时间 学习时间 导学流程 导学流程 一 忆一忆一 忆一忆 1 什么是反比例函数 2 你能回顾总结一下反比例函数的图像性质特征吗 与同伴交流 二 练一练二 练一练 1 反比例函数 y 的图象是 分布在第 象限 x 2 在每个象限内 y 都随 x 的增大而 若 P1 x1 y1 P2 x2 y2 都 在第二象限且 x1 x2 则 y1 y2 3 已知反比例函数 若 x1 x2 其对应值 y1 y2 的大小关 系是 4 如图在坐标系中 直线 y x k 与双曲线 x k y 在第一象限交与点 A 与x轴交于点C AB垂直x轴 垂足为B 且 S AOB 1 1 求两个函数解析式 2 求 ABC的面积 x 1 y 2 1 5 你吃过拉面吗 实际上在做拉面的过程中就渗 透着数学知识 一定体积的面团做成拉面 面条 的总长度y m 是面条的粗细 橫截面积 s 2 的反 比例函数 其图象如图所示 1 写出y与s的函数关系式 2 求当面条粗1 6 2时 面条的总长度是多少 3 P 4 32 20 40 60 80 100 124 5 Y m s 2 o 6 已知反比例函数的图象经过点 若一次函数 y x 1 的图象平移后 x k y 2 1 4 经过该反比例函数图象上的点 B 2 m 求平移后的一次函数的图象与 x 轴的交点 坐标 三 反馈 三 反馈 一 选择题 1 已知反比例函数的图象经过点 则函数可确定为 x k y 2 1 kxy A B C D xy2 xy 2 1 xy 2 1 xy2 2 如果反比例函数的图象经过点 那么下列各点在此函数图象上的是 2 3 A B C D 23 2 3 2 9 32 3 2 3 6 3 如右图 某个反比例函数的图象经过点P 则它的解析式为 A B 0 1 x x y 0 1 x x y C D 0 1 x x y 0 1 x x y 4 如右图是三个反比例函数 在x轴上方的图象 由此观 x k y 1 x k y 2 x k y 3 察得到 的大小关系为 1 k 2 k 3 k A B C D 321 kkk 123 kkk 132 kkk 213 kkk 5 已知反比例函数的图象上有两点 且 那么 x y 1 11 yxA 22 yxB 21 xx 下列结论正确的是 A B C D与之间的大小关系不能确定 21 yy 21 yy 21 yy 1 y 2 y 6 已知反比例函数的图象如图 则函数的图象是下图中的 x k y 2 kxy O x y x O 2 y x O 2 y A B x 2 y C x 2 y D 7 已知关于x的函数和 k 0 它们在同一坐标系内的图象 1 xky x k y 大致是 O x y A O x y B O x y C O x y D 8 如图 点A是反比例函数图象上一点 AB y轴于点B 则 AOB的面积 4 x y 是 A 1B 2C 3D 4 9 某闭合电路中 电源的电压为定值 电流I A 与电阻R 成反比例 右 图表示的是该电路中电流I与电阻R之间的图象 则用电阻R表示电流I的函数解 析式为 A B C D R I 2 R I 3 R I 6 R I 6 二 填空题 1 点在