误差理论与测量平差基础第三章 协方差传播律及权ppt课件.ppt

第三章协方差传播律及权 3 1观测向量及其方差 协方差矩阵 3 2协方差传播率 3 3协方差传播律的应用 3 4权与定权的常用方法 3 5协因数和协因数传律 3 6由真误差计算中误差及其实际应用 3 7系统误差的传播 作为衡量精度的指标 中误差可衡量一组观测值的精度 在实际工作中 我们得到的观测值往往是由多组观测值所构成的观测向量 比如 在GPS测量中 基线观测值就是观测向量 衡量观测向量之精度的指标是方差 协方差矩阵 一般地 设n维观测向量为则其方差 协方差矩阵定义为 3 1观测向量及其方差 协方差矩阵 式中 为观测向量的期望 为第i组观测值的方差 为第i组观测值关于第j组观测值的协方差 协方差用来描述第i个观测值与第j个观测值之间的相关程度 1 协方差传播律的作用 图3 1示例 计算观测向量函数的方差 协方差矩阵 从而评定观测向量函数的精度 2 预备公式当随机变量两两独立时 有X Y相互独立时 3 2协方差传播率 3 观测向量线性函数的方差设观测向量X及其期望和方差为 观测向量线性函数为式中 为常数 Z的期望为Z的方差为即 万能公式 教材 例3 1 3 2 3 3P25下角例题 习题 3 2 07 1 3 2 11 1 4 多个观测向量线性函数的方差 协方差矩阵若观测向量的多个线性函数为则令 于是 观测向量的多个线性函数可写为故有式中 为对称方阵 若还有观测向量的另外r个线性函数其矩阵形式为 则有 而同理 教材 例3 4 3 5 P30上角例题 习题 3 2 14 5 观测向量非线性函数的方差 协方差矩阵设观测向量的非线性函数为 已知X的协方差矩阵DXX 求函数Z的方差DZZ基本思想 a 利用泰勒级数展开 略去二次以上项 得到函数的线性表达式 b 应用协方差传播律 在近似值处展开 当X与X0非常接近时 可以略去二次以上小项 影响非常小 微分以后的系数均为具体数值 将常数提取出来 即得 如果令 也可写为 因此只要对非线性函数求全微分 获得系数矩阵即可应用协方差传播率 6 多个观测向量非线性函数的方差 协方差矩阵基本思想 a 利用泰勒级数展开 略去二次以上项 得到函数的线性表达式 b 应用协方差传播律 设观测向量的t个非线性函数为 对上式求全微分 得 令则由误差传播定律得 由以上推导知 求非线性函数的方差 协方差矩阵比求线性函数的方差 协方差矩阵只多一个求全微分的步骤 教材 例3 6 3 7 P33上角例题 习题 3 2 07 2 3 2 11 2 3 2 13 水准测量的精度同精度独立观测值平均值的精度若干独立误差的联合影响交会定点的精度GIS线元要素的方差时间观测序列平滑平均值的方差 习题 3 3 24 3 3 25 3 3 26 3 3协方差传播率的应用 应用协方差传播律时应注意的问题 1 根据实际测量 正确地列出函数式 2 全微分所列函数式 并用观测值计算偏导数值 3 计算时注意各项的单位要统一 4 将微分关系写成矩阵形式 5 直接应用协方差传播律 得出所求问题的方差 协方差矩阵 权的概念表达观测值方差之间比例关系的数字特征观测值所占的比重 精度越高 比重越大 即与方差大小成反比 权的定义权的意义 不在于其数值的大小 重要的是它们之间的比例关系 单位权中误差的概念权为1的观测值所对应的中误差 称为单位权中误差 定权的常用方法1 水准测量的权2 同精度观测值之算术平均值的权 教材 例3 8 3 9 习题 3 4 35 3 4 40 3 4 41 3 4 43 3 4 44 3 4权与定权的常用方法 协因数与协因数阵权与方差成反比 但习惯上总是找一个与方差成正比的量 并称这个量为协因数 权阵 3 5协因数与协因数传播律 设观测向量的t个非线性函数为 对上式求全微分 得 令则由误差传播定律得 协因数传播律 教材 例3 10 3 11 3 12 3 13 习题 3 5 53 3 5 56 3 5 58 3 5 64 由前一章知 同精度独立观测值计算中误差不同精度独立观测值计算中误差 3 5由真误差计算中误差及其实际应用 由真误差计算中误差的实际应用a 由三角形闭合差计算测角中误差b 由双观测值之差求中误差 由改正数计算中误差由于 由改正数计算中误差 由改正数计算中误差 观测值的系统误差与综合方差其中为系统误差系统误差为非随机变量 且与偶然误差互相独立 则即有综合方差 3 7系统误差的传播 当系统误差为偶然误差的1 5时当系统误差为偶然误差的1 3时因此当系统误差为偶然误差的1 3或更小时 一般可忽略系统误差的影响 b 系统误差的传播 c 系统误差与偶然误差的联合传播系统误差为常数或常系差时由于 当有n个观测值时 当Z为非线性函数时 首先线性化 然后利用上述公式即可系统误差为随机系统误差时 小结 1 方