第一章-电子线路计算PPT课件.ppt

授课对象 物理系硕士研究生先修课程 微积分 Fortran语言程序设计 计算方法初步教学目的 培养研究生用计算机和算法语言解决物理学专题及其应用方面的数值计算课题方面的能力 计算物理 主要内容 基本要求及学时分配 第一章电子线路计算 3学时 第二章有限差分法初步 4学时 第三章偏微分方程有限差分解法 2学时 第六章蒙特卡罗 M C 方法 4学时 第四章常微分方程数值解法 4学时 第五章薛定谔方程数值解法 4学时 第八章分叉与混沌问题数值分析 2 4学时 第九章分子动力学模拟初步 2 4学时 第七章实验数据拟合 2学时 本课程基本要求 掌握基本的物理问题的计算的初步方法 计算物理 本课程总学时 40其中课内讲课28 30学时左右 本课程考试要求 对于一个物理问题建立数学模 给出数学模型 给出计算方法 给出Fortran程序 给出结果 图 表及讨论 本课程考试方式 开卷 电子邮件提交 考试题目 自选 考试答题要求 1 物理问题的描述 2 给出物理问题数学模型 3 计算方法的选择 4 差分方程 5 Fortran程序清单 包括程序注释 6 计算结果 图 表格等形式 7 讨论和结论 8 电子邮件提交到 yuboming2003 主要参考书 2 ComputationalPhysics NicholasJ Giordano PrenticeHall NewJersey 1997 1 NumericalAnalysis APracticalApproach M J Maron MacmillanPublishingco Inc 1982 3 计算物理和计算机 美 R 埃利希著 O411 2 4 徐崇济编著 蒙特卡罗方法 上海科学技术出版社 1985 5 常微分方程数值解法 南京大学数学系编 1979 O241 81 3 第一章 电子线路计算 1静电势 1 1两个点电荷产生的静电势 考虑空间有两个点电荷 这时在空间处处存在由点电荷产生的静电势 根据电磁学的知识 空间任一点的电势为 1 1 其中 和 分别代表两个点电荷所带的电量 和 分别代表所求的点到两个点电荷的距离 所处的x坐标为A1点 处在x坐标的为A2点 图1 1 考虑x y平面上各点的电势 将平面分割成许多小方格 使x的变化在 10到10之间 y的变化亦在 10到10之间 设 1 2 和 的位置与各个格点的距离 和 分别为 1 3 公式 1 2 和 1 3 代入公式 1 1 可以求得各格点的静电势 相应的程序为 DIMENSIONV 21 21 10READ 100 A1 A2 Q1 Q2IF Q1 EQ 0 0 OR Q2 EQ 0 0 STOPWRITE 101 A1 A2 Q1 Q2DO40J 1 21Y 11 JDO40I 1 21X I 11R1 SQRT X A1 2 Y Y R2 SQRT X A2 2 Y Y R1 R1 0 00001 avoidzeroR2 R2 0 00001V K J Q1 R1 Q2 R240CONTINUE WRITE 102 V K J I 1 21 J 1 21 GOTO10100FORMAT 4F10 5 101FORMAT 3HA1 F10 5 4HA2 F10 5 4HQ1 F10 5 4HQ2 F10 5 102FORMAT 21F5 2 1X END 图1 2计算流程图 1 2带电金属丝产生的静电势 定积分的近似计算 一根带有电荷的金属丝 它在空间将产生一个静电势场 根据电磁学知识 空间任一点的电势V是 1 4 方法 将金属丝分成n段 在第i段所带的电量为 离开所求电势点的距离为 于是该点的电势可写为 1 5 如果金属丝分段分得很密 取其极限 1 5 式就变成 1 4式 为了计算 1 4 式的电势 选一个坐标系 使金属丝处在x轴上 并将坐标轴的原点取在金属丝的中点 则金属丝的一端x A 另一端x A 如图1 3所示 图1 3求带电金属丝的电势 金属丝上dx段的电荷dq可表示为 1 6 其中 距离r指从点 x 0 到点 x0 y0 的间距 即 是x点的线电荷密度 1 7 将公式 1 6 和 1 7 代入 1 4 式 得到 1 8 定积分的近似数值解 引入符号f x 1 9 1 10 可画出 图 如图1 4所示 图1 4矩形近似 将x的变化区间 A到A间隔分成等间隔的N 1段 即x1 x2 xN x1 A xN A 于是最简单的近似为 1 11 其中 求 1 10 式的积分值就是求曲线下的面积 可用近似方法求曲线下的面积 从几何角度看 相当于图1 4中用矩形面积代替实际曲线下的面积 显见 这不是一个很好的近似 将x分段分得细一些可提高近似程度 但是这将加大计算的工作量 矩形近似 梯形近似 改进的一个方法是梯形近似 1 12 原来公式 1 11 中为 因为等分的原因 用梯形近 似近似程度好一些 与下标i无关 所以省略而变为 将公式 1 12 改写成 1 13 其中 抛物线近似 辛普生 Smpson 公式 进一步改进的方法是用抛物线作近似 用抛物线来代替实际的曲线 这时要将X的变化范围分成偶数等分 在抛物线近似下求解电势的表达式可写为 1 14 其中N为奇数 求和对偶数进行 如果将公式 1 14 稍加整理可得 1 15 其中 的值为 1 16 辛普生 Smpson 公式推导 设曲线上有三点 若有一条抛物线通过这三点 则这条抛物线可表示为 1 17 由于其中的 和x1 x2 x3是已知的常数值 因此公式 1 17 总可以整理成 其中A B和C是相应的系数 应该有如下性质 当x x1时 代入 1 17 式 有y f x1 当x x2时 代入 1 17 式 有y f x2 当x x3时 代入 1 17 式 有y f x3 对 3 17 式进行积分 下限取x1 上限取x3 得到 其中 V2是通过最初三点的抛物线下面积 用来近似实际 曲线下的面积 类似地 对通过曲线上三点 的抛物线进行积分 积分限从x3到x5 得到 依此类推 可以得到任意一项的积分表示为 将全部Vi相加 得到公式 1 14 的普遍表示 即 其中系数ci与 1 16 式的表示一样 带电金属丝产生的电势的数值计算 采用抛物线近似计算空间电势 考虑平面情况 设A为金属丝的半长度 金属丝处在x A到x A的X轴上N为金属丝的分割数 N为奇数 即格点数目 x0 y0代表所求电势点的坐标 要求电势V必须先求一组 的数值 然后得到 值 求和得到V DIMENSIONF 101 10READ 40 A C X0 Y0 NIF N GT 101 OR N LT 3 STOPIF N EQ 2 N 2 STOP 判断奇 偶数H 2 0 A FLOAT N 1 计算步长X AV 0 0DO20I 1 NF I C SQRT X X0 2 Y0 Y0 函数值20X X H 源程序 DO30J 2 N 1 230V V F j 1 4 0 F j F j 1 H 3 0WRITE 50 V X0 Y0GOTO1040FORMAT 4F10 5 I4 FORMAT 8X 2HV 7X 3HX0 7X 3HY0 3F10 5 END 讨论 将积分区间2A分成N 1等分 每段长都是2A N 1 这种计算方法称为定步长的辛普生方法 根据实际问题对精度的要求以及计算所需的时间 可以选择N及步长H的大小 变步长辛普生近似计算 计算步骤 第一次把区间 A A 分成2等分 积分得到近似值标记为S1 第二次把前面的每等分再分成2等分 结果区间就分成了等分 积分得到的近似值标记为S2 即每次把分点加密一倍 计算积分的近似值 对于相邻相次计算得到的近似值Sn和Sn 1 我们考察差值D 1 18 当D的绝对值小于给定的精确度E时 以Sn 1作为积分的近似值 把结果输出 否则 继续将分点加密一倍 计算积分的近似值 直到满足 为止 1 3RC回路中电容器放电的研究 欧勒法应用 1 可以用计算机来研究计算RC回路中电容器放电情况 考虑一个电路 由电阻R 电容C和开关S组成 2 开始时电容C上已充有电荷量Q0 当开关S接通以后 电容器C就进行放电 我们考察电容器上的电荷随时间的变化规律 问题的描述 3 由于电路中没有其它外加电压 所以电阻R上的电压 和电容器上的电压 两者加起来为零 即 1 19 根据欧姆定律 1 20 根据电容器的定义 1 21 将 1 20 式和 1 21 式代入 1 19 式 得到 1 22 这是电荷Q随时间变化方程式 是一阶常微分方程 可整理成 1 23 其中 称为RC回路的时间常数 当回路中的电阻R和电容C给定时 也完全确定了 直接对 1 23 积分 得到 1 24 其中Q0是t 0时电容器上的电荷 上面的结果是微分方程的严格解 微分方程也可以用数值计算进行近似求解 欧勒法 类似公式 1 23 的一阶微分方程 在物理学中经常遇到 例如力学中的方程 1 25 其中x表示位置 是速度 对任意的一阶微分方程 都可用欧勒法近似求解 1 23 式一般可写为 欧勒法的实质是用差分 来代替微分 于是 1 23 式变为 或 1 26 具体计算 设 第一步的计算 表示经过时间 以后 电荷量变为0 9 第二步的计算 同样计算可以得到Q随时间变化的值 与严格解析解 1 24 式的计算结果比较 近似1 00 90 810 7290 6560 590严格1 00 9070 8180 7400 6700 606 通常 1 间隔取得越小 两者越接近 但 取小时要到达同一时刻计算量要加大 2 随着时间增加 欧勒法得到的近似值与精确值之间的误差越来越大 误差分析 将欧勒近似计算和泰勒级数展开对比 1 27 从 1 27 式可得 所以 在 时间间隔内 用 代替 的误差是 1 28 对欧勒法而言 是 两者比较可见 由欧勒法计算得到的结果其误差是 1 29 相对泰勒级数展开而言 欧勒法的近似计算是一阶精度 程序注释 RC为时间常数Q1为电荷量的严格值Q2为电荷量的近似值DT为时间间隔N为时间间隔的数目初始条件T 0时 带电荷Q 1 1READ 100 RC DT NIF N LE 0 STOPWRITE 101 RC DT NT 0Q1 1 精确数值Q2 1 近似解DO10I 1 NT T DTDQ Q2 DT RCQ2 Q2 DQQ1 EXP T RC WRITE 102 T Q1 Q210CONTINUEGOTO1 100FORMAT 2F10 5 I5 FORMAT 3HRC F10 5 4HDT F10 5 3HN I5 5X 1HT 8X 2HQ1 8X 2HQ2 102FORMAT 3F10 5 END 1 4RLC电路中的放电现象 改进欧勒法 RLC串联电路 电路由电阻R 电感L 电容C 开关S和外加电压 组成 求 当开关S合上以后电路中的电流将随时间发生变化 解 根据基尔霍夫第二定律 电路中的外电压 等于电路内各元件的电压之和 于是有 1 30 其中 为电阻R上的电压 为电感L上的电压 为电容C上的电压 I为电流 Q为电容器上的电荷 将这些表示代入 1 30 式 得到 1 31 据 1 31 及 1 31 式两边对时间求微商 1 33 它等价于两个一阶的微分方程 1 31 式和 1 32 式 1 32 初始条件 时 0 1 如果用欧勒近似进行计算 则 1 34 其中 和 的值可应用 1 31 式和 1 32 和 求得 例如 式由已知的 1 34 式表示欧勒法 具体运算过程为 设t 0时 运用 1 34 式 当n 0时 和的值由 1 31 式和 1 32 式来确定 然后代入 1 31 式和 1 32 计算出 和的值 代入 2 34 计算出Q2和I2 依次类推 可得任意时刻 和 的值 计算流程 1 设t 0时 2 由 1 31 式和 1 32 计算出 3 由 1 34 计算出Q1 I1 4 然后 回到2 计算出 欧勒法是一级精度 为更精确 可采用改进欧勒法 讨论 1 35 其中 和 分别为 1 36a 1 36b 与 1 34 式的欧勒法比较 是用 来代替 是用 时刻的微商进行平均来替代 时刻和 对电流I的情况也类同 可以将 1 34 式和 1 35 式写成统一的形式 1 37a 1 37b 1 37c 泰勒级数展开为 误差分析 对改进的欧勒法是 1 38 1 39 1 36 式表示的精确度 公式 1 39 说明 只有知道 的值才能求出 的值 1 39 式变为 为此 用 1 34 式欧勒法计算的结果代入 1 40 将 1 40 式和 1 38 式比较可见 误差发生在 与欧勒法比较 改进的欧勒法其精确程度是提高了 相对泰勒级数而言 它忽略了以上的高阶项 因此改进的欧勒法是二级精度 对电流的情况 同样可得类似结果 改进欧勒法的计算步骤可归纳为 2 由 1 31 式和 1 32 式求得 1 给定初始条件 和 和 3