天津市南开区2015年中考数学一模试卷含答案解析

第 1 页（共 31 页） 2015 年天津市南开区中考数学一模试卷 一、选择题（本题共 12小题，每小题 3分，共 36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 3+（ 5）的结果是（ ） A 2 B 8 C 8 D 2 2 值为（ ） A B C D 3下列四个图形中，轴对称图形有（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 4第六次全国人口普查数据显示，天津市常驻人口大约有 12940000 人，将 12940000 用科学记数法表示应为（ ） A 05 B 06 C 07 D 08 5与如图所示的三视图对应的几何体是（ ） A B C D 第 2 页（共 31 页） 6下列命题： 对角线相等的四边形是矩形 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行四边形 其中正确的有（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 7正三角形内切圆与外接圆半径之比为（ ） A B C D 8已知两点 函数 y= 的图象上，当 0 时，下列结论正确的是（ ） A 0 0 0 D 0 9甲、乙、丙、丁四位同 学五次数学测验成绩统计如表如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 80 85 85 80 方 差 42 42 54 59 A甲 B乙 C丙 D丁 10如图，将 点 P 顺时针旋转 90得到 ABC，则点 P 的坐标是（ ） 第 3 页（共 31 页） A（ 1， 1） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 1， 4） 11矩形 ， 点 E 从点 C 开始沿边 点 B 以 2cm/s 的速度运动，动点 F 从点 C 同时出发沿边 点 D 以 1cm/s 的速度运动至点 D 停止如图可得到矩形 运动时间为 x（单位： s），此时矩形 掉矩形 剩余部分的面积为 y（单位： 则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） A B CD 12定义 a， b， c为函数 y=bx+c 的特征数，下面给出特征数为 2m， 1 m， 1 m的函数的一些结论： 当 m= 3 时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）； 当 m 0 时，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 ； 当 m 0 时，函数在 x 时， y 随 x 的增大而减小； 当 m0 时，函数图象经过同一个点 其中正确的结论有（ ） A B C D 第 4 页（共 31 页） 二、填空题（本题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 13 a3a 2= 14若关于 2x 1=0有两个不相等的实数根，则 15一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则 kx+b x+a 的解集是 16从 1， 2， 3， 4 中任取两个不同的数，其乘积大于 4 的概率是 17一个边长为 4等边三角形 O 等高，如图放置， O 与 切于点 C， O 与交于点 E，则 长为 18如图，在正方形网格中有一个边长为 4 的平行四边形 ）平行四边形 面积是 ； （ ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一边长为 6 的矩形，画出裁剪线（最多两条），并简述拼接方法 第 5 页（共 31 页） 三、解答题（本题共 7小题，共 66分） 19解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （ ）解不等式 ，得 （ ）解不等式 ，得 （ ）把不等式 和 的解集在数轴上表示出来； （ ）原不等式组的解集为 20某校计划开设 4 门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈，学 校采取随机抽样的方法进行问卷调查（ 2015南开区一模）已知， O 的直径， C 为 O 上一点，若直线 O 相切于点 C，足为 D （ 1）如图 ， 0， ，求 长； 第 6 页（共 31 页） （ 2）如果把直线 下平行移动，如图（ 2），直线 O 于 C， G 两点，若题目中的其他条件不变，且 ， ，求 的值 22如图，一艘海伦位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 海里 的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处，这时，海伦所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（ 23某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为 180 元时，房间会全部注满；当每个房间每天的定价增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾客需对每个房间每天支出 20 元的各种费用，当房价定位多少元时，宾客利润最大， 最大利润是多少？设每个房间定价增加10x 元，宾馆每天的利润为 y 元 （ ）分析：根据问题中的数量关系，用含 x 的式子填表： 原价 每个房间增加10 元 每个房间增加20 元 每个房间增加10x 元 每个房价定价 180 190 200 房住房间数量 50 49 48 （ ）由以上分析，用含 x 的式子表示 y，并求出问题的解 24如图， 边长为 2+ 的等边三角形，其中 O 是坐标原点，顶点 B 在 y 轴正方向 上，将 叠，使点 A 落在边 ，记为 A，折痕为 （ 1）当 AE x 轴时，求点 A和 E 的坐标； （ 2）当 AE x 轴，且抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A和 E 时，求抛物线与 x 轴的交点的坐标； 第 7 页（共 31 页） （ 3）当点 A在 运动，但不与点 O、 B 重合时，能否使 A为直角三角形？若能，请求出此时点 A的坐标；若不能，请你说明理由 25已知抛物线 y=a（ x+1） 2 2 的顶点 为 A，且经过点 B（ 2， 1） （ 1）求 A 点的坐标和抛物线 解析式； （ 2）如图 1，将抛物线 下平移 2 个单位后得到抛物线 抛物线 B 相交于 C，D 两点，求 S S （ 3）如图 2，若过 P（ 4， 0）， Q（ 0， 2）的直线为 l，点 E 在（ 2）中抛物线 顶点）运动，直线 m 过点 C 和点 E问：是否存在直线 m，使直线 l， m 与 x 轴围成的三角形和直线 l， m 与 y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 m 的解析式；若不存在，说明理由 第 8 页（共 31 页） 2015年天津市南开区中考数学一模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题（本题共 12小题，每小题 3分，共 36分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1 3+（ 5）的结果是（ ） A 2 B 8 C 8 D 2 【考点】 有理数的加法 【分析】 根据同号两数相加，取相同的符号，并把绝对值相加，可得答案 【解答】 解：原式 =（ 3+5） = 8 故选： B 【点评】 本题考查了有理数的加法，先确定和的符号，再进行绝对值得运算 2 值为（ ） A B C D 【考点】 特殊角的三角函数值 【分析】 根据 30角的正切值，可得答案 【解答】 解： ， 故选： B 【点评】 本题考查了特殊角三角函数值，熟记特殊角三角函数值是解题关键 3下 列四个图形中，轴对称图形有（ ） 第 9 页（共 31 页） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形定义：如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形，这条直线叫做对称轴进行分析 【解答】 解： 不是轴对称图形， 是轴对称图形，因此共有 3 个轴对称图形， 故选： B 【点评】 此题主要考查了轴对称图形，关键是找出图形的对称轴 4第六次全国人口普查数据显示，天津市常驻人口大约有 12940000 人，将 12940000 用科学记数法表示应为（ ） A 05 B 06 C 07 D 08 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解： 12 940 000=07， 故选： C 【点评】 此题考查科学记数 法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 5与如图所示的三视图对应的几何体是（ ） A B C D 【考点】 由三视图判断几何体 【分析】 主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形 【解答】 解：从正视图可以排除 C，故 C 选项错误； 从左视图可以排除 A，故 A 选项错误； 第 10 页（共 31 页） 从左视图可以排除 D，故 D 选项错误； 符合条件的只有 B 故选： B 【点评】 本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认知能力，可通过排除法进行解答 6下列命题： 对角线相等的四边形是矩形 对角线互相垂直的四边形是菱形 对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形 一组对边相等，另一组对边平行的四边形是平行 四边形 其中正确的有（ ） A 4 个 B 3 个 C 2 个 D 1 个 【考点】 命题与定理 【分析】 根据矩形的判定方法对 进行判断；根据菱形的判定方法对 进行判断；根据正方形的判定方法对 进行判断；根据平行四边形的判定方法对 进行判断 【解答】 解：对角线相等的平行四边形是矩形，所以 错误；对角线互相垂直的平行四边形是菱形，所以 错误；对角线互相垂直平分且相等的四边形是正方形，所以 正确；一组对边相等，且这组对边平行的四边形是平行四边形，所以 错误 故选 D 【点评】 本题考查了命题与定理：判断一件事情的语 句，叫做命题许多命题都是由题设和结论两部分组成，题设是已知事项，结论是由已知事项推出的事项，一个命题可以写成 “如果 那么 ”形式有些命题的正确性是用推理证实的，这样的真命题叫做定理也考查了逆命题 7正三角形内切圆与外接圆半径之比为（ ） A B C D 【考点】 正 多边形和圆 【分析】 先作出图形，根据等边三角形的性质确定它的内切圆和外接圆的圆心；通过特殊角进行计算，用内切圆半径来表示外接圆半径，最后求出比值即可 第 11 页（共 31 页） 【解答】 解：如图， 等边三角形， 高点 O 是其外接圆的圆心，由等边三角形的三线合一得点 O 在 ，并且点 O 还是它的内切圆的圆心 1= 4=30， B， ： 2 故选 A 【点评】 本题考查的是正多边形和圆，熟知等边三角形的性质及 三角形内切圆与外接圆的定义是解答此题的关键 8已知两点 函数 y= 的图象上，当 0 时，下列结论正确的是（ ） A 0 0 0 D 0 【考点】 反比例函数图象上点的坐标特征 【专题】 计算题 【分析】 根据反比例函数图象上点的坐标特征得 ， ，然后利用求差法比较 大小 【解答】 解：把点 入 y= 得 ， ， 则 = ， 0， 0， 0， 0， 第 12 页（共 31 页） 即 故选： A 【点评】 本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征：反比例函数 y= （ k 为常数， k0）的图象是双曲线，图象上的点（ x， y）的横纵坐标的积是定值 k，即 xy=k 9甲、乙、丙、丁四位同学五次数学测验成绩统计如表如果从这四位同学中，选出一位成绩较好且状态稳定的同学参加全国数学联赛，那么应选（ ） 甲 乙 丙 丁 平均数 80 85 85 80 方 差 42 42 54 59 A甲 B乙 C丙 D丁 【考点】 方差；算术平均数 【专题】 常规题型 【分析】 此题有两个要求： 成绩较好， 状态稳定于是应选平均数大、方差小的同学参赛 【解答】 解：由于乙的方差较小、平均数较大，故选乙 故选： B 【点评】 本题考查平均数和方差的意义方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波 动越小，数据越稳定 10如图，将 点 P 顺时针旋转 90得到 ABC，则点 P 的坐标是（ ） A（ 1， 1） B（ 1， 2） C（ 1， 3） D（ 1， 4） 【考点】 坐标与图形变化 第 13 页（共 31 页） 【专题】 网格型 【分析】 先根据旋转的性质得到点 A 的对应点为点 A，点 B 的对应点为点 B，再根据旋转的性质得到旋转中心在线段 垂直平分线，也在线段 垂直平分线，即两垂直平分线的交点为旋转中心 【解答】 解： 将 某点为旋转中 心，顺时针旋转 90得到 ABC， 点 A 的对应点为点 A，点 C 的对应点为点 C， 作线段 垂直平分线，它们的交点为 P（ 1， 2）， 旋转中心的坐标为（ 1， 2） 故选： B 【点评】 本题考查了坐标与图形变化旋转：图形或点旋转之后要结合旋转的角度和图形的特殊性质来求出旋转后的点的坐标常见的是旋转特殊角度如： 30， 45， 60， 90， 180 11矩形 ， 点 E 从点 C 开始沿边 点 B 以 2cm/s 的速度运动，动点 F 从点 C 同时出发沿边 点 D 以 1cm/s 的速度运动至点 D 停止如图可得到矩形 运动时间为 x（单位： s），此时矩形 掉矩形 剩余部分的面积为 y（单位： 则 y 与 x 之间的函数关系用图象表示大致是下图中的（ ） 第 14 页（共 31 页） A B CD 【考点】 动点问题的函数图象 【专题】 压轴题；动点型 【分析】 重点考查学生的阅读理解能力、分析研究能力在解答时要注意先总结出函数的解析式，由解析式结合其取值范围判断，不要只靠感觉 【解答】 解：此题在读懂题意的基础上，分两种情况讨论： 当 x4 时， y=68（ x2x） = 28，此时函数的图象为抛物线的一部分，它的最上点抛物线的顶点（ 0， 48），最下点为（ 4， 16）； 当 4 x6 时，点 E 停留在 B 点处，故 y=48 8x= 8x+48，此时函数的图象为直线 y= 8x+48 的一部分，它的最上点可以为（ 4， 16），它的最下点为（ 6， 0） 结合四个选项的图象知选 A 项 故选： A 【点评】 本题考查了二次函数及其图象，一次函数及其图象的知识 12定义 a， b， c为函数 y=bx+c 的特征数，下面给出特征数为 2m， 1 m， 1 m的函数的一些结论： 当 m= 3 时，函数图象的顶点坐标是（ ， ）； 当 m 0 时 ，函数图象截 x 轴所得的线段长度大于 ； 当 m 0 时，函数在 x 时， y 随 x 的增大而减小； 当 m0 时，函数图象经过同一个点 第 15 页（共 31 页） 其中正确的结论有（ ） A B C D 【考点】 二次函数的性质 【专题】 压轴题；新定义 【分析】 当 m= 3 时，根据函数式的对应值，可直接求顶点坐标； 当 m 0 时，直接求出图象与 x 轴两交点坐标，再求函数图象截 x 轴所得的线段长度，进行判断 ； 当 m 0 时，根据对称轴公式，进行判断； 当 m0 时，函数图象经过同一个点 【解答】 解：根据定义可得函数 y=2 1 m） x+（ 1 m）， 当 m= 3 时，函数解析式为 y= 6x+2， = = ， = = ， 顶点坐标是（ ， ），正确； 函数 y=2 1 m） x+（ 1 m）与 x 轴两交点坐标为（ 1， 0），（ ， 0）， 当 m 0 时， 1（ ） = + ，正确； 当 m 0 时，函数 y=2 1 m） x+（ 1 m）开口向下，对称轴 x= ， x 可能在对称轴左侧也可能在对称轴右侧，错误； y=2 1 m） x+（ 1 m） =m（ 2x 1） +x 1，若使函数图象恒经过一点， m0 时，应使 2x 1=0，可得 ， ，当 x=1 时， y=0，当 x= 时， y= ，则函数一定经过点（ 1， 0）和（ ， ），正确 故选 B 【点评】 公式法： y=bx+c 的顶点坐标为（ ， ），对称轴是 x= 二、填空题（本题共 6小题，每小题 3分，共 18分） 13 a3a 2= 【考点】 同底数幂的除法；负整数指数幂 【分析】 根据同底数幂的除法，底数不变指数相减，可得答案 【解答】 解：原式 = 2） = 第 16 页（共 31 页） 故答案为： 【点评】 本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法底数不变指数相减是解题关键 14若关于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有两个不相等的实数根，则 k 的取值范围是 k 1且 k0 【考点】 根的判别式 【分析】 由关于 2x 1=0有两个不相等的实数根，即可得判别式 0且 k0，则可求得 k 的取值范围 【解答】 解： 关于 x 的一元二次方程 2x 1=0 有两个不相等的实数根， =4 2） 2 4k（ 1） =4+4k 0， k 1， x 的一元二次方程 2x 1=0 k0， k 的取值范围是： k 1 且 k0 故答案为： k 1 且 k0 【点评】 此题 考查了一元二次方程根的判别式的应用此题比较简单，解题的关键是掌握一元二次方程根的情况与判别式 的关系： （ 1） 0方程有两个不相等的实数根； （ 2） =0方程有两个相等的实数根； （ 3） 0方程没有实数根 15一次函数 y1=kx+b 与 y2=x+a 的图象如图，则 kx+b x+a 的解集是 x 2 【考点】 一次函数与一元一次不等式 【专题】 整体思想 第 17 页（共 31 页） 【分析】 把 x= 2 代入 y1=kx+b 与 y2=x+a，由 y1=出 =2，再求不等式的解集 【解答】 解：把 x= 2 代入 y1=kx+b 得， 2k+b， 把 x= 2 代入 y2=x+a 得， 2+a， 由 y1=： 2k+b= 2+a， 解得 =2， 解 kx+b x+a 得， （ k 1） x a b， k 0， k 1 0， 解集为： x ， x 2 故答案为： x 2 【点评】 本题主要考查一次函数和 一元一次不等式，本题的关键是求出 =2，把 看作整体求解集 16从 1， 2， 3， 4 中任取两个不同的数，其乘积大于 4 的概率是 【考点】 列表法与树状图法 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其乘积大于 4 的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：画树状图得： 共有 12 种等可能的结果，任取两个不同的数，其乘积大于 4 的有 6 种情况， 第 18 页（共 31 页） 从 1、 2、 3、 4 中任取两个不同的数，其乘积大于 4 的概率是： = 故答案为： 【点评】 本题考查的是用列表法或画树状图法求概率列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果，列表法适合于两步完成的事件，树状图法适合两步或两步以上完成的事件用到 的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 17一个边长为 4等边三角形 O 等高，如图放置， O 与 切于点 C， O 与交于点 E，则 长为 3 【考点】 切线的性质；垂径定理；圆周角定理；弦切角定理 【专题】 几何图形问题 【分析】 连接 过点 O 作 F，根据等边三角形的性质，等边三角形的高等于底边的 倍已知边长为 4等边三角形 O 等 高，说明 O 的半径为 ，即 ，又 0，故有 0，在 ，可得出 长，利用垂径定理即可得出 长 【解答】 解：连接 过点 O 作 F， 且 等边三角形，边长为 4， 故高为 2 ，即 ， 又 0，故有 0， 在 ，可得 C ， 圆心，且 据垂径定理易知 故答案为： 3 第 19 页（共 31 页） 【点评】 本题主要考查了切线的性质和等边三角形的性质和解直角三角形的有关知识题目不是太难，属于基础性题目 18如图，在正方形网格中有一个边长为 4 的平行四边形 ）平行四边形 面积是 24 ； （ ）请在如图所示的网格中，将其剪拼成一个有一 边长为 6 的矩形，画出裁剪线（最多两条），并简述拼接方法 1， 2， 3 【考点】 图形的剪拼；平行四边形的性质 【分析】 （ 1）根据平行四边形的面积公式：底 高计算即可； （ 2）根据剪拼前后的图形的面积相等进行剪拼即可 【解答】 解：（ 1）平行四边形 面积是： 46=24； （ 2）如图 1， 2， 3， 则矩形 为所求 故答案为：（ 1） 24；（ 2） 1， 2， 3 【点评】 本题考查的是平行四边形的性质和图形的剪拼的知识，掌握平行四边形的性质和剪拼前后的图形的面积相等是解题的关键 三、解答题（本题共 7小题，共 66分） 第 20 页（共 31 页） 19解不等式组 请结合题意填空，完成本题的解答 （ ）解不等式 ，得 x 3 （ ）解不等式 ，得 x0 （ ）把不等式 和 的解集在数轴上表示出来； （ ）原不等式组的解集为 x0 【考点】 解一元一次不等式 组；在数轴上表示不等式的解集 【分析】 分别求出各不等式的解集，再求出其公共解集，并在数轴上表示出来即可 【解答】 解：由 得， x 3，由 得， x0， 在数轴上表示为： ， 故不等式组的解集为： x0 故答案为： x 3， x0， x0 【点评】 本题考查的是解一元一次不等式组，熟知 “同大取大；同小取小；大小小大中间找；大大小小找不到 ”的原则是解答此题的关键 20某校计划开设 4 门选修课：音乐、绘画、体育、舞蹈，学校采取随机抽样的方法进行问 卷调查（ 2015南开区一模）已知， O 的直径， C 为 O 上一点，若直线 O 相切于点 C，足为 D （ 1）如图 ， 0， ，求 长； 第 21 页（共 31 页） （ 2）如果把直线 下平行移动，如图（ 2），直线 O 于 C， G 两点，若题目中的其他条件不变，且 ， ，求 的值 【考点】 切线的性质；平移的性质 【分析】 （ 1）先由圆周角定理得出 0= 由弦切角定理得出 B，证出 出对应边成比例，得出 B可求出 （ 2）先根据勾股定理求出 由圆内接四边形的性质得出 B，证出 出比例式即可得出结果 【解答】 解：（ 1） O 的直径， 0， 直线 O 相切于点 C， B， 又 0= ， B02=20， ； （ 2） O 的直径， 0， =5， 0= 又 B， 【点评】 本题考查了切线的性质、弦切角定理、圆周角定理、勾股定理、相似三角形的判定与性质；熟练掌握圆的有关定理，证明三角形相似是解决问题的关键 第 22 页（共 31 页） 22如图，一艘海伦位于灯塔 P 的北偏东 65方向，距离灯塔 80 海里的 A 处，它沿正南方向航行一段时间后，到达位于灯塔 P 的南偏东 34方向上的 B 处，这时，海伦所在的 B 处距离灯塔 P 有多远？（ 【考点】 解直角三角形的应用 【分析】 首先根据题意得出 0 65=25，再利用解直角三角形求出即可 【解答】 解：如图，在 ， 0 65=25， A0 在 ， B=34， = =130（海里）， 答：海轮所在的 B 处距离灯塔 P 约有 130 海里 【点评】 此题主要考查了方向角含义，正确记忆三角函数的定义得出相关角度是解决本题的关键 23某宾馆有 50 个房间供游客居住，当每个房间每天的定价为 180 元时，房间会全部注满；当每个房间每天的定价增加 10 元时，就会有一个房间空闲，如果游客居住房间，宾客需对每个房间每天支出 20 元的各种费用，当房价定位多少元时，宾客利润最大，最大利润是多少？设每个房间定价增加10x 元，宾馆每天的利润为 y 元 （ ）分析：根据问题中的数量关系，用含 x 的式子填表： 原价 每个房间增加10 元 每个房间增加20 元 每个房间增加10x 元 每个房价定价 180 190 200 房住房间数量 50 49 48 （ ）由以上分析，用含 x 的式子表示 y，并求出问题的解 【考点】 二次函数的应用 第 23 页（共 31 页） 【分析】 （ 1）理解每个房间的房价每增加 10x 元，房间定价（ 180+10x）元，则减少房间 x 间，居住房间数量（ 50 x）间； （ 2）根据（ 1）中代数式，宾馆每天的利润为 y=（房间定价每天支出费用） 居住房间数量 【解答】 解：（ 1）填表如下： 原价 每个房间增加10 元 每个房间增加20 元 每个房间增加10x 元 每个房价定价 180 190 200 180+10x 房住房间数量 50 49 48 50 x （ 2） y=（ 180+10x 20） （ 50 x） = 1040x+8000= 10（ x 17） 2+10890 当 x=17 时， 180+10x=350， 50 x=33 所以当房价定为 350 元时，宾馆利润最大，最大利润是 10890 元 【点评】 本题主要考查了二次函数的应用，特别容易出现的错误是在求最值时不考虑 x 的范围，直接求顶点坐标 24如图， 边长为 2+ 的等边三角形，其中 O 是坐标原点，顶点 B 在 y 轴正方向上，将 叠，使点 A 落在边 ，记为 A，折痕为 （ 1）当 AE x 轴时，求点 A和 E 的坐标； （ 2）当 AE x 轴，且抛物线 y= x2+bx+c 经过点 A和 E 时，求抛物线与 x 轴的交点的坐标； （ 3）当点 A在 运动，但不与点 O、 B 重合时，能否使 A为直角三角形？若能，请求出此时点 A的坐标；若不能，请你说明理由 【考点】 二次函数综合题 【专题】 压轴题 第 24 页（共 31 页） 【分析】 （ 1）当 AE x 轴时， A直角三角形，可根据 A度数用 OA 表示出 AE，由于 AE= AE+A=2+ ，由此可求出 长，也就能求出 AE 的长据此可求出 A和 E 的坐标； （ 2）将 A， E 点的坐标代入抛物线中，即可求出其解析式进而可求出抛物线与 x 轴的交点坐标； （ 3）根据折叠的性质可知： = A，因此 不可能为直角，因此要使 A为直角三角形只有两种可能： A0，根据折叠的性质， A 0，此时 A与 O 重合，与题意不符，因此此种情况不成立 A0，同 ，可得出此种情况也不成立 因此 A不与 O、 B 重合的情况下， A可能成为直角三角形 【解答】 解：（ 1）由已知可得 A0， AE= 由 AE x 轴，得 是直角三角形， 设 A的坐标为（ 0， b）， E= b， b， b+2b=2+ ， 所以 b=1， A、 E 的坐标分别是（ 0， 1）与（ ， 1） （ 2）因为 A、 E 在抛物线上， 所以 ， 所以 ， 函数关系式为 y= x+1， 由 x+1=0， 得 ， ， 与 x 轴的两个交点坐标分别是（ ， 0）与（ ， 0） （ 3）不可能使 A为直角三角形 = 0， 若 A为直角三角形，只能是 A0或 A0 第 25 页（共 31 页） 若 A0，利用对称性，则 0， A、 E、 A 三点共线， O 与 A 重合，与已知矛盾； 同理若 A0也不可能， 所以不能使 A为直角三角形 【点评】 本题着重考查了待定系数法求二次函数解析式、图形旋转变换、直角三角形的判定和性质等知识点，综合性较强 25已知抛物线 y=a（ x+1） 2 2 的顶点为 A，且经过点 B（ 2， 1） （ 1）求 A 点的坐标和抛物线 解析式； （ 2）如图 1，将抛物线 下平移 2 个单位后得到抛物线 抛物线 B 相交于 C，D 两点，求 S S （ 3）如图 2，若过 P（ 4， 0）， Q（ 0， 2）的直线为 l，点 E 在（ 2）中抛物线 顶点）运动，直线 m 过点 C 和点 E问：是否存在直线 m，使直线 l， m 与 x 轴围成的三角形和直线 l， m 与 y 轴围成的三角形相似？若存在，求出直线 m 的解析式；若不存在，说明理由 【考点】 二次函数综合题；待定系数法求一次函数解析式；待定系数法求二次函数解析式；相似三角形的判定与性质；锐角三角函数的增减性 【专题】 压轴题；存在型 【分析】 （ 1）由抛物线的顶点式易得顶点 A 坐标，把点 B 的坐标代入抛物线的解 析式即可解决问题 （ 2）根据平移法则求出抛物线 解析式，用待定系数法求出直线 解析式，再通过解方程组求出抛物线 直线 交点 C、 D 的坐标，就可以求出 S S （ 3）设直线 m 与 y 轴交于点 G，直线 l， m 与 x 轴围成的三角形和直线 l， m 与 y 轴围成的三角形形状、位置随着点 G 的变化而变化，故需对点 G 的位置进行讨论，借助于相似三角形的判定与性质、三角函数的增减