第五章刚体力学参考答案

姓名 学号 大学物理 答题纸 第五 章 1 第五章第五章 刚体力学参考答案 刚体力学参考答案 2014 一 一 选择题选择题 C 1 基础训练 2 一轻绳跨过一具有水平光滑轴 质量为 M 的定滑轮 绳的两端分别 悬有质量为 m1和 m2的物体 m1 m2 如图 5 7 所示 绳与轮之间无相对滑动 若某时刻滑 轮沿逆时针方向转动 则绳中的张力 A 处处相等 B 左边大于右边 C 右边大于左边 D 哪边大无法判断 提示提示 逆时针转动时角速度方向垂直于纸面向外 由于m1 m2 实际上滑轮在作减 速转动 角加速度方向垂直纸面向内 设滑轮半径为 R 受右端绳子向下拉 力为 T2 左端绳子向下拉力为 T1 对滑轮由转动定律得 T2 T1 R J D D 2 基础训练 3 如图 5 8 所示 一质量为 m 的匀质细杆 AB A 端靠在粗糙的竖直 墙壁上 B 端置于粗糙水平地面上而静止 杆身与竖直方向成 角 则 A 端对墙壁的压力大 A 为 mgcos B 为mgtg C 为 mgsin D 不能唯一确定 4 1 2 1 图图 5 85 8 提示提示 因为细杆处于平衡状态 它所受的合外力为零 以 B 为参考点 外力矩也是平衡的 则有 AB Nf AB fNmg lconNlf l mg AA sinsin 2 三个独立方程有四个未知数 不能唯一确定 C C 3 基础训练 7 一圆盘正绕垂直于盘面的水平光滑固定轴 O 转动 如图 5 11 射来 两个质量相同 速度大小相同 方向相反并在一条直线上的子弹 子弹射入圆盘并且留在 盘内 则子弹射入后的瞬间 圆盘的角速度 A 增大 B 不变 C 减小 D 不能确定 提示提示 m2 m1 O 图图 5 75 7 O M m m 图图 5 11 姓名 学号 大学物理 答题纸 第五 章 2 把三者看作同一系统时 系统所受合外力矩为零 系统角动量守恒 设为每一子弹相对与 O 点的角动量大小 0为子弹射入前圆盘的角速度 为子弹射L 入后的瞬间与圆盘共同的角速度 J 为圆盘的转动惯量 J子弹为子弹转动惯量 据角动量 守恒定律有 0 0 0 JLLJJ J JJ 子弹 子弹 C 4 自测提高 4 光滑的水平桌面上 有一长为 2L 质量为 m 的匀质细杆 可绕过其 中点且垂直于杆的竖直光滑固定轴 O 自由转动 其转动惯量为mL2 起初杆静止 桌面 3 1 上有两个质量均为 m 的小球 各自在垂直于杆的方向上 正对着杆的一端 以相同速率 v 相向运动 如图 5 19 所示 当两小球同时与杆的两个端点发生完全非弹性碰撞后 就与杆 粘在一起转动 则这一系统碰撞后的转动角速度应为 A B C D E L3 2v L5 4v L7 6v L9 8v L7 12v 图图 5 19 提示提示 视两小球与细杆为一系统 碰撞过程中系统所受合外力矩为零 满足角动量守恒条件 所 以 222 1 2 12 lmvlmvmlmlml 可得答案 C A A 5 自测提高 7 质量为 m 的小孩站在半径为 R 的水平平台边缘上 平台可以绕通过 其中心的竖直光滑固定轴自由转动 转动惯量为 J 平台和小孩开始时均静止 当小孩突 然以相对于地面为 v 的速率在台边缘沿逆时针转向走动时 则此平台相对地面旋转的角速 度和旋转方向分别为 A 顺时针 B 逆时针 RJ mRv 2 RJ mRv 2 C 顺时针 D 逆时针 RmRJ mRv 2 2 RmRJ mRv 2 2 提示提示 视小孩与平台为一个系统 该系统所受的外力矩为零 系统角动量守恒 可得 0RmvJ 2 RmvmRv JJR 二 填空题二 填空题 1 基础训练 8 绕定轴转动的飞轮均匀地减速 t 0 时角速度为 t 20s 时 0 5rad s 角速度为 则飞轮的角加速度 0 05 rad s2 t 0 到 t 100 s 时间内飞轮 0 0 8 O v v 俯视图 姓名 学号 大学物理 答题纸 第五 章 3 所转过的角度 250rad 提示提示 飞轮作匀变速转动 据 可得出 0 t 2 0 0 05rad s t 据可得结果 2 0 1 2 tt 2 基础训练 10 如图 5 13 所示 P Q R 和 S 是附于刚性轻质细杆上的质量分别为 4m 3m 2m 和 m 的四个质点 PQ QR RS l 则系统对轴的转动惯量为 50ml2 O O 提示提示 据 有 2 i i Jmr 2222 4 3 3 2 2050Jm lmlmlml 图图 5 13 3 基础训练 12 如图 5 14 所示 滑块 A 重物 B 和滑轮 C 的质量分别为 mA mB和 mC 滑轮的半径为 R 滑轮对轴的转动惯量 J mC R2 滑 块 A 与桌面间 滑轮与轴承 2 1 之间均无摩擦 绳的质量可不计 绳与滑轮之间无相对滑动 滑块 A 的加速度 CBA B mmm gm a 2 2 提示提示 图图 5 14 由转动定律得 1 BA T RT RJ 2 BBB GTm a 3 AA Tm a 4 aR 联立以上 4 式 可解得 22 BABc am gmmm 4 自测提高 9 一长为 l 质量可以忽略的直杆 两端分别固定有质量为 2m 和 m 的小球 杆可绕通过其中心 O 且与杆垂直的水平光滑固定轴在铅直平面内转动 开始杆与水平方向 成某一角度 处于静止状态 如图 5 21 所示 释放后 杆绕 O 轴转动 则当杆转到水平 位置时 该系统所受到的合外力矩的大小 M 此时该系统角加速度的大小 2mgl 2 3 g l 提示提示 C A B R P S Q O O GB TB TA 姓名 学号 大学物理 答题纸 第五 章 4 m 2m O 图图 5 215 21 5 自测提高 12 一根质量为 m 长为 l 的均匀细杆 可在水平桌面上绕通过其一端的竖 直固定轴转动 已知细杆与桌面的滑动摩擦系数为 则杆转动时受的摩擦力矩的大小为 mgl 2 提示提示 在细杆长 x 处取线元 dx 它所受到的摩擦力矩 则 f m dMdm g xdx g x l 0 2 l f mmgl Mgxdx l 三 三 计算题计算题 1 基础训练 16 一转动惯量为 J 的圆盘绕一固定轴转动 起初角速度为 设它所受 0 阻力矩与转动角速度成正比 即 k 为正的常数 求圆盘的角速度从变为Mk 0 时所需时间 0 2 1 解解 根据 kM dt d JJM 可得 代入有 JdMdt kM k dtJd t d J dt 0 2 1 0 0 所以得 k J t 2ln 2 基础训练 18 如图 5 17 所示 质量分别为 m 和 2m 半径分别为 r 和 2r 的两个均匀圆 盘 同轴地粘在一起 可以绕通过盘心且垂直盘面的水平光滑固定轴转动 对转轴的转动 惯量为 9mr2 2 大小圆盘边缘都绕有绳子 绳子下端都挂一质量为 m 的重物 求盘的角加 速度的大小 解解 受力情况如图 5 17 11 TT 22 TT 1 11 mgTma 2 22 Tmgma 3 12 2T rT rJ 4 1 2ar 5 2 ar 联立以上几式解得 图图 5 17 2 19 g r 3 自测提高 16 如图 5 24 所示 长为l的轻杆 两端各固定质量分别为m和 2m的小 球 杆可绕水平光滑固定轴O在竖直面内转动 转轴O距两端分别为l和l 轻杆原来 3 1 3 2 静止在竖直位置 今有一质量为m的小球 2 2 2 2Mmglmglmgl 22 2 2 2 2 3 Mmglg Jm lm ll 两边积分 0 0 1 2 0 t J kdtd 所以得 k J t 2ln 图图 5 24 2m m m O 02 1v l 0 v l l 3 2 l l 3 1 l 姓名 学号 大学物理 答题纸 第五 章 5 以水平速度与杆下端小球m作对心碰撞 碰后以的速度返回 试求碰撞后轻杆所获 0 v 0 2 1v 得的角速度 解解 系统所受的合外力矩为零 角动量守恒 碰前的角动量为 碰后的角动量为 所以 得 4 自测提高 17 如图 5 25 所示 一质量均匀分布的圆盘 质量为 0 m 半径为 R 放在一粗糙水平面上 圆盘与水平面之间的摩擦系数为 圆 盘可绕通过其中心 O 的竖直固定光滑轴转动 开始时 圆盘静止 一质 量为 m 的子弹以水平速度 v0垂直于圆盘半径打入圆盘边缘并嵌在盘边上 求 1 子弹击中圆盘后 盘所获得的角速度 2 经过多少时间后 圆 盘停止转动 圆盘绕通过 O 的竖直轴的转动惯量为 忽略子弹 2 0 1 2 m R 重力造成的摩擦阻力矩 解解 1 以子弹和圆盘为系统 设为碰撞后瞬间的角加速度 由角动量守恒定律得 0 2 圆盘的质量面密度 在圆盘上取一半径为 r 宽为 dr 的小环带 质量元 0 2 m R 此环带受到的摩擦阻力矩 2dmrdr 2 f dMdm g rrdr g r 则 根据根据 可推出 可推出 所以 0 0 3 2 mv t m g 5 自测提高 18 如图 5 26 所示 空心圆环可绕光滑的竖直固定轴AC自由转动 转动惯 量为J0 环的半径为R 初始时环的角速度为 0 质量为m的小球静止在环内最高处A点 由于某种微小干扰 小球沿环向下滑动 问小球滑到与环心O在同一高度的B点和环的最 低处的C点时 环的角速度及小球相对于环的速度各为多大 设环的内壁和小球都是光滑 的 小球可视为质点 环截面半径r R 解解 选小球和环为系统 运动过程中小球虽受重力作用 但重力方向与 转轴平行 对绕轴转动不起作用 系统所受 m R O 0 v 图图 5 25 0 2 0 2 0 2 1 RmmRRmv Rmm mv 2 1 0 0 0 2 0 0 2 0 2 2 3 R f m Mgr drm gR R f d MJ dt 00 00 22 0 0 1 2 t f M dtJdm RmRd R A 0 B C lmv 3 2 0 3 1 2 3 2 3 2 2 1 22 0 lmlmlvm 3 1 2 3 2 3 2 2 1 3 2 22 00 lmlmlvmlmv l v 2 3 0 姓名 学号 大学物理 答题纸 第五 章 6 的对转轴的合外力矩为零 故系统对该轴的角动量守恒 即系统起初的角动量 J0 0与小球 滑到 B 点时系统角动量相同 J0 0 J0 mR2 所以 图图 5 26 00 2 0 J JmR 又因环的内壁和小球都是光滑 只有保守力做功 系统机械能守恒 取过环心的水平面为 势能零点 则有 22222 000 111 222 B JmgRJmRv 式中 vB表示小球在 B 点时相对地面的竖直分速度 也等于它相对于环的速度 代入 得 0 2 22 00 2 JmR RJ gR B v 当小球滑到 C 点时 由角动量守恒定律 系统的角速度又回复至 0 又由机械能守恒定律 可知 小球在 C 的动能完全由在 A 点的重力势能转换而来 所以 Rmgm C 2 2 1 2 vgR C 4 v 四四 附加题附加题 1 基础训练 17 在半径为 R 的具有光滑竖直固定中心轴的水平圆盘上 有一人静止站立 在距转轴为处 人的质量是圆盘质量的 1 10 开始时盘载人对R 2 1 地以角速度匀速转动 现在此人垂直圆盘半径相对于盘以速率 v 0 沿与盘转动相反方向作圆周运动 如图 5 16 所示 已知圆盘对中 心轴的转动惯量为 2 2 1 MR 图图 5 16 求 1 圆盘对地的角速度 2 欲使圆盘对地静止 人应沿着圆周对圆盘的速度的大小及方向 R 2 1 v 解 解 1 设当人以速率 v 沿相对圆盘转动相反的方向走动时 圆盘对地的绕轴角速度为 则人对地的绕轴角速度为 1 2 1 2 vv R R 视人与盘为系统 所受对转轴合外力矩为零 系统的角动量守恒 设盘的质量为 M 则人 的质量为 M 10 有 2 22 22 0 11 21022102 MRMR MRMR 将 1 式代入 2 有 0 2 21 v R 3 R v R 2 姓名 学号 大学物理 答题纸 第五 章 7 2 欲使盘对地静止 则式 3 必为零 即 所以 0 2 0 21 v R 0 21 2 R v 式中负号表示人的走动方向与上一问中人走动的方向相反 即与盘的初始转动方向一致 2 自测提高 19 一轻绳绕过一定滑轮 滑轮轴光滑 滑轮的半径为 R 质量为 m 4 均 匀分布在其边缘上 绳子的 A 端有一质量为 m 的人抓住了绳端 而在绳的另一端 B 系了一 质量为 m 2 的重物 如图 5 27 所示 设人从静止开始相对于绳匀速向上爬时 绳与滑轮间