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数学归纳法教案 主讲：张丽君【教学目标】1.知识目标：了解数学归纳法的原理及其使用范围；掌握数学归纳法证题的两个步骤一个结论；会用“数学归纳法”证明简单的与正整数n有关的命题。2.能力目标：初步掌握归纳与推理的方法；培养大胆猜想，小心求证的辩证思维素质。3.情感目标：通过对数学归纳法原理的探究，培养学生严谨的、实事求是的科学精神和不怕困难，勇于探索的精神。【教学重点】使学生理解数学归纳法的实质，掌握数学归纳法的证题步骤(特别要注意递推步骤中归纳假设的运用和恒等变换的运用)【教学难点】数学归纳法中递推思想的理解；递推步骤中如何利用归纳假设.【教学方法】类比启发探究式教学方法【教学手段】多媒体辅助课堂教学【教学过程】主干层次为：创设情景（提出问题）;探索解决问题的方法（建立数学模型）;方法尝试（感性认识）;理解升华（理性认识）;方法应用（解决问题）;教学过程设计以问题为中心，以探究解决问题的方法为主线展开。这种安排强调过程，符合学生的认知规律，使数学教学过程成为学生对书本知识的再创造、再发现的过程，从而培养学生的创新意识。具体过程安排如下：（一）创设问题情景口算：-1+3= -1+3-5= -1+3-5+7= -1+3-5+7-9= 由特殊到一般归纳猜想：怎样证明这个猜想是正确的呢？验证：因为正整数有无限多个，用一一验证的方法无法完成证明，所以必须寻找一种用有限个步骤，就能够处理完无限多个对象的方法。师生活动：学生计算并大胆猜想，教师提出应如何证明，并引导学生尝试一一验证，得出验证方法无法完成证明，寻求新的方法。（二）探索解决问题的方法1、“多米诺骨牌”游戏动画演示：教师提问：如果我们想要确保所有的骨牌都倒下，必须满足哪些条件呢？师生共同归纳总结出所有骨牌倒下的条件有两点：(1) 第一张骨牌倒下； （游戏开始的基础）(2) 任意相邻的两块骨牌，前一块倒下一定导致后一块倒下。即第k块倒下，第k+1块一定倒下。（游戏继续的条件）教师：这里蕴含着数学中一种重要的思想：递推思想。 只要保证（1）（2）成立，那么所有的骨牌一定可以全部倒下 教师：生活中，体现这种递推思想的例子也是不少的，你能举出例子来吗？学生举例：一排排放很近的自行车，只要碰倒第一辆，就会倒下一排; 早操排队对齐等教师：我们能不能利用多米诺骨牌表现出来的递推思想，对一些与自然数有关的命题进行证明呢？ 2.学生类比多米诺骨牌依顺序倒下的原理，探究出证明有关正整数命题的方法（建立数学模型）。（1）n取第一个值时命题成立;（递推基础）（2）假设 n=k(k)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。（递推依据）满足这两个条件后，命题对一切n均成立。这种证明与正整数n有关的命题的方法称为数学归纳法（三）方法尝试 师生共同用数学归纳法证明教师：用数学归纳法证明这个命题第一步应该证明什么？生：当n=1时，左边=1，右边=1，此时公式成立。教师：证明第二步先要干什么，然后再干什么？生：先作归纳假设，然后证明“由前向后”的递推关系即设n=k，公式成立，即 以此为条件证明当n=k+1时，公式也成立即 也成立。教师：应注意，这里是证明递推关系要成立，必须要用到归纳假设，否则就不叫用数学归纳法证题，而且这里两个步骤缺一不可。（四）理解升华1.置疑 对上面的证明方法，充分让学生置疑、提问。2.方法总结：通过上例题说明应用数学归纳法要注意以下两点：重点：两个步骤、一个结论；注意：递推基础不可少，归纳假设要用到，结论写明莫忘掉。（五）知识应用，巩固深化1、学生练习：课本第50页练习题1：用数学归纳法证明: 1+3+5+7+ +（2n-1）=n2请一个同学上讲台做，然后教师当堂点评。2、教师提问学生思考思考1： 当时，能否这样证明：时，等式成立思考2：对于等式2+4+6+2nn2+n+1某同学用数学归纳法给出了如下的证明，请问该同学得到的结论正确吗？解:设nk时成立，即2+4+6+2kk2+k+1则当n=k+1时2+4+6+2k+2(k+1)k2+k+1+2k+2(k+1)2+(k+1)+1这就是说，nk+1时也成立所以等式对任何nN*都成立.思考3：步骤 (1) 中n取的第一个值一定是1吗？为什么？举例说明：用数学归纳法证明 n边形的对角线的条数是此时n取的第一个值是3.(六）小结（师生共同完成）1、数学归纳法使用范围：证明一些与正整数n有关的命题。2、数学归纳法证明命题的两个步骤：（1）n取第一个值时命题成立;（递推基础）（2）假设 n=k(k)命题成立，利用它证明n=k+1 时命题也成立。（递推依据）满足这两个条件后，命题对一切n均成立。说明：用数学归纳法证明命题的两步骤缺一不可。证明n=k+1命题成立时，一定要利用假设。（七）布置作业 习题4.1第2、3、4题。（八）板书设计：数 学 归 纳 法数学归纳法： 1）n取第一个值时命题成立;（递推基础