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第4章控制系统优化设计与仿真 最优化问题提出背景 当被控对象的数学模型以及对控制系统的技术要求给定之后 为了确定控制器的结构和参数 需要进行大量的计算 通常的工作步骤是 设计者根据对实际系统的了解 先假设控制器参数的一组初始值 通过仿真或者直接在实际系统上做试验 求出系统对典型输入的响应特性 然后设计者分析所得结果 并依据理论分析和以往的经验修改控制器参数 接着再进行仿真计算 或试验 再分析比较 再修改参数 2 当被控对象比较简单时以上做法可行 对于具有若干个输入的多回路的复杂系统 即使花费了大量的时间和精力 也不见得能够找到满足工程要求的最佳控制器结构以及相应的参数 为了获得最佳的设计效果 出现了最优化技术 为此 提出两类优化问题 上一页 下一页 返回 3 4 1控制系统参数优化的基本概念 4 1 1两类优化问题4 1 2问题的提法及专用名词4 1 3寻优途径及优化方法的评价4 1 4控制系统优化设计中目标函数的构成4 1 5数字仿真在优化设计中的作用 上一页 下一页 返回 4 1 1两类优化问题 上一页 下一页 返回 函数优化问题 参数优化问题 1 函数优化问题 上一页 下一页 返回 函数优化问题也称为动态优化问题 对于控制器设计问题来说 相当于控制器的结构并不知道 需要设计出满足某种优化条件的控制器 例如 应该选择PI控制器 还是PID控制器 6 2 参数优化问题参数优化问题也称为静态优化问题 在这类问题中 控制器的结构 形式已经确定 而需要调整或寻找控制器的参数 使得系统性能在某种指标意义下达到最优 例4 2 对于如图4 2所示的PID控制系统 要求寻找理想的控制器参数 使系统性能指标为最优 图4 2 上一页 下一页 返回 7 在该例中 被控对象数学模型G s 已知 PID控制器的类型和形式已确定 为式中 Kp Ti Td 为控制器参数 在某个给定信号r t 作用下 测量系统输入量r t 与输出量之间y t 的偏差e t 显然 e t 是Kp Ti Td的函数 选择作为指标函数 式中 tf为系统调节时间 上一页 下一页 返回 8 问题提法是 如何选择合适的参数值 使得目标函数Q为最小 即有本章讨论参数优化问题 上一页 下一页 返回 9 4 1 2问题的提法及专用名词 1 控制系统参数优化问题的一般提法当被控对象已知 控制器的结构形式也已确定 需要调整或寻找控制器的某些参数 使系统性能在某种指标意义下达到最优 如果目标函数用Q 表示 需要优化的一组参数用向量 表示 则对于数学模型为 4 1 的控制系统 式中 t为时间 x为n维状态向量 F为n维系统运动方程的结构向量 为m维寻优参数构成的向量 要求在满足 上一页 下一页 返回 不等式约束hi 0 i 1 2 q 4 2 等式约束gj 0 j 1 2 p 4 3 等式终端约束Sk tf 0 k 1 2 l 4 4 式中 tf为终止时间 的情况下 寻找一组参数 使目标函数满足 4 5 称 为极小值点 对应的目标函数值Q 为极小值 上一页 下一页 返回 11 2 优化设计专用名词 1 寻优参数 为m维寻优参数向量 也称之为设计变量 或设计参数 2 约束条件在优化过程中 寻优参数的某些组合情况 可能会产生一些明显不合理的设计 超出了某些允许范围 在数学上可以化为约束条件 例如 在PID控制器的设计中 三个参数应满足约束条件Kp 0 Ti 0 Td 0在许多工程问题中 约束条件往往不能写成寻优参数的显函数形式 只要是 可计算 的函数就可以了 例如 在PID控制系统中 超调量 是控制器参数Kp Ti Td的函数 但是不一定能具体写出来 上一页 下一页 返回 12 3 目标函数在控制器的所有可行设计中 有些设计方案比另一些 要好些 好的设计比差的设计肯定具有更好的某种 或某些 性质 如果这种性质可以表示为寻优参数的一个可计算的函数 那么只需要寻求这个函数的极值 就可以得到 最优 的设计 这个用来使设计得以优化的函数就称为目标函数 为了强调它对寻优参数的依赖性 将其写成Q 同样 在工程问题中 Q 不一定能写成显函数形式 只要求是 可计算 的函数 上一页 下一页 返回 使目标函数为极大时 如何处理 此时只需要将目标函数变成 Q 即可 因为当 Q 达到极小时 Q 就达到了极大 13 4 约束优化问题的无约束处理在工程问题中 寻优参数的取值范围总是要受到限制的 即要在一定的约束条件下来求目标函数的最优解 若约束对于寻优参数的限制是很宽的 以至于可以确信在 附近约束都能满足的话 则把它看成是无约束优化问题来处理 若在 附近约束条件可能被破坏 就需要将约束优化问题转换成无约束优化问题来处理 例如 取 4 6 式中 Q0 不考虑约束条件时的目标函数 gi 0 i 1 2 p是p个等式约束条件 Ci 正数权因子 表示第i个约束条件的重要性 Cigi2 第i个约束条件不满足时的罚函数 上一页 下一页 返回 14 4 1 3寻优途径及优化方法的评价 常见的最优化问题分类 15 线性规划 Linearprogramming 问题举例 某人有一笔50万的资金可用于长期投资 可供选择的投资机会包括购买国库券 购买公司债券 投资房地产 购买股票和银行储蓄等 各种投资方式的参数见下表 投资者希望投资组合的平均年限不超过5年 平均期望收益率不低于13 风险系数不超过4 增长潜力不低于10 问在上述前提下如何选择才能使平均年收益率最高 16 求解过程 建立线性规划模型 设xi为第i种投资方式在总投资额中所占的比例 使用Matlab的线性规划求解函数linprog 解得x 0 5575 0 0195 0 4230 0 0 0 0 17 某厂在一计划期内拟生产甲 乙两种大型设备 该厂有充分的生产能力来加工制造这两种设备的全部零件 所需原材料和能源也可满足供应 但A B两种紧缺物资的供应受到严格限制 每台设备所需原材料如下表所示 问该厂在本计划期内应安排生产甲 乙设备多少台 才能使利润达到最大 整数规划问题举例 18 非线性规划 nonlinearprogramming 问题举例 f x x1 x2 x1 0 x2 0 x12 x22 1x12 x22 2 s t 19 多目标规划 Multi objectiveoptimization 问题举例 20 求解最优化问题的方法 线性规划 单纯形法 大M法 无约束非线性规划 牛顿法 黄金分割法 有约束非线性规划 惩罚函数法 二次规划 整数规划 分支定界法 隐枚举法 智能优化算法 模拟退火算法 遗传算法 蚁群算法 微粒群优化算法 差分进化算法 21 3 优化方法的评价评价一种优化方法的优劣 主要考虑下列因素 1 收敛性寻优过程就是逐步搜索满足Q minQ 的 值的迭代过程 迭代过程的收敛性好坏 表示某种优化方法适用范围的大小 2 收敛速度为了求出同样精度的极小值点 不同的优化方法所需要的迭代次数不同 上一页 下一页 返回 3 每步迭代所需的计算量 22 4 1 4控制系统优化设计中目标函数的构成 控制系统参数优化设计中的目标函数一般可分为两大类 加权性能指标型目标函数和误差积分型目标函数 1 加权性能指标型目标函数这一类目标函数是根据经典控制理论设计系统的性能指标建立起来的 如系统在阶跃信号作用下的上升时间 调整时间 超调量以及振荡次数等 对这些性能指标的要求往往存在矛盾性 此时可以采用加权的方法建立目标函数 例如 式中 为加权系数 满足表示超调量在目标函数中的成份 其具体取值为 4 12 和分别为系统上升时间 调整时间和超调量的期望值 2 误差积分型目标函数对于一般随动系统 误差e t 定义为输入信号r t 和系统输出c t 之差 即e t r t c t 4 13 上一页 下一页 返回 24 常用的目标函数有如下几种 误差绝对值的积分 IAE 误差平方的积分 ISE 时间乘以误差绝对值积分 ITAE 时间乘以误差平方的积分 ITSE 时间平方乘以误差绝对值的积分 ISTAE 时间平方乘以误差平方的积分 ISTSE 上一页 下一页 返回 25 4 2单纯形法 该部分不做要求 4 2 1单纯形法原理4 2 2单纯形的构成4 2 3改进单纯形法 上一页 下一页 返回 4 2 1单纯形法原理 单纯形法的基本思路预先计算出在若干个点处的目标函数值 然后根据它们之间的大小关系 可以看出Q 变化的大致趋势 为寻求Q 的下降方向提供参考信息 单纯形法的寻优过程 二维情况 见图4 4 寻优参数为 1和 2 图中的实线为Q C C为常数 的等高线族 先取1 2 3点并计算这3点处的目标函数值 对它们的大小进行比较 C1最大 故将1点抛弃 在1点的对面取一点4 构成一个新的三角形 计算4点处的目标函数值 再比较三点处的函数值的大小 C2最大 上一页 下一页 返回 将2点抛弃 在2点的对面取一点5 3 4 5点又构成一个新的三角形 如此不断重复上述过程 直至最后找到极小值点 图4 4 上一页 下一页 返回 28 4 2 2单纯形的构成 在一切几何图形 或超几何图形 中以单纯形 参数空间内简单的规则形体 的顶点为最少 所以寻优所用的几何图形以单纯形为最合适 在m维空间中 其顶点个数为m 1 求出正规单纯形各顶点的坐标的方法若已选定 0 和任意两点之间的距离a 即正规单纯形的边长 于是 m 1 个点的坐标为 上一页 下一页 返回 显然 0 1 0 2 0 m 为m个线性无关的向量 4 20 4 21 4 22 有 上一页 下一页 返回 30 4 2 3改进单纯形法 改进单纯形法的基本思想是 给定初始点 0 和步长a 产生初始单纯形S0 通过反射 扩张 收缩和紧缩等一系列动作将单纯形翻滚 变形 从而产生一系列的单纯形S1 S2 S3 逐渐向极小值点靠拢 当满足精度指标时 迭代停止 取当前单纯形的 最好点 作为极小点的近似 上一页 下一页 返回 改进单纯形法的迭代规则 假设当前单纯形为Sk 对组成单纯形的 m 1 个顶点 记 L为 最好点 H为 最坏点 G为 次坏点 即首先 计算当前单纯形的 m 1 个顶点中去掉最坏点 H后的形心 4 26 判别是否满足终止条件 即计算 4 27 上一页 下一页 返回 32 如果error 为给定的精度指标 则停止迭代 取当前单纯形的 最好点 L作为所极小值点 的近似 否则 计算 最坏点 H关于形心的反射点 R 4 28 对二维单纯形 如图4 5所示 图4 5根据反射点的目标函数值的大小 共有四种可能 1 Q R Q L 即 R比 最好点 L还要好 2 Q L Q R Q G 即 R虽不优于 最好点 L 但优于 次坏点 G 33 3 Q G Q R 1为扩张因子 如图4 6所示 图4 6 上一页 下一页 返回 34 如果Q E Q L 则扩张成功 以 E作为新顶点 取代 最坏点 H 构成新单纯形Sk 1 如图4 7所示 图4 7反之 扩张失败 以 R作为新顶点 取代 最坏点 构成新单纯形Sk 1 如图4 8所示 图4 8 上一页 下一页 返回 35 情况2 以 R取代 最坏点 H 构成新单纯形Sk 1 如图4 8所示 情况3 计算收缩点 4 30 式中 0 1为收缩因子 如图4 9所示 图4 9 上一页 下一页 返回 36 如果Q C Q H 以 C作为新顶点 取代 最坏点 H 构成新单纯形Sk 1 如图4 10所示 否则 将当前单纯形的各个顶点向 最好点 L紧缩 即 4 31 如图4 11所示 图4 10 图4 11 上一页 下一页 返回 37 情况4 计算收缩点 C 4 32 式中 0 1为收缩因子 再按情况3 同样处理 产生新单纯形Sk 1后 继续下一轮迭代 改进单纯形法的程序框图如图4 12所示 图4 12 上一页 下一页 返回 38 4 3控制系统参数优化设计的实例 4 3 1电机电压控制系统的数学模型4 3 2两种寻优参照对象4 3 3寻优程序与Simulink模型之间的信息传递4 3 4仿真运行与结果分析 上一页 下一页 返回 4 3 1电机电压控制系统的数学模型 电机电压控制系统如图4 13所示 图4 13其中 K为系统开环增益 0 185 0 033 0 021为系统元件时间常数 在阶跃输入信号作用下要求的性能指标为开环增益K 20 超调量 20 上升时间tr 0 16s 上一页 下一页 返回 当K 18时 系统已接近等幅振荡 要满足以上系统的性能指标要求 必须加入校正环节 采用串联校正环节接入校正环节后 系统结构如图4 14所示 图4 14 上一页 下一页 返回 41 4 3 2两种寻优参照对象 1 误差积分型目标函数选用的是误差平方积分型目标函数 ISE 式中 上一页 下一页 返回 2 参考模型法目标函数建立一个理想的参考模型 它在给定的输入信号作用下能够产生期望的输出响应 即它能满足所研究系统的所有性能指标要求 以该模型作为参考 将系统的输入信号同时加到实际系统和参考模型上 如图4 16所示 然后 将参考模型的输出与实际系统的输出进行分析 比较 并根据它们之间的偏差对系统的参数进行调整 使得在某种意义下偏差尽可能小 即 上一页 下一页 返回 43 式中 选择如图4 17所示的典型二阶系统作为参考模型 图4 17取阻尼系数 0 7 由 4 33 有 4 34 上一页 下一页 返回 44 根据系统性能指标要求 近似地取tr 0 15s 有取 n 20 则图4 17中参考模型的开环传递函数近似地取为 4 35 上一页 下一页 返回 45 4 3 3寻优程序与Simulink模型之间的信息传递 1 M文件中调用Simulink模型将数据传送至控制系统模型中的某一个模块可以使用set param函数 其调用格式为set param 模型名称 模块名称 参数 参数值 其中 模型名称为Simulink构模的 mdl文件 模块名称为 mdl文件中所需传送参数的模块 在载入参数值时 应使用num2str函数将其转换成字符串才行 上一页 下一页 返回 当参数传递完毕后 就可以对Simulink模型进行仿真 仿真的命令可以用以下语句来实现sim 模型名称 仿真时间 仿真参数 外部输入 上一页 下一页 返回 47 2 Simulink模型的数据传到工作空间以便M文件访问仿真结束后 为了能将模型中的数据传送至工作空间去以便M文件访问 必须要用到输出模块ToWorkspace 如图4 19所示 ToWorkspace模块能够接受向量输入 在返回工作空间的变量中 每一个输入元素的轨迹都保存在一个列向量中 该模块的设置如图4 20所示 图4 20 图4 19 上一页 下一页 返回 48 3 模块的重新封装例如 有一个校正模块 corrector 需要重新封装 其中a b为寻优参数 该模块的参数设置如图4 21所示 重新封装模块的步骤如下 图4 21 上一页 下一页 返回 49 重新封装模块的步骤如下 在对应的Simulink模型窗中 选定该模块 在Edit菜单栏中选择Createsubsystem进行模块化 并将生成的模块取名为corrector 然后再选择Masksubsystem 在Parameters选项卡中添加参数的名称 如图4 22所示 图4 22 上一页 下一页 返回 50 其中 Prompt为标签名 可以根据实际情况进行设置 Variable为参数名 必须设置成待调优的参数名称a b 重新封装后的模块及参数设置对话框如图4 23所示 这样参数值就能传送至参数a和b中 图4 23 上一页 下一页 返回 51 4 控制系统参数寻优软件简介本软件是一个自编的服务于控制系统仿真和CAD教学软件 通过对MATLAB Simulink函数的调用 实现对控制系统的仿真和优化设计 软件由图形界面程序 main m 单纯形法优化程序 simplex m 系统仿真程序 simulate m 及用户自编的控制系统仿真模型 mdl 组成 上一页 下一页 返回 52 表4 1软件模块的组成 上一页 下一页 返回 53 启动MATLAB6 5 在CurrentDirectory中选择上述的文件夹为当前目录 并运行程序 main m 进入如图4 24所示的图形用户界面 图4 24 上一页 下一页 返回 54 通过系统模型参数中的选择文件栏 或通过菜单栏文件选项中的打开系统模型来选择用户编写的系统模型文件 如图4 25所示 此时 软件会自动打开用户选择的系统模型 方便用户的修改 系统模型设置要求的输出包括 时间输出t 系统输出y 目标函数值输出Q 输出需要使用ToWorkspace模块 并按照图4 19和图4 20设置参数 图4 25 上一页 下一页 返回 55 本软件提供了四种类型的误差积分型目标函数 IAE ISE ITAE和ITSE 如果用户希望抑制响应曲线的超调量 可在图4 24中选择抑制超调 并设置抑制的常数k 目标函数修改为 4 36 式中 Qerror为上述误差积分型目标函数中的任意一种 显然 常数k值越小 超调量 抑制得越明显 系统模型参数与优化参数的初始值设置完成后 用户可以点击 开始仿真 按钮进行仿真 仿真曲线及每一步优化得出的结果会显示在如图4 24所示的用户界面的左侧 上一页 下一页 返回 56 4 3 4仿真运行与结果分析 以图4 15所示Simulink模型为例详细介绍仿真寻优的实现过程 1 仿真结构图建立如图4 26所示的控制器封装后的Simulink模型 并将该模型以文件ccontroller mdl存盘 图4 26 ccontroller mdl 注 实际中采用的是包含多种形式的目标函数封装模块 下同 上一页 下一页 返回 其中 寻优参数的设置和corrector模块内部的结构分别如图4 27和图4 28所示 图4 27 图4 28 上一页 下一页 返回 58 2 仿真运行在MATLAB命令窗口中运行指令 main后 显示如图4 24所示的空白界面 点击选择文件栏 选择系统模型名称 ccontroller 在系统模型参数栏中填入对应的参数 控制器名称 corrector 待调参数个数 2 待调参数名称 T1 T2 待调参数初始值 55 仿真时间 1 5 目标函数 ISE 选择精度指标 0 0000001 点击 开始仿真 按钮 经过一段时间的运行后得到如图4 29所示的仿真寻优结果 上一页 下一页 返回 59 图4 29 上一页 下一页 返回 60 3 运行结果分析一般而言 如果将任意选定的参数初始值的控制器直接加入到系统中 该系统都不稳定 例如 当T1 0 15 T2 0 10时 系统的阶跃响应如图4 30所示 图4 30 T1 15 T2 10 上一页 下一页 返回 61 给定三组不同的参数初始值 经过参数寻优后 得到了三组不同的优化参数及相应的目标函数值 T1 0 15 T2 0 10 T1 1 9535 T2 0 41391 Q T1 T2 0 054648T1 0 5 T2 0 5 T1 1 9454 T2 0 41220 Q T1 T2 0 054648T1 0 10 T2 0 15 T1 1 9553 T2 0 41449 Q T1 T2 0 054648仿真结果表明 3组优化参数的阶跃响应曲线比较相似 没有本质上的差异 上一页 下一页 返回 62 图4 31所示为第一组优化参数的单位阶跃响应曲线 图4 31 T1 1 9535 T2 0 41391 从仿真结果中可以看出 系统的阻尼比太小 超调量偏大 上一页 下一页 返回 63 三种不同的优化参数均表明 采用误差积分型目标函数进行参数寻优存在两个问题 寻优结果不可预断 因为误差积分型目标函数是系统整个过渡过程的一个综合性指标 它反映不出系统性能指标的具体要求 例如 超调量 上升时间等性能指标 人们不能确信优化结果结果在实际中是否有意义 当优化结果不满足要求时 对目标函数无法进行调整 由此可见 在许多场合下利用误差积分型目标函数进行参数寻优的效果不一定好