Cantor集与Cantor函数

CantorCantor 集与集与 CantorCantor 函数函数 摘要摘要 本文 本文详细分析并证明 cantor 集与 cantor 函数的定义与性质 具体内 容有 cantor 集的完备性 具有连续统势 cantor 函数的性质 解决了课堂上 的小问题 关于 cantor 函数的连续性与稠密性 并借助于 cantor 集 给出一 个孤立点集 它的导集是一个完备集 最后给出了一些常见的分形 关键词关键词 Cantor 集 Cantor 函数 分形 点集 完备集 1 1 CantorCantor 集与集与 CantorCantor 函数的定义函数的定义 1 11 1 CantorCantor 集的定义集的定义 将基本区间 A 0 1 三等分 除去中间的开区间 记其剩余 3 2 3 1 11 I 部分为 再将中的两个闭区间各三等分 然后分别去掉 1 3 2 3 1 0 1 E 1 E 中间的开区间 3 8 3 7 3 2 3 1 22 2 2 22 1 2 II 然后记其剩余部分为 如此继续下去 在第 n 步时 去掉 1 3 8 3 7 3 2 3 1 3 2 3 1 0 2222 2 E 的开区间为 3 13 3 23 3 8 3 7 3 2 3 1 1 2 2 1 n n n n nnn n nn n n III 其余部分 为 n 2个长为 n 3 1 的闭区间 令又令 kn kn n n IGG 1 n mk kmn m IG 1 12 1 GC 10 则称所得的 C 为 Cantor 集 1 21 2 CantorCantor 函数的定义函数的定义 将基本区间 A 0 1 三等分 并除去中间的开区间 同时令 把余下的两个闭区间各三等分 并除去中间的开区间 3 8 3 7 3 2 3 1 22 2 2 22 1 2 II 同时令 然后再将余下的四个闭区间用同样的方法处理 这样 当进行到 n 次时 一共去掉了个开区间此时令 下面我们定义如下函数 f 这个函数 f x 就是 Cantor 函数 2 2 CantorCantor 集与集与 CantorCantor 函数的基本性质函数的基本性质 2 12 1 CantorCantor 集的性质集的性质 2 1 12 1 1 完备性完备性 Cantor 集是完备集 引理 引理 F G 则 F 是完备集的充分必要条件是是至多可数个两两 不相交且无公共端点的开区间的并 即 两两不相交且无公共端点 证明 证明 Cantor 集 C 明显满足上述条件 G 0 1 C 故 R C G 而 G 为两两不相交且没有公共端点的开区间的并 故 C 为完备集 2 1 22 1 2 CantorCantor 集是疏集 没有内点集是疏集 没有内点 证证明明 假设是 C 的内点 则存在 使得 这样含于 0 1 中且这个开集的各个构成区间互不相交 这 些区间的长度之和大于 1 矛盾 由C 是疏集 2 1 32 1 3 G 0 1 CG 0 1 C 是是 0 1 0 1 中的稠密集中的稠密集 即证明 证明 证明 易得 下面证明 反证法 任取 x且 x 则存在 x 的一个邻域 其中不含有 G 的点 可得这个领域在 C 内 又 故 x C 所以 x 是 C 中的内点 与 C 是疏集矛盾 所以 故 G 是 0 1 中的稠密集 证毕 2 1 42 1 4 C C 具有连续统势具有连续统势 由上述性质 似乎 Cantor 完备集中没有多少点了 但事实上不然 下面证 明其有连续统势 证明 证明 由定理可得 0 1 与无限 n 元数列全体等价 所以 0 1 中每 一点 x 有惟一的一个无限三元数列 使 1 现在对中所有的点 x 必定 对及 中所有的点 x 必定 中所有的点 x 必定 等等 即对 G 中所有的点 x 1 中所有对应的中必有等于 1 的项 因此 1 中仅由 0 和 2 构成的无限三元数列所对应的 x 都在 C 中 而这样的全体有连续统势 证毕 2 22 2 CantorCantor 函数的性质 关于课堂小问题 函数的性质 关于课堂小问题 CantorCantor 函数的连续性函数的连续性 和稠密性 和稠密性 2 2 12 2 1 CantorCantor 函数是函数是 0 1 0 1 上的单增函数上的单增函数 由其构造方法易得这个性质 在这里就不证明了 2 2 22 2 2 CantorCantor 函数是函数是 0 1 0 1 上的连续函数上的连续函数 引理 引理 f 是 a b 单增实值函数 f a b 是区间 f a f b 的稠子集 则 f 连续 证明引理证明引理 首先证明 f 在 x a 连续 由假设知对于任意的 存在 y 使得 利用 f 的单调性知道 当 a x y 时 这样 f 在 x a 连续 同理可证明 f 在 x b 连续 现在取我们只要证明 明显 假如二者不相等 则有 这样我们可以取数 和 使得 这个 但是对于任意的 x 这和 f a b 在 f a f b 中稠密矛盾 同理可证明 证明证明CantorCantor函数是函数是 0 1 0 1 上的连续函数上的连续函数 因为 对任意的 x 的一个自然数 n 不妨设 则 故 在 0 1 中稠密 因此f 0 1 是 0 1 的稠密子集 得用上述引理 f是 0 1 是的连续函数 3 3 借助于借助于 CantorCantor 集 给出一孤立点集 其导集是完备集集 给出一孤立点集 其导集是完备集 Cantor 集 C 的余集的构成区间的中点集合是孤立点集并且它的的导集是完 备集 证明 证明 设 G 0 1 C 则 G 设 F 是 G 的构成区间的中点组成的集合 对任意的 x F x 是 G 中某 个开区间 E 的中点 故必然存在中 而 G 是两 两不相交的开区间的并 故区间中不会含有除 x 外的 F 中的 点 由 x 的任意性 F 是孤立点集 下面证明 对任意的 x x 的任邻域中有 F 的无限个点 所以 反 过来 我们记 记为构造 Cantor 集的过程中第二次去掉开区间后剩下的 0 1 区 间中的部分 也就是说 一般地 记为构造 Cantor 集的过程中第 n 次去掉开区间后剩下的 0 1 区间中的部分 则表示的各个闭区间去掉中间 1 3 长度的开区间后剩下的部 分 不难发现 假如 则对于任意的 以及满足的一个自然数 n 由于 x 一定属于组成的某个闭区间 注意到 包含了 G 的无限多个构成区间 所以中有 F 的无限个点 于是 x 这样就证明了 4 4 从从 CantorCantor 集到分形集到分形 4 14 1 分形简介分形简介 分形 Fractal 来自拉丁文 Fractals 意思是含有断裂和碎片 它的创始 人是美籍数学家曼德尔伯罗特 他在 1967 年发表了题为 英国的海岸线有多长 的著名论文 海岸线作为曲线 其特征是极不规则 极不光滑的 呈现蜿蜒复 杂的变化 我们不能从形状和结构上区分这部分海岸与那部分海岸有什么本质 的不同 这种几乎同样程度的不规则性和复杂性 说明海岸线在形貌上是自相似 的 也就是局部形态和整体态的相似 目前对分形还没有严格的数学定义 只能给出描述性的定义 粗略地说 1 分形是对没有特征长度但具有一定意义下的自相似图形和结构的总称 2 分形是整体与局部在某种意义下的对称性的集合 3 分形是具有某种意义下的自相似集合 4 分形是其豪斯道夫维数严格大于其拓扑维数的集合 分形可以是自然存在的 也可以是人造的 树木 山川 云朵 闪电 星系 大脑皮层 都是典型的分形 标准的自相似分形是数学上的抽象 迭代生成无限精细的结构 如 Koch 雪花 曲线 谢尔宾斯基 Sierpinski 地毯曲线等 4 24 2 分形的基本性质分形的基本性质 总的说来分形一般有以下特质 在任意小的尺度上都能有精细的结构 太不规则 以至难以用传统欧氏几 何的语言描述 至少是大略的或任意的 自相似 有着简单的递归定义 1 分形集都具有任意小尺度下的比例细节 或者说它具有精细的结构 2 分形集不能用传统的几何语言来描述 它既不是满足某些条件的点的 轨迹 也不是某些简单方程的解集 3 分形集具有某种自相似形式 可能是近似的自相似或者统计的自相似 4 一般 分形集的 分形维数 严格大于它相应的拓扑维数 5 在大多数令人感兴趣的情形下 分形集由非常简单的方法定义 可能 以变换的迭代产生 4 34 3 一些常见分形一些常见分形 4 3 14 3 1 KochKoch 曲线曲线 给定线段 科赫曲线可以由以下步骤生成 1 将线段分成三等分 2 以中间为底 向外或向内画出一个等边三角形 3 将底边移去 分别对每边重复步骤 1 3 该曲线是第一个人为构造的具有局部与整体相似的结构 被称为自相似结 构 4 3 24 3 2 门格尔海绵门格尔海绵 门格尔海绵由以下步骤生成 从一个正方体开始 把正方体的每一个面分成 9 个全等正方形 这样 原正方体将会被分成 27 个小正方体 把每一面的中间的正方体去掉 中间的正方体也去掉 这样留下 20 个小正 方体 把每一个留下的小正方体都重复第 1 3 个步骤 4 3 34 3 3 塞宾斯基三角塞宾斯基三角 塞宾斯基三角有以下步骤生成 1 取一个实心的三角形 多数使用等边三角形 2 沿三边中点的连线 将它分成四个小三角形 3 去掉中间的那一个小三角形 4 对其余三个小三角形重复 1 3 4 3 44 3 4 塞宾斯基地毯 塞宾斯基地毯 生成方法 将一个实心正方形划