正弦定理教学设计

1 1 1 正弦定理正弦定理 一 教学目标 1 知识与技能 通过创设问题情境 引导学生发现正弦定理 并推证正弦 定理 会初步运用正弦定理与三角形的内角和定理解斜三角形的两类问题 2 过程与方法 引导学生从已有的知识出发 共同探究在任意三角形中 边 与其对角正弦的比值之间的关系 培养学生通过观察 猜想 由特殊到一般归 纳得出结论的能力和化未知为已知的解决问题的能力 3 情感 态度与价值观 面向全体学生 创造平等的教学氛围 通过学生 之间 师生之间的交流 合作和评价 调动学生的主动性和积极性 给学生成 功的体验 激发学生学习的兴趣 二 教学重点与难点 1 重点 正弦定理的探索发现及其初步应用 2 难点 正弦定理的证明 了解已知两边和其中一边的对角解三角形时 解的情况不唯一 三 教学过程 一 创设情境 宁静的夜晚 明月高悬 当你仰望夜空 欣赏这美好夜色的时候 会不会 想要知道 那遥不可及的月亮离我们究竟有多远呢 1671 年两个法国天文学家 首次测出了地月之间的距离大约为 385400km 你们想知道他们当时是怎样测出 这个距离的吗 学习了本章 解三角形 的内容之后 这个问题就会迎刃而解 二 新课学习 1 提出问题 我们知道 在任意三角形中有大边对大角 小边对小角的边 角关系 我们是否能得到这个边 角关系的准确量化的表示呢 2 解决问题 回忆直角三角形中的边角关系 根据正弦函数的定义有 sinC 1 sin sin ab AB cc 经过学生思考 交流 讨论得出 sinsinsin abc ABC 问题 1 这个结论在任意三角形中还成立吗 引导学生首先分为两种情况 锐角三角形和钝角三角形 然后按照化未知 C B A c b a 为已知的思路 构造直角三角形完成证明 当ABC 是锐角三角形时 设边 AB 上的高是 CD 根据锐角三角函数的定 义 有 si nC DaBsinCDbA 由此 得 si nsi n ab AB 同理可得 si nsi n cb CB 故有 si nsi n ab AB si n c C 从而这个结论在锐角三角形中成立 当ABC 是钝角三角形时 过点 C 作 AB 边上的高 交 AB 的延长线于点 D 根据锐角三角函数的定义 有 si nsi nC DaC BDaABCsinCDbA 由此 得 si nsi n ab AABC 同理可得 si nsi n cb CABC 故有 si nsi n ab AABCsi n c C 由 可知 在ABC 中 成立 si nsi n ab AB si n c C 从而得到 在一个三角形中 各边和它所对角的正弦的比值相等 即 si nsi n ab AB si n c C 这就是我们今天要研究的 1 1 1 正弦定理 思考 你还有其它方法证明正弦定理吗 接着给出解三角形的概念 一般地 把三角形的三个角 A B C 和它们的 对边 a b c 叫做三角形的元素 已知三角形的几个元素求其它元素的过程叫 做解三角形 问题 2 你能否从方程的角度分析一下 解三角形需要已知三角形中的几 个元素 问题 3 我们利用正弦定理可以解决一些怎样的解三角形问题呢 1 已知三角形的任意两个角与一边 求其他两边和另一角 2 已知三角形的两边与其中一边的对角 计算另一边的对角 进而计算 出其他的边和角 ab D A B C A B C D b a 3 应用定理 例 1 B45C105 ABC 在中 已知 a 5 解三角形 例 2 a32B45 ABC 在中 已知 b 解三角形 问题 4 你发现运用正弦定理解决的这两类问题的解的情况有什么不同吗 练习 1 在 ABC中 a 2 b 6 A 30 解三角形 3 练习 2 根据下列条件解三角形 1 在中 已知 ABC 0 120 35 5 Bba 2 在 ABC中 a 4 b 8 A 30 3 在 ABC中 a 2 c A 45 6 三 课堂小