数学核心素养之数学运算

数学运算数学运算 数学运算是指在明晰运算对象的基础上 依据运算法则解决数学问题的过 程 主要包括 理解运算对象 掌握运算法则 探究运算方向 选择运算方法 设计运算程序 求得运算结果等 数学运算是数学活动的基本形式 也是演绎推理的一种形式 是得到数学 结果的重要手段 数学运算是计算机解决问题的基础 在数学运算核心素养的形成过程中 学生能够进一步发展数学运算能力 能有效借助运算方法解决实际问题 能够通过运算促进数学思维发展 养成程 序化思考问题的习惯 形成一丝不苟 严谨求实的科学精神 高中数学运算素养在课堂培养中需要梳理和明确的有三步 即梳理数学运 算常见错误 强化数学运算培养途径 形成数学运算的培养共识 1 梳理数学运算常见错误 1 审题出错 看错 虽然看不懂 没看全 看错字等都是造成审题出错的因素 但缺少审题的 步骤和方法也是一个不容忽视的主要因素 学生通过审题解决三个疑惑 有什 么 做什么 怎么做 也就是说要数学运算正确 首先要了解该题的基本情况 和答题的基本方向 即首先是要有目标 这体现了数学运算蕴含目标意识 2 计算出错 算错 学生对计算能力的内涵缺乏科学认识 常常将计算过程中的错误原因归结 到非智力因素上 认为是 马虎 粗心 不注意 才造成计算错误 但是 失之毫厘 差之千里 他们总是只看重解题过程中的方法和思路 对计算的具 体实施 对计算过程中的合理性 简洁性等都没有给出足够的重视 久而久之 慢慢地就造成了一算就错的尴尬境地 造成错误的主要原因虽有基础性的问题 但缺少规则 规范 意识也是一个主要原因 这体现了数学运算蕴含规则意 识 3 答案写错 写错 虽计算等环节正确 但抄错 写错答案也是使运算出错的致命环节 造成 这类错误的主要原因是身体疲劳 数字书写不规范这两个方面 对于减少第一 个错误的方法就需要强身健体 平时注意身体素质的提升 对于减少第二个错 误就需要规范字的书写 这就体现了数学运算需要蕴含强体质意识 写规范字 的意识 4 方向出错 弄错 如果说前三种出错是细微是偶然 那么解题方案理解出错 是方向性错误 犹如一艘迷航的船 永远达不到目的地 这是颠覆性和毁灭性的 造成方向性 出错的主要原因是一些想当然的坏习惯造成的 如三角函数的正弦函数 的振幅有的理解是 有的理解 这就体现了数学运算蕴sin yAx A2A 含方向意识 二 强化运算能力培养途径 1 理解概念夯实运算根基 概念教育的重要性不言而喻 且现行高中教学改革和教学考试考查中对于概念 的理解和把握越来越引起广泛的重视 根深之树不易折 泉深之水不会涸 准 确理解概念是取得数学运算成功的重要根基 而学生许多错误的原因主要是概 念理解出错 或者概念理解不全 因此在课堂上就需要把概念讲清讲透 通过 举一反三 强化学生对概念的理解 如在 2015 年浙江理高考试题第 7 题 存在 函数满足 对任意都有 f xxR A B sin2 sinfxx 2 sin2 fxxx C D 2 1 1f xx 2 2 1f xxx 这个试题的考查就是需要在课堂上落实函数概念教学 这样的考查应该说 使得考试更具公平性 给教师和学生一个公平的机会 如果课堂上能准确落实 概念教学的老师 那么学生就多了一份可能和胜算 2 错错得正巩固运算经验 数学运算中有 负负得正 的运算律 对于学生运算发生错误 老师也要 有这样的一种心态 要给学生产生错误的机会 让学生知道出错了 也能知道 发生错误的原因 实践出真知 通过一次次的出错 让学生慢慢得出正确的运 算方法和运算结论 正如陆游的一首教子诗说 纸上得来终觉浅 绝知此事要 躬行 3 优化策略指明运算方向 运算策略是取得运算成功的重要条件 好比作战中的参谋部 可以为运算 提供最直接最有效的运算方向和运算步骤 其重要性不言而喻 如分类讨论虽 然是一种很好的数学思想方法 但若能合理避免分类讨论那就是一种更高的境 界 从哲学辩证的角度如果能注意克服动辄加以分类讨论的思维定势 并能充 分挖掘数学问题中潜在的特殊性和单一性 尽力打破常规 对应该讨论的正确 讨论 对不必讨论的问题能避免分类讨论 就可以很大程度上优化学生的思维 品质 这就是分类计论的一个基本要求 用之有度 避之有法 下面举 消除参数 避免讨论 一例进行说明 对于含参问题若能有效回避参数 运 用正难则反 等价转化等手段可以使问题的解决与参数的讨论无关 以避开对 参数的烦琐讨论 例 已知适合不等式的 x 的最大值为 3 求 p 得值 2 435xxpx 分析 本题的第一感觉是去绝对值讨论不等式组的解的最大值 显然去绝对值 和后面的分类讨论过程都相当烦琐 计算复杂 不妨回避讨论 由 的最大值为 3 知道整数 3 是不等式解的一个端点值这一重要信息 利用不等式的性质可 把参数问题具体化 解析 由已知不等式的性质知 3 是不等式解的一个端点值 3 是方程534 2 xpxx的一个解 代入得8p 或2p 当8p 时 不等式为5384 2 xxx 084 2 xx 2 3 4835 x xxx 或 5384 3 2 xxx x 32 x 满足题意 当2p 时 不等式为5324 2 xxx 易知 5 是不等式的解 故x的解肯定大于 3 不满足题 8p 4 强化计算提升运算速度 计算是数学运算不可逾越的基本功 提高计算能力首先要避免计算上的错 误 而课堂又是培养学生计算能力的重要场地 在课堂上若能借助于适当的计 算 特别是全员参与的限时计算或竞技计算 对于提高学生的计算能力和纠正 计算常见错误十分有效 因为课堂计算是实战计算 是限时计算 是比较计算 与课后计算有明显的区别 若能有效运用课堂计算对于提高学生的运算水平十 分有益 5 一题多解提供运算通途 一题多解是提高学生运算水平和运算能力的有效途径 在课堂上若能借助 于学生的思维对一些问题进行多解研讨和研究 就可以有效拓展学生对于数学 运算和数学知识的认识和理解 如关于不等式性质 同乘性 的讲解之中 若 能给学生机会 让学生讲讲不同的想法 那就会有下面至少五种不同的方案 例 1 已知0 0abcd 证明acbd 证明 1 1 巧用 因为0 0abcd 则有1 1 bd ac 因此有1 bd ac 又0ac 即有acbd 证明 2 换元法 不妨设 0 0 bam dcn mn 则有 bdam bn abnmmbna 因此有0bdacmmmbna 即有acbd 证明 3 传递性 因为0 0abcd 则有0bcbd 又0acbc 则有 acbd 证明 4 作差法 对于 acbdacadadbda cdd ab 因0 0cdab 而0 0 0 adacbdacbd 证明 5 对数法 因lglg lglg lglglg lglgabcdaclbdacbd 因此有acbd 三 形成数学运算培养共识 1 师生协力强化课堂练习 课堂练习是数学课堂教学的重要组成部分 是学生学习过程中不可缺少的 重要环节 是学生掌握数学知识 形成技能 发展智力的重要手段 是教师了 解学生知识掌握情况的主要途径 要培养学生的运算能力 就要特别重视课堂 练习 数学运算能力提高的主阵地主要是课堂 落实运算能力培养的有效载体 就是课堂练习 课堂练习正确的可以激发学生的兴趣 而错误的也可以适当引 导 使其愈挫愈勇 当然课堂训练不能让教师演示替代更不能事不关己 高高 挂起 课堂练习不但要有目标 而且需要有梯度 这样数学运算能力才能真正 得以提升 2 教师着力推进教法改进 教学改进就需要超越表层的符号教学 由符号教学向深层次的逻辑教学和 意义教学进军 而运算问题一直以来都是提高数学成绩的瓶颈 教师的课堂教 学方法也不容忽视 这就需要教师不断的探索和改变教学方法 发挥教师应有 的示范性和引领性 如教师在板书时要既要讲知识也要指导学生如何计算 教 给学生基本的方法 有针对性地给一些训练计算能力的练习题 要求他们要心 算 也要笔算 即使是草稿也要整洁 因为草稿不是 潦草 3 学生用力促成习惯养成 思想上重视 行动上落实 习惯上强化 一般性的目标一定可以实现 数 学运算能力的培养也是一样 数学运算良好意识的养成 需要一个过程 而形