哈尔滨市松北区2015年中考数学三模试卷含答案解析

第 1页（共 31 页） 2015 年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学三模试卷 一、选择题：每题 3 分，共 30 分。 1某天的最高气温是 7 ，最低气温是 5 ，则这一天的最高气温与最低气温的差是（ ） A 2 B 2 C 12 D 12 2地球的半径为 6370000 米， 6370000 用科学记数法表示为（ ） A 05 B 07 C 06 D 04 3下列运算正确是（ ） A（ 3= a6a3= 3a 2= D 3a+3b=6下列图形中，是轴对称图形的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 5如果点 A（ 点 B（ 直线 y=b 上的两点，且当 么函数 y= 的图象位于（ ）象限 A一、四 B二、四 C三、四 D一、三 6如图，一个几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图）依次是 矩形、矩形、圆形，则这个几何体是（ ） A B C D 第 2页（共 31 页） 7如图，线段 O 的直径，弦 0，则 于（ ） A 160 B 150 C 140 D 120 8抛物线 y= 与 y 轴的交点坐标是（ ） A（ 0， 9） B（ 3， 0） C（ 3， 0） D（ 3， 0）或（ 3， 0） 9如图，在四边形 ， 足为点 E，连接 点 F，点 G 为中点， ， ，则 长为（ ） A 2 B C 2 D 10在运动会径赛中，甲、乙同时起跑，刚跑出 200m，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，若他们所跑的路程 y（ m）与比赛时间 x（ s）的关系如图，有下列说法： 他们进行的是 800乙全程的平均速度为 s； 甲摔倒之前，乙的速度快； 甲再次投入比赛后的平均速度为 s； 甲再次投入比赛后在距离终点 300 米时追上了乙其中正确的个数有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 二、填空题：每小题 3 分，共 30 分。 第 3页（共 31 页） 11计算： = 12函数 的自变量的取值范围是 13把多项式 9x 分解因式的结果是 14不等式组 的解集为 15在函数 y=x4 的空格中，任意填上 “+”或 “ ”，可组成若干个不同的二次函数，其中其图象的顶点在 x 轴上的概率为 16一个扇形的圆心角为 120，它所对的弧长为 6这个扇形的半径为 17如图， O 的直径， O 的切线， O 于 C， 18已知：正方形 ，点 P 满足 ，且 0，过点 M 足为点 M，则 长为 19已知：如图，等腰直角 0， C，点 D 为 一点， 5，连接 ， 0，则四边形 面积为 第 4页（共 31 页） 20如图，菱形 ， 0， G， 0， P 是 中点，连接 0， ， ，则菱形的边长为 三、解答题：其中 21分， 23各 8 分， 250分，共计 60 分。 21先化简，再求值：（ ） ，其中 x=22 22如图所示，正方形网格中， 格点三 角形（即三角形的顶点都在格点上） （ 1）把 向平移后，点 1，在网格中画出平移后得到的 （ 2）把 点 逆时针旋转 90，在网格中画出旋转后的 （ 3）如果网格中小正方形的变长为 1，求点 1）（ 2）变换的路径总长 第 5页（共 31 页） 23省教育厅决定在全省中小学开展 “关注校车、关爱学生 ”为主题的交通安全教育宣传周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收 集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题 （ 1） m= %，这次共抽取 名学生进行调查；并补全条形图； （ 2）在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？ （ 3）如果该校共有 1500 名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？ 24已知点 D 是 中点， E 是线段 中点，过点 F 延长线于点 F，连接 （ 1）如图 1，求证： C； （ 2）如图 2，连接 判断四边形 形状，并证明你的结论 25某校为美化校园，计划对面积为 1800区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 400域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天 （ 1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 （ 2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为 元，乙队为 元，要使这次的绿化总费用不超过 8 万元，至少 应安排甲队工作多少天？ 26如图 1， O 的直径，过点 C 的切线与弦 延长线交于点 D， 半径， ，连接 第 6页（共 31 页） （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求 长； （ 3）在（ 2）的条件下，如图 2，作 O 于点 M，过 M 作 点 N，求 长 27如图（ 1），在平面直角坐标系中，抛物线 y=（ a0）与 x 轴交于 A、 y 轴交于点 C， 物线的对称轴直线 x 轴交于点 D，点 F（ 2， 3），点 E（ 7， 0） （ 1）求此抛物线的解析式； （ 2）如图（ 1），若点 M 是线段 一点（点 M 不与点 O、 D 重合），过点 M 作 x 轴，交抛物线于点 L，点 L 关于抛物线对称轴的对称点为点 H，点 P 是线段 一点，连接 以 斜边的等腰直角三角形时，求此时点 P 的坐标； （ 3）如图（ 2），过点 K x 轴交直线 点 K，连接 N 是 K 上任意一点，将 翻折得到 ，求 当 何值时， 与 积的 第 7页（共 31 页） 2015 年黑龙江省哈尔滨市松北区中考数学三模试卷 参考答案与试题解析 一、选择题：每题 3 分，共 30 分。 1某天的最高气温是 7 ，最低气温是 5 ，则这一天的最高气温与最低气温的差是（ ） A 2 B 2 C 12 D 12 【考点】 有理数的减法 【专题】 应用题 【分析】 这天的温差就是最高气温 与最低气温的差，列式计算 【解答】 解：这天的温差就是最高气温与最低气温的差，即 7（ 5） =7+5=12 故选 C 【点评】 本题主要考查有理数的减法法则：减去一个数等于加上这个数的相反数这是需要熟记的内容 2地球的半径为 6370000 米， 6370000 用科学记数法表示为（ ） A 05 B 07 C 06 D 04 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时 ，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值 1 时，n 是正数；当原数的绝对值 1 时， n 是负数 【解答】 解：将 6370000 用科学记数法表示为： 06 故选： C 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10n 的形式，其中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 3下列运算正确是（ ） A（ 3= a6a3= 3a 2= D 3a+3b=6考点】 同底数幂的除法；合并同类项；幂的乘方与积的乘方；负整数指数幂 第 8页（共 31 页） 【分析】 根据幂的乘方，可判断 A；根据同底数幂的除法，可判断 B；根据负整数指数幂，可判断 C；根据合并同类项，可判断 D 【解答】 解： A、底数不变指数相乘，故 B、底数不变指数相减，故 C、负整数指数幂与正整数指数幂互为倒数，故 C 正确； D、不是同类项的不能合并，故 D 错误； 故选： C 【点评】 本题考查了同底数幂的除法，同底数幂的除法，底数不变指数相减 4下列图形中，是轴对称图形的有（ ） A 1 个 B 2 个 C 3 个 D 4 个 【考点】 轴对称图形 【分析】 根据轴对称图形的概念，分析各图形的特征求解如果一个图形沿着一条直线对折后两部分完全重合，这样的图形叫做轴对称图形这条直线叫做对称轴 【解答】 解：前两个图形是轴对称图形，符合题意； 后两个图形不是轴对称图形，不符合题意 共 2 个轴对称图形 故选 B 【点评】 掌握好轴对称图形的概念轴对称图形的关键是寻找对称轴，图形两部分折叠后可重合 5如果点 A（ 点 B（ 直线 y=b 上的两点，且当 么函数 y= 的图象位于（ ）象限 A一、四 B二、四 C三、四 D一、三 【考点】 反比例函数的性质；一次函数图象上点的坐标特征 【分析】 根据一次函数的增减性判断出 k 的符号，再根据反比例函数的性质解答即可 【解答】 解： 当 ， k 0， 第 9页（共 31 页） 函数 y= 的图象在一、三象限， 故选 D 【点评】 本题主要考查了反比例函数的图象性质和一次函数的图象性质，要掌握它们的性质才能灵活解题 6如图，一个几何体的三视图（主视图、左视图、俯视图）依次是矩形、矩形、圆形，则这个几何体是（ ） A B C D 【考点】 由三视图判断几何体 【分析】 根据几何体的主视图、左视图、俯视 图分别是矩形、矩形、圆，符合这个条件的几何体应该是圆柱体 【解答】 解： 主视图和左视图都是矩形， 此几何体为柱体， 俯视图是一个圆， 此几何体为圆柱， 故选 B 【点评】 本题考查由三视图确定几何体的形状，主要考查学生空间想象能力及对立体图形的认识，弄清主视图和左视图都是矩形，此几何体为柱体，俯视图是一个圆，此几何体为圆柱是解答此题的关键 7如图，线段 O 的直径，弦 0，则 于（ ） A 160 B 150 C 140 D 120 【考点】 圆周角定理；垂径定理 【专题】 压轴题 第 10 页（共 31 页） 【分析】 利用垂径定理得出 = ，进而求出 0，再利用邻补角的性质得出答案 【解答】 解： 线段 O 的直径，弦 = ， 0， 0， 40 故选： C 【点评】 此题主要考查了圆周角定理以及垂径定理等知识，得出 度数是解题关键 8抛物线 y= 与 y 轴的交点坐标是（ ） A（ 0， 9） B（ 3， 0） C（ 3， 0） D（ 3， 0）或（ 3， 0） 【考点】 二次函数图象上点的坐标特征 【分析】 令 x=0，求出 y 的值，然后写出交点坐标即可 【解答】 解： x=0 时， y=9， 所以，抛物线与 y 轴的交点坐标为（ 0， 9） 故选 A 【点评】 本题考查了二次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握二次函数图象与坐标轴的交点的求解方法是解题的关键 9如图，在四边形 ， 足为点 E，连接 点 F，点 G 为中点， ， ，则 长为（ ） A 2 B C 2 D 【考点 】 勾股定理；等腰三角形的判定与性质；直角三角形斜边上的中线 【专题】 几何图形问题 第 11 页（共 31 页） 【分析】 根据直角三角形斜边上的中线的性质可得 G，根据等腰三角形的性质可得 据三角形外角的性质可得 根据平行线的性质和等量关系可得 据等腰三角形的性质可得 G，再根据勾股定理即可求解 【解答】 解： 0， 又 点 G 为 中点， G， G=3， 在 ， =2 故选： C 【点评】 综合考查了勾股定理，等腰三角形的判定与性质和直角三角形斜边上的中线，解题的关键是证明 G=3 10在运动会径赛中，甲、乙同时起跑，刚跑出 200m，甲不慎摔倒，他又迅速地爬起来继续投入比赛，若他们所跑的路程 y（ m）与比赛时间 x（ s）的关系如图，有下列说法： 他们进行的是 800乙全程的平均速度为 s； 甲摔倒之前，乙的速度快； 甲再次投入比赛后的平均速度为 s； 甲再次投入比赛后在距离终点 300 米时追上了乙其中正确的个数有（ ） A 2 个 B 3 个 C 4 个 D 5 个 【考点】 一次函数的应用 【分析】 由函数图象可以直接得出比赛的距离； 第 12 页（共 31 页） 由路程 时间就可以得出速度得出结论； 由函数图象可以得出相同的时间乙走的路程少，所以乙的速度慢； 由 60080 就可以求出甲再次投入比赛后的平均速度而得出结论； 由待定系数法分别求出 解析式就可以求出结论 【解答】 解： 由函数图象，得：甲乙比赛的距离为 800 米，故正确； 题意，得 800125=s，故正确； 由函数图象，得 甲摔倒之前，甲的速度快故错误； 由题意，得 60080=s，故正确； 设 解析式为 y=kx+b， 解析式为 y=题意，得 ， 800=125 解得： ， y=100， y= 100= 解得： x= 800 = 300，故错误 综上所述，正确的有 3 个 故选 B 【点评】 本题考查了一次函数的图象及性质的运用，行程问题的数量关系的运 用，待定系数法求一次函数的解析式的运用，解答时求出函数的解析式是关键 第 13 页（共 31 页） 二、填空题：每小题 3 分，共 30 分。 11计算： = 3 【考点】 二次根式的加减法 【分析】 本题是二次根式的减法运算，二次根式的加减运算法则是合并同类二次根式 【解答】 解： =5 2 =3 【点评】 合并同类二次根式实际是把同类二次根式的系数相加，而根指数与被开方数都不变 12函数 的自变量的取值范围是 x1 且 x2 【考点】 函数自变量的取值范围；分式有意义的条件；二次根式有意义的条件 【专题】 计算题；压轴题 【分析】 根据二次根式的性质和分式的意义，被开方数大于或等于 0，分母不等于 0，可以求出 x 的范围 【解答】 解：根据题意得： x 10 且 x 20， 解得： x1 且 x2 故答案为 x1 且 x2 【点评】 本题考查了函数自变量的取值范围问题，函数自变量的范围一般从三个方面考虑： （ 1）当函数表达式是整式时，自变量可取全体实数； （ 2）当函数表达式是分式时，考虑分式的分母不能为 0； （ 3）当函数表达式是二次根式时，被开方数非负 13把多项式 9x 分解因式的结果是 x（ x+3）（ x 3） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【分析】 首先提取公因式，进而利用平方差公式分解因式得出即可 【解答】 解：原式 =x（ 9） =x（ x+3）（ x 3） 故答案为： x（ x+3）（ x 3） 【点评】 此题主要考查了提取公因式法分解因式，熟练应用平方差公式是解题关键 14不等式组 的解集为 x 2 第 14 页（共 31 页） 【考点】 解一元一次不等式组 【分析】 先求出两个不等式的解集，再求其公共解 【解答】 解： ， 解不等式 得， x 1， 解不等式 得， x 2， 所以不等式组的解集是 x 2 故答案为： x 2 【点评】 本题主要考查了一 元一次不等式组解集的求法，其简便求法就是用口诀求解求不等式组解集的口诀：同大取大，同小取小，大小小大中间找，大大小小找不到（无解） 15在函数 y=x4 的空格中，任意填上 “+”或 “ ”，可组成若干个不同的二次函数，其中其图象的顶点在 x 轴上的概率为 【考点】 列表法与树状图法；二次函数的性质 【分析】 首先根据题意画出树状图，然后由树状图求得所有等可能的结果与其图象的顶点在 x 轴上的情况，再利用概率公式即可求得答案 【解答】 解：画树 状图得： 共有 4 种等可能的结果，其中其图象的顶点在 x 轴上的有（ +， +），（， +）， 其图象的顶点在 x 轴上的概率为： = 故答案为： 【点评】 此题考查了列表法或树状图法求概率用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 16一个扇形的圆心角为 120，它所对的弧长为 6这个扇形的半径为 9 【考点】 弧长的计算 【分析】 根据弧长公式 L= 求解即可 第 15 页（共 31 页） 【解答】 解： L= ， R= =9 故答案为： 9 【点评】 本题考查了弧长的计算，解答本题的关键是掌握弧长公式： L= 17如图， O 的直径， O 的切线， O 于 C， 4.8 【考点】 切线的性质 【分析】 根据切线的性质可得 直角三角形，根据直径所对的圆周角是直角可得 直角 边上的高线，根据直角三角形的面积公式即可求解 【解答】 解： 切线， = =10（ 又 直径， 0，即 点 C S P= C， = 故答案是： 【点评】 本题主要利用了切线的性质和圆周角定理，正确应用三角形的面积公式是关键 18已知：正方形 ，点 P 满足 ，且 0，过点 M 足为点 M，则 长为 或 【考点】 正方形的性质 第 16 页（共 31 页） 【专题】 计算题 【分析】 分类讨论：当 旁，如图 1， E，先证明 用相似比得到 DE=x，则 x， x，再在 利用勾股定理得到（ ） 2+（ x） 2=（ x） 2，解得 x= ，则 ， 2，然后利用面积法求 旁，如图 2， E，同样可证 E= DE=x，则 x， x，在 ，利用勾股定理得到（ ）2+（ x） 2=（ x） 2，解得 x= ，则 2，再证明 后利用相似比可计算出 【解答】 解：当 旁，如图 1， E， = = ， 设 DE=x，则 x， x， 在 ，（ ） 2+（ x） 2=（ x） 2，解得 x= ， ， 2， E= E， = ； 当 旁，如图 2， E，同样可证 到 设 DE=x，则 x， x， 在 ，（ ） 2+（ x） 2=（ x） 2，解得 x= ， 2， = ， 即 = ， ， 综上所述， 长为 或 第 17 页（共 31 页） 故答案为 或 【点评】 本题考查了正方形的性质：正方形的四条边都相等，四个角都是直角；正方形的两条对角线相等，互相垂直平分，并且每条对角线平分一组对角；正方形具有四边形、平行四边形、矩形、菱形的一切性质也考查了相似三角形的判定与性质 19已知：如图，等腰直角 0， C，点 D 为 一点， 5，连接 ， 0，则四边形 面积为 22 【考点】 全等三角形的判定与性质；等腰直角三角形 【分析】 过 E E，过 C 作 延长线于 F，由 0， C，得到 0，证出 出 到 F，F，设 F=x， E=DE=y，根据勾股定理得到 E= ， E= ，=2 ，于是得到 S 四边形 E B= 4 =32 【解答】 解：过 E E，过 C 作 延长线于 F， 0， C， 第 18 页（共 31 页） 0， 在 ， ， F， F， 5， E， 设 F=x， E=DE=y， 在 ， 即：（ x+2y） 2+02， x+y=4 ， x= ， y=3 ， E= ， E= ， =2 ， S 四边形 E B= 4 3 + 2 2 =22 故答案为： 22 【点评】 本题考查了全等三角形的判定和性质，等腰直角三角形的性质，三角形的面积的求法，正确的作出辅助线构造全等三角形是解题的关键 20如图，菱形 ， 0， G， 0， P 是 中点，连接 0， ， ，则菱形的边长为 第 19 页（共 31 页） 【考点】 菱形的性质 【分析】 延长 点 E，连接 证明 证得 用在 由三角函数可求得 ，由勾股定理可求得 得出答案 【解答】 解：如图，延长 点 E，连接 G， 0， 三角形， 0， 在 ， ， G， G= 0， B， 在 ， ， G， 20， G， 第 20 页（共 31 页） 0， ， ， P 为 中点， 8=4， 在 ， 故答案为： 【 点评】 本题考查了菱形的性质、全等三角形的性质定理和判定定理、勾股定理的应用，解决本题的关键是作出辅助线，证明三角形全等 三、解答题：其中 21分， 23各 8 分， 250分，共计 60 分。 21先化简，再求值：（ ） ，其中 x=22 【考点】 分式的化简求值；特殊角的三角函数值 【专题 】 计算题 【分析】 原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，利用特殊角的三角函数值求出 x 的值，代入计算即可求出值 【解答】 解：原式 = = = ， 当 x=222 +21= +2 时，原式 = 【点评】 此题考查了分式的化简求值，熟练掌握运算法则是解本题的关键 22如图所示，正方形网格中， 格点三角形（即三角形的顶点都在格点上） （ 1）把 向平移后，点 1，在网格中画出平移后得到的 （ 2）把 点 逆时针旋转 90，在网格中画出旋转后的 （ 3）如果网格中小正方形的变长为 1，求点 1）（ 2）变换的路径总长 第 21 页（共 31 页） 【考点】 作图 长的计算；作图 【分析】 （ 1）利用平移的性质得出对应点位置进而得出答案； （ 2）利用旋转的性质进而得出旋转后对应点位置进而得出答案； （ 3）利用弧长公式以及勾股定理得出点 1）（ 2）变换的路径总长 【解答】 解：（ 1）如图所示： 即为所求； （ 2）如图所示： 为所求； （ 3）点 1）（ 2）变换的路径总长为： 3 + =3 + 【点评】 此题主要考查了旋转变换以及平移变换和勾股定理以及弧长公式应用，根据题意得出对应点位置是解题关键 23省教育厅决定在全省中小学开展 “关注校车、关爱学生 ”为主题的交通安全教育宣传周活动，某中学为了了解本校学生的上学方式，在全校范围内随机抽查了部分学生，将收集的数据绘制成如下两幅不完整的统计图（如图所示），请根据图中提供的信息，解答下列问题 第 22 页（共 31 页） （ 1） m= 26 %，这次共抽取 50 名学生进行调查；并补全条形图； （ 2）在这次抽样调查中，采用哪种上学方式的人数最多？ （ 3）如果该校共有 1500 名学生，请你估计该校骑自行车上学的学生有多少名？ 【考点 】 条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图 【分析】 （ 1）用 1 减去其他各种情况所占的百分比即可求 m 的值，用乘公交的人数除以其所占的百分比即可求得抽查的人数； （ 2）从扇形统计图或条形统计图中直接可以得到结果； （ 3）用学生总数乘以骑自行车所占的百分比即可 【解答】 解：（ 1） 1 14% 20% 40%=26%； 2040%=50；条形图如图所示； （ 2）由图可知，采用乘公交车上学的人数最多； 答：采用乘公交车上学的人数最多 （ 3）该校骑自行车上学的人数约为： 150020%=300（名） 答：该校 骑自行车上学的学生有 300 名 【点评】 本题考查了条形统计图、扇形统计图及用样本估计总数的知识，解题的关键是从统计图中整理出进一步解题的信息 第 23 页（共 31 页） 24已知点 D 是 中点， E 是线段 中点，过点 F 延长线于点 F，连接 （ 1）如图 1，求证： C； （ 2）如图 2，连接 判断四边形 形状，并证明你的结论 【考点】 全等三角形的判定与性质 ；菱形的判定 【分析】 （ 1）可证明 得到 D，结合 D 为 点，可证明 C； （ 2）由（ 1）可证明四边形 平行四边形，再利用直角三角形的性质可证明 D，可证明四边形 菱形 【解答】 （ 1）证明： E 为 点， D， 在 D， D 为 点， D， C； （ 2）解：四边形 菱形，证明如下： 由（ 1）可知 C，且 四边形 平行四边形， D 为 点， D， 四边形 菱形 第 24 页（共 31 页） 【点评】 本题主要考查全等三角形判定和性质及平行四边形、菱形的判定，掌握全等三角形的判定和性质是解题的关键，即 25某校为美化校园，计划对面积为 1800区域进行绿化，安排甲、乙两个工程队完成已知甲队每天能完成绿化的面积是乙队每天能完成绿化的面积的 2 倍，并且在独立完成面积为 400域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天 （ 1）求甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是多少 （ 2）若学校每天需付给甲队的绿化费用为 元，乙队为 元，要使这次的绿化总费用不超过 8 万元，至少应安排甲队工作多少天？ 【考点】 分式方程的应用；一元一次不等式的应用 【专题】 工程问题 【分析】 （ 1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x（ 根据在独立完成面积为 400域的绿化时，甲队比乙队少用 4 天，列出方程，求解即可； （ 2）设应安排甲队工作 y 天，根据这次的绿化总费用不超过 8 万元，列出 不等式，求解即可 【解答】 解：（ 1）设乙工程队每天能完成绿化的面积是 x（ 根据题意得： =4， 解得： x=50， 经检验 x=50 是原方程的解， 则甲工程队每天能完成绿化的面积是 502=100（ 答：甲、乙两工程队每天能完成绿化的面积分别是 10050 （ 2）设应安排甲队工作 y 天，根据题意得： ， 解得： y10， 答：至少应安排甲队工作 10 天 【点评】 此题考查了分式方程的应用，关键是分析题意，找到合适的数量关系列出方程和不等式，解分式方程时要注意检验 第 25 页（共 31 页） 26如图 1， O 的直径，过点 C 的切线与弦 延长线交于点 D， 半径， ，连接 （ 1）求证： （ 2）若 ， ，求 长； （ 3）在（ 2）的条件下，如图 2，作 O 于点 M，过 M 作 点 N，求 长 【考点】 圆的综合题 【专题】 几何综合题 【分析】 （ 1）如图 1，连结 据切线的性质得 0，再根据圆周角定理，由 O 的直径得到 0，则利用等角的余角相等得 以 （ 2）如图 1，过点 C 作 延长线于点 K，根据垂径定理可得 H=4设 r，则 OA=r， OH=r 2在 根 据勾股定理可求出 r=5易证 而可得 H=3， A=4，则有 +5=8在 ，根据勾股定理就可求出 长； （ 3）如图 2，在 取一点 G，使得 C，连接 据圆内接四边形的性质可得 80，结合 80可得 证 而可得 E， 80 2 等腰 根据等腰三角形的性质可得 N= 而可得 80 2 可得到 而有 而可证到 有 G=6，就可求出 ，即可得到 值 【解答】 解：（ 1）连结 图 1， O 的切线， 第 26 页（共 31 页） 0， O 的直径， 0， 0， E， （ 2）如图 1，过点 C 作 延长线于点 K， H= 设 O 的半径为 r，则 OA=r， OH=r 2 在 ，根据勾股定理可得： 2+（ r 2） 2， 解得 r=5 在 ， H=3， A=4， +5=8 在 ，根据勾股定理可得： 6+64=80， ； （ 3）如图 2，在 取一点 G，使得 C，连接 根据圆内接四边形的性质可得 80 第 27 页（共 31 页） 80， E， 80 2 C， N= 80 2 在 ， ， G=6， C 6， 3 【点评】 本题考查了切线的性质、圆周角定理、圆内接四边形的性质、垂径定理、等腰三角形的性质、全等三角形的判定与性质、等角的余角相等、勾股定理等知识，综合性强，有一定的难度，构造旋转型全等是解决第（ 3）小题的关键，若出现共顶角顶点且顶角相等的两个等腰三角形，就会有旋转型全等 第 28 页（共 31 页） 27如图（ 1），在平面直角坐标系中，抛物线 y=（ a0）与 x 轴交于 A、 y 轴交于点 C， 物线的对称轴直线 x 轴交于点 D，点 F（ 2， 3），点 E（ 7，