对数函数-典型例题

对数函数对数函数 例例 1 求下列函数的定义域 1 y log2 x2 4x 5 2 y logx 1 16 4x 3 y 解 解 1 令 x2 4x 5 0 得 x 5 x 1 0 故定义域为 x x 1 或 x 5 2 令 得 故所求定义域为 x 1 x 0 或 0 x 2 3 令 得 故所求定义域为 x x 1 或 1 x 3 或 x 2 说明说明 求与对数函数有关的定义域问题 首先要考虑 真数大于零 底数大于零不等 于 1 若处在分母的位置 还要考虑不能使分母为零 例例 2 求下列函数的单调区间 1 y log2 x 4 2 y log0 5x2 解 解 1 定义域是 4 设 t x 4 当 x 4 时 t 随 x 的增大而增大 而 y log2t y 又随 t 的增大而增大 4 是 y log2 x 4 的递增区间 2 定义域 x x R 且 x 0 设 t x2 则 y log0 5t 当 x 0 时 t 随 x 的增大而增大 y 随 t 的增大而减小 0 是 y log0 5x2的递减区间 当 x 0 时 t 随 x 的增大而减小 y 随 t 的增大而减小 0 是 y log0 5x2的递增区间 例例 3 比较大小 1 log0 71 3 和 log0 71 8 2 lgn 1 7和 lgn 2 n 1 3 log23 和 log53 4 log35 和 log64 解 解 1 对数函数 y log0 7x 在 0 内是减函数 因为 1 3 1 8 所以 log0 71 3 log0 71 8 2 把 lgn 看作指数函数的底 本题归为比较两个指数函数的函数值的大小 故需对 底数 lgn 讨论 若 1 lgn 0 即 1 n 10 时 y lgn x在 R 上是减函数 所以 lgn 1 2 lgn 2 若 lgn 1 即 n 10 时 y lgn 2在 R 上是增函数 所以 lgn 1 7 lgn 2 3 函数 y log2x 和 y log5x 当 x 1 时 y log2x 的图像在 y log5x 图像上方 这里 x 3 所以 log23 log53 4 log35 和 log64 的底数和真数都不相同 须找出中间量 搭桥 再利用对数函数的 单调性即可求解 因为 log35 log33 1 log66 log64 所以 log35 log64 评析评析 要注意正确利用对数函数的性质 尤其是第 3 小题 可直接利用例 2 中的说 明得到结论 例例 4 已知函数 f x loga a ax a 1 1 求 f x 的定义域 值域 2 判断并证明其单调性 3 解不等式 f 1 x2 2 f x 解 解 1 要使函数有意义 必须满足 a ax 0 即 ax a 因为 a 1 所以 x 1 又因 为 0 a ax a 所以 f x loga a ax a 1 的值域为 1 2 设 x1 x2 1 则 a a a 因为 a 1 所以 a a a a 0 所以 loga a a loga a a 即 f x1 f x2 所以 f x 这 1 上的减函 数 3 设 y loga a ax 则 a ax ay ax a ay x loga a ay 所以 f 1 x loga a ax x 1 f x f 1 x 由 f 1 x2 2 f x 有 f x2 2 f x 且 f x 为 1 上的减函数 所以 x2 2 x x 1 解得 1 x 1 评析评析 知道函数值大小关系和函数单调性 要研究自变量取值范围 应直接用单调性 得关于 x 的不等式 但要注意单调区间 例例 5 已知 f x 2 log3x x 1 9 求 y f x 2 f x2 的最大值 及 y 取最大值时 x 的值 分析分析 要求函数 y f x 2 f x2 的最大值 要做两件事 一是要求其表达式 二是要求出它的定义域 然后求值域 解 解 f x 2 log3x y f x 2 f x2 2 log3x 2 2 log3x2 2 log3x 2 2 2log3x log23x 6log3x 6 log3x 3 2 3 函数 f x 的定义域为 1 9 要使函数 y f x 2 f x2 有定义 就须 1 x 3 0 log3x 1 6 y log3x 3 2 3 13 当 x 3 时 函数 y f x 2 f x2 取最大值 13 说明说明 本例正确求解的关键是 函数 y f x 2 f x2 定义域的正确确定 如果 我们误认为 1 9 是它的定义域 则将求得错误的最大值 22 其实我们还能求出函数 y f x 2 f x2 的值域为 6 13 例例 6 1 已知函数 y log3 x2 4mx 4m2 m 的定义域为 R 求实数 m 的取 值范围 2 已知函数 y loga x2 k 1 x k a 0 且 a 1 的值域为 R 求实数 k 的 取值范围 点拨 题 1 中 对任意实数 x x2 4mx 4m2 m 0 恒成立 题 2 中 x2 k 1 x k 取尽一切正实数 解 解 1 x2 4mx 4m2 m 0 对一切实数 x 恒成立 16m2 4 4m2 m 4 m 0 0 又 m2 m 1 0 m 1 0 m 1 2 y R x2 k 1 x k 可取尽一切正实数 k 1 2 4 k 0 k2 6k 0 k 0 或 k 6 评析评析 本题两小题的函数的定义域与值域正好错位 1 中函数的定义域为 R 由判 别式小于零确保 2 中函数的值域为 R 由判别式不小于零确定 例例 7 求函数 y log0 5 x2 2x 8 的单调区间 分析分析 由于对函数的底是一个小于 1 的正数 故原函数与函数 u x2 2x 8 2 x 4 的单调性相反 解 x2 2x 8 0 2 x 4 原函数的定义域为 2 4 又 函数 u x2 2x 8 x 1 2 9 在 2 1 上为增函数 在 1 4 上为减函数 函数 y log0 5 x2 2x 8 在 2 1 上为减函数 在 1 4 上为增函数 评析评析 判断函数的单调性必须先求出函数的定义域 单调区间应是定义域的子集 例例 8 已知 a 0 且 a 1 f logax x x 1 1 求 f x 2 判断 f x 的奇偶性和单调性 3 对于 f x 当 x 1 1 时 有 f 1 m f 1 m2 0 求 m 的取值范围 分析分析 先用换元法求出 f x 的表达式 再利用有关函数的性质判断其奇偶性和单调 性 然后利用以上结论解第 3 小题 解 解 1 令 t logax t R 则 x at 且 f t at a t f x ax a x x R 2 f x a x ax f x 且 x R f x 为奇函数 a 1 时 ax a x为增函数 并且注意到