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第一讲微积分的历史及简介 1 参考书 作者 同济大学应用数学系出版社 高等教育出版社 作者 张筑生出版社 北京大学出版社 作者 吉米多维奇出版社 山东科学技术出版社 2 教学计划 3 目录Contents 数学史上的三次危机毕达哥拉斯 Pythagoras 悖论贝克莱 Berkeley 悖论罗素 Rusell 悖论微积分的起源巨人的肩膀所涉及到的思想简单微积分的应用无穷求和的概念曲线 面积 体积的计算 4 一 什么是悖论 1 先来听听一个 鳄鱼与小孩 的故事 一条鳄鱼从母亲手中抢走了一个小孩 鳄鱼 我会不会吃掉你的孩子 答对了 我就把孩子不加伤害地还给你 这位母亲应该怎样回答呢 前言 5 1 鳄鱼与小孩 的故事 聪明的母亲回答说 呵 呵 你是要吃掉我的孩子的 鳄鱼 呣 我怎么办呢 鳄鱼碰到了难题 如果我把孩子交还你 你就说错了 我应该吃掉他 可是我如果把孩子吃掉了 你就说对了 我又得把孩子还给你 拙劣的鳄鱼懵了 结果把孩子交回了母亲 母亲一把拽住孩子 跑掉了 鳄鱼说 丫丫的 要是她说我要给回她孩子 我就可以美餐一顿了 6 2 什么是悖论 笼统地说 悖论是指这样的推理过程 它 看上去 是合理的 但结果却得出了 矛盾 悖论在很多情况下表现为 由它的真 可以推出它为假 由它的假 则可以推出它为真 7 3 悖论是极其重要的 毕达哥拉斯悖论 贝克莱悖论 罗素悖论今天我就要来介绍这三个数学悖论 它们在数学发展中产生了巨大的影响 即引发了三次数学危机 通过这三个数学悖论与三次数学危机的介绍 大家会发现 数学是美妙而又神奇的 悖论不但迷人 而且是数学的一部分 并为数学的发展提供了重要而持久的助推力 数学的发展也并不是一帆风顺 而是一波三折 数学的严谨是一代又一代数学家努力的结果 数学的抽象更是千锤百炼而成的 8 一 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 9 一 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 1 勾股定理两条直角边的平方和等于斜边的平方和 勾股定理 是人类最伟大的数学发现 是欧氏几何中最著名的定理 它在数学与人类的实践活动中有着极其广泛的应用 10 一 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 毕达哥拉斯 公元前585 前500 古希腊著名哲学家 数学家 天文学家 音乐家 教育家 人们把他神话为是太阳神阿波罗的儿子 毕达哥拉斯先后到过 埃及 古巴比伦 印度等国家学习数学 天文等方面的知识 毕达哥拉斯创建了一个合 宗教 政治 学术 三位一体的神秘主义派别 即毕达哥拉斯学派 这一学派在古希腊赢得很高的声誉 并产生了相当大的政治影响 其思想在当时被认为是绝对权威的真理 2 毕达哥拉斯与毕达哥拉斯学派 11 一 毕达哥拉与第一次数学危机 据西方国家记叙 毕达哥拉斯是最早证明了勾股定理 据说 毕达哥拉斯欣喜若狂 为此还杀了一百头牛以作庆贺 因些 在西方称这个定理为 毕达哥拉斯定理 还有一个带有神秘色彩的称号 百牛定理 在我国 公元三世纪 吴人赵爽 给出了勾股定理的最早证明 这种证明 被全世界数学家公认为是 最省力的证明方法 万物皆数 毕达哥拉斯学派的基本信条 他们认为 万物都可归结为整数或整数之比 分数 他们相信宇宙的本质就是这种 数的和谐 他们认为 世界上只有整数和分数 除此以外 就不再有别的数了 12 一 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 3 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 具有戏剧性和讽刺意味的是 正是毕达哥拉斯在数学上的这一最重要的发现 却把自己推向了两难的尴尬境地 他的一个学生希帕索斯 他勤奋好学 富于钻研 在运用勾股定理进行几何计算的过程中发现 当正方形的边长为1时 它的对角线的长不是一个整数 也不是一个分数 而是一个新的数 这个数就是我们现在熟知的无理数 13 一 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 这一发现历史上称为毕达哥拉斯悖论 这个发现不但对毕达哥拉斯学派是一个致命的打击 它对于当时所有古希腊人的观念都是一个极大的冲击 这就在当时直接导致了人们认识上的危机 小小的出现 直接动摇了毕达哥拉斯学派的数学信仰 在当时的数学界掀起了一场巨大风暴 产生了极度的思想混乱 因此导致了当时人们认识上的 危机 历史上称之为第一次数学危机 14 一 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 帮助古希腊人摆脱困境的关键一步是由才华横溢的欧多克索斯 公元前408 前355 迈出的 解决方式 把数与量分开 在数的领域 仍然只承认整数或整数之比 借助于几何方法 来处理几何量 通过创立欧多克索斯的比例理论 消除毕达哥拉斯悖论引发的数学危机 从而拯救了整个希腊数学 4 欧多克索斯 Eudoxus 的拯救 直到19世纪下半叶 现在意义上的 实数理论 建立起来后 无理数本质被彻底搞清 无理数 在数学园地中才真正扎下了根 无理数在数学中合法地位的确立 一方面使人类对数的认识从有理数拓展到实数 另一方面也真正彻底 圆满地解决了第一次数学危机 15 一 毕达哥拉斯悖论与第一次数学危机 第一次数学危机的影响是巨大的 它极大的推动了数学及其相关学科的发展 首先 第一次数学危机表明 直觉 经验及至实验都是不可靠的 推理证明才是可靠的 从而创立了古典逻辑学 其次 第一次数学危机极大地促进了几何学的发展 由此建立了几何公理体系 欧氏几何学就是在这时候应运而生的 最后 第一次数学危机让人们认识到无理数的存在 通过许多数学家的努力 直到19世纪下半叶才建立了完整的实数理论 16 二 贝克莱悖论与第二次数学危机 17 二 贝克莱悖论与第二次数学危机 在西方 数学之神 阿基米德 公元前287 前212 通过一条迂回之路 独辟蹊径 创立新法 是早期微积分思想的发现者 微积分是奠基于他的工作之上才最终产生的 在东方 中国古代数学家 刘徽 公元263左右 一项杰出的创见是对微积分思想的认识与应用 刘徽的微积分思想 是中国古代数学园地里一株璀璨的奇葩 其极限思想之深刻 是前无古人的 并在极长的时间内也后无来者 直到十七世纪 作为一门新学科的微积分已呼之欲出 最早迈出这一步的是一位科学巨人 牛顿 微积分的发现 早在2500多年前 人类就已有了微积分的思想 18 二 贝克莱悖论与第二次数学危机 牛顿 1642 1727 是英国伟大的数学家 物理学家 天文学家和自然哲学家 牛顿是 从物理学出发 运用集合方法 结合运动学来研究微积分 莱布尼茨 1646 1716 德国最重要的数学家 物理学家 历史学家和哲学家 莱布尼茨却是 从几何问题出发 运用分析学方法研究微积分 微分和积分 即求切线与求面积 是互逆的两种运算 这是微积分建立的关键所在 19 二 贝克莱悖论与第二次数学危机 2 贝克莱悖论与第二次数学危机不过 在微积分创立之初 牛顿和莱布尼茨的工作都很不完善 因而 导致许多人的批评 然而抨击最有力的是爱尔兰主教贝克莱 他的批评对数学界产生了最令人震撼的撞击 如贝克莱指出 牛顿在无穷小量这个问题上 其说不一 十分含糊 有时候是零 有时候不是零而是有限的小量 莱布尼茨的也不能自圆其说 例如 牛顿当时是这样求函数的导数的 最后取 就得函数的导数为 20 二 贝克莱悖论与第二次数学危机 贝克莱对微积分基础的批评是一针见血 击中要害的 他揭示了早期微积分的逻辑漏洞 然而在当时 微积分理论由于在实践与数学中取得了成功 已使大部分数学家对它的可靠性表示信赖 相信建立在无穷小之上的微积分理论是正确的 因此贝克莱所阐述的问题被认为是悖论 即贝克莱悖论 由于这一悖论 十分有效地揭示出微积分基础中包含着逻辑矛盾 因而在当时的数学界引起了一定的混乱 一场新的风波由此掀起 于是导致了数学史中的第二次数学危机 21 二 贝克莱悖论与第二次数学危机 3 微积分的发展有了这三大理论 使微积分学这座人类数学史上空前雄伟的大厦建立在牢固可靠的基础上 从而结束了二百多年数学中的混乱局面 同时宣告第二次数学危机的彻底解决 数学家们终于赢来了胜利凯旋之日 22 三 罗素悖论与第三次数学危机 23 三 罗素悖论与第三次数学危机 1 康托尔与集合论 康托尔 是19世纪数学发展影响最深的数学家之一 1845年出生于圣彼得堡 早在学生时代 就显露出非凡的数学才能 然而 一开始其父亲却希望他学工程学 他是1862年进入苏黎世大学 学数学的 第二年转入柏林大学 1867年以优异成绩获得了柏林大学的博士学位 其后 一直在哈雷大学教书 然而 康托尔的观点并未被同时代所接受 特别是康托尔的老师克罗内克 他猛烈攻击康托尔的研究工作 把它看做一类危险的数学疯狂 同时还竭力阻挠康托尔的提升 不让其在柏林大学获得一个职位 长期的过渡疲劳和激烈的争吵论战 使得康托尔的精神终于在1884年春崩溃了 在他一生中 这种崩溃以不同的强度反复发生 把他从社会赶进精神病医院这个避难所 最后于1918年1月 他在哈雷精神病医院逝世 24 三 罗素悖论与第三次数学危机 整体一定大于部分 这是人们传统的观念 康托尔下了一个定义 如果能够根据某一法则 使集合M与集合N中的元素建立一一对应的关系 那么 集合M与集合N等势或者说具有相同的基数 按照这一定义 于是有 自然数集 正偶数集 自然数的平方等集合的数目一样多 都是可数集 数轴上稀稀落落的自然数集与密密麻麻的有理数集也可建立一一对应的关系 所以部分能够等于整体 另外 无理数集 实数集是不可数集 两条不同长度的线段 区间 0 1 上的点与单位正方形上的点 直线与整个平面 与n维空间等都可建立一一对应关系 最后 康托尔用 超限基数 与 超限序数 一起来刻画了无限 描绘出一幅无限王国的完整图景 它充分体现了康托尔那惊人的想像力 简单介绍集合论 25 三 罗素悖论与第三次数学危机 1891年克罗内克去世之后 康托尔的阻力一下子减少了 到1897年 召开的第一次国际数学家大会 数学家们开始对集合论的认可 一直到了20世纪初 集合论在创建20余年后 才最终获得了世界公认 康托尔所开创的全新的 真正具有独创性的理论得到了数学家们的广泛赞誉 1900年 在巴黎召开的第二次国际数学家大会上 法国著名数学家庞加莱曾兴高采烈地宣布 借助集合论概念 我们可以建造整个数学大厦 今天 我们可以说 数学已经达到了绝对的严格 然而好景不长 正当人们为集合论的诞生而欢欣鼓舞之时 一串串数学悖论却冒了出来 一个震惊数学界的消息传出 集合论是有漏洞的 于是又搅得数学家心里忐忑不安 26 三 罗素悖论与第三次数学危机 罗素 1872 1970 英国数学家 哲学家 出身于贵族家庭 父母早亡 与祖父祖母生活在一起 11岁就开始学习欧氏几何 他说 这是他生活中的一件大事 犹如初恋般的迷人 18岁考入剑桥大学 学习数学与哲学 48岁那年 作为一位蜚声国际的哲学家 应邀来中国讲学一年 1950年还获得诺贝尔文学奖 在1901年 罗素构造了一个集合S S由一切不是自身元素的集合所组成 罗素问 S是否属于S 然而回答却陷入两难境地 如果S属于S 根据S的定义 S就不属于S 反之 如果S不属于S 同样根据定义 S就属于S 于是 无论如何都是矛盾的 这就是罗素悖论 2 罗素悖论与第三次数学危机 27 在某村 一个理发师宣布了这样一条原则 他只给那些不给自己刮胡子的人刮胡子 问 理发师是否可以给自己刮胡子 如果他给自己刮胡子 那他就不符合他的原则 他就不应该给自己刮胡子 如果他不给自己刮胡子 按他的原则 他就应该给自己刮胡子 于是 无论如何也是矛盾的 看来 没有任何人能给理发师的刮胡子 罗素悖论的出现 就像在平静的数学水面上投下了一块巨石 它动摇了整个数学大厦的基础 震撼了整个数学界 从而导致了第三次数学危机 数学家弗雷格在他刚要出版的 论数学基础 一书上写道 对一位科学家来说 他所遇到的最令人尴尬的事 莫过于是他的工作即将完成时 它的基础崩溃了 罗素悖论正好把我置于这种境地 于是终结了近12年的刻苦钻研 罗素悖论有多种通俗版本 其中最著名的是罗素于1919年给出的 理发师悖论 三 罗素悖论与第三次数学危机 28 三 罗素悖论与第三次数学危机 策梅罗 1871 1953 德国数学家 他早于罗素发现了罗素悖论 只是他将这一悖论只告诉希尔伯特 没有公开发表 1908年 策梅罗发表著名论文 关于集合论基础的研究 建立了第一个集合论公理体系 随着集合公理化体系的建立 罗素悖论被成功排除了 因而从某种程度上来说 第三次数学危机比较圆满地解决了 3 集合公理化与数学新发展 然而 许多数学家对集合论乃至整个数学的基础产生了疑虑 这一疑虑并没有随着集合论公理化体系的建立而消除 1900年到1930年左右 众多数学家卷入到一场大辩论当中 兔 蛙 鼠之战 罗素为代表的逻辑主义 兔子希尔伯特为代表的形式主义 青蛙布劳威尔为代表的直觉主义 老鼠哥德尔 1906 1978 数学家 逻辑学家 哥德尔不完全性定理 结束了三大学派的论战 兔蛙鼠全都成了输家 数理逻辑成了最后的赢者 并开辟了数理逻辑发展的新时代 因此直接造成了数学哲学研究的 黄金时代 29 结束语 历史上的三次数学危机 给人们带来了极大的麻烦 危机的产生使人们认识到了现有理论的缺陷 科学中悖论的产生常常预示着人类的认识将进入一个新阶段 所以悖论是科学发展的产物 又是科学发展的源泉之一 第一次数学危机使人们发现了无理数 建立了完整的实数理论 欧氏几何也应运而生并建立了几何公理体系 第二次数学危机的出现 直接导致了极限理论 实数理论和集合论三大理论的产生与完善 使微积分建立在稳固且完美的基础之上 第三次数学危机 使集合论成为一个完整的集合论公理体系 即ZFC系统 促进了数学基础研究及数理逻辑的现代性 30 结束语 事物就是在不断产生矛盾和解决矛盾中逐渐发展完美起来的 旧的矛盾解决了 新的矛盾还会产生 而就是在其过程中 人们便不断积累了新的认识 新的知识 发展了新的理论 数学发展的历史就表明 每一次危机的消除都会给数学带来许多新的内容 新的认识 甚至是革命性的变化 数学家对悖论的研究和解决促进了数学的繁荣和发展 数学中悖论的产生和危机的出现 不单是给数学带来麻烦和失望 更重要的是给数学的发展带来新的生机和希望 31 目录Contents 数学史上的三次危机毕达哥拉斯 Pythagoras 悖论贝克莱 Berkeley 悖论罗素 Rusell 悖论微积分的起源巨人的肩膀所涉及到的思想简单微积分的应用无穷求和的概念曲线 面积 体积的计算 32 古时中国刘徽 祖冲之的割圆术求和希腊阿基米德等穷竭法求圆面积等 出现了极限和无穷小思想 微积分诞生在17世纪 主要来自政治 经济和社会发展对数学的巨大推动 15世纪 商业 航海 天文 测量等日益繁荣 流体力学 天文学 几何光学 天文仪器的发展 16世纪 欧洲出现毛瑟枪和火枪 运动学 动力学等的研究17世纪 Kepler第二行星定律中椭圆面积的计算 数学家面临问题 求面积 体积 速度 加速度 行程等数学家面临问题 切线问题与极值问题17世纪后半叶 Newton和Leibniz独立地发现了高等数学意义上的微积分 微积分的创立 33 牛顿 1642 1727 伟大的英国数学家 物理学家 天文 学家和自然科学家 他在数学上的卓越 贡献是创立了微积分 1665年他提出正 流数 微分 术 次年又提出反流数 积分 术 并于1671 年完成 流数术与无穷级数 一书 1736年出版 他 还著有 自然哲学的数学原理 和 广义算术 等 34 Newton受巴罗的 巴罗微分三角形 启发发明微积分 所以巴罗在微积分发展史上功不可没 Newton从1665年到1695年 对微积分的创造性成果为 1665 正流数术 微分学 1666 反流数术 积分学 1666 流数简论 标志微积分的诞生 1669 分析学 由此后人称以微积分为主要内容的学科为数学分析 1671 流数法 1687 自然哲学的数学原理 简称 原理 1691 求积术 牛顿的微积分贡献 35 牛顿求导 流数 的大概思想是 问题 求的流数 现令增量消失 它们的最终比为 36 莱布尼兹 1646 1716 德国数学家 哲学家 和牛顿同为 微积分的创始人 他在 学艺 杂志 上发表的几篇有关微积分学的论文中 有的早于牛顿 所用微积分符号也远远优于牛顿 他还设计了作乘法的计算机 系统地阐述二进制计 数法 并把它与中国的八卦联系起来 37 莱布尼兹的主要成果 1675年给出积分号 同年引入微分号 d 1676年给出公式 1677年 表述微积分基本定理 1684年 求极大与极小值和求切线的新方法 1686年 深奥的几何与不可分量的无限的分析 38 第二次数学危机与微积分的发展和完善 但是牛顿 莱布尼茨的微积分逻辑基础不严密 特别是在无穷小概念上的混乱 引起不少科学家的批评 英国哲学家 牧师贝克莱G Berkeley 1685 1753 分析学家 或致一位不信神的数学家 矛头直指牛顿的流数法 贝克莱悖论这就导致了第二次数学危机 由于微积分的方法和结论与实际是如此吻合 所以即使基础不牢 人们还是乐意去用它 直到19世纪 才开始真正解决问题 39 第二次数学危机与微积分的发展和完善 第一个为补救第二次数学危机提出真正有见地意见的是达朗贝尔 D Alembert 但他未提供理论 后经Lagrange Bolzano 捷克 Cauchy 分析学奠基人 Weirstrass等人的努力 奠定了微积分严格的基础 解决了第2次数学危机 Cauchy的贡献在于将微积分的基础建立在极限基础上 Weirstrass的贡献是建立了分析基础的逻辑顺序 实数系 极限论 微积分 40 Barrow Leibniz Newton Weierstrass Bolzano Cauchy 41 微积分的历史功绩 微积分的诞生具有划时代意义 是数学史上的分水岭和转折点 这个伟大发明的产生 使得数学明显地不同于从古希腊继承下来的旧数学 旧数学是关于常量的数学 而新数学是关于变量的数学 旧数学是静态的 新数学是动态的 前者研究离散的数学 后者研究连续的数学 旧数学涉及的只是固定的和有限的 新数学包含了运动 变化和无限 42 学好微积分的关键 理解映射 函数的概念理解极限的概念认识无穷小 无穷大认识函数的连续性 43 数 自然数 整数 有理数 实数 复数 变量 函数 描述变量之间的变化关系 极限 函数的分析性质 实数理论的建立 有限维欧式空间上的定义的函数 实分析 Lebesgue积分理论 函数空间的研究 Hilbert空间 Banach空间 无限维空间 函数空间上定义的函数 即泛函或算子 44 目录Contents 数学史上的三次危机毕达哥拉斯 Pythagoras 悖论贝克莱 Berkeley 悖论罗素 Rusell 悖论微积分的起源巨人的肩膀所涉及到的思想简单微积分的应用无穷求和的概念曲线 面积