拉深数学思维 行走在节点上的考题教学dai

Comment z1 此部分内容重点交代 其三 本文重点 思维节点教 学 Comment z2 在试题呈现前简单介 绍思维节点的选取方法 简单几句说 明即可 拉深数学思维拉深数学思维 行走在节点上的考题教学行走在节点上的考题教学 安徽省安庆市宜秀区五横初级中学 戴向阳 邮编 246051 手机信箱 dxy7408 作者简介 作者简介 中学一级 学科带头人 注重命题探究推广 在 中学数学教学参考 中学数学 中国数学教育 等刊物均有文章发表 中考题因其典型性 导向性 倍受广大师生的关注 在课堂教学中选择中考题作为范 例是有很多好处的 其一 让学生巩固所学知识 并用所学知识成功解答问题 还可通过 做中考题 明白中考题的形态面目 从而了解考纲 了解课标 了解知识点与要求 明确 所学与所需 确定努力的目标 让学习有的放矢 其三 中考题是集中考命题组的智慧形 成的 试题的设计 充分注意到学生思维水平与思考方式的考查 试题中常常设有一个或 多个思维的节点 从这点看 中考题教学就是思维节点的教学 其四 中考题能较好折射 出学生的数学素养 有益于学生数学思维的健全 所以积极的中考题教学是在思维的节点 处 拉深学生的数学思维 1 1 试题节点式教学分析试题节点式教学分析 题目呈现 题目呈现 2014 2014 四川巴中四川巴中 2626 题 题 某商店准备进一批季节性小家电 单价 40 元 经 市场预测 销售定价为 52 元时 可售出 180 个 定价每增加 1 元 销售量净减少 10 个 定价每减少 1 元 销售量净增加 10 个 因受库存的影响 每批次进货个数不得超过 180 个 商店若将准备获利 2000 元 则应进货多少个 定价为多少元 中考参考答案 解 设每个商品的定价是 x 元 由题意 得 x 40 180 x 52 2000 整理 得 x2 110 x 3000 0 解得 x1 50 x2 60 x1 50 时 进货 180 10 x 52 200 个 不符合题意舍去 答 当该商品每个单价为 60 元时 进货 100 个 来源 ZXXK 节点分析 节点分析 本题思维节点在哪呢 细体题意 深入分析会发现本题在思维设计上有三 个节点 节点 1 是对 定价每增加 1 元 销售量净减少 10 个 定价每减少 1 元 销售量 净增加 10 个 下文简称语句 A 的理解 节点 2 是 因受库存的影响 每批次进货个数 不得超过 180 个 下文简称语句 B 对解的取舍 节点 3 是如何用定价或进货个数来表 示利润 建构问题对象 方程模型 所以本节课教学立足点与开发点 就是基于这三个 思维节点的开发 实现同类考题的一网打尽 起到举一反三的成效 下面谈一谈 如何通 过思维节点 拉深数学思维 让解题教学行走在节点上 并以此 抛砖引玉 希与行家里 手共勉之 1 11 1 拉长思维过程 疏导思维盲点拉长思维过程 疏导思维盲点 语句 A 乍看一目了然 实际上这是学生的思维盲点 不少中考题正是看见了这一点 才设计出了诸如 每增加 元 销售量净减少 25 个 等这类有梯度的思维障碍 如此简洁 明了的语句 单从具体数字上 学生就如同唱 青蛙 数字歌 得心应手 然 一旦从 算术 变化到 代数 时 有些人就显得不 舒畅 了 还有一部分学生非常 纠结 到底是定价增加能获利 2000 元 还是定价减少时获利 2000 元 所以解题教学中 对 这句话要深挖 要 慢教育 以时间赢取思维的成长 为此 设计如下问题串 疏导盲点 Comment z3 以清晰的层次展示思 维节点 Comment z4 以清晰的层次展示对 三个节点的突破 这点详细写 淡化 设计意图 简述即可 Comment z5 思维变式 何意 问题漫步 问题漫步 定价每增加 2 元 3 元 销售量依次减少多少个 你是怎样算的 定 价每增加 x 元 你能用含 x 的代数式表示出销量减少的个数吗 你用什么法计算的 本题 是通过增加定价获得 2000 元 还是通过减少定价来实现 同学们还记得吗 正数 负数 表示相反意义的量 同学们能把 定价每减少 1 元 销售量净增加 10 个 换成用 定价增 加 销量减少 的字眼来等价的叙述吗 在学生正确回答出 定价每增加 1 元 销售量 净减少 10 个 后 追问 定价每增加 1 元 销售量净减少 10 个 与 定价每增加 1 元 销售量净减少 10 个 两句话能统一吗 在学生正确理出定价每增加 1 元 销售量 净减少 1 10 个后 紧接着追问 那么本题还需要分定价增加或减少来分类讨论吗 如果定价用 x 表示 同学们尝试一下 能用含 x 的代数式表示定价增加的元数吗 设计意图 设计意图 问题串 是让学生感受整数倍 唤醒思维形态中潜意识 正比例 定价 增加 2 倍 3 倍时 销售量相应减少 2 倍 3 倍 是为问题串 作铺垫 同时降低了对问题 串 的理解 问题串 旨在从算术上的 数 过渡到 代数 树立 代数 可表示一般性 的数学意识 检测并培养学生 代数化 问题的能力 学会 代数 问题 问题串 是 学生思考答题中产生的真实想法 部分学生常在此徘徊不前 设计本问题串旨在梳理学生 混乱的思维 通过此环节 暗示在这样的思维下本题需要分类讨论 而问题串 使问题 得以统一 化解分类讨论的踌躇 让学生的心理 纠结 得到释怀 从而使学生思维敞亮 了起来 问题串 考查学生是否会用定价来描述定价增加量 此设计的目的是实现问题 核心 定价为多少元 中 定价 概念向定价增加量的靠拢 将问题核心 定价 引向思维节点 1 与之对接 实现对节点 1 的深层的回归和解读 深层挑战 深层挑战 如果将问题中语句 A 改成 定价每增加 3 元 销售量净减少 25 个 那么 定价增加 x 元 销售量增加个数用含 x 的代数式该怎样表示 为化解思维难点 可设计问 题串 如果定价每增加 3 元 销售量净减少 30 个 那么定价每增加 1 元 销售量净减少 多少个 如果定价每增加 5 元 销售量净减少 20 个呢 你是怎样思考 计算的 如果定价 每增加 a 元 销售量净减少 b 个呢 问题 的处理实质上是怎样一个过程 设计意图 设计意图 如果说问题漫步是 浅游 那么深层挑战是延伸 是思维奔向大海了 问 题串 两个连续的发问 激发学生思维连锁活动 通过设计两个整数倍 让学生感受计算 规律 为第三小问的一般化铺垫 问题串 意在引导学生发现在两个量的 段性 变化 中 先要将量 单位化 转化为一个量变 1 时 另一个量变为多少 是对问题串 的心得 反思与经验总结 是学习结果的升华 有了问题串 的思维储备 学生挑战前面的问 题就如履平地 从 数 到 代数 的转化体验 从具体到一般规律的过渡 深入浅出 学生如趟着 溪流 沿途收获着美景 一路陶怡着 数学的情操 尽管整个节点教学设计耗时较长 但 它却春风化雨 催发着思维的茁壮挺立 1 21 2 拉伸思维触角 梳理拉伸思维触角 梳理思维变式思维变式 思维节点往是中考题改编或创新的入口与焦点 所以解题教学中 教师更应该关心问 题的各种变式 以平时的 万变 静观中考的 一变 而不是仅仅停留在就题解题 而陷 于题海的泥潭 沼泽的境遇 考虑到语句 A 是用自然语言陈述的 如果站在数学符号语言 的环境下 语句 A 可作以下变式 代数式变式 若每个定价为 x 元 则可少售 10 x 52 个 函数式变式 若每个定价为 x 元 则少售量 y 个 与 x 满足关系式 y 10 x 52 图像型变式 少售量 y 个 与定价 x 元之间的函数关系如下图 1 所示 y 0 x58 60 60 80 图 1 表格型变式 若每个定价 x 元与少售量 y 个 如下表格所示 设计意图 设计意图 四种变式设计 拓广了学生的视野 增益其思维品质 锻炼了其应变能力 代数式变式直白明了 较之语句 A 思维度低了 函数式变式 思维提升了 向学生渗透 对函数关系式的理解 会把函数关系转化为语言 定价为 x 元 则可少售 10 x 52 个 从而疏通思维上的障碍 图像型变式 体现了数形结合 集函数相关概念 知识与思想的 综合 表格型变式 难度再次攀升 考查了学生对表格的处理能力 彰显了建模思想及过程 1 31 3 拉升思维深度 导引思维发散拉升思维深度 导引思维发散 思维节点 2 是 潜性质 的 它在考题中作用 并不影响方程的建模 却决定了结 果的取舍 然而 语句 B 着实干扰着一部分学生抽象数学问题的过程 造成了心理的浮躁 与情绪的不稳定 因受库存的影响 每批次进货个数不得超过 180 个 是试题的一个 强化 条件 条件 强化 正是中考题改编的另一个方式 在解题教学中有必要进行条件 强化 的变 式教学 增强学生的认识和抗干扰能力 对问题结果作出正确的筛选 语句 B 可作如下变式 变式 1 为了更多地让利于顾客 又能获利 2000 元 每件定价 应为多少元 变式 2 有关价格部门规定 该家电利润率不得高于 40 每件定价应为多少 元时 可获利 2000 元 节点 3 是试题的核心部分 它需要突破两级思维难点 用定价 x 表示每个家电的 利润 用定价 x 表示总销量 这是本题解题教学的根本任务 本题基本任务是 要求考 生用定价去建构方程回答问题 所以试题研究对象是方程 考查考生建构方程模型的能力 作为模型 函数模型却集方程模型 不等式模型于一身 所以本题可尝试从试题所立足的 对象方面进行改编 从而将思维之流引向更深 让思维分流 让学生通过一题更广 更全 地把握问题 解剖问题 函数模型 1 定价为多少元时 可使利润最大 并求最大利润 函数模型 2 求利润 w 元 与进货个数 z 个 之间的函数关系式 并说明进货多少 个时 可使利润最大 函数模型 3 要使利润不低于 1800 元 又能更多地让利于顾客 应怎样定价 不等式模型 批发市场规定一次批发少于 120 个时 不批 商店希望进货全部售出后 能获利不高于 2240 元且定价为整数 为防止市场需求量缩小的风险 商店应怎样安排进货 设计意图 设计意图 函数模型 1 没有明确交待是函数 考查学生阅读能力 捕捉信息能力与 函数意识 会通过字里行间感受函数之味 明白这是函数问题 函数模型 2 明确指出是 函数问题 是函数模型的横向开发 因为进货个数决定了利润的变化 此设计 培养学生 另眼看问题 处理问题的能力 函数模型 3 是在函数模型 1 的基础上 添加了思维的节点 强化了问题条件 不等式模型 是立足在进货数量上 用定价来间接考察进货数量 考查 学生以此观彼的思维方式 1 41 4 触类旁通 效果展示触类旁通 效果展示 很多中考题大体上模式相似 原因就在于 旧瓶装新酒 只是在思维的节点处改换 了内容而已 所以解题教学应立于节点处 这也利于学生敏感意识到问题的大雷同 从而 迅猛地把握问题的方向 节点变式教学 一个最明显的教学效果是 学生学会了比较 类 比 能触类旁通 使课堂走的更远 下列各题 是从学生提供的同类考题中节选的 从中 可看出学生已具备很强的识别与类比能力 教学效果不言而喻 例 1 同前文语句 A 如出一 辙 例 2 是函数变式 用自然语言形式给出了函数的两个条件 例 3 集表格变式与图像变 定价 x 元 5358606570 少售量 y 个 106080130180 Comment z6 建议删掉 1 4 内容 式于一体 例例 1 1 2014 2014 山东泰安山东泰安 1313 题 题 某种花卉每盆的盈利与每盆的株数有一定的关系 每 盆植 3 株时 平均每株盈利 4 元 若每盆增加 1 株 平均每株盈利减少 0 5 元 要使每盆 的盈利达到 15 元 每盆应多植多少株 设每盆多植 x 株 则可以列出的方程是 A 3 x 4 0 5x 15B x 3 4 0 5x 15 C x 4 3 0 5x 15D x 1 4 0 5x 15 例例 2 2 2013 2013 孝感孝感 2222 题题 在 母亲节 前夕 我市某校学生积极参与 关爱贫困母亲 的活动 他们购进一批单价为 20 元的 孝文化衫 在课余时间进行义卖 并将所得利润捐 给贫困母亲 经试验发现 若每件按 24 元的价格销售时 每天能卖出 36 件 若每件按 29 元的价格销售时 每天能卖出 21 件 假定每天销售件数 y 件 与销售价格 x 元 件 满 足一个以 x 为自变量的一次函数 1 求 y 与 x 满足的函数关系式 不要求写出 x 的取值范围 2 在不积压且不考虑其他因素的情况下 销售价格定为多少元时 才能使每天获得 的利润 P 最大 例例 3 3 2013 2013 临沂临沂 2424 题题 某工厂投入生产一种机器的总成本为 2000 万元 当该机器生 产数量至少为 10 台 但不超过 70 台时 每台成本 y 与生产数量 x 之间是一次函数关系 函数 y 与自变量 x 的部分对应值如下表 x 单位 台 102030 y 单位 万元 台 605550 1 求 y 与 x 之间的函数关系式 并写出自变量 x 的取值范围 2 求该机器的生产数量 3 市场调查发现 这种机器每月销售量 z 台 与售价 a 万元 台 之间满足如图 3 所示的函数关系 该厂生产这种机器后第一个月按同一售价共卖出这种机器 25 台 请你 求出该厂第一个月销售这种机器的利润 注 利润 售价成本 2 2 对节点式解题教学反思对节点式解题教学反思 为什么采用节点式解题教学 试题犹如建筑 用一定的材料来设计建成 所以良好的 试题总不乏有思维的节点 良好试题的结构常常如图 2 所示 呈线性递升 各节点间成独