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转子动力学基本理论 基础数学知识 有阻尼带质量偏心单圆盘转子振动特性 单圆盘转子模型 最简单的转子模型是单圆盘转子 轴两端为简支 一个圆盘固定在轴的中部 图1 A1CA2为静挠度曲线 假设转轴以角速度自转 转轴中心位置为 x y 原平衡位置为原点 结论1 由圆盘质量偏心的不平衡响应产生两种运动 一是圆盘以角速度绕自己轴心的自转 一是轴心以角速度绕圆盘的静挠曲线的涡动 若无阻尼 当时 振幅趋于无限大 由于实际中存在阻尼 此时振幅会达到一个有限的峰值 结论2 结论2 转轴的涡动频率与质量偏心引起的激振力频率相同 即和转动频率相同 涡动振幅的相位和激振力的相位差在 时 涡动向量滞后激振力向量0 90 当 时 为90 180 相位差为180 即质心位与原点与轴心之间 与没有阻尼的相比 有阻尼的情况下 临界转速下转子的振幅将随阻尼增加而减少 同时 随阻尼的增大 临界转速的数字将有所增加 但增加量很小 临界转速时 振幅滞后于激振力90 临界转速就是转子系统的偏心质量在转动过程中形成的激振力与转子系统发生共振时的转速 结论3 在一定转速下 由于原点 轴心 质量偏心的相对位置保持不变 使得转子上朝外的点在转动一周中始终朝外 形成所谓的 弓形回转 这时转子的变形形状在转动过程中保持不变 转子不承受交变应力 忽略静挠度 结论4 在一定的转速下 振幅与激振力的幅值成正比 振幅向量滞后与激振力的相位角不变 这就是刚性转子加平衡的理论依据 由于透平转子相当长 直径又相当大 因此 用一个集中质量来代替转子的质量并不能反映分布质量对临界转速的影响 为此 我们需要研究等直径转子的临界转速问题 等直径 均布质量转轴的临界转速 等直径均布质量的转子 在二端刚性支承 无阻尼的条件下 转子的自振频率为 即一个均布质量的转轴具有无穷多个自振频率 它在数值上和转子作横向振动的自振频率一样 按照频率数值的大小排列 称为转子的各阶自振频率 由于临界转速现象是激振力频率和转子自振频率相同时产生的共振现象 因此 转子的各阶自阶振频率就是转子的各阶临界转速 记作 转子具有无穷多阶临界转速 转子临界转速的大小 取决于转子的材料 几何形状和结构型式 因此 对一个具体的转子来说 临界转速的大小是一定的 转子系统的刚性愈大 转子的临界转速愈大 转子在各阶自振频率下振动时的振型 弹性曲线 S1 x S2 x S3 x 称为转子的各阶主振型 它的一 二 三阶的主振型和主振型函数如下图所示 从图中可以看到 第n阶主振型具有n 1个节点 在节点二侧的质点 在振动时彼此相位相反 转子的振形为 当转子按某一阶自振频率振动时 转子轴线上各点将在同一个通过二端轴承中心联线的轴向平面 称为子午面 上 即任一阶的主振型Sn x 都是一根平面曲线 虽然转子质心沿转轴的空间分布是未知的 但理论上可将任意的转子质心空间分布分解为 对于n阶质心分布BnSn x 将只能激发同阶的振形 而且主要在同阶临界转速区域激发 任意一定转速下的转子振形为所有阶质心分布各自激发的不同阶的振形在空间的合成 影响临界转速的因素 一 转子温度沿轴向变化对临界转速的影响 二 转子结构型式对临界转速的影响 三 叶轮回转力矩对临界转速的影响 四 轴系的临界转速和联轴器对临界转速的影响 五 支承弹性对临界转速的影响实际上轴承座 轴瓦中起支承和润滑作用的油膜都不是绝对刚性的 以国产30万千瓦汽轮机的计算为例 对于单个转子 考虑支承弹性后 高压 中压 低压透平转子的临界转速分别下降了18 16 3 和40 用有限元法 将各段作为单园盘转子 变直径 均布质量转轴的临界转速 刚性转子动平衡技术 转子动平衡 转子质量不平衡是回转机械的主要激振源 转子平衡 调整转子质量分布 使其质心偏移回转中心的距离减少 平衡 静平衡 刚性转子平衡 柔性转子平衡刚性转子定义 转子的挠曲变形产生的附加不平衡可忽略 则称为刚性转子 转子动平衡 刚性转子平衡 静平衡 明显的静不平衡 不明显的静不平衡 无测相法动平衡 试加重量周移法二点法三点法 对单平面有效 测相动平衡单平面的测相平衡法 闪光测相法 两个平面的测相平衡法 影响系数法 动平衡理论 刚性转子的平衡原理一 转子不平衡类型 一 静不平衡 如果不平衡质量矩存在于质心所在的径向平面上 且无任何力偶矩存在时称为静不平衡 它可在通过质心的径向平面加重 或去重 使转子获得平衡 二 动不平衡假设有一个具有两个平面的转子的重心位于同一转轴平面的两侧 且m1r1 m2r2 整个转子的质心Mc仍恰好位于轴线上 图3 3 显然 此时转子是静平衡的 但当转子旋转时 二离心力大小相等 方向相反 组成一对力偶 此力偶矩将引起二端轴承产生周期性变化的动反力 其数值为 这种由力偶矩引起的转子及轴承的振动的不平衡叫做动不平衡 三 动静混合不平衡实际转子往往都是动静混合不平衡 转子诸截面上的不平衡离心力形成的偏心距不相等 质心也不在旋转轴线上 转动时离心力合成成为一个合力 主向量 和一个力偶 主力矩 即构成一静不平衡力和一动不平衡力偶 图3 4 二 刚性转子的平衡原理1 不平衡离心力的分解 1 分解为一个合力及一个力偶矩 以两平面转子为例 由理论力学可图3 4三种不平衡知 不平衡力 任意力系 可以分解为一个径向力和一个力偶 图3 4三种不平衡 同理 将分解为 平面上的平行力 迭加 为 迭加 为 显而易见 作用在 平面上的 两力与不平衡离心力 等效 2 向任意二平面进行分解 图3 7 将不平衡离心力 分别对任选 径向 二平面 进行分解 将分解为 平面上的平行力 如果转子上有多个不平衡离心力存在 亦可同样分解到任意选定 平面上再合成 最终结果都只有两个不平衡合力 平面上各一个 到此校正转子不平衡的任务就简单了 即仅分别在 平面不平衡合力 的对侧 反方向 加重 或去重 使其产生的附加离心力与上述不平衡合力相等 这样转子就达到了平衡 3 分解为对称及反对称不平衡力 图3 8 将 平面内的 力同时平移到某任一个点0上 由矢量三角形 可以看出 即 由此可见 已将 分解为大小相等 方向相同的对称力 及大小相等 方向相反的反对称力 了 由于 与 等效 即与不平衡离心力 等效 如果在的相反方向加一对同方向的对称平衡重量 在 平面内 在 的相反方向加一对反方向的对称平衡重量 亦在 平面内 就可使整个转子达到平衡 结论 同方向对称力 可以认为是由于静不平衡分量产生的 反方向对称力 可以认为是由动不平衡分量产生的 所以 对刚性转子而言 可用同方向平衡重量平衡静不平衡分量 用反方向平衡重量平衡动不平衡分量 由以上讨论可知 与在二个平面内加二个平衡重量的结果相同 亦可在二个任意 垂直于轴线 平面上的相应位置加二个对称的共面平衡重量平衡静不平衡量 在另一相应位置加上二个反对称的共面平衡重量平衡动不平衡量 这样转子亦可获得平衡 5 不平衡振动的初步分析 平衡转子前对振动 振幅和相位 进行初步分析十分必要 刚性转子的任一不平衡离心力均可分解为任选二平面上的一对对称力及一对反对称力 同理 振动也可分解为一对对称分振动及一对反对称分振动 若在二支承转子两端测得A侧振动值为 B侧振动值为 将二振动矢量移动交于一点0 再将 顶点连线的中点与0点相联 即得 则 初步分析 及 的数值及相位 就能判断引起振动的主要原因 是静不平衡还是动不平衡造成 以及不平衡质量主要位于哪一侧 之间相位差不大 45 振幅值也相差不大 图3 12 由于 说明振动主要由静不平衡引起 加减 或减 对称 同相 平衡质量即可消除或减小振动 之间夹角很大 180 且振幅值相接近 图3 13 应加 或减 反对称平衡质量 之间夹角接近90 振幅值相差不大 图3 14 应在两侧加对称和反对称平衡质量 振动初步分析 4 之间夹角不大 但振幅相差很大 图3 15 在A端加平衡质量 动 静 5 之间夹角很大 180 振幅相差也很大 图3 16 A端加 动 静 6 之间夹角接近90 的振幅值相差很大 图3 17 在A端加平衡质量 动 静 由图3 15 图3 17可以看出 当 的振动幅值相差很大 不管之间的夹角如何 都是一侧不平衡 只要在一侧加 或减 平衡质量 就可减小或消除振动 以上对不平衡振动振幅 相位的初步分析 可以简化平衡工作 提高现场平衡效率 6 刚性转子平衡的线性条件由单自由度强迫振动可知 在干扰力的作用下 系统振动的振幅 位移 和相位有如下表达式 由上式可知 当阻尼 转速w一定时 若w远离wn 非共振情况 时 即该系统的振幅A与不平衡力F成线性关系 上式还表明 对于已知体系 阻尼和wn一定 当w不变时 扰动力与振幅之间的相位差角也就一定了 即振动 振幅 滞后于干扰力的角度不变 由上可见 转子偏心离心力Fo的方向与轴心位移最大值A的方向不一致 Fo总顺转速方向超前一个角度 即相位差角 转速不变时 相位差角基本不变 经验数据为 刚性转子 15 70 多数为15 45 挠性转子 100 130 160 在临界转速时 90 上述二点称为线性条件 它们是刚性转子平衡校正工作的基础和依据 但由于实际机组振动系统的复杂性 如轴承刚度 油膜刚度 中心不正等 带来平衡重量及相位计算误差 但总的说来 对刚性转子的平衡 这两个线性条件还是比较符合的 刚性转子的平衡方法 凡工作转速高于第一阶临界转速 no ncr1 且挠曲不严重的转子也可视为刚性转子 对于较短较粗的转子 如风机 电动机 励磁转子均为刚性转子 可以按刚性转子的平衡方法进行现场平衡 一 试加重量的选择利用试加重量 使机组振动振幅发生变化 以求得不平衡质量与振幅之间的对应关系 即知晓单位不平衡重会引起多大的振幅变化 若试加重量选得太小 振幅变化不显著 不灵敏 选得太大 且加重角度不合适 会造成启动紧张升速困难 机组振动振幅过大不安全 因此正确选择试加重量的大小和加重方位至关重要 它有利于减少机组平衡启停次数 缩短平衡时间 一 根据经验公式求得试加重量大小 上式对n 3000r min机组较为合适 式中A0 原始振幅 m R 加重半径 mm W 转子重量 Kg 二 试加重量位置 方位 选择的原则到目前为止 试加重量的方位选择主要依靠经验 一般其不平衡重量超前测振点130 150 刚性转子可以盘动几次 以静止位置来试加重量 对怀疑存在弯曲的转子 可根据晃度的测量结果来判断试加重量的位置 利用平衡槽加重时 若该侧轴承振动相位为X 试加重量角度可取为X 240 利用对轮加重时 若该侧轴承振动相位为X 试加重量角度可取X 210 二 低速动平衡对于刚性转子 一般只进行低速动平衡就能满足机组平稳运转的要求 对于挠性转子有时也要先进行低速动平衡 现场广泛使用动平衡台来进行转子低速的平衡 它利用机械共振放大来确定不平衡重量的数值和位置 三 高速动平衡低速平衡校正后的转子 高速时 可能平衡状态不佳 故还需进行高速动平衡 一 相对相位法利用相对相位变化找平衡的方法称为相对相位法 利用闪光灯或光电头等均可达到测相找平衡的目的 二 幅相影响系数法 对于转子 轴承系统 在确定的转速下 转子的不平衡振动Ai与其不平衡量Uj之间可用一系数相联系起来 式中 反映了转子在i处的不平衡振动和j处不平衡量之间的内在联系 称为线性影响系数 1 定义 式中 下标 轴承号即测取振动讯号位置 下标 加试重的径向平面号 在零刻度位置加一单位质量后对某轴承引起的振动 振幅及相位 的变化称为幅相影响系数 记为或Kij 影响系数是一矢量 表示为 2 影响系数计算 单平面加重设A轴承的原始振动为在 平面加试重后 A轴承的振动为因试重引起的振动变化应为 由定义得知 式中 加一公斤试重引起的振幅值 在零刻度处加重引起的振动相对相位角 有了幅相影响系数 很容易求任意加重后轴承振动的变化 如果在 平面任意角度处加重 根据线性条件 由引起A轴承振动变化为 上式表明 在加重径向平面内任意处加重时 只要计算矢量乘积即为引起的振动变化 显然式中 在一定转速下 已作常数看待了 对于同一台机组影响系数是常数 对于同一型号的机组可以通用 近似认为是一常数 多平面加重将转子启动升速至平衡试验转速 并让其稳定运转 沿轴线方向P个位置测取转子诸点的原始振动 振幅 相位 然后在l平衡平面内加试重P 再将转子启动升速至平衡试验转速 同样测取诸测点处的振幅AiI 相位aiI 其次将试重P依次移加到第 直到第 q 1 平衡平面上 逐次将转子启动升速至平衡试验转速 每次在P个测点处测取不平衡振动振幅Aij和相位角aij 对于平衡平面j而言 它对各测点的影响系数为 影响系数是各个平衡平面上单位试重对各测点的振动影响 有了这些影响系数数据 则可计算出各平面加平衡重量后各轴承振动的变化值 幅相影响系数法平衡的原理就是根据平衡重对轴承所产生的振动应与轴承原始振动互相抵消的条件 列出矢量方程式求解而得出各加重平面的平衡重量的大小和相位 值得强调的是 影响系数目前只能通过试验测取 或大量的试验统计资料的积累 故找准是动平衡成败的关键 对求取的幅相影响系数要进行校核 甚至多次 后才能使用 所幸的是多年来已经积累了相关机组的大量数据 对现场高速动平衡工作有很大的指导参考意义 3 影响系数法在动平衡中的应用 单平面找平衡单平面加平衡重是多平面加重的基础 设A轴承原始振幅为 经校验后的A侧加重对A轴承的影响系数为 若应加平衡重量引起的振动变化为 则平衡条件为 可以分解为下列二式 幅值方程式 相位方程式 由以上二式可计算出平衡重量的大小和相位 平衡重量的大小相位 试加重量和平衡重量的相位角度均从转子零刻度白线逆转向计算之 两平面加重找平衡测得原始振动为 同类机组的影响系数已知 即 平面加重对A轴承的幅相影响系数 平面加重对A轴承的幅相影响系数 平面加重对B轴承的幅相影响系数 平面加重对B轴承的幅相影响系数分别列出A B两侧轴承振动平衡方程 解联立方程 按计算结果进行平衡块的安装 实例 某汽轮发电机组 2 3轴承在3000r min时垂直振动偏大 决定采用靠背轮 和发电机端面 加重的幅相影响系数法进行转子平衡校正 图3 25 各振动测量数据为 2轴承 3轴承 在 平面加重后测得数据为 在 平面加重的同时又在 平面加重后测得数据为 由以上所测数据可计算相关影响系数 列出动平衡矢量方程式 解得 在 加重面上应加重为 在转子上加重Q1 Q2后 实测 2轴承的垂直振动为0 3丝 3轴承的垂直振动为0 3丝 挠性转子的平衡 问题的提出随着机组容量的增大 机组转子的轴向尺寸越来越大 细而长的转子 挠 柔 性增加 因而临界转速大大下降 工作转速将会超过第一阶临界转速或第二 第三阶临界转速 对于这样的转子 一般称为挠性转子 实践证明 采用 不计转子变形影响的 刚性转子的动平衡理论和方法 对挠性转子的平衡达不到预期效果 挠性转子的动平衡技术 是近代高速大型转子设计 制造及运行的重要技术关键问题之一 二 挠性转子平衡的特点挠性转子与刚性转子振动的不同特点乃在于挠性转子在不平衡质量离心力作用下要产生变形 即所谓弹性弯曲 动挠度 同时其变形程度 弹性弯曲线 亦随转速而变化 即不同转速下对应的挠度曲线的形状不同 挠性转子由于转子本身的刚度差 在高速旋转中 其不平衡离心力产生的转子动挠度将进一步产生附加离心力 甚至达到相当大以致造成转子强烈振动 显然 刚性转子动平衡方法不能消除挠性转子的振动 即达不到平衡的目的 现以最简单的例子加以说明 设有一质量为M的挠性转子 图3 27 在H平面处存在一不平衡质量mH 半径为rH 转子质心s 不计不平衡质量mH时 位于离H不远的旋转轴线上 见图3 27a 先将这一转子放在低速平衡台上进行低速动平衡 在转子二端面 mH的对侧加上二平衡质量 使 即达到平衡 此即刚性转子的动平衡 但不平衡质量和校正质量 图3 27b 所产生的离心力将引起转子沿轴向生产弯矩 图3 27c 此弯矩在低速时使转子产生的变形较小 但在高转速时将使转子产生很大的变形 图3 27d 其质心挠度为ys 转子处在弯曲状态下旋转 将产生很大的附加离心力Mysw2 此力促使二轴承产生动反力R1 R2 图3 27e 因而使轴承产生振动 只有在S所处平面上加一适当质量mm 才能消除动挠度ys 并且同时在 平面上再加平衡量 以抵消mm的作用 才可使支反力R1 0 R2 0 且弯矩最小 图3 27g 但是转速一变 平衡又破坏了 轴承又产生动反力 综上所述 因转速改变而造成平衡状况破坏的原因是在某转速下 校正平衡仅使轴承反力为0 而未注意消除存在的弯矩 因此挠性转子平衡的特点是 1 在多转速 或整个转速范围 下均能消除轴承的动反力 2 在工作转速时 或临界转速附近 消除转子的弯矩 或使转子动找度ys最小 3 高速平衡加重不应破坏已进行了的低阶平衡 并且要求全工作转速工况下达到运行平稳 所以说挠性转子的平衡是多转速下的平衡 或全速工况下的平衡 3 2 2挠性转子的振动特性及平衡原理 一 挠性转子的运动方程转子在力学上可简化为弹性梁 梁的横向振动是挠性转子平衡的理论基础 挠性转子的运动方程为四阶非齐次线性偏微分方程 3 31 式右端中表示偏心质量沿轴向分布的曲线 由于这是一周期函数 数学上已证明 任何周期函数均可展开成三角级数 即 上式说明转子上存在的任何连续不平衡质量都可以看作为按各阶振型曲线分布的不平衡在空间的迭加 这依次叫第一阶不平衡 第二 第n阶不平衡 每一阶不平衡均处在一个平面内 一般各阶不平衡所在平面不重合 转子横向强迫振动微分方程的解 二 挠性转子的平衡原理 一 挠性转子在旋转时的挠度曲线是一条绕os轴随转轴旋转的空间曲线 相对于转轴这条曲线是静止的 当w恒定时 也是稳定的 它也可以看作是各阶振型分量 系数为 在空间的向量迭加 各阶振型曲线 或振型分量 所处的平面一般不相重合 即不共面 各平面之间具有一定的相位差 见图3 30 但当转速改变时 这条空间曲线在轴上的位置和幅值也发生变化 所以挠性转子的动平衡校正需要从启动 越过ncr1或ncr2 直到工作转速全部运行转速范围内进行 二 挠性转子的共振特性由 3 36 式看出 若w从0开始 转子挠度z随w的增加而增加 而且当时 z趋于无穷大 但因阻尼存在 z趋于有限最大值 当w越过w1而继续增加时 w w1 z反而减小 此时第一阶振型的影响减小 而第二阶振型的影响增大 当w wcr2时 z又趋于最大值 这种通过wcr或在wcr附近运行振幅很快增大的现象就是所谓 共振 三 转子的挠度曲线可以按各阶振型展开转子的挠度曲线在不同的运转速度下是以各阶主振型的形式展开的 即不同转速下的挠度曲线形状不相同 固有振型是一定转速下 不平衡质量所引起的 即不平衡质量分布将决定转子固有振型被激发到何种程度或能激起哪一阶固有振型 显然 当转子在wcr1附近运转时 w wcr1 转子主要以第一阶主振型振动 其挠度曲线呈现 型 当转速继续升高 第一阶主振型的影响相应减小 而第二阶主振型的影响开始产生并增大 当w wcr2时 转子主要以第二阶主振型振动 其挠度曲线呈现 形 当w wcr3时 转子主要以第三阶主振型振动 其挠度曲线呈现 通常以前面三阶主振型的影响最大 更高阶次的主振型 可以不考虑 利用这种振型规律平衡挠性转子 可以正确选择校正质量的位置 即校正面 见图3 31 由曲线可知 校正质量的平衡效果对各固有振型是不同的 例如 z1点 图c 处加重对第二阶固有振形没什么作用 在z2或z3 图d 二节点上加重对第三阶固有振形也没什么作用 但在z4点上加重对第一阶固有振型影响最大 因其为该振型的峰值点 Z4 Z2 Z2 Z3 Z1 四 不平衡质量的各阶振型分量所在平面与转子挠度曲线的各阶振型分量所在平面之间存在着相位差 五 振型函数具有正交性 正交性又称为互不干扰性 它的物理意义在于 转子的各阶不平衡 质量 的振型分量只能激发转轴本阶的挠曲振型分量 而不能激发其他别的阶次的挠曲振型分量 从能量观点来看 n阶干扰力对k阶振型不作功 在第一阶临界转速附近 转子挠曲主要是第一阶振型 因此不平衡的第一阶振型分量起主要作用 同理 第n阶临界转速附近 不平衡的第n阶振型分量起主要作用 振型函数的正交性 对于逐次平衡挠性转子的各阶振型有着重要的指导意义 这是挠性转子动平衡的理论依据 以正交条件为基础的振型平衡法已成功地在实际上用于大型交流发电机转子 挠性转子平衡方法简述 挠性转子的动平衡也称为振型平衡 即根据不平衡的各阶振型激发转子相应阶挠曲振型进行平衡校正 或在各临界转速附近进行平衡校正 与刚性转子相同 挠性转子的不平衡所产生的振动与转速一致 并且亦近似符合两个基本线性假定条件 同时也可认为轴承振动的对称分量 和反对称分量 与相应的转子的对称不平衡分量 和反对称不平衡分量 之间呈线性关系 挠性转子平衡理论创立已有数十年的历史 归纳起来 挠性转子平衡方法通常可分为三大类 振型平衡法 共振分离法 N法N 2法远离共振分离法 莫尔分离法谐分量法 影响系数法 仿刚性转子的影响系数法 即使轴承支反力为0的平衡法 最小二乘法加权最小二乘法优化方法 多目标优化算法 模态参数识别法影响系数理论计算法直接模态参数识别法振型园法联合平衡法 UBA 即振型法与影响系数法相结合的方法 国内外技术的发展 一次加准法 全息谱平衡法传递函数法等效动刚度法转子无试重平衡 转子自动平衡 直接平衡装置 电磁力平衡装置 移动质量平衡头 3 2 5振型分离平衡法 根据正交性原理 若按振型在转轴上加分布载荷 则