2015-2016年辽宁省部分示范性重点高中高三上期末数学试卷(文)

2015年辽宁省部分示范性重点高中高三（上）期末数学试卷（文科） 一、选择题（每小题 5分，共 60分） 1若集合 A=x|1 0， B=x 丨 0 x 4，则 A B 等于（ ） A x|0 x l B x| l x l C x| 1 x 4 D x|l x 4 2设 i 为虚数单位，复数 z=i（ 5 i）在平面内对应的点的坐标为（ ） A（ 1， 5） B（ l， 5） C（ 1， 5） D（ 1， 5） 3抛物线 y= 准线方程为（ ） A x= B x= C y= D y= 4如图，在半径为 1 的半圆内，放置一个边长为 的正方形 半圆内任取一点，则该点落在正方形内的槪率为（ ） A B C D 5等比数列 ， a1+， a2+2，则 ） A 6 B 12 C 9 D 18 6如果实数 x， y 满足条件 ，則 z=3x 2y 的最小值为（ ） A 4 B 2 C 1 D 2 7某棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 1 B 2 C D 3 8执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A 10 B 6 C 3 D 12 9设向量 =（ 2 1）， =（ 3， 4）， x（ 0， ），当 | |取最大值时，向量 在 方向上的投影为（ ） A B 或 2 C D 或 2 10设 P 是焦距为 6 的双曲线 C： =1（ a 0， b 0）右支上一点，双曲线 C 的一条渐近线与圆（ x 3） 2+ 相切，若 P 到两焦点距离之和为 8，则 P 到两焦点距离之积为（ ） A 6 B 6 C 10 D 12 11已知函数 f（ x） =2x+ ）在区间（ 0， ）上存在唯一一个 0， ），使得 f（ =1，则 （ ） A 的最小值为 B 的最小值为 C 的最大值为 D 的最大值为 12设函数 f（ x） = ） + ，则不等式 f（ +f（ x） 2 的解集为（ ） A（ 0， 2 B ， 2 C 2， +） D（ 0， 2， +） 二、填空题（每小题 5分，共 20分） 13已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 4） = 14设函数 f（ x） =4 f（ m） =0，则 m= 15长、宽、高分別为 2， 1， 2 的长方体的每个顶点都在同一个球面上，则该球的表面积为 16已知 S 为数列 前 n 项和，若 4+=n（ 2 則 三、解答题（本题共 5小题，共 70分） 17在 ，角 A， B， C 的对边分別 a， b， c，且 3（ 1）求 的值； （ 2）若 面积为 3 ，且 C=60，求 c 的值 18某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表： 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲组 4 5 7 9 10 乙组 5 6 7 8 9 （ 1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组 技工的技术水平； （ 2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过 14 件，则称该车间 “生产率高效 ”，求该车间 “生产率高效 ”的概率 19在四梭推 P ， 平面 M 为线段 一点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 证： 平面 20已知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率为 ，且短轴长为 2， O 为 坐标原点 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）设直线 l： y=与椭圆交于 A、 B 两点，且 = ，求 k 的值 21已知函数 f（ x） = k（ kR） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线的斜率为 12，求函数 f（ x）的 极值； （ 2）设 k 0， g（ x） =f（ x），求 F（ x） =g（ 区间（ 0， ）上的最小值 选做题（请考生在第 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，择按所做的第一题计分）【选修4何证明选讲】 22如图， 边上的点 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B （ l）求证：直线 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 长 【选修 4标系与参数方程】 23（ 2016白山二模）在极坐标中，直 线 l 的方程为 （ 34=2，曲线 C 的方程为 =m（ m 0） （ 1）求直线 l 与极轴的交点到极点的距离； （ 2）若曲线 C 上恰好存在两个点到直线 l 的距离为 ，求实数 m 的取值范围 【选修 4等式选讲】 24（ 2016白山二模）已知不等式 |x+2|+|x 2 丨 10 的解集为 A （ 1）求集合 A； （ 2）若 a， bA， xR+，不等式 a+b（ x 4）（ 9） +m 恒成立，求实数 m 的取值范围 2015年辽宁省部分示范性重点高中高三（上）期末数学试卷（文科） 参考答案与试题解析 一、选择题（每小题 5分，共 60分） 1若集合 A=x|1 0， B=x 丨 0 x 4，则 A B 等于（ ） A x|0 x l B x| l x l C x| 1 x 4 D x|l x 4 【考点】并集及其运算 【专题】集合思想；综合法；集合 【分析】根据并集的运算性质计算即可 【解答】解： A=x|1 0=x| 1 x 1， B=x 丨 0 x 4， A B=x| 1 x 4， 故选： C 【点评】本题考察了集合的运算，考察不等式问题，是一道基础题 2设 i 为虚数单位，复数 z=i（ 5 i）在平面内对应的点的坐标为（ ） A（ 1， 5） B（ l， 5） C（ 1， 5） D（ 1， 5） 【考点】复数代数形式的乘除运算 【专题】计算题；方程思想；数学模型法；数系的扩充和复数 【分析】直接利用复数代数形式的乘除运算化简得答案 【解答】解： z=i（ 5 i） =1+5i， 复数 z=i（ 5 i）在平面内对应的点的坐标为（ 1， 5）， 故选： A 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查了复数的代数表示法及其几何意义，是基础题 3抛物 线 y= 准线方程为（ ） A x= B x= C y= D y= 【考 点】抛物线的标准方程 【专题】圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】先求出抛物线 y= 标准方程，再求抛物线 y= 准线方程 【解答】解： 抛物线 y= 标准方程为 y， 抛物线 y= 准线方程为 y= 故选： C 【点评】本题考查抛物线的准线方程的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意抛物线的简单性质的灵活运用 4如图，在半径为 1 的半圆内，放置一个边长为 的正方形 半圆 内任取一点，则该点落在正方形内的槪率为（ ） A B C D 【考点】几何概型 【专题】计算题；转化思想；定义法；概率与统计 【分析】根据几何概型的概率公式求出对应的区域面积即可 【解答】解：半圆的面积 S= ，正方形的面积 ， 则对应的概率 P= = ， 故选： B 【点评】本题主要考查几何概型的概率的计算，求出对应区域的面积是解决本题的关键 5等比数列 ， a1+， a2+2，则 ） A 6 B 12 C 9 D 18 【 考点】等比数列的通项公式 【专题】计算题；函数思想；数学模型法；等差数列与等比数列 【分析】由已知求出等比数列的公比，进一步求得 值，再由等差中项的概念得答 案 【解答】解： 数列 等比数列，且 a1+， a2+2， q= ， 则由 a1+，得 ，即 ， ， 故选： D 【点评】本题考查等比数列的通项公式，考查了等差数列的性质，是基础题 6如果实数 x， y 满足条件 ，則 z=3x 2y 的最小值为（ ） A 4 B 2 C 1 D 2 【考点】简单线性规划 【专题】计算题；对应思想；数形结合法；不等式 【分析】由约束条件作出可行域，化目标函 数为直线方程的斜截式，数形结合得到最优解，把最优解的坐标代入目标函数得答案 【解答】解：由约束条件 作出可行域如图， 化 z=3x 2y 为 ， 由图可知，当直线 过 A（ 0， 1）时，直线在 y 轴上的截距最大， z 有最小值为 2 故选： B 【点评】本题考查简单的线性规划，考查了数形结合的解题思想方法，是中档题 7某棱锥的三视图如图所示，则该几何体的体积为（ ） A 1 B 2 C D 3 【考点】由三视图求面积、体积 【专题】计算题；数形结合法；空间位置关系与距离；立体几何 【分析】已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥，代入锥体体积公式，可得答案 【解答】解：已知中的三视图可得：该几何体是一个以俯视图为底面的四棱锥， 其底面面积 S= =3， 高 h= ， 故体积 V= = ， 故选： C 【点评】本题考查的知识点是由三视图，求体积和表面积，根据已知的三视图，判断几何体的形状是解答的关键 8执行如图所示的程序框图，输出 S 的值为（ ） A 10 B 6 C 3 D 12 【考点】程序框图 【专题】对应思想；试验法；算法和程序框图 【分析】模拟程序框图的运行过程，得出该程序的功能是计算并输出 S= 12+22 32+42 的值，得出数值即可 【解答】解：模拟程序框图的运行过程，得； 该程序的功能是计算并输出 S= 12+22 32+42 的值， 所以 S= 12+22 32+42=10 故选： A 【点评】本题考查了程序框图的应用问题，解题时应根据循环条件判 断出循环变量的终值，结合循环体分析出程序的功能，是基础题 9设向量 =（ 2 1）， =（ 3， 4）， x（ 0， ），当 | |取最大值时，向量 在 方向上的投影为（ ） A B 或 2 C D 或 2 【考点】平面向量数量积的运算 【专题】计算题；函数思想；向量法；平面向量及应用 【分析】由向量 的坐标求出模，结合三角函数的有界性求出 | |取最大值时的 的具体坐标，代入投影公式得答案 【解答】解： =（ 2 1）， x（ 0， ）， 当 2 时， | |取最大值， 此时向量 在 方向上的投影为 故选： A 【点评】本题考查平面向量的数量积运算，考查了向量在向量方向上的投影，是中档题 10设 P 是焦距为 6 的双曲线 C： =1（ a 0， b 0）右支上一点，双曲线 C 的一条渐近线与圆（ x 3） 2+ 相切，若 P 到两焦点距离之和为 8，则 P 到两焦点距离之积为（ ） A 6 B 6 C 10 D 12 【考点】双曲线的简单性质 【专题】计算题；转化思想；定义法；圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】由题意可知 c=3，再根据双曲线 C 的一条渐近线与圆（ x 3） 2+ 相切，得到 b= ，a=2，再根据 | |2a=4， |8，即可求出答案 【解答】解： 2c=6， c=3， 又（ c， 0）到直线 y= x 的距离为 b，而双曲线 C 的一条渐近线与圆（ x 3） 2+ 相切， b= ， a=2， | |2a=4， |8 |6， |2， |12， 故选： D 【点评】本题考查了双曲线的定义和性质以及直线和圆的位置关系，属于基础题 11已知函数 f（ x） =2x+ ）在区间（ 0， ）上存在唯一一个 0， ），使得 f（ =1，则 （ ） A 的最小值为 B 的最小值为 C 的最大值为 D 的最大值为 【考点】正弦函数的图象 【专题】转化思想；综合法；三角函数的图像与性质 【分析】由题意可得 （ ， + ），且 + 2+ ，求得 的范围，从而得出结论 【解答】解： 0， ）， （ ， + ） 由存在唯一一个 0， ），使得 f（ =1，可得 ） = ， + 2+ ，求 得 0 ， 的最大值为 ， 故选： C 【点评】本题主要考查正弦函数的图象特征，判断 + 2+ ，是解题的关键，属于基础题 12设函数 f（ x） = ） + ，则不等式 f（ +f（ x） 2 的解集为（ ） A（ 0， 2 B ， 2 C 2， +） D（ 0， 2， +） 【考点】对数函数的图象与性质；对数的运算性质 【专题】数形结合；换元法；函数的性质及应用 【分析】 f（ x） = （ ） + =f（ x）， f（ x）为 R 上的偶函数 ，且在区间 0， +）上单调递减，再通过换元法解题 【解答】解： f（ x） = （ ） + =f（ x）， f（ x）为 R 上的偶函数，且在区间 0， +）上单调递减， 令 t=以， = t， 则不等式 f（ +f（ ） 2 可化为： f（ t） +f（ t） 2， 即 2f（ t） 2，所以， f（ t） 1， 又 f（ 1） = 2+ =1， 且 f（ x）在 0， +）上单调递减，在 R 上为偶函数， 1t1，即 1， 1， 解得， x ， 2， 故选： B 【点评】本题主要考查 了对数型复合函数的性质，涉及奇偶性和单调性的判断及应用，属于中档题 二、填空题（每小题 5分，共 20分） 13已知函数 f（ x） = ，则 f（ f（ 4） = 7 【考点】函数的值 【专题】计算题；转化思想；综合法；函数的性质及应用 【分析】利用分段函数性质求解 【解答】解： 函数 f（ x） = ， f（ 4） = 2， f（ f（ 4） =f（ 2） =2 9= 7 故答案为： 7 【点评】本题考查函数值的求法，是基础题，解题时要认真审题，注意函数性质的合理运用 14设函数 f（ x） =4 f（ m） =0，则 m= 【考点】导数的运算 【专题】方程思想；定义法；导数的概念及应用 【分析】求函数的导数，解导数方程即可 【解答】解：函数的导数为 f（ x） =8x ， 则由 f（ m） =0 得 8m =0，得 8，得 m= ， 函数的定义域为（ 0， +）， m 0，则 m= ， 故答案为： 【点评】本题主要考查导数的计算，要求熟练掌握掌握常见函数的导数公式，比较基础 15长、宽、高分別为 2， 1， 2 的长方体的每个顶点都在同一个球面上， 则该球的表面积为 9 【考点】球内接多面体；球的体积和表面积 【专题】计算题；方程思想；综合法；立体几何 【分析】先求长方体的对角线的长度，就是球的直径，然后求出它的表面积 【解答】解：长方体的体对角线的长是： =3 球的半径是： 这个球的表面积： 4 =9 故答案为： 9 【点评】本题考查球的内接体，球的表面积，考查空间想象能力，是基础题 16已知 S 为数列 前 n 项和，若 4+=n（ 2 則 122 【考点】数列的求和 【专题】计算 题；分类讨论；综合法；等差数列与等比数列 【分析】分 n 为奇数、偶数求出各自的通项公式，进而利用等差数列的求和公式计算即得结论 【解答】解：当 n=2k+1 时， 1， 3n，即 an=n； 当 n=2k+2 时， ， 5an=n，即 n； 1+3+5+2n 1） + （ 2+4+6+2n） = + = ， =122， 故答案为： 122 【点评】本题考查数列的求和，考查分类讨论的思想，注意解题方法的积累，属于中档题 三、解答题（本题 共 5小题，共 70分） 17在 ，角 A， B， C 的对边分別 a， b， c，且 3（ 1）求 的值； （ 2）若 面积为 3 ，且 C=60，求 c 的值 【考点】余弦定理；正弦定理 【专题】方程思想；综合法；解三角形 【分析】（ 1）由题意正弦定理可得 3掉 得 3得 = =3； （ 2）由三角形的面积公式和（ 1）可得 a=2 且 b=6，再由余弦定理可得 c 值 【解答】解：（ 1） 在 ，角 A， B， C 的对边分別 a， b， c，且 3 由正弦定理可得 3 3 = =3； （ 2）由题意可得 面积为 S= =3 ， 解得 a=2，故 b=3a=6， 由余弦定理可得 c2= 3a） 2 2a3a =78， c=2 【点评】本题考查正余弦定理解三角形，涉及三角形的面积公式，属基础题 18某车间将 10 名技工平均分为甲、乙两组来加工某种零件，在单位时间内每个技工加工零件若干个，其中合格零件的个数如表： 1 号 2 号 3 号 4 号 5 号 甲组 4 5 7 9 10 乙组 5 6 7 8 9 （ 1）分别求出甲、乙两组技工在单位时间内完成合格零件的平均数及方差，并由此分析两组 技工的技术水平； （ 2）评审组从该车间甲、乙两组中各随机抽取 1 名技工，对其加工的零件进行检测，若两人完成合格零件个数之和超过 14 件，则称该车间 “生产率高效 ”，求该车间 “生产率高效 ”的概率 【考点】列举法计算基本事件数及事件发生的概率 【分析】（ ）先分别求出 ， 和 S 甲 2， S 乙 2，由此能够比较两组员工的业务水平 （ ）记 “优秀团 队 ”为事件 A，从甲乙两组中各抽取一名员工完成销售数的基本事件共 25 种，事件A 包含的基本事件共 11 种，由此能求出 “优秀团队 ”的概率 【解答】解：（ ）依题意， = （ 4+5+7+9+10） =7， = （ 5+6+7+8+9） = ， S = （ 4 7） 2+（ 9 7） 2+（ 10 7） 2= S = （ 5 7） 2+（ 8 7） 2+（ 9 7） 2=2 = ， S 甲 2 S 乙 2， 两组员工的总体水平相同，甲组员工的业务水平差异比乙组大 （ ）记 “优秀团队 ”为事件 A，则从甲乙两组中各抽取一名员工完 成销售数的基本事件为： （ 4， 5），（ 4， 6），（ 4， 7），（ 4， 8），（ 4， 9）， （ 5， 5），（ 5， 6），（ 5， 7），（ 5， 8），（ 5， 9）， （ 7， 5），（ 7， 6），（ 7， 7），（ 7， 8），（ 7， 9）， （ 9， 5），（ 9， 6），（ 9， 7），（ 9， 8），（ 9， 9）， （ 10， 5），（ 10， 6），（ 10， 7），（ 10， 8），（ 10， 9），共 25 种， 事件 A 包含的基本事件为：（ 7， 8），（ 7， 9），（ 9， 6），（ 9， 7），（ 9， 8），（ 9， 9），（ 10， 5），（ 10，6），（ 10， 7），（ 10， 8），（ 10， 9），共 11 种， P（ A） = 【点评】本题考查平均数、方差的求法，考查古典概率的求法解题时要认真审题，仔细解答，注意列举法的合理运用 19在四梭推 P ， 平面 M 为线段 一点 （ 1）求证：平面 平面 （ 2）若 证： 平面 【考点】直线与平面平行的判定；平面与平面垂直的判定 【专题】数形结合；数形结合法；空间位置关系与距离 【分析】（ 1）由 平面 合 平面 平面 平面 （ 2）在 取点 E，使得 结 得 为 B= 以 行且相等，推出四边形 平行四边形，故 以 面 【解答】证明：（ 1） 平面 面 C=C， 平面 面 平面 平面 （ 2）在 取点 E，使得 结 又 B， 四边形 平行四边形， 面 面 平面 【点评】本题考查了线面垂直，线面平行的判定，属于基础题 20已 知椭圆 + =1（ a b 0）的离心率为 ，且短轴长为 2， O 为坐标原点 （ 1）求椭圆的标准方程； （ 2）设直线 l： y=与椭圆交于 A、 B 两点，且 = ，求 k 的值 【考点】椭圆的简单性质 【专题】方程思想；分析法； 圆锥曲线的定义、性质与方程 【分析】（ 1）短轴的长求得 b，进而根据离心率求得 a 和 c 的关系，则 a 和 b 的关系可求得，最后根据 b 求得 a，则椭圆的方程可得； （ 2）设出 A， B 的坐标，把直线与椭圆方程联立消去 y，根据韦达定理表示出 x1+直线方程和韦达定理，可得 而根据斜率的数量积的坐标表示和 = 得 k 的关系式，解方程可得 k 的值 【解答】解：（ 1）短轴长 2b=2，即 b=1， e= = ， 又 a2=b2+以 a= ， b=1， 所以椭圆的方程为 +； （ 2）由直线 l 的方程为 y=，设 A（ B（ 由 ，消去 y 得，（ 1+2 =0， 由直线与椭圆有两个不同的交点， 即有 0，即 328（ 1+2 0， 解得 ， 又 x1+ ， ， ）（ ） =k（ x1+2= ， 则 = ， 解得 k=1 【点评】不同考查椭圆的方程的求法，注意运用离心率公式和 a， b， c 的关系，考查直线的斜率的求法，注意联立直线方程和椭圆方程，运用韦达定理 和向量的数量积的坐标表示，考查化简运算能力，属于中档题 21已知函数 f（ x） = k（ kR） （ 1）若曲线 y=f（ x）在点（ 2， f（ 2）处的切线的斜率为 12，求函数 f（ x）的极值； （ 2）设 k 0， g（ x） =f（ x），求 F（ x） =g（ 区间（ 0， ）上的最小值 【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；利用导数求闭区间上函数的最值 【专题】函数思想；分类法；导数的概念及应用；导数的综合应用 【分析】（ 1）求出 f（ x）的导数，求得切线的斜率，解方程可得 k=4，由导数大于 0，可得增区间；导数小于 0 可得减区间，进而得到极值； （ 2）求出 g（ x）和 F（ x）的解析式，令 t= 0， 2，可得 F（ x） =h（ t） =t2+ t+ ） 2 ，k 0， t= 0，讨论对称轴和区间的关系，结合单调性，即可得到所求最小值 【解答】解：（ 1）函数 f（ x） = k 的导数为 f（ x） =x2+ 由题意可得 f（ 2） =4+2k=12，解得 k=4， 即有 f（ x） = ， f（ x） =x， 当 x 0 或 x 4 时， f（ x） 0， f（ x）递增； 当 4 x 0 时， f（ x） 0， f（ x）递减 可得 f（ x）的极小值为 f（ 0） =4； f（ x）的极大值为 f（ 4） = ； （ 2） F（ x） =x4+t= 0， 2， 可得 F（ x） =h（ t） =t2+ t+ ） 2 ， k 0， t= 0， 当 4 k 0 时， （ 0， 2）， h（ t） h（ ） = ； 当 k 4 时， 2， +）， h（ t）在（ 0， 2）递减， h（ t） h（ 2） =4+2k 综上可得， h（ t） 【点评】本题考查导数的运用：求切线的斜率和单调区间、极值，考查 可化为二次函数的最值的求法，注意运用换元法和分类讨论的思想方法，属于中档题 选做题（请考生在第 22、 23、 24三题中任选一题作答，如果多做，择按所做的第一题计分）【选修4何证明选讲】 22如图， 边上的点 C、 D、 E 都在 O 上，已知 B （ l）求证：直线 O 相切； （ 2）若 ，且 ，求 长 【考点】与圆有关的比例线段；圆的切线的判定定理的证明 【专题】证明题；选作题；转化思想；综合法；推理和证明 【分析】（ 1）连结 导出 B， 此能证明直线 O 相切 （ 2）延长 O 于点 F，连结 弦切角定理得 而 = ，由此能求出长 【解答】证明：（ 1） ，又 E， B， 如图，连结 B， 又点 C 在 O 上， 直线 O 相切 解：（ 2）如图，延长 O 于点 F，连结 由（ 1）知 O 的切线， 弦切角 F， F= ， 又 0， = ， ， ， 又 D 2（ 2+2r） =62， r=8， +8=10 【点评】本题考查线与圆相切的证明，考查线段长的求法，是中档题，解题时要认真审题，注意圆的性质的