2016年全国初中数学联合竞赛试题及答案详解

2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 1 页 2016 年全国初中数学联合竞赛试题 第一试 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30) 一 、 选择题 （本题满分 42分，每小题 7分） (本题共有 6个小题，每题 均给出了代号为 A,B,C,中有且仅有一个是正确的 每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写 在括号内），一律得 0 分 .) x 表示不超过 x 的最大整数，把 称为 x 的小数部分 23t ， a 是 b 是 t 的小数部分，则 112（ ） 1 3 0 元、 15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元 购买上述图书30 本 ，那么不同的购书方案有 （ ） 9 种 10种 1种 2种 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数” 3 3 3 32 1 ( 1 ) , 2 6 3 1 , 2 和 26 均为“和谐数” 超过 2016 的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） 858 860 260 262 3(B） 1 ( 0 )y a x b x a 的图象的顶点在第二象限，且过点 (1,0) 为整数时， （ ） 4 e 的半径 直于弦 交 点 C ，连接 延长交 点 E ,若8,2,则 的面积为 （ ） 2 5 16 8 四边形 ， 090B A C B D C ， 5C, 1,对角线的交点为 M ，则 ( ) ,足 1,x y z 则 23M x y y z x z 的最大值为 ( ) 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 2 页 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） (本题共有 4个小题，要求直接将答案写在横线上 .) 1.【 1(A)、 2（ B） 】 已知 的顶点 A 、 C 在反比例函数 3 0x ）的图象上， 090, 030,AB x 轴，点 B 在点 A 的上方，且 6,则点 C 的坐标为 . 1(B)的 最大边 的高线 中线 好把 三等分，3,则 . 2(A)， 分 , O 为对角线的交点，,O ,D 则 . 3.【 3(A)、 4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍， 这个六位数是 . 3(B)p 、 q 满足： 3 4 0 , 1 1 1 ,q p p q 则 最大值 为 . 4(A) 个 1、 5 个 2、 5 个 3、 5 个 4、 5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 这5 个和的最小 值为 M ,则 M 的最大值为 . 第二试 (3 月 20 日上午 9:50 11:20) 一、（本题满分 20 分） 已知 , 223 2 4M a a b b 能取到的最小正整数值 . 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 3 页 二、（本 题满分 25 分） (A) C 在以 直径的 ， B 于点 D ,点 E 在 ， ,C四边形 正方形， 延长线与 于点 N E . (B)5, 2 2 2 1 5 , 3 3 3 求 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a a b b b b c c c c a a 的值 . 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 4 页 三、（本题满分 25 分） (A),足： 1xy yz ,且 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4x y y z z xx y y z z x . (1) 求 1 1 1xy yz 的值 . (2) 证明 : 9 ( ) ( ) ( ) 8 ( )x y y z z x x y z x y y z z x . (B)等腰 中 , 5,A B A CD 为 上异于中点的点，点 C 关于 直线对称点为点 E ,延长线与 延长线交于点 ,F 求 F 的值 . 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 5 页 2016 年全国初中数学联合竞赛试题 及详解 第一试 (3 月 20 日上午 8:30 - 9:30) 一 、 选择题 （本题满分 42分，每小题 7分） (本题共有 6个小题，每题 均给出了代号为 A,B,C,中有且仅有一个是正确的 每小题选对得 7 分；不选、选错或选出的代号字母超过一个（不论是否写在括号内），一律得 0 分 .) x 表示不超过 x 的最大整数，把 称为 x 的小数部分 23t ， a 是t 的小数部分， b 是 t 的小数部分，则 112（ ） 1 3 【答案】 A . 【解析】 1 2 3 , 1 3 2 ,23t 3 4 , 即 3 4,t 3 3 1 又 2 3 , 2 3 1 ,t 4 2 3 3 , ( 4 ) 2 3 , 1 1 1 1 2 3 3 1 1 ,2 2 2 22 ( 2 3 ) 3 1 故选 A. 0 元、 15 元和 20 元，某学校计划恰好用 500 元购买上述图书 30 本 ，那么不同的购书方案有 （ ） 9 种 10种 1种 2种 【答案】 C. 【解析】设购买三种图书的数量分别为 , , ,x 301 0 1 5 2 0 5 0 0x y zx y z ， 即 303 4 1 0 0 2y z xy z x ，解得 20 210依题意得， ,自然数（非负整数）， 故 0 10,x x 有 11种可能的取值（分别为 0 ,1, 2 , , 9 ,1 0 )L ，对于每一个 x 值， y 和 z 都有唯一的值（自然数）相对应 . 即不同的购书方案共有 11 种，故选 C. 3(A). 如果一个正整数可以表示为两个连续奇数的立方差，则称这个正整数为“和谐数” 3 3 3 32 1 ( 1 ) , 2 6 3 1 , 2 和 26 均为“和谐数” 超过 2016 的正整数中，所有的“和谐数”之和为 （ ） 858 860 260 262 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 6 页 【答案】 B. 【解析】 3 3 2 2( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 ) ( 2 1 )k k k k k k k k 22(12 1)k （其中 k 为非负整数），由 22 (1 2 1 ) 2 0 1 6k 得， 9k 0 , 1 , 2 , , 8 , 9k L ，即得所有不超过 2016 的“和谐数”，它们的和为 3 3 3 3 3 3 3 3 3 3 31 ( 1 ) ( 3 1 ) ( 5 3 ) ( 1 7 1 5 ) ( 1 9 1 7 ) 1 9 1 6 8 6 0 . . 3(B） 1 ( 0 )y a x b x a 的图象的顶点在第二象限，且过点 (1,0) .当 为整数时， （ ） 4 【答案】 B. 【解析】依题意知 0 , 0 , 1 0 ,2ba a 故 0,b 且 1 ， ( 1 ) 2 1a b a a a ， 于是 1 0,a 1 2 1 1a 又 为整数， 2 1 0,a 故 1 ,2 14故选 B. e 的半径 直于弦 交 点 C ，连接 延长交 点 E ,若 8,2,则 的面积为 （ ） 2 5 16 8 【解析】设 ,OC x 则 2,O A O D x BQ 于 ,C 1 4,2A C C B A B 在 中， 2 2 2 ,O C A C O A 即 2 2 24 ( 2 ) , 解得 3x ，即 3 （第 4 题答案图） 的中位线， 2 6 O C 直径， 90 ,B o 11 4 6 1 2 B B E 故选 A. 四边形 ， 090B A C B D C ， 5C, 1,对角线的交点为 M ，则 ( ) 53 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 7 页 2（第 5 题答案图） 【答案】 D. 【解析】过点 A 作 D 于点 ,H 则 ,M 1,M 设 ,AM x 则 5, 5 x A H x 在 中， 2 2 2 5,B M A B A M x 则255A B A M x25 ,55 显然 0x ，化简整理得 22 5 5 1 0 0 解得 5,2x（ 25x 不符合题意，舍去），故 5 ,2在 中， 22 12D M C M C D ,故选 D. ,足 1,x y z 则 23M x y y z x z 的最大值为 ( ) 【答案】 C. 【解析】 22( 2 3 ) ( 2 3 ) ( 1 ) 3 4 2 3 2M x y y x z x y y x x y x x y y x y 22221 1 12 2 3 3 22 2 2y x y x x x x 2 2 221 1 1 1 3 3222 2 2 2 4 4y x x x y x x 当且仅当 1 ,02时， M 取等号，故4M ，故选 C. 二、填空题（本题满分 28 分，每小题 7 分） (本题共有 4个小题，要求直接将答案写在横线上 .) 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 8 页 1.【 1(A)、 2（ B） 】 已知 的顶点 A 、 C 在反比例函数 3 0x ）的图象上， 090, 030,AB x 轴，点 B 在点 A 的上方，且 6,则点 C 的坐标为 . 【答案】 3,22. 【解析】如图，过点 C 作 B 于点 D . 在 中， c o s 3 3B C A B A B C 在 中， 33s i n ,2C D B C B （第 1题答案图） 9c o s ,2B D B C B 32A D A B B D ,设 33, , ,C m A ， 依题意知 0,故 33,C D n m A ，于是 3323 3 32 解得 3223 ，故点 C 的坐标为 3,22. 1(B)的最大边 的高线 中线 好把 三等分，3,则 . 【答案】 2 . 【解析】 （ 第 1 题答案图 1 ） （ 第 1 题答案图 2） 依题意得 B A D D A M M A C , 09 0 ,A D B A D C 故 A B C A C B . (1)若 A B C A C B 时，如答案图 1 所示， ,1 ,2B D D M C M 又 分 , 1 ,2A D D C M 在 中，即 1c o s ,2D A C06 0 ,D 从而 009 0 , 3 0B A C A C D . 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 9 页 在 中， t a n 3 t a n 6 0 3 ,C D A D D A C o 在 中， 22 2A M A D D M . (2)若 A B C A C B 时，如答案图 2 所示 2. 2(A)， 分 , O 为对角线的交点，,O ,D 则 . 【答案】 126o . 【解析】设 ,O C D A D O , 分 , O C D O C B , ,A D O O B C D A O O C B , (第 2 题答案图 ) O C D D A O , D,Q ,O O, A D O A O D B O C O B C , C, Q ,D ,D O D C O C D , 1 8 0B O C O D C O C D B O C O B C O C B 2 , 2 1 8 0 , 6 , 7 272D B C B C D o, ,B D C D A D 180 5 4 ,2A B D B A D o o 故 126A B C A B D D B C o. 3.【 3(A)、 4(B)】 有位学生忘记写两个三位数间的乘号，得到一个六位数，这 个六位数恰好为原来两个三位数的乘积的 3 倍，这个六位数是 . 【答案】 167334. 【解析 】 设两个三位数分别为 , 1 0 0 0 3x y ， 3 1 0 0 0 ( 3 1 0 0 0 ) ,y x y x y x 故 y 是 x 的正整数倍，不妨设 y （ t 为正整数），代入得 1 0 0 0 3 ,t 1000 ,3 tx t 三位数， 1000 1003 tx t ，解得 1000,299t 正整数， t 的 可能取值为 1,2,3. 验证可知，只有 2t 符合，此时 1 6 7 , 3 3 4 故所求的六位数为 167334. 3(B)p 、 q 满足： 3 4 0 , 1 1 1 ,q p p q 则 最大值为 . 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 10 页 【答案】 1007 . 【解析】由 3 4 0 得， 3 4, 22 24( 3 4 ) 3 4 3 ,33p q q q q q q 因 q 为质数，故 值随着质数 q 的增大而增大，当且仅当 q 取得最大值时， 得最大值 . 又 111 ， 3 4 1 1 1, 3284q，因 q 为质数，故 q 的可能取值为 2 3 , 1 9 , 1 7 , 1 3 , 1 1 , 7 , 5 , 3 , 2，但 23q 时， 3 4 6 5 5 1 3 不是质数，舍去 . 当 19q 时 , 3 4 5 3 恰为质数 a x m a , ( ) 5 3 1 9 1 0 0 7q p q . 4(A) 个 1、 5 个 2、 5 个 3、 5 个 4、 5 个 5 共 25 个数填入一个 5 行 5 列的表格内（每格填入一个数），使得同一列中任何两数之差的绝对值不超过 这5 个和的最小值为 M ,则 M 的最大值为 . 【答案】 10. 【解析】 (依据 5 个 1 分布的列数的不同情形进行讨论 ,确定 M 的最大值 . (1)若 5 个 1 分布在同一列，则 5M ； (2)若 5 个 1 分布 在两列中，则由题意知这两列中出现的最大数至多为 3，故 2 5 1 5 3 2 0M ,故 10M ; (3) 若 5 个 1 分布在三列中，则由题意知这三列中出现的最大数至多为 3，故 3 5 1 5 2 5 3 3 0M ,故 10M ; (4) 若 5 个 1 分布在至少四列中，则其中某一列至少有一个数大于 3，这与已知矛盾 . 综上所述， 另一方面，如下表的例子说明 M 可以取到 的最大值为 10. 第二试 (3 月 20 日上午 9:50 11:20) 一、（本题满分 20 分） 已 知 , 223 2 4M a a b b 能取到的最小正整数值 . 【解析】解：因 ,使得 223 2 4M a a b b 的值为正整数，则有2a . 当 2a 时， b 只能为 1，此时 故 M 能取到的最小正整数值不超过 4. 当 3a 时， b 只能为 1 或 , 18;若 2b ，则 7M . 1 1 1 4 5 1 1 2 4 5 2 2 2 4 5 3 3 2 4 5 3 3 3 4 5 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 11 页 当 4a 时， b 只能为 1 或 2 或 , 38;若 2, 24;若 3,b 则 2M . (下面考虑： 223 2 4M a a b b 的值能否为 1？ ) （反证法）假设 1M ，则 223 2 4 1a a b b ，即 223 2 5a a b b ， 2( 3 ) 2 5a a b b 因 b 为正整数，故 25b 为奇数，从而 a 为奇数， b 为偶数， 不妨设 2 1, 2a m b n ，其中 , 2 2 2 2 2( 3 ) ( 2 1 ) 3 ( 2 1 ) ( 2 ) 4 ( 3 3 2 ) 3a a b m m n m m m n n 即 2(3 )a a b 被 4 除所得余数为 3，而 2 5 2 ( 2 ) 1 4 1b n n 被 4 除所得余数为 1， 故式不可能成立，故 1M M 能取到的最小正整数值为 2. 二、（本题满分 25 分） (A) C 在以 直径的 ， B 于点 D ,点 E 在 ，,C 四边形 正方形， 延长线与 于点 N E . (第 2(A)题答案图 ) 【证明】：连接 直径， B 于点 D 90A C B A N B A D C o ,C A B D A C A C B A D C Q ,A C B A D C ,C 2A C A D A B 由四边形 正方形及 B 于点 D 可知 : 点 M 在 ， D E D M E F M F ,N A B D A M A N B A D M Q ,A N B D M ,M ,A D A B A M A N 2 ,A C A M A N ,CQ 2A E A M A N 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 12 页 以点 F 为圆心、 半径作 ,直线 于另一点 P ,则 于点 E ,即 切线，直线 割线，故由切割线定理得 2M P,即点 N 与点 P 重合，点 N 在 ， F N F E D E . (注 ：上述最后一段得证明用了“同一法” ) (B)5, 2 2 2 1 5 , 3 3 3 求 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( )a a b b b b c c c c a a 的值 . 【解析】由 已知得 2 2 2 21 ( ) ( ) 52a b b c c a a b c a b c 由恒等式 3 3 3 2 2 23 ( ) ( )a b c a b c a b c a b c a b b c c a 得， 4 7 3 5 (1 5 5 ) , 1 又 22 ( ) ( ) ( ) 5 ( 5 ) 5 5 ( 1 )a a b b a b c a b a b b c c a c c 同理可得 2 2 2 25 ( 4 ) , 5 ( 4 )b b c c a c c a a b 原式 = 35 ( 4 ) ( 4 ) ( 4 ) 1 2 5 6 4 1 6 ( ) 4 ( )a b c a b c a b b c c a a b c 1 2 5 6 4 1 6 5 4 5 ( 1 ) 6 2 5 . 【 注 ：恒等 式 32( ) ( ) ( ) ( ) ( )t a t b t c t a b c t a b b c c a t a b c 】 三、（本题满分 25 分） (A),足： 1xy yz ,且 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4x y y z z xx y y z z x . (3) 求 1 1 1xy yz 的值 . (4) 证明 : 9 ( ) ( ) ( ) 8 ( )x y y z z x x y z x y y z z x . 【解析】（ 1）解：由等式 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4x y y z z xx y y z z x ， 去分母得 2 2 2 2 2 2( 1 ) ( 1 ) ( 1 ( ( 1 ) ( 1 ) ( 1 ) 4z x y x y z y z x x y z ， 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2( ) ( ) ( ) 3 ( ) 0 ,x y z x y z x y z x y z y z x z x y x y z x y z x y z 2016 年全国初中数学联赛（决赛）试题 第 13 页 ( ) ( ) ( ) ( ) 0x y z x y y z z x x y z x y y z z x x y z x y z ， ( ) ( 1 ) 0x y z x y z x y y z z x ， 1 , 1 0x y x y y z z x Q ， ( ) 0 ,x y z x y z x y z ， 原式 = 1.x y （ 2）证明：由（ 1）得计算过程知 x y