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第五节 一 平面的点法式方程 二 平面的一般方程 三 两平面的夹角 平面及其方程 第八章 一 平面的点法式方程 设一平面通过已知点 且垂直于非零向 称 式为平面 的点法式方程 求该平面 的方程 法向量 量 则有 故 例1 求过三点 即 解 取该平面 的法向量为 的平面 的方程 利用点法式得平面 的方程 此平面的三点式方程也可写成 一般情况 过三点 的平面方程为 说明 特别 当平面与三坐标轴的交点分别为 此式称为平面的截距式方程 时 平面方程为 分析 利用三点式 按第一行展开得 即 二 平面的一般方程 设有三元一次方程 以上两式相减 得平面的点法式方程 此方程称为平面的一般 任取一组满足上述方程的数 则 显然方程 与此点法式方程等价 的平面 因此方程 的图形是 法向量为 方程 特殊情形 当D 0时 Ax By Cz 0表示 通过原点的平面 当A 0时 By Cz D 0的法向量 平面平行于x轴 Ax Cz D 0表示 Ax By D 0表示 Cz D 0表示 Ax D 0表示 By D 0表示 平行于y轴的平面 平行于z轴的平面 平行于xoy面的平面 平行于yoz面的平面 平行于zox面的平面 例2 求通过x轴和点 4 3 1 的平面方程 解 因平面通过x轴 设所求平面方程为 代入已知点 得 化简 得所求平面方程 三 两平面的夹角 设平面 1的法向量为 平面 2的法向量为 则两平面夹角 的余弦为 即 两平面法向量的夹角 常为锐角 称为两平面的夹角 特别有下列结论 因此有 例4 一平面通过两点 垂直于平面 x y z 0 求其方程 解 设所求平面的法向量为 即 的法向量 约去C 得 即 和 则所求平面 故 方程为 且 外一点 求 例5 设 解 设平面法向量为 在平面上取一点 是平面 到平面的距离d 则P0到平面的距离为 点到平面的距离公式 解 设球心为 求内切于平面x y z 1与三个坐标面所构成 则它位于第一卦限 且 因此所求球面方程为 四面体的球面方程 从而 例6 内容小结 1 平面基本方程 一般式 点法式 截距式 三点式 2 平面与平面之间的关系 平面 平面 垂直 平行 夹角公式 求过点 且垂直于二平面 和 的平面方程 解 已知二平面的法向量为 取所求平面的法向量 则所求平面方程为
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