分类讨论问题的原因初探

1 高中代数分类讨论问题的原因初探高中代数分类讨论问题的原因初探 分类讨论思想作为高考数学一种必考的数学思想 在高中数学 教学中的地位可谓举足轻重 然而很多同学对分类讨论思想在什么 情况下要用到 怎么样去使用分类讨论思想都还不甚了解 笔者在 多年的高中数学教学中对该思想进行了一些梳理 以求起到抛砖引 玉的作用 我认为造成高中代数分类讨论的常见的情形大体有如下 几种 1 研究指数函数和对数函数性质时对底数必须分类讨论 例如 已知 f x ax a x a 0 且 a 1 讨论 f x 的 a a2 1 单调性 解 当 a 1 时 a2 1 0 y ax为增函数 y a x为减函数 从而 y ax a x为增函数 所以 f x 为增函数 当 0 a 1 时 a2 10 且 a 1 时 f x 在定义域内单调递增 总结 本题中指数函数的底数是字母 a 因此对字母 a 进行讨论成为 首先要解决的问题 因为当 a 1 时和当 0 a0 若 f x ln x 在 a 1 x 1 上恒成立 求 a 的取值范围 2 解 令 g x f x ln x ax 1 2a ln x a 1 x x 1 则 g 1 0 g x a a 1 x2 1 x ax2 x a 1 x2 a x 1 x 1 a a x2 当 1 时 0 a 则 1 x 1 a a 1 2 1 a a 故 g x 0 g x 是减函数 所以 g x g 1 0 即 f x 1 故 g x 0 g x 是增函数 g x 1 a a 1 2 g 1 0 即 f x ln x 故当 x 1 时 f x ln x 恒成立 综上所述 所求 a 的取值范围为 1 2 总结 本题中若令 g x 0 得 x 或 x 1 由于给定区间为 1 a a 1 故与 1 必须进行大小比较 因此出现了对 a 进行讨 1 a a 论 3 研究等比数列求和问题时必须对公比是否为 1 进行讨论 例如 求数列 1 1 a 1 a a2 1 a a2 an 1的前 n 项 和 Sn a 0 解 若 a 1 则通项 an 1 1 1 n 3 于是 Sn 1 2 n n n 1 2 若 a 1 则通项 an 1 a an 1 1 an 1 an 1 a 1 1 a 于是 Sn n a a2 an 1 a 1 a 1 a2 1 a 1 an 1 a 1 1 a 1 1 a n a 1 an 1 a 总结 本题中出现的数列通项中出现了字母 a 求通项时就牵涉到 等比数列求和 因此对公比 a 进行讨论成为必然 因为若不对公比 a 进行讨论就无法利用等比数列的求和公式 4 研究集合之间的关系时对是否为空集必须进行讨论 例如 已知集合 A x 2 x 7 B x m 1 x 2m 1 若 B A 求实数 m 的取值范围 解 当 B 时 有 m 1 2m 1 则 m 2 当 B 时 若 BA 如图 则Error 解得 2 m 4 综上 m 的取值范围为 m 4 总结 本题中 BA 则 B 或 B 要分两种情况讨论 5 研究二次函数性质时对对称轴或区间必须进行讨论 例如 求函数 y x2 2ax 1 在 x 0 2 时的值域 解 由已知可得 函数的图象开口向上 对称轴为 x a 4 当 a 0 时 ymin f 0 1 ymax f 2 4 4a 1 3 4a 所以函数的值域为 1 3 4a 当 0 a 1 时 ymin f a a2 1 ymax f 2 3 4a 所 以函数的值域为 a2 1 3 4a 当 12 时 ymin f 2 3 4a ymax f 0 1 所以函数的值域为 3 4a 1 总结 本题中因为给出的二次函数图象开口向上 对称轴为 x a 显然对称轴 x a 的位置与给定区间的位置关系决定了 a 必须与区间 的端点 0 与 2 及区间的中点 1 进行大小比较 6 研究不等式的解集时对根的大小必须进行讨论 例如 求不等式 12x2 ax a2 a R 的解集 解 12x2 ax a2 12x2 ax a2 0 即 4x a 3x a 0 令 4x a 3x a 0 得 x1 x2 a 4 a 3 a 0 时 解集为 a 4 a 3 x x a 4或x a 3 a 0 时 x2 0 解集为 x x R 且 x 0 a 0 时 解集为 a 4 a 3 x x a 3或x a 4 综上所述 当 a 0 时 不等式的解集为 x x a 4或x a 3 5 当 a 0 时 不等式的解集为 x x R 且 x 0 当 a 0 时 不等式的解集为 x x a 3或x a 4 总结 本题中求解出一元二次方程的根 和 以后需要写出一元二 a 4 a 3 次不等式的解集 由 和 的大小关系自然得到对字母 a 必须进行 a 4 a 3 分类讨论