武汉市东湖开发区2015届中考数学模拟试卷（二）及答案解析

第 1 页（共 31 页） 2015 年湖北省武汉市东湖开发区中考数学模拟试卷（二） 一、选择题 1在 0， 3 这四个数中，最小的数是（ ） A 0 D 3 2若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A x 3 B x3 C x 3 D x3 3分解因式 4a 的结果是（ ） A a（ 4） B a（ a+2）（ a 2） C a（ ）（ 2） D a（ ）（ 4） 4在 “大 家跳起来 ”的乡村学校舞蹈比赛中，某校 10 名学生参赛成绩统计如图所示对于这 10 名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ） A众数是 90 B中位数是 90 C平均数是 90 D极差是 15 5下列代数运算正确的是（ ） A（ 2=（ 2x） 2=2 x3x2=（ x+1） 2= 6如图，线段 个端点的坐标分别为 A（ 6， 6）， B（ 8， 2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 小为原来的 后得到线段 端点 C 的坐标为（ ） 第 2 页（共 31 页） A（ 3， 3） B（ 4， 3） C（ 3， 1） D（ 4， 1） 7一物体及其主视图如图，则它的左视图与俯视图分别是右侧图形中的（ ） A B C D 8在长方形 ， ， ，动点 P 从点 B 出发，沿路线 BCD 做匀速运动，那么 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致为（ ） A B C D 9武汉市光谷实验中学九（ 1）班为了了解全班学生喜欢球类活动的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的 结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图 ， ，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），下列说法错误的是（ ） 第 3 页（共 31 页） A九（ 1）班的学生人数为 40 B m 的值为 10 C n 的值为 20 D表示 “足球 ”的扇形的圆心角是 70 10如图， 直径， ， C、 D 为圆上两个动点， N 为 点， M，当 C、 0，则 长（ ） A随 C、 D 的运动位置而变化，且最大值为 4 B随 C、 D 的运动位置而变化，且最小值为 2 C随 C、 D 的运动位置长度保持不变，等于 2 D随 C、 D 的运动位置而变化，没有最值 二、填空题 11计算 2（ 5） = 12 “天上星星有几颗， 7 后跟上 22 个 0”，这是国际天文学联合会上宣布的消息，用科学记数法表示宇宙空间星星颗数 第 4 页（共 31 页） 13如图，一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指 的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为 14一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车的距离 y（千米）与慢车行驶的时间为 x（小时）之间的函数关系如图所示，则快车到达乙地时慢车离乙地距离为 15如图，在平面直角坐标系中，四边形 ， 0，过 A 点的双曲线 y= 的一支在第二象限交 点 D，交边 点 E，且 =2， S ，则 S 16如图， 是顶角为 30的等腰三角形， 5， ，则 第 5 页（共 31 页） 三、解答题（共 72分） 17已知直线 y=kx+b 经过点（ 1， 1）和（ 1， 3），求关于 x 的不等式 kx+b3 的解集 18如图，点 D， E 分别是 边 中点， G 点， （ 1）找出图中的所有相似三角形，并选一对相似加以证明 （ 2）求证： 19袋中装有大小相同的 2 个红球和和若干个绿球，小明从中随机的摸取一个球，经过多次重复试验摸到红球的频率约为 （ 1）求袋中有多少个绿球； （ 2）先从袋中摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球，求第一次摸到绿球，第二次 摸到红球的概率； （ 3）先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球中有一个绿球和一个红球的概率是多少？请直接写出结果 20如图，在直角坐标系中， A（ 0， 4）， B（ 4， 4）， C（ 4， 0）， D（ 0， 2） （ 1）将线段 B 点顺时针旋转 90，请画出 对应线段 （ 2）求 D 点旋转到 E 点所走过的路径长； 第 6 页（共 31 页） （ 3）若 F 为 一点， 分四边形 面积，请直接写出 F 点坐标 21如图 1，点 I 是 内心， 延长线交 外接圆 O 于点D （ 1）求证： C= （ 2）若 O 的直径， 值 22某公司销售某种商品，其标价为 100 元，现在打 6 折销售仍然获利 50%，为扩大销量，公司决定在打 6 折的基础上再降价，规定顾客每再多买 1 件，顾客购买的所有商品的单价再少 1 元，但不能出现亏损的情况，设顾客购买商品件数为 x（件），公司获得利润为 W（元） （ 1）求该商品的进 价是多少元？ （ 2）求 W 与 x 的函数关系式并求公司销售利润最大值？ （ 3）公司发现 x 在某一范围内会出现顾客购买件数越多公司利润反而越少的情况，为避免出现这种情况，应规定最低售价为多少元？ 23如图， ， E， H，交 F， （ 1）求证： 第 7 页（共 31 页） （ 2）若 C，求证： F； （ 3）在（ 2）的条件下，若 0，直接写出 值 24如图，在平面直角坐标系中 ，抛物线 y=23 与 x 轴交于 A、 B，且 ，与 y 轴交于C 点， （ 1）求抛物线的解析式； （ 2）点 P 从 A 点出发，在线段 以每秒 3 个单位长度的速度向 B 点运动，同时点 Q 从 B 点出发在线段 以每秒 个单位长度的速度向 C 点运动，其中一点到达终点时另一点也停止运动，当 在时，求运动多少秒使 面积最大，最大面积是多少？ （ 3）若平行于直线 直线与抛物线交于 M、 N 两点，若抛物线上存在一个定点 D，使过 D 点且平行于 x 轴的直线 分 D 点坐标和 的值 第 8 页（共 31 页） 2015年湖北省武汉市东湖开发区中考数学模拟试卷（二） 参考答案与试题解析 一、选择题 1在 0， 3 这四个数中，最小的数是（ ） A 0 D 3 【考点】 有理数大小比较 【分析】 根据正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小比较即可 【解答】 解： 3 0 即最小的数是 3， 故选 D 【点评】 本题考查了有理数的大小比较的应用，注意：正数都大于 0，负数都小于 0，正数都大于负数，两个负数比较大小，其绝对值大的反而小是解答此题的关键 2若 在实数范围内有意义，则 x 的取值范围是（ ） A x 3 B x3 C x 3 D x3 【考点】 二次根式有意义的条件 【专题】 常规题型 【分析】 根据被开方数大于等于 0 列式计算即可得解 【解答】 解：根据题意得， x 30， 解得 x3 故选 D 【点评】 本题考查的知识 点为：二次根式的被开方数是非负数 3分解因式 4a 的结果是（ ） A a（ 4） B a（ a+2）（ a 2） C a（ ）（ 2） D a（ ）（ 4） 【考点】 提公因式法与公式法的综合运用 【专题】 计算题 第 9 页（共 31 页） 【分析】 原式提取 a，再利用平方差公式分解即可 【解答】 解： 4a=a（ 4） =a（ a+2）（ a 2）， 故选 B 【点评】 此题考查了提公因式法与公式法的综合运用，熟练掌握因式分解的方法是解本题的关键 4在 “大家跳起来 ”的乡村学校舞蹈比赛中，某校 10 名学生参赛成绩统计如图所示对于这 10 名学生的参赛成绩，下列说法中错误的是（ ） A众数是 90 B中位数是 90 C平均数是 90 D极差是 15 【考点】 折线统计图；算术平均数；中位数；众数；极差 【分析】 根据众数、中位数、平均数、极差的定义和统计图中提供的数据分别列出算式，求出答案 【解答】 解： 90 出现了 5 次，出现的次数最多， 众数是 90； 故 A 正确； 共有 10 个数， 中位数是第 5、 6 个数的平均数， 中位数是（ 90+90） 2=90； 故 B 正确； 平均数是（ 801+852+905+952） 10=89； 故 C 错误； 极差是： 95 80=15； 故 D 正确 综上所述， C 选项符合题意， 故选： C 【点评】 此题考查了折线统计图，用到的知识点是众数、中位数、平均数、极差，关键是能从统计图中获得有关数据，求出众数、中位数、平均数、极差 5下列代数运算正确的是（ ） A（ 2=（ 2x） 2=2 x3x2=（ x+1） 2= 第 10 页（共 31 页） 【考点】 幂的乘方与积的乘方；同底数幂的乘法；完全平方公式 【专 题】 计算题 【分析】 根据幂的乘方与积的乘方、同底数幂的乘法法则及完全平方公式，分别进行各选项的判断即可 【解答】 解： A、（ 2=式计算错误，故 A 选项错误； B、（ 2x） 2=4式计算错误，故 B 选项错误； C、 x3x2=式计算正确，故 C 选项正确； D、（ x+1） 2=x+1，原式计算错误，故 D 选项错误； 故选： C 【点评】 本题考查了幂的乘方与积的乘方、同底数幂的运算，掌握各部分的运算法则是关键 6如图，线段 个端点的坐标分别为 A（ 6， 6）， B（ 8， 2），以原 点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 小为原来的 后得到线段 端点 C 的坐标为（ ） A（ 3， 3） B（ 4， 3） C（ 3， 1） D（ 4， 1） 【考点】 位似变换；坐标与图形性质 【专题】 几何图形问题 【分析】 利用位似图形的性质结合两图形的位似比进而得出 C 点坐标 【解答】 解： 线段 两个端点坐标分别为 A（ 6， 6）， B（ 8， 2），以原点 O 为位似中心，在第一象限内将线段 小为 原来的 后得到线段 端点 C 的横坐标和纵坐标都变为 A 点的一半， 端点 C 的坐标为：（ 3， 3） 故选： A 【点评】 此题主要考查了位似图形的性质，利用两图形的位似比得出对应点横纵坐标关系是解题关键 第 11 页（共 31 页） 7一物体及其主视图如图，则它的左视图与俯视图分别是右侧图形中的（ ） A B C D 【考点】 由三视图判断几何体；简单组合体的三视图 【分析】 找到从正、上和左面 看所得到的图形即可，注意所有的看到的棱都应表现在三视图中 【解答】 解：从左面看有 2 个长方形，即 ； 从上面看是一个长方形，长方形里还有 1 个小长方形，即 ； 故选 B 【点评】 本题考查了三视图的知识，主视图是从物体的正面看得到的视图，左视图是从物体的左面看得到的视图，俯视图是从物体的上面看得到的视图 8在长方形 ， ， ，动点 P 从点 B 出发，沿路线 BCD 做匀速运动，那么 与点 P 运动的路程 x 之间的函数图象大致为（ ） A B C D 【考点】 动点问题的函数图象 【分析】 运用动点函数进行分段分析，当 P 在 与 时，分别求出函数解析式，再结合图象得出符合要求的解析式 【解答】 解： ， ，动点 P 从点 B 出发， P 点在 时， BP=x， ， 第 12 页（共 31 页） 面积 S= P= 2x=x； 动点 P 从点 B 出发， P 点在 时， 高是 1，底边是 2，所以面积是 1，即 s=1； s=x 时是正比例函数，且 y 随 x 的增大而增大， s=1 时，是一个常数函数，是一条平行于 x 轴的直线 所以只有 C 符合要求 故选 C 【点评】 此题主要考查了动点函数的应用，注意将函数分段分析得出解析式是解决问题的关键 9武汉市光谷实验中学九（ 1）班为了了解全班学生喜欢球类活动 的情况，采取全面调查的方法，从足球、乒乓球、篮球、排球等四个方面调查了全班学生的兴趣爱好，根据调查的结果组建了 4 个兴趣小组，并绘制成如图所示的两幅不完整的统计图（如图 ， ，要求每位学生只能选择一种自己喜欢的球类），下列说法错误的是（ ） A九（ 1）班的学生人数为 40 B m 的值为 10 C n 的值为 20 D表示 “足球 ”的扇形的圆心角是 70 【考点】 条形统计图；扇形统计图 【分析】 由条形统计图和扇形统计图得到喜欢篮球的人数而后所占的百分比，求 出人数，根据人数求出 m、 n，根据表示 “足球 ”的百分比求出扇形的圆心角 【解答】 解：由图 和图 可知，喜欢篮球的人数是 12 人，占 30%， 1230%=40，则九（ 1）班的学生人数为 40， A 正确； 440=10%，则 m 的值为 10， B 正确； 1 40% 30% 10%=20%， n 的值为 20， C 正确； 360 20%=72， D 错误， 第 13 页（共 31 页） 故选： D 【点评】 本题考查的是条形统计图和扇形统计图的综合运用，读懂统计图，从不同的统计图中得到必要的信息是解决问题的关键 10如图， 直径， ， C、 D 为 圆上两个动点， N 为 点， M，当 C、 0，则 长（ ） A随 C、 D 的运动位置而变化，且最大值为 4 B随 C、 D 的运动位置而变化，且最小值为 2 C随 C、 D 的运动位置长度保持不变，等于 2 D随 C、 D 的运动位置而变化，没有最值 【考点】 轨迹 【分析】 连接 垂径定理可知 后由 80，可证明 O、 N、 C、 M 四点共圆，从而可得到 0，于是可证明 等边三角形，从而得到 【解答】 解；连接： N 是 中点， 又 80 O、 N、 C、 M 四点共圆 0 0 第 14 页（共 31 页） 又 D， 等边三角形 故选： C 【点评】 本题主要考查的是轨迹问 题，发现 O、 N、 C、 M 四点共圆，从而证得 等边三角形是解题的关键 二、填空题 11计算 2（ 5） = 3 【考点】 有理数的减法 【分析】 首先将减法转化为加法，然后再按照加法法则计算 【解答】 解：原式 = 2+5=3 故答案为： 3 【点评】 本题主要考查的是有理数的加法和减法法则，掌握法则是解题的关键 12 “天上星星有几颗， 7 后跟上 22 个 0”，这是国际天文学联合会上宣布的消息，用科学记数法表示宇宙空间星星颗数 71022 【考点】 科学记数法 表示较大的数 【专题】 应用 题 【分析】 科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10， n 为整数确定 n 的值时，要看把原数变成 a 时，小数点移动了多少位， n 的绝对值与小数点移动的位数相同当原数绝对值大于 1时， n 是正数；当原数的绝对值小于 1 时， n 是负数 【解答】 解：将 “7 后跟上 22 个 0”用科学记数法表示为 71022 【点评】 此题考查科学记数法的表示方法科学记数法的表示形式为 a10中 1|a| 10，n 为整数，表示时关键要正确确定 a 的值以及 n 的值 13如图，一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分 为红、黄、绿三种，指针的位置固定，转动转盘后任其自由停止，其中的某个扇形会恰好停在指针所指的位置（指针指向两个扇形的交线时，当作指向右边的扇形），则指针指向红色的概率为 第 15 页（共 31 页） 【考点】 概率公式 【专题】 常规题型 【分析】 由一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三种，红色的有 3 个扇形，直接利用概率公式求解即可求得答案 【解答】 解： 一个转盘被分成 7 个相同的扇形，颜色分为红、黄、绿三 种，红色的有 3 个扇形， 指针指向红色的概率为： 故答案为： 【点评】 此题考查了概率公式的应用注意用到的知识点为：概率 =所求情况数与总情况数之比 14一列快车从甲地驶往乙地，一列慢车从乙地驶往甲地，两车同时出发，两车的距离 y（千米）与慢车行驶的时间为 x（小时）之间的函数关系如图所示，则快车到达乙地时慢车离乙地距离为 450千米 【考点】 一次函数的应用 【分析】 假设快车的速度为 a（ km/h），慢车的速度为 b（ km/h）当两车相遇时，两车各自所走的路程之和就是甲乙两地的距离，由此列式 4a+4b=900，另外，由于快车到达乙地的时间比慢车到达甲地的时间要短，图中的（ 12， 900）这个点表示慢车刚到达甲地，这时的两车距离等于两地距离，而 x=12 就是慢车正好到达甲地的时间，所以， 12b=900， 和 可以求出，快车和慢车速度，然后求出快车到达乙地的时间，即可计算出此时慢车离乙地的距离 【解答】 解：设快车的速度为 a（ km/h）， 慢车的速度为 b（ km/h）， 4（ a+b） =900， 慢车到达甲地的时间为 12 小时， 第 16 页（共 31 页） 12b=900， b=75， 4（ a+75） =900， 解得： a=150； 快车的速度为 150km/h 快车到达乙地的时间： 900150=6 小时， 慢车离乙地距离为： 756=450 千米 故答案为： 450 千米 【点评】 此题主要考查了一次函数的应用，解题的关键是首先正确理解题意，然后根据题目的数量关系得出快慢车的速度 15如图，在平面直角坐标系中，四边形 ， 0， 过 A 点的双曲线 y= 的一支在第二象限交 点 D，交边 点 E，且 =2， S ，则 S 12 【考点】 反比例函数系数 k 的几何意义 【分析】 设 D（ m， ），根据 =2 表示出 B、 C 的横坐标为 m，再代入解析式求出 A 的横坐标，利用 面积公式求出 k 的值，从而计算出结果 【解答】 解：设 D（ m， ）， =2， B、 C 的横坐标为 m， A、 C 的纵坐标为 = ， A 的横坐标 x=k = ， 第 17 页（共 31 页） = ， S B = （ ） = =15， k= 24， S |k|=12， 故答案为： 12 【点评】 本题考查了反比例函数系数 k 的几何意义，利用解析式即比值求出 k 的值，从而求出三角形的面积是解题的关键 16如图， 是顶角为 30的等腰三角形， 5， ，则 【考点】 勾股定理；等腰三角形的性质；含 30 度角的直角三角形；等腰直角三角形 【分析】 作 G，作 H，则 0，由已知条件得出 E， E， 5， ，再证出 0， 等腰直 角三角形，得出 H，设 EH=x，则 E=2x， H= x，得出 DH=x， x+x， D= x+1，在 ，根据 勾股定理得出方程，解方程求出 x，即可得出 【解答】 解：作 G，作 H，如图所示： 则 0， 是顶角为 30的等腰三角形， E， E， 5， ， 第 18 页（共 31 页） ， 5， 5 15=60， 0+15=45， 0， 等腰直角三角形， H， 设 EH=x，则 E=2x， H= x， x， x+x， D= x+1， 在 ，根据勾股定理得： 即（ ） 2+（ x+1 ） 2=（ x+x） 2， 解得： x= ， = ； 故答案为： 【点评】 本题考查了勾股定理、等腰三角形的性质、含 30角的直角三角形的性质、等腰直角三角形的判定与性质、三角函数等知识；本题综合性强，难度较大，需要通过作辅助线运用三角函数和勾股定理得出方程才能得出结果 三、解答题（共 72分） 17已知直 线 y=kx+b 经过点（ 1， 1）和（ 1， 3），求关于 x 的不等式 kx+b3 的解集 【考点】 一次函数与一元一次不等式 【分析】 首先利用待定系数法把（ 1， 1）、（ 1， 3）代入 y=kx+b 可得关于 k、 b 的方程组，再解方程组可得 k、 b 的值，再解不等式即可 【解答】 解： 直线 y=kx+b 经过点（ 1， 1）和（ 1， 3）， 第 19 页（共 31 页） 可得： ， 解得： ， 所以解析式为： y= 2x+1， 可得： 2x+13， 解得： x 1 【点评】 此题主要考查了一次函数与一元一次不等式，关键是掌握待定系数法求一次函数解析式的方法 18如图，点 D， E 分别是 边 中点， G 点， （ 1）找出图中的所有相似三角形，并选一对相似加以证明 （ 2）求证： 【考点】 相似三角形的判定与性质；三角形中位线定理 【分析】 （ 1）由条件可得出 可得出相似的三角形； （ 2）由 据相似三角形的性质可证明 【解答】 （ 1）解：相似的三角形有 选择证明 明如下： D、 E 分别是 边 中点， 中位线， （ 2）证明：由（ 1）可知 = = ， 第 20 页（共 31 页） 【点评】 本题主要考查相似三角形的判定和性质，由条件得出 三角形的中位线证明 19袋中装有大小相同的 2 个红球和和若干个绿球，小明从中随机的摸取一个球，经过多次重复试验摸到红球的频率约为 （ 1）求袋中有多少个绿球； （ 2）先从袋中摸出 1 个球后放回，混合均匀后再摸出 1 个球，求第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率； （ 3）先从袋中摸出 1 个球后不放回，再摸出一个球，则两次摸到的球中有一个绿球和一个红球的概率是多少？请直接写出结果 【考点】 列表法与树状图法 【专题 】 应用题 【分析】 （ 1）根据频率估计概率得到摸到红球的概率为 ，设袋中有 x 个绿球，利用根据公式得到= ，然后解方程； （ 2）先画树状图展示所有 16 种等可能的结果数，再找出第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果数，然后根据概率公式求解； （ 3）先画树状图展示所有 12 种等可能的结果数，再找出一个绿球和一个红球的结果数，然后根据概率公式求解 【解答】 解：（ 1）因为多次重复试验摸到红球的频率约为 以摸到红球的概率为 ， 设袋中有 x 个绿球，则 = ，解得 x=2， 即袋中有 2 个绿球； （ 2）画树状图为： 共有 16 种等可能的结果数，其中第一次摸到绿球，第二次摸到红球的结果数为 4， 所以第一次摸到绿球，第二次摸到红球的概率 = = ； （ 3）画树状图为： 第 21 页（共 31 页） 共有 12 种等可能的结果数，其中一个绿球和一个红球的结果数为 8， 所以两次摸到的球中有一个绿球和一个红球的概率 = = 【点评】 本题考查了列表法或树状图法：通过列表法或树状图法展示所有等可能的结果求出 n，再从中选出符合事件 A 或 B 的结果数目 m，然后根据概率公式求出事件 A 或 B 的概率也考查了利用频率估计概率 20如图，在直角坐标系中， A（ 0， 4）， B（ 4， 4）， C（ 4， 0）， D（ 0， 2） （ 1）将线段 B 点顺时针旋转 90，请画出 对应线段 （ 2）求 D 点旋转到 E 点所走过的路径长； （ 3）若 F 为 一点， 分四边形 面积，请直接写出 F 点坐标 【考点】 作图 【分析】 （ 1）利用旋转的性质得出对应点 E 点位置即可； （ 2）利用 弧长公式求出 D 点旋转到 E 点所走过的路径长； （ 3）利用已知图形得出四边形 面积，进而得出 F 点位置 【解答】 解：（ 1）如图所示： 为所求； （ 2） D 点旋转到 E 点所走过的路径长为： = ； （ 3）如图所示： 分四边形 面积， F 点坐标为：（ 1， 0） 第 22 页（共 31 页） 【点评】 此题主要考查了旋转变换以及勾股定理以及和弧长公式等知识， 根据题意得出对应点位置是解题关键 21如图 1，点 I 是 内心， 延长线交 外接圆 O 于点D （ 1）求证： C= （ 2）若 O 的直径， 值 【考点】 三角形的内切圆与内心 【分析】 （ 1）要证明 D=要求得 根据角平分线的性质即可得到结论； （ 2）由 O 的直径，得到 于 到 是求得 OI=x，则 I=2x， x，得到 =2 x，如图 2，过 O 作 ，连接 F，则 到比例式代入求得 x，即可得到结果 【解答】 （ 1）证明： 点 I 是 内心， 第 23 页（共 31 页） D， ， D， C= （ 2） O 的直径， B， I， 由（ 1）知 D， 设 OI=x，则 I=2x， x， =2 x， 如图 2，过 O 作 O 于 E，连接 F，则 ， 即 = ， x， ， = 2 第 24 页（共 31 页） 【点评】 本题考查了三角形的内切圆和内心，三角形的外接圆和外心，垂径定理，圆周角定理 ，三角形外角性质，等腰三角形的判定等知识点的应用，能正确作出辅助线并求出 解此题的关键，有一定的难度 22某公司销售某种商品，其标价为 100 元，现在打 6 折销售仍然获利 50%，为扩大销量，公司决定在打 6 折的基础上再降价，规定顾客每再多买 1 件，顾客购买的所有商品的单价再少 1 元，但不能出现亏损的情况，设顾客购买商品件数为 x（件），公司获得利润为 W（元） （ 1）求该商品的进价是多少元？ （ 2）求 W 与 x 的函数关系式并求公司销售利润最大值？ （ 3）公司发现 x 在某一范围内会出现顾客购买件数越多公司利润 反而越少的情况，为避免出现这种情况，应规定最低售价为多少元？ 【考点】 二次函数的应用 【专题】 销售问题 【分析】 （ 1）根据某公司销售某种商品，其标价为 100 元，现在打 6 折销售仍然获利 50%，可以列出相应的方程，从而可以解答本题； （ 2）根据题意可以得到 W 与 x 的函数关系式，将 W 与 x 的函数关系式化为顶点式，即可求得最大值； （ 3）由第（ 2）问的函数关系式，再根据本问提供的信息可以解答本题 【解答】 解：（ 1）设商品的进价为 x 元，根据题意可得 1000.6=x（ 1+50%）， 解得 x=40 答：该商品的进 价是 40 元 （ 2）根据题意可得， W=x（ 20 x） =20x （ x 10） 2+100 第 25 页（共 31 页） 当 x=10 时， W 有最大值，此时 W=100 即 W 与 x 的函数关系式是： W=（ x 10） 2+100，公司利润的最大值是 100 元 （ 3）由第（ 2）问可知，当 x=10 时，取得最大值，当 x 10 时，利润会降低， 故最低售价为： 40+10=50（元） 即应规定最低售价为 50 元 【点评】 本题考查二次函数的应用、二次函数的最值、解一元一次方程，解题的关键能根据题意找出等量关系，列出相应的方程，根据题题可以列出相应的二次函 数，把二次函数可以转化为顶点式，然后找出所求问题需要的条件 23如图， ， E， H，交 F， （ 1）求证： （ 2）若 C，求证： F； （ 3）在（ 2）的条件下，若 0，直接写出 值 【考点】 相似三角形的判定与性质 【专题】 证明题 【分析】 （ 1）根据垂直的定义和等角的余角相等可得到 1= C， 2，然后根据相似三角形的判定方法 即可得到结论； （ 2）如图 2，先证明 到 = ，则 ，再由 到，接着根据等腰三角形的性质由 C， 以 是得到 F； （ 3）如图 3，设 EF=x，则 F=x，在 利用 0可得 x， EF=x，则在 由勾股定理计算出 x，接着证明 用相似比计算出 ，则 C x， 于是利用 x， x，则 第 26 页（共 31 页） x，根据等腰三角形的性质有 分 根据三角形角平分线定理可计算出= ，所以 x，然后在 利用余弦的定义求解 【解答】 （ 1）证明：如图 1， 0，即 1+ 0， 0， C=90， 1= C， 0， 而 2+ 0， 2， （ 2）证明：如图 2， = ， ， = ， ， C， D= =2 F； 第 27 页（共 31 页） （ 3）解：如图 3，设 EF=x，则 F=x， 在 ， 0， x， x， 在 ， = = x， = ，即 = ，解得 ， C x， = = ，即 = = ， x， x， x， 分 = ， = = ， x= x， 在 ， = = ， 即 第 28 页（共 31 页） 【点评】 本题考查了相似三角形的判定与性质：在判定两个三角形相似时，应注意利